高一上学期期末考试数学试题(原卷版)

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(完整word版)高一上学期期末数学试卷(含答案)

高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B． 2 C．3 D．42．已知点A（1，2），B（﹣2，3），C（4，y）在同一条直线上，则y的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．3．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A．πB．C．4πD．5π4．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．下列四个数中最小者是（）A．log3B．log32 C．log23 D．log3（log23）6．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A．8πB．C．D． 8π7．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=08．已知函数f（x）=log a（2﹣a x）在（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，1）∪（2，+∞）9．设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4011．（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x3﹣x1的取值范围为（）A．（2，]B．（2，]C．（2，]D．（2，3）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知长方形ABCD中，AB=2，AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=．14．（5分）若点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，则的最大值是。

2023-2024学年广东省高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（）A ．−79B ．79C ．−89D ．136．已知函数f(x)=cos(2x −3π4)，先将f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g （x ）的图象，则g （x ）的解析式为（）A ．g （x ）＝sin xB ．g （x ）＝﹣sin xC ．g （x ）＝﹣cos xD ．g(x)=cos(4x +π4)7．函数f （x ）＝﹣10x 3ln |x |的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2b a+b（）A ．有最大值115B ．有最大值52C ．有最小值115D ．有最小值52二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +110．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜311．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝． 14．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是．（填序号）16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为．四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．19．（12分）已知函数f （x ）＝4x ﹣2•2x +1+a ，其中x ∈[0，3]．（1）若f （x ）的最小值为1，求a 的值；（2）若存在x ∈[0，3]，使f （x ）≥33成立，求a 的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x ∈[﹣π，π]时，求f （x ）最大值与最小值及相应的x 的值；（2）是否存在锐角α，β，使a +2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=√|x +1|+|x −3|−m 的定义域为R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a+b +1a+2b=n 时，求7a +4b 的最小值．22．（12分）（1）已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是{x|x ＜−2或x ＞13}，求cx 2﹣bx +a ≥0的解集；（2）求关于x 的不等式ax 2﹣2x +a ＜0的解集．2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ解：∵集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）．故选：A ．2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）解：令y ＝2x ﹣4＝0，解得x ＝2．故选：C ．3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)解：由题意得：{2x −3≥0x −3≠0，解得：x ≥32且x ≠3，故函数的定义域是[32，3）∪（3，+∞）．故选：C ．4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]解：函数f(x)=x 2+(2m −1)x +m =(x +2m−12)2+m −(2m−1)24的单调增区间为(−2m−12，+∞)，∴−2m−12⩽1，∴m ⩾−12．故实数m 的取值范围为[−12，+∞)．故选：C ．5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（）A ．−79B ．79C ．−89D ．13解：由sin(θ−π6)=13，得sin （π6−θ）=−13，∴sin(2θ+π6)=cos （π3−2θ）＝cos2（π6−θ）=1−2sin2(π6−θ)=1−2×(−13)2=79．故选：B．6．已知函数f(x)=cos(2x−3π4)，先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）＝sin x B．g（x）＝﹣sin xC．g（x）＝﹣cos x D．g(x)=cos(4x+π4)解：先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos(x−3π4)的图象，再向左平移π4个单位长度，则g(x)=cos(x−3π4+π4)=sinx．故选：A．7．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．8．关于x的方程x2﹣ax+b﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2ba+b（）A．有最大值115B．有最大值52C．有最小值115D．有最小值52解：因为关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根，所以{a ＞0b −1＞0Δ=a 2−4(b −1)=0，故b ＝1+a 24，a ＞0，则3a+2b a+b=2+a a+b =2+a 1+a+a24=2+11+1a +a 4≤1+2√a 4⋅1a2=52，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以3a+2ba+b 有最大值52．故选：B ．二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +1解：对于A ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝|﹣x |＝f （x ），为偶函数，对于B ，f(x)=x +1x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且f(−x)=−x −1x=−f(x)，为奇函数，对于C ，f （x ）＝x 3+2x 的定义域为R ，关于原点对称，且f （﹣x ）＝（﹣x ）3+2（﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，对于D ，f （x ）＝x 2+x +1的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝x 2﹣x +1≠﹣f （x ），不是奇函数，故选：BC ．10．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜3解：2x 2−5x −3＜0⇔(2x +1)(x −3)＜0⇔−12＜x ＜3，即2x 2﹣5x ﹣3＜0的充要条件是−12＜x ＜3，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，观察选项发现{x|−12＜x ＜3}是{x |﹣2＜x ＜3}，{x |﹣1＜x ＜4}的真子集．故选：BD ．11．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减解：由图象可知函数f （x ）的最大值为2，最小值为﹣2，所以A ＝2，T 2=2π3−π6=π2，故T ＝π；又T =2πω⇒ω=2，又f(π6)=2⇒2cos(2×π6+φ)=2，所以π3+φ=2kπ(k ∈Z)，φ=2kπ−π3，(k ∈Z)；又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2cos(2x −π3)，故A 正确，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得g(x)=2cos(2x +π6)+1，故B项错误．由2x +π6=π2+kπ(k ∈Z)，x =π6+kπ2，(k ∈Z)；所以g （x ）的图像关于点(π6，1)对称，故C 错误．由2kπ≤2x +π6≤2kπ+π，(k ∈Z)，即−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，(k ∈Z)；故选项D 正确．故选：AD ．12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22解：由α是锐角，cosα=√55，则sinα=√1−cos 2α=2√55，又α，β是锐角，则−β∈(−π2，0)，得α−β∈(−π2，π2)，又cos(α−β)=3√1010，则sin(α−β)=±√1010，则cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sin αsin （α﹣β）=√55×3√1010±2√55×√1010=3√2±2√210得cos β=√22或cos β=√210．故选：AC ．三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ 2 ．解：函数f （x ）=a⋅3x +4−a4(3x−1)是奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）＝0，即有a⋅3−x +4−a4(3−x −1)+a⋅3x +4−a4(3x −1)=0，则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a2+3x1−3x +13x −1=0，即a 2=1，故a ＝2．故答案为：214．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 [19，+∞）．解：∵t ＝1+2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+2≤2，且y =(13)t 为定义域内的减函数，∴y =(13)1+2x−x 2≥(13)2=19．即函数y =(13)1+2x−x 2的值域是[19，+∞）．故答案为：[19，+∞）．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a ；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ①④⑤ ．（填序号）解：∵tan （θ+π4）=sinθ+cosθcosθ−sinθ=1+sin2θcos2θ=cos2θ1−sin2θ=b 1−a =1+ab，∴①④是正确的，将sin2θ＝a ，cos2θ＝b 代入⑤验证知，此代数式也是正确的答案．故答案为：①④⑤．16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ √3 ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 3 ．解：由已知，函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx =√a 2+1sin （ωx ﹣φ），其中tan φ=1a（a ＞0，ω＞0），由于f （x ）的最大值为2，所以√a 2+1=2，得a =√3（a =−√3舍去）； tanφ=13，取φ=π6，则f （x ）＝2sin （ωx −π6），由ωx −π6=kπ+π2（k ∈Z ），得ωm π=kπ+2π3（k ∈Z ），即ω=m(k +23)，k ∈Z ，由于m ∈N *，则正数ω的最小整数值为2，从而f(x)=2sin(2x −π6)，当2x −π6=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π3+kπ，k ∈Z 时，函数f （x ）取得最大值，若k ＝0，则x =π3∈(0，10)，若k ＝1，则x =4π3∈(0，10)，若k ＝2，则x =7π3∈(0，10)，若k ＝3，则x =10π3＞10，从而有3次取得最大值．故答案为：√3，3．四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根．解：设两个实根分别是x 1，x 2，则有两个正根的条件是：{Δ=4−4(m +1)≥0x 1+x 2=2＞0x 1x 2=m +1＞0解得﹣1＜m ≤0．18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．解：（1）由f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)得：f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx =√32sinωx −32cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3sin(ωx −π3)．由f(π6)=0知(sin π6ω−π3)=0，则ωπ6−π3=kπ，k ∈Z ，故ω＝6k +2，k ∈Z ，又0＜ω＜3，所以ω＝2．（2）由（1）知f(x)=√3sin(2x−π3)，将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=√3sin（x−π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g（x）=√3sin（x−π12）的图象．由π2+2kπ≤x−π12≤3π2+2kπ，k∈Z解得7π12+2kπ≤x≤19π12+2kπ，k∈Z，所以g（x）的单调递减区间为[7π12+2kπ，19π12+2kπ]（k∈Z）．19．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]．（1）若f（x）的最小值为1，求a的值；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，求a的取值范围．解：（1）因为f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]，令t＝2x，则t∈[1，8]，原式化为g（t）＝t2﹣4t+a＝（t﹣2）2+a﹣4，当t＝2时，g（t）min＝a﹣4＝1，解得a＝5；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，即f（x）max≥33，由（1）可知g（t）＝（t﹣2）2+a﹣4，t∈[1，8]，即g（t）max≥33，当t＝8时，g（t）max＝a+32≥33，解得a≥1，即a∈[1，+∞）．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x∈[﹣π，π]时，求f（x）最大值与最小值及相应的x的值；（2）是否存在锐角α，β，使a+2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f(x)=sin2ωx+sinωxcosωx−12=1−cos2ωx2+12sin2ωx−12=12sin2ωx−12cos2ωx=√22sin(2ωx−π4)，∵f（x）图象相邻对称轴之间的距离为2π，∴T=4π=2π2ω，ω=14，f(x)=√22sin(12x−π4)，∵﹣π≤x≤π，∴−3π4≤12x−π4≤π4，∴−1≤sin(12x−π4)≤√22，∴f(x)min=−√22，此时12x−π4=−π2，x=−π2，f(x)max=12，此时12x−π4=π4，x＝π；（2）存在，理由如下：∵f(α+π2)=√22sinα2，f(2β+3π2)=√22sin(β+π2)=√22cosβ，∴f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=12sinα2cosβ=√38，∴sin α2cosβ=√34，又∵α+2β=2π3，α=2π3−2β，∴sinα2cosβ=sin(π3−β)cosβ=√34，∴(√32cosβ−12sinβ)cosβ=√34，∴√32cos2β−12sinβcosβ=√34，∴√32×1+cos2β2−14sin2β=√34，即√3cos2β−sin2β=0，∴tan2β=√3，又∵β为锐角，0＜2β＜π，∴2β=π3，β=π6，从而α=2π3−2β=π3．21．（12分）已知函数f（x）=√|x+1|+|x−3|−m的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足23a+b +1a+2b=n时，求7a+4b的最小值．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b=14(6a+2b+a+2b)(23a+b+1a+2b)=14(5+2(3a+b)a+2b+2(a+2b)3a+b)≥14(5+2×2√3a+ba+2b⋅a+2b3a+b)=94，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a=310时取等号．∴7a+4b的最小值为9 4．22．（12分）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜−2或x＞13}，求cx2﹣bx+a≥0的解集；（2）求关于x的不等式ax2﹣2x+a＜0的解集．解：（1）由题意知{−2+13=−ba−2×13=caa＜0，则有{b=53ac=−23aa＜0，代入不等式cx2﹣bx+a≥0，得−23ax2−53ax+a≥0(a＜0)，即﹣2x2﹣5x+3≤0，解得x≤﹣3或x≥1 2，所以所求不等式的解集为{x|x≤−3或x≥12 }；（2）①当a＝0时，不等式为﹣2x＜0，解得x＞0，则此时解集为（0，+∞），②当a＞0时，令ax2﹣2x+a＝0，Δ＝4﹣4a2，（i）若Δ＝4﹣4a2≤0，即a≥1时，此时不等式解集为∅，（ii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即0＜a＜1时，ax2﹣2x+a＜0，解得1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a，则此时不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)，③当a＜0时，（i）若Δ＝4﹣4a2＜0，即a＜﹣1时，此时不等式解集为R，（ii）若Δ＝4﹣4a2＝0，即a＝﹣1时，此时不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（iii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)．综上所述，当a＜﹣1时，不等式解集为R；当﹣1≤a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)；当a＝0时，则不等式解集为（0，+∞）；当0＜a＜1时，则不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)；当a≥1时，此时不等式解集为∅．。

精品解析：北京市平谷区2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题(原卷版)

C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10.已知函数为坐标原点，若对于图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转后，点落在的图象上，则实数（）
A. B. C. D.2
第II卷非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
平谷区2023-2024学年度第一学期教学质量监控试卷
高一数学
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页．共150分，考试时间为120分钟．
2．试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
3．考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好．
第I卷选择题（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上．
1 已知集合，则等于（）
A. B. C. D.
2.下列函数中，在区间上单Fra bibliotek递增的是（）A. B. C. D.
3.若，，则一定有（）.
A. B. C. D.
4.设，且，则（）
15.已知函数，用表示最小值，记为，那么的最大值为______．
16.设，函数，当时，的值域是______；若恰有一个零点，则的取值范围是______．
17.在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论：
①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）当时，求的最大值与最小值．
19.设集合．
（1）求；

高一上学期期末考试数学试题(含答案)

高一上学期期末考试数学试题(含答案) 高一上学期期末考试数学试题（含答案）第I卷选择题（共60分）1.sin480的值为()A。

-1133B。

-2222C。

2222D。

11332.若集合M={y|y=2,x∈R}，P={x|y=x-1}，则M∩P=()A。

(1,+∞)B。

[1,+∞)C。

(-∞,+∞)D。

(-∞。

+∞)3.已知幂函数通过点(2,22)，则幂函数的解析式为()A。

y=2xB。

y=xC。

y=x2D。

y=x1/24.已知sinα=-1/2，且α是第二象限角，那么tanα的值等于()A。

-5/3B。

-4/3C。

4/3D。

5/35.已知点A(1,3)，B(4,-1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A。

(3/5,-4/5)B。

(-3/5,4/5)C。

(-4/5,-3/5)D。

(4/5,3/5)6.设tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两根，则tan(α+β)的值为()A。

-3B。

-1C。

1D。

37.已知锐角三角形ABC中，|AB|=4，|AC|=1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值为()A。

2B。

-2C。

4D。

-48.已知函数f(x)=asin(πx+β)+bcos(πx+β)，且f(4)=3，则f(2015)的值为()A。

-1B。

1C。

3D。

-39.下列函数中，图象的一部分如图所示的是()无法确定图像，无法判断正确选项）10.在斜△ABC中，sinA=-2cosB·cosC，且tanB·tanC=1-2，则角A的值为()A。

π/4B。

π/3C。

π/2D。

2π/311.已知f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()A。

(-∞,4]B。

(-∞,4)C。

(-4,4]D。

[-4,4]12.已知函数f(x)=1+cos2x-2sin(x-π/6)，其中x∈R，则下列结论中正确的是()A。

f(x)是最小正周期为π的偶函数B。

2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．∅B．{4}C．{1，3}D．{2，5}2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．“实数a＝﹣1”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣3在（1，+∞）上具有单调性”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．A．41B．43C．45D．475．已知一个扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A．12B．1C．32D．26．已知cosα﹣sinα＝2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα＝（）A．﹣1B．12C．1D．27．已知f（x）为偶函数，对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．若函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1）的图象恰有6个交点，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，5]C．（5，7）D．（5，7]8．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且f（x）在区间(π8，π4)上具有单调性，则ω的最大值为（）A．43B．4C．163D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学上册期末试卷（含答案）

高一数学上册期末试卷（含答案）高一数学上册期末试卷(含答案)第Ⅰ卷一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.如果集合A={x|ax2-2x-1=0}只有一个元素则a的值是( )A.0B.0或1C.-1D.0或-12. 的值为( )A. B. C. D.3.若tan α=2，tan β=3，且α，β∈0，π2，则α+β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π44.已知，则 ( )A. B. C. D. 或5.设则( )A B C D6.若x∈[0，1]，则函数y=x+2-1-x的值域是( )A.[2-1，3-1]B.[1，3 ]C.[2-1，3 ]D.[0，2-1]7若，则 ( )A. B. C.- D.8.若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，，则 ( )A. B. C. D.9.已知函数的值域为R，则实数的范围是( )A. B. C. D.10.将函数y=3sin2x+π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A.在区间π12，7π12上单调递减B.在区间π12，7π12上单调递增C在区间-π6，π3上单调递减 D在区间-π6，π3上单调递增11.函数的值域为( )A.[1，5]B.[1，2]C.[2，5]D.[5，3]12.设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是( )A. B. C. D.第II卷(非选择题，共70分)二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将答案填在答题纸上)13.已知则的值为------14.3tan 12°-34cos212°-2sin 12°=________.15.已知 ,试求y= 的`值域—16.设(x)=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤fπ6对一切x∈R恒成立，则以下结论正确的是_____(写出所有正确结论的编号).① ;② ≥ ;③f(x)的单调递增区间是kπ+π6，kπ+2π3(k∈Z);④f(x)既不是奇函数也不是偶函数;17.(本题满分8分)已知：，，，，求18.(本题满分10分)已知函数，且(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)判断并证明函数在区间上的单调性.19.(本题满分10分)已知函数 ((1)若是最小正周期为的偶函数，求和的值;(2)若在上是增函数，求的最大值.20(本题满分12分)已知函数，，( )(1)当≤ ≤ 时，求的最大值;(2)若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围;(3)问取何值时，方程在上有两解?21.(附加题)(本题满分10分)已知函数(1)求函数的零点;(2)若实数t满足，求的取值范围.高一数学参考答案一.选择题：DBCBA CCCCB AC二.填空题：13. 0 14. 15. 16. ①②④ .17.解：，，∴ ，∴ = = = ......8分18.【解答】解：(Ⅰ)∵ ，，由，∴ ，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1;………………3分(Ⅱ)由(1)得，函数在(﹣1，+∞)单调递增.证明：任取x1，x2且﹣1<x1<x2，< p="">= ，∵﹣1<x1<x2，< p="">∴ ，∴ ，即f(x1)<f(x2)，< p="">故函数在(﹣1，+∞)上单调递增.………………10分19.解：(1)由 =2 (∵ …………又是最小正周期为的偶函数，∴ ，即，…………3分且，即……6分，∴ 为所求;…………………………………………………5分(2)因为在上是增函数，∴ ，…………………………………………7分∵ ，∴ ，∴ ，于是，∴ ，即的最大值为，………此时……10分20.试题分析：(1) 设，则∴ ∴当时，……4分(2)当∴ 值域为当时，则有①当时，值域为②当时，值域为而依据题意有的值域是值域的子集则或∴ 或 8分(3) 化为在上有两解，令则t∈ 在上解的情况如下：①当在上只有一个解或相等解，有两解或∴ 或②当时，有惟一解③当时，有惟一解故或……12分21.(1) 的零点分别为和 2分(2)由题意，当时，，同理，当时，，，所以函数是在R上的偶函数，…5分所以，由，.………………时，为增函数，，即 .………10分。

高一数学上学期期末试题及答案

高一数学上学期期末试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. -2C. 1D. 22. 函数y=x^3-3x^2+2的导数为：A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-6x^2+63. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x>0}，则A∩B的元素个数为：A. 0C. 2D. 无数个4. 以下哪个不是等差数列：A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 3, 6, 9, 12D. 1, 4, 7, 105. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)6. 若a, b, c是等比数列，且a+b+c=14，b^2=ac，则b的值为：A. 2C. 7D. 147. 函数y=2^x的反函数为：A. y=log2(x)B. y=2^(-x)C. y=-2^xD. y=x^(1/2)8. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，则向量a+b的坐标为：A. (5, 3)B. (1, 3)C. (5, -3)D. (1, -3)9. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标为：A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)10. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，且a=2，b=1，则双曲线的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。

12. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则a5=________。

13. 已知向量a=(1, 2)，b=(3, -2)，则向量a·b=________。

高一第一学期数学期末试卷及答案5套

高一第一学期数学期末试卷及答案5套第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线023:=+-y x l 的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2.空间直角坐标系中，已知点()()5433,2,1，，、B A ，则线段AB 的中点坐标为（） A ．()432，，B ．()431，，C ．()532，，D ．()542，， 3.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（）4.下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线;④三条平行直线确定三个平面.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C.3个 D ．4个5.已知圆086221=+-+y y x C ：,圆078:222=+-+x y x C ,则两圆21C C 、的位置关系为( )A ．相离B ．相外切 C.相交 D ．相内切6.设入射光线沿直线y=2x+1射向直线12+=x y ,则被x y =反射后,反射光线所在的直线方程是( )A ．032=++y xB ．012=y+x 一 C.0123=y-x+ D ．012=y-x- 7.直三棱柱111C B A ABC -中,若190AA AC AB BAC ==︒=∠,则异面直线1BA 与C B 1所成角的余弦值为( )A ．0B ．21C.22 D ．238.已知βα,是两相异平面,n m ,是两相异直线,则下列错误的是( ) A ．若βα⊂⊥m m ,,则βα⊥ B ．若α//m ,n =⋂βα,则n m // C.若n m //,α⊥m ,则α⊥n D ．若α⊥m ,β⊥n ,n m //,则βα// 9.若P 是圆1322=)+(y-C:x 上动点,则点P 到直线1y=kx-距离的最大值( ) A ．3 B ．4 C. 5 D ．610.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积可能等于( ) A ．21B ．212- C.2 D ．211.直线03=++m y x 与圆06422=--+x y x 相交于B A 、两点,若2|AB|≥,则m 的取值范围是( )A ．[]8,8-B ．[]4,4- C.[]4,8- D ．[]8,4-12.已知点B A 、的坐标分别为(2,0)、(-2,0),直线BM AM ,相交于点M ,且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是1,则点M 的轨迹方程为( )A ．)2(42±≠=x x yB ．)2(142±≠-=x x y C. )2(142±≠+=x x y D ．)2(42≠-=x x y 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知圆,圆,则两圆公切线的方程为．14. 已知点),(y x P 为圆122=+y x 上的动点,则y x 42-的最小值为． 15.如图,二面角βα--l 的大小是30°,线段α⊂AB ，AB l B ,∈与l 所成的角为45°,则AB 与平面β所成角的正弦值是．16.如图,在平面直角坐标系xOy 中,圆36)1(:22=++y x A ,点)0,1(B ,点D 是圆A 上的动点,线段BD 的垂直平分线交线段AD 于点F ,设a b 、分别为点D F 、的横坐标,定义函数()a f b =,给出下列结论:①()11=f ;②()a f 是偶函数;③()a f 在定义域上是增函数; ④()a f 图象的两个端点关于圆心A 对称; ⑤动点F 到两定点B A 、的距离和是定值. 其中正确的是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知两条直线012)1(:1=++-y x a l ,03:2=++ay x l . (1)若21//l l ,求实数a 的值； (2)若22l l ⊥,求实数a 的值.18.如图所示,PA 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于B A ，的任意一点,2==AB PA . (1)求证:PC BC ⊥；(2)求三棱锥ABC P -体积的最大值,并写出此时三棱锥ABC P -外接球的表面积.19. 已知方程)(0124622R m my mx y x ∈=+-++ (1) 若此方程表示圆,求m 的取值范围；(2)若此方程表示圆C ,且点()2,2-A 在圆C 上,求过点()1,1P 的圆C 的切线方程。

高一数学上册期末试卷（附答案）

高一数学上册期末试卷（附答案）高一数学期末考试试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数的定义域为( )A.( ,1)B.( ,∞)C.(1，+∞ )D.( ,1)∪( 1，+∞)2.以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为( )A.( ，1，1)B.(1，，1)C.(1，1， )D.( ，，1)3.若，，，则与的位置关系为( )A.相交B.平行或异面C.异面D.平行4.如果直线同时平行于直线，则的值为( )A. B.C. D.5.设，则的大小关系是( )A. B. C. D.6.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则直线EF与CD所成的角为( )A.45°B.30°C.60°D.90°7.如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8.圆：和圆：交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )A. B.C. D.9.已知，则直线与圆的位置关系是( )A.相交但不过圆心B.过圆心C.相切D.相离10.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.28+65B.60+125C.56+125D.30+6511.若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.12.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若是奇函数，则 .14.已知，则 .15.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3 cm，则球的体积是 .16.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥D-ABC的体积是26.其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号).三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题10分)根据下列条件，求直线的方程：(1)已知直线过点P(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1;(2)过两直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0.18.(本小题12分)已知且，若函数在区间的最大值为10，求的值.19.(本小题12分)定义在上的函数满足 ,且 .若是上的减函数，求实数的取值范围.20.(本小题12分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱) 中，，分别是棱上的点(点不同于点 )，且为的中点.求证：(1)平面平面 ;(2)直线平面 .21.(本小题12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形A BCD所在的平面，BC=22，M为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM;(2)求二面角P-AM-D的大小.22.(本小题12分)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程.(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.高一数学期末考试试题答案一、选择题ACBAD BDCAD BC二、填空题13. 14.13 15. 16.①②三、解答题17.(本小题10分)(1)x+2y-2=0或2x+y+2=0.(2)3x-y+2=0.18.(本小题12分)当0当x=-1时，函数f(x)取得最大值，则由2a-1-5=10，得a=215，当a>1时，f(x)在[-1，2]上是增函数，当x=2时，函数取得最大值，则由2a2-5=10，得a=302或a=-302(舍)，综上所述，a=215或302.19.(本小题12分)由f(1-a)+f(1-2a)<0，得f(1-a)<-f(1-2a).∵f(-x)=-f(x)，x∈(-1,1)，∴f(1-a)又∵f(x)是(-1,1)上的减函数，∴-1<1-a<1，-1<1-2a<1，1-a>2a-1，解得0故实数a的取值范围是0，23.20.(本小题12分)(1)∵ 是直三棱柱，∴ 平面。

完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)

完整版)高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)高一第一学期期末考试试卷考试时间：120分钟注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R，集合A={x|3≤x<7}，B={x|x^2-7x+10<0}，则(A∩B)的取值为A。

(−∞,3)∪(5,+∞)B。

(−∞,3)∪[5,+∞)C。

(−∞,3]∪[5,+∞)D。

(−∞,3]∪(5,+∞)2.已知a⋅3^a⋅a的分数指数幂表示为A。

a^3B。

a^3/2C。

a^3/4D。

都不对3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是A。

e=1与ln1=0B。

8^（1/3）=2与log2^8=3C。

log3^9=2与9=3D。

log7^1=0与7^1=74.下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2∈(−∞,0)，当x1f(x2)”的是A。

x^2B。

x^3C。

e^xD。

1/x5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=logx，则f(f(100))的值等于A。

log2B。

−1/lg2C。

lg2D。

−lg26.对于任意的a>0且a≠1，函数f(x)=ax^−1+3的图像必经过点(1,4/5)7.设a=log0.7(0.8)，b=log1.1(0.9)，c=1.10.9，则a<b<c8.下列函数中哪个是幂函数A。

y=−3x^−2B。

y=3^xC。

y=log_3xD。

y=x^2+1是否有模型能够完全符合公司的要求？原因是公司的要求只需要满足以下条件：当x在[10,1000]范围内时，函数为增函数且函数的最大值不超过5.参考数据为e=2.L，e的8次方约为2981.已知函数f(x)=1-2a-a（a>1），求函数f(x)的值域和当x 在[-2,1]范围内时，函数f(x)的最小值为-7.然后求出a的值和函数的最大值。

高一数学第一学期期末测试题和答案

高一数学第一学期期末测试题本试卷共4页，20题，满分为150分钟，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{13,4,5,7,9}=A ，B {3,5,7,8,10}=，那么=AB （）A 、{13,4,5,7,8,9}，B 、{1,4,8,9}C 、{3,5,7}D 、{3,5,7,8} 2．cos()6π-的值是（）A B ． C ．12 D ．12- 3．函数)1ln()(-=x x f 的定义域是（）A ． ),1(+∞B ．),1[+∞C ． ),0(+∞D ．),0[+∞ 4．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 5．函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为（）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（） A ．(1,2) B ．(,3)e C ．(2,)e D ．(,)e +∞7．已知0.30.2a=，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（）A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 8．若函数23()(23)m f x m x-=+是幂函数，则m 的值为（）A 、1-B 、0C 、1D 、2 9．若1tan()47πα+=，则tan α=（）A 、34 B 、43C 、34-D 、43-10．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知函数()()()2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知3tan =α，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-= ；13．若cos α=﹣，且α∈（π，），则tan α= ．14．设{1,2,3,4,5,6},B {1,2,7,8},A ==定义A 与B 的差集为{|},A B x x A x B A A B -=∈∉--，且则（）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（满分12分）（1）4253sin cos tan()364πππ-（2）22lg 4lg 25ln 2e -+-+16．（满分12分）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)(R x ∈ (1)求()f x 的振幅和初相;(2)该函数图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？17.（本题满分14分）已知函数()sin 2cos 21f x x x =+-（1）把函数化为()sin(),(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的形式，并求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取得最大值时x 的集合； 18.（满分14分）()2sin(),(0,0,),()62.1(0)228730(),(),sin 35617f x x A x R f x f ABC A B C f A f B C πωωπωππ=->>∈+=+=-已知函数且的最小正周期是（）求和的值；（）已知锐角的三个内角分别为，，，若求的值。

2023-2024学年广东省中山市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y是实数，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．将√43⋅√2化成分数指数幂的形式是（）A．276B．2176C．213D．2563．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则（）A．2∈A，2∉B B．3∈A，3∈B C．4∈A，4∉B D．5∉A，5∉B4．已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]，则n﹣m的最大值是（）A．3B．6C．4D．85．函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，2]6．已知数f(x)=a1−e x−2是奇函数，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．4D．﹣47．已知a＞b＞c＞d，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ae c＞be dC．e a•e c＞e b•e d D．aln（c﹣d）＞bln（c﹣d）8．如图，在半径为1m的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（0＜α＜β＜π），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（）cm．A ．125π B ．157π C ．154π D ．13π6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝x |x |C ．y ＝x 3D ．y ＝x 210．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则（） A ．√xy 的最大值为1B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．2x +1y 的最小值为32+√211．给定函数f(x)=2xx 2+1（）A ．f （x ）的图像关于原点对称B ．f （x ）的值域是[﹣1，1]C ．f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数D ．f （x ）有三个零点12．设偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f （2）＝0，对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，都有x 22n f(x 1)−x 12n f(x 2)x 2−x 1＜0(n ∈N)成立，则（）A ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，−12)∪(−12，0) B ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，12)C ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算：lg 52+23lg 8＝．14．已知函数f （x ），给出三个性质： ①f （x ）定义域为（﹣∞，+∞）； ②f （x ）是奇函数；③f （x ）在（0，+∞）上是减函数．写出一个同时满足性质①．性质②和性质③的函数解析式，f （x ）＝．15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是元． 16．（3分）已知函数f(x)=x +16x−10，x ∈(0，+∞)，则f （x ）的零点之和为；若方程|f （x ）|＝m （m ＞0）有四个不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知tanα=13，求下列各式的值．（1）sinα−2cosα2sinα−cosα；（2）sin αcos α+2．18．（12分）若集合A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0}．（1）若m ＝0，写出A ∪B 的子集个数；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知f(x)=14−x 2．（1）研究并证明函数y ＝f （x ）的性质；（2）根据函数y ＝f （x ）的性质，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝f（x），则称f（x）为“局部偶函数”．（1）已知函数f（x）＝x3+x+1，试判断f（x）是否为“局部偶函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝x[4x+（2m﹣1）•2x+3]为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），且对任意m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）f（n）．φ(x)=f(x)−1f(x)+1．（1）求f（0）的值，并证明φ（x）为奇函数．（2）若x＞0，f（x）＞1，且f（3）＝4，证明f（x）为R上的增函数，并解不等式φ(x)＞15 17．22．（12分）已知函数g(x)=sin2x−cosx+a，x∈(π2，π)有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：x1+x2＜3π2．2023-2024学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x，y是实数，则“x＞y”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若x＝0，y＝﹣1，满足x＞y，但x2＞y2不成立．若x＝﹣1，y＝0，满足x2＞y2，但x＞y不成立，∴“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分不必要条件．故选：D．2．将√43⋅√2化成分数指数幂的形式是（）A．276B．2176C．213D．256解：√43⋅√2=413×212=(22)13×212=223+12=276．故选：A．3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则（）A．2∈A，2∉B B．3∈A，3∈B C．4∈A，4∉B D．5∉A，5∉B解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则2∈A，2∈B，故A错，3∉A∩B，故B错，4∈A∩B，则C错误，5∉A∩B，故D正确，故选：D．4．已知函数f（x）＝x2﹣4x+5在[m，n]上的值域是[1，10]，则n﹣m的最大值是（）A．3B．6C．4D．8解：f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，因为值域为[1，10]，所以要取到最小值1，必须取到对称轴，又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，令f（x）＝10，得x＝﹣1或x＝5，所以当n＝5，m＝﹣1时（n﹣m）max＝6．故选：B．5．函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，2]解：根据题意，对于f（x）＝log2（x2﹣4x+3），设t＝x2﹣4x+3，则y＝log2t，必有t＝x2﹣4x+3＞0，解可得t＞3或t＜1，即函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），在区间（﹣∞，1）上，t＝x2﹣4x+3为减函数，y＝log2t为增函数，则f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在区间（3，+∞）上，t＝x2﹣4x+3为增函数，y＝log2t为增函数，则f（x）在（3，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝log2（x2﹣4x+3）的单调递增区间是（3，+∞）．故选：C．6．已知数f(x)=a1−e x−2是奇函数，则实数a的值是（）A．1B．﹣2C．4D．﹣4解：因为f(x)=a1−e x−2是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即a1−e−x−2＝2−a1−e x，整理得，ae x﹣a＝4e x﹣4，即a＝4．故选：C．7．已知a＞b＞c＞d，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bd B．ae c＞be dC．e a•e c＞e b•e d D．aln（c﹣d）＞bln（c﹣d）解：对于选项A：不妨令a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，此时a＞b＞c＞d，但ac＝﹣4＜﹣3＝bd，故选项A错误；对于选项B：因为c＞d，所以e c＞e d，不妨令a＝﹣e d，b＝﹣e c，此时a＞b，但ae c＝﹣e c+d＝﹣be d，故选项B错误；对于选项C：由a＞b＞c＞d，所以e a＞e b＞e c＞e d＞0，则e a•e c＞e b•e d，选项C正确；对于选项D：若a＞b，不妨令c＝2，d＝1，此时c＞d，而aln（c﹣d）＝0＝bln（c﹣d），故选项D错误．故选：C．8．如图，在半径为1m的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（0＜α＜β＜π），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为（）cm．A ．125π B ．157π C ．154π D ．13π6解：（1）由已知得12π＜2α＜2β＜π，所以14π＜α＜β＜12π①，15α＝2k π，k ∈N *②．15β＝2n π，n ∈N * ③，且k ＜n ，结合①②③式得14π＜2k 15π＜2n 15π＜12π，k ，n ∈N *，且k ＜n ，解得k ＝2，n ＝3，解得α=415π，β=615π，它们从点A 出发后第二次相遇时，用的时间为t 秒，所以（α+β）t ＝2×2π，即(415π+615π)t =2×2π．解得t ＝6，则黑蚂蚁爬过的距离为l =615π×6×1=125π(cm)．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（） A ．y ＝x ﹣1B ．y ＝x |x |C ．y ＝x 3D ．y ＝x 2解：对于A ，y ＝x ﹣1不是奇函数，不符合题意，对于B ，y ＝x |x |={x 2，x ≥0−x 2，x ＜0既是奇函数，又是R 上的增函数，符合题意，对于C ，y ＝x 3是幂函数，既是奇函数，又是R 上的增函数，符合题意，对于D ，y ＝x 2，是二次函数，是偶函数，不符合题意，故选：BC ．10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则（） A ．√xy 的最大值为1B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．2x +1y 的最小值为32+√2解：正数x ，y 满足x +y ＝2，可得A 中，由基本不等式可得√xy ≤x+y2=1，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以可得√xy 的最大值为1，A 正确；B 中，因为x 2+y 2≥(x+y)22=2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x 2+y 2的最小值为2，所以B 不正确；C 中，因为2＝x +y ≥(√x+√y)22，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以√x +√y 的最大值为2，所以C 不正确；D 中，2x +1y =（2x +1y ）•12•（x +y ）=12（2+1+2y x +x y ）≥12（3+2√2y x ⋅x y ）=12（3+2√3）=√3+32，当且仅当2y x =xy，即x ＝4﹣2√2，y ＝2√2−2时取等号，所以D 正确．故选：AD ． 11．给定函数f(x)=2xx 2+1（） A ．f （x ）的图像关于原点对称 B ．f （x ）的值域是[﹣1，1] C ．f （x ）在区间[1，+∞）上是增函数 D ．f （x ）有三个零点解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f(x)=2x x 2+1，其定义域为R ，有f （﹣x ）=−2xx 2+1=−f （x ），则函数f （x ）为奇函数，其图形关于原点对称，A 正确；对于B ，f （x ）=2xx 2+1，由基本不等式x 2+1≥2|x |，则有|f （x ）|≤1，即f （x ）的值域是[﹣1，1]，B 正确；对于C ，f （1）＝1，f （2）=45，f （x ）在区间[1，+∞）上一定不是增函数，C 错误；对于D ，f （x ）=2xx 2+1=0，解可得x ＝0，函数f （x ）只有一个零点，D 错误；故选：AB ．12．设偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满足f （2）＝0，对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），x 1≠x 2，都有x 22n f(x 1)−x 12n f(x 2)x 2−x 1＜0(n ∈N)成立，则（）A ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，−12)∪(−12，0) B ．不等式f(2x+1)x ＞0的解集为(12，+∞)∪(−32，12)C ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D ．不等式f(x)x 2024＞0的解集为（﹣2，0）∪（0，2）解：当 n ＝0时，即f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，∴y ＝f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∵偶函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∴y ＝f （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，当x ＞0时，f(2x+1)x＞0，∴x ＞0时，有2x +1＞2，解得x ＞12，当x ＜0时，f(2x+1)x ＞0，得f （2x +1）＜0＝f （﹣2），∴0＞2x +1＞﹣2或0＜2x +1＜2，解得−32＜x ＜−12或−12＜x ＜0∴B 错误，A 正确；令g （x ）=f(x)x 2024，则g(x 1)−g(x 2)x 2−x 1=f(x 1)x 12024−f(x 2)x 22024x 1−x 2=x 22024f(x 1)−x 12024f(x 2)(x 1x 2)2024(x 1−x 2)＞0，∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∵f （﹣x ）＝f （x ）， ∴g （﹣x ）=f(−x)(−x)2024=f(x)x 2024=g （x ），即g （x ）为偶函数，g （2）＝0，由g （x ）=f(x)x 2024＞0可得|x |＞2，解得x ＞2或x ＜﹣2，C 正确，D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．计算：lg 52+23lg 8＝ 2 ．解：原式＝2lg 5+23×3lg 2＝2lg 5+2lg 2＝2（lg 5+lg 2）＝2，故答案为：2．14．已知函数f （x ），给出三个性质： ①f （x ）定义域为（﹣∞，+∞）； ②f （x ）是奇函数；③f （x ）在（0，+∞）上是减函数．写出一个同时满足性质①．性质②和性质③的函数解析式，f （x ）＝ ﹣x 3（答案不唯一）．解：令f （x ）＝﹣x 3，则f（x）定义域为（﹣∞，+∞），满足①；又f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，满足②；又f（x）＝﹣x3在（0，+∞）上是减函数，满足③，故答案为：﹣x3（答案不唯一）．15．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率﹣速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额﹣基本减除费用﹣专项扣除﹣专项附加扣除﹣依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年60000元，税率与速算扣除数见表：李华全年综合所得收入额为249600元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的综合所得个税是5712元．解：专项扣除总额为：249600×（8%+2%+1%+9%）＝49920元，应纳税所得额为：249600﹣60000﹣52800﹣4560﹣49920＝82320元，个税税额为：82320×10%﹣2520＝5712元，故答案为：5712．16．（3分）已知函数f(x)=x+16x−10，x∈(0，+∞)，则f（x）的零点之和为10；若方程|f（x）|＝m（m＞0）有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝20．解：由题意可知，令f（x）＝x+16x−10＝0，即x2﹣10x+16＝0，解得x＝2或x＝8，故函数在（0，+∞）内的零点为2和8，所以f （x ）的零点之和为10．方程|f （x ）|＝m （m ＞0）有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，即为y ＝|f （x ）|，x ∈（0，+∞）与y ＝m 的四个交点的横坐标，方程|f （x ）|＝m （m ＞0）即|x +16x−10|＝m ，x ∈（0，+∞），即|x 2﹣10x +16|＝mx ，当f （x ）≥0即x 2﹣10x +16≥0时，方程可转化为x 2﹣10x +16＝mx 即x 2﹣（10+m ）x +16＝0；当x 2﹣10x +16＜0 时，方程可转化为x 2﹣10x +16＝﹣mx 即x 2﹣（10﹣m ）x +16＝0；故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根，不妨设x 1，x 4为x 2﹣（10+m ）x +16＝0的两根，则x 1+x 4＝1＝10+m ，则x 2，x 3为x 2﹣（10﹣m ）x +16＝0的两根，则x 2+x 3＝10﹣m ，则x 1+x 2+x 3+x 4＝10+m +10﹣m ＝20；故答案为：10；20．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知tanα=13，求下列各式的值．（1）sinα−2cosα2sinα−cosα；（2）sin αcos α+2．解：tanα=13，（1）sinα−2cosα2sinα−cosα=tanα−22tanα−1=13−22×13−1=5；（2）sin αcos α+2=sinαcosαsin 2α+cos 2α+2=tanαtan 2α+1+2=13109+2=2310． 18．（12分）若集合A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}，B ＝{x |x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0}．（1）若m ＝0，写出A ∪B 的子集个数；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝0时，B ＝{1，﹣3}，∵A ＝{x |x 2+5x ﹣6＝0}＝{﹣6，1}，∴A ∪B ＝{﹣6，﹣3，1}，集合元素个数为3个，故A ∪B 的子集个数为23＝8．（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，Δ＝4（m +1）2﹣4（m 2﹣3）＝8m +16，当Δ＜0，即m ＜﹣2时，B ＝∅，符合题意，当Δ＝0，即m ＝﹣2时，B ＝{1}，符合题意，当Δ＞0，即m ＞﹣2时，若B ⊆A ，则B ＝{﹣6，1}，即{−2(m +1)=−5m 2−3=−6，方程组无解，综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．19．（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知f(x)=14−x 2．（1）研究并证明函数y ＝f （x ）的性质；（2）根据函数y ＝f （x ）的性质，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．解：（1）函数f （x ）的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）∪（2，+∞），函数的值域为（﹣∞，0）∪[14，+∞）函数f （x ）为偶函数，函数f （x ）在区间[0，2），（2，+∞）上上为增函数，在区间（﹣∞，﹣2），（﹣2，0]上为减函数，由方程f （x ）＝0无解，所以函数无零点；（2）由（1）中函数的性质，可得y ＝f （x ）的图象如图所示：20．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝f（x），则称f（x）为“局部偶函数”．（1）已知函数f（x）＝x3+x+1，试判断f（x）是否为“局部偶函数”，并说明理由；（2）若f（x）＝x[4x+（2m﹣1）•2x+3]为定义在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“局部偶函数”，求实数m的取值范围．解：（1）f（﹣x）＝﹣x3﹣x+1，令f（﹣x）＝f（x），得x3+x＝0，解得x＝0，∴存在x＝0满足f（﹣x）＝f（x），故f（x）是“局部偶函数”；（2）由f（﹣x）＝f（x），得4x+4﹣x+（2m﹣1）（2x+2﹣x）+6＝0，令t＝2x+2﹣x（t＞2），得t2+（2m﹣1）t+4＝0，则1−2m=t+4t在t∈（2，+∞）上有解，∴1﹣2m＞4，即m＜−3 2，故m的取值范围为(−∞，−32 )．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为（0，+∞），且对任意m，n∈R，都有f（m+n）＝f（m）f（n）．φ(x)=f(x)−1f(x)+1．（1）求f（0）的值，并证明φ（x）为奇函数．（2）若x＞0，f（x）＞1，且f（3）＝4，证明f（x）为R上的增函数，并解不等式φ(x)＞15 17．解：（1）令m＝n＝0，得f（0）＝f（0）f（0），又函数f（x）的值域为（0，+∞），∴f（0）＝1．证明：∵f（0）＝f（﹣x+x）＝f（﹣x）f（x），∴f(−x)=1f(x)，∴φ(−x)=f(−x)−1f(−x)+1=1f(x)−11f(x)+1=1−f(x)1+f(x)=−φ(x)，∴φ（x）为奇函数．（2）证明：任取x1＜x2，x1，x2∈R，f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（x2﹣x1+x1）＝f（x1）﹣f（x2﹣x1）f（x1）＝f（x1）[1﹣f（x2﹣x1）]．∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1，∴1﹣f（x2﹣x1）＜0．又函数f（x）的值域为（0，+∞），∴f（x1）[1﹣f（x2﹣x1）]＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）为R上的增函数．由φ(x)=1517，即f(x)−1f(x)+1＞1517，化简得f（x）＞16．∵f（3）＝4，∴16＝f（3）f（3）＝f（6），∴f（x）＞f（6）．又f（x）为R上的增函数，∴x＞6，故φ(x)＞1517的解集为{x|x＞6}．22．（12分）已知函数g(x)=sin2x−cosx+a，x∈(π2，π)有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：x1+x2＜3π2．解：（1）已知g（x）＝sin2x﹣cos x+a＝﹣cos2x﹣cos x+a+1，函数定义域为（π2，π），令g（x）＝0，可得cos2x+cos x＝a+1，不妨令t＝cos x，﹣1＜t＜0，所以−14≤cos2x+cos x＝t2+t＜0，当a+1≥0，即a≥﹣1时，方程t2+t＝a+1无解；当a+1＜−14，即a＜−54时，方程t2+t＝a+1无解；当a+1=−14，即a=−54时，方程t2+t＝a+1有且仅有一个解t=−12；当−14＜a+1＜0，即−54＜a＜﹣1时，方程t2+t＝a+1有两个解，分别为t1=−12+√a+54，t2=−12−√a+54，所以cos x=−12±√a+54各有一解，此时函数g（x）有两个零点，综上，要使函数g（x）有两个零点，此时实数a的取值范围为（−54，﹣1）；（2）证明：当f（x）有两个零点时，不妨令t1＝cos x1，t2＝cos x2，由（1）知t1，t2为t2+t＝a+1两解，则t1+t2＝﹣1，所以cos x1+cos x2＝﹣1，对等式两边同时平方得cos2x1+2cosx1cosx2+cos2x2=1，因为x1，x2∈(π2，π)，所以cos x1＜0，cos x2＜0，可得2cos x1cos x2＞0，所以cos2x1+cos2x2＜1，则cos2x1＜sin2x2=cos2(3π2−x2)，又π2＜x2＜π，所以π2＜3π2−x2＜π，此时cos(3π2−x2)＜0，所以cosx1＞cos(3π2−x2)，易知y＝cos x在(π2，π)上单调递减，则x1＜3π2−x2，故x1+x2＜3π2．。

2023-2024学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos840°＝（） A ．√32B ．12C ．−√32D ．−122．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝（） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U N ）∪MD ．（∁U M ）∩N3．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则f （x ）（）A ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增B ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减C ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增D ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减4．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则扇形的面积为（） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 25．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，记x =a+m b+m ，y =ab，则（） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x 与y 的大小与m 的取值有关6．“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是（） A ．m ≥32B ．m ≤32C ．m ≥ln 32D ．m ≤ln 327．将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1，再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2，最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3．若曲线C 3恰好是函数f （x ）的图象，则f （x ）在区间[0，π2]上的值域是（）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，2]C ．[1，2]D ．[﹣2，2]8．已知函数f(x)=log 2(12x −a)的定义域为[﹣2，0]，若存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则实数a 的取值范围是（） A ．[47，+∞)B ．[25，1)C ．[25，4)D ．[47，1)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若函数f （x ）＝a x +b （其中a ＞0且a ≠1）的图象过第一、三、四象限，则（） A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．﹣1＜b ＜0D ．b ＜﹣110．下列不等式中，正确的有（） A ．0.2﹣3＜0.3﹣3＜0.4﹣3B ．0.81.1＜0.80.9＜0.80.7C ．log 0.25＜log 0.24＜log 0.23D ．cos3π7＜cos 2π7＜cos π711．若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则称f （x ）具有性质M ．下列函数中，具有性质M 的有（） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝e x C ．f （x ）＝lnxD ．f(x)=−1x+212．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）+1（其中ω，φ均为常数，且ω＞0，|φ|＜π）恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f （x ）的最小正周期为π； ②函数f （x ）的图象经过点(0，32)；③函数f （x ）的图象关于点(5π12，1)对称； ④函数f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．则这3个条件的序号可以是（） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={(−x)12，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝．14．已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=−713，则tan α＝． 15．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，BC ＝40，若△ABC 的内接矩形的一边在BC 边上，则该内接矩形的面积的最大值为．16．设f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，若f （x ）+g （x ）＝2x ，则曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）计算：3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4；（2）已知3x ＝5y ＝15，计算1x +1y的值并证明xy ＞4．18．（12分）设集合A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }，集合I ＝（∁R A ）∩B ．（1）求I ；（2）当x ∈I 时，求函数f(x)=log 3x4x−1的值域． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ），且cosα=−√510m ．（1）求m 的值；（2）求sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)的值．20．（12分）已知函数f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ），其中x ∈R ，θ∈(−π2，π2)．（1）当θ=π4时，求f （x ）在区间[0，3]上的最值及取最值时x 的值；（2）若f （x ）的最小值为−34，求θ．21．（12分）已知结论：设函数f （x ）的定义域为R ，a ，b ∈R ，若f （a +x ）+f （a ﹣x ）＝2b 对x ∈R 恒成立，则f （x ）的图象关于点（a ，b ）中心对称，反之亦然．特别地，当a ＝b ＝0时，f （x ）的图象关于原点对称，此时f （x ）为奇函数．设函数g(x)=2e 2x +1．（1）判断g （x ）在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）计算g （x ）+g （﹣x ）的值，并根据结论写出函数g （x ）的图象的对称中心；（3）若不等式g(m −1x)+g(−4x)≥2对x ＞0恒成立，求实数m 的最大值．22．（12分）已知f(x)=ln(√x 2+1−x)+ax 2，g （x ）＝a （cos x +1），a ∈R ．（1）若f （x ）为奇函数，求a 的值，并解方程f(tanx)=−ln32；（2）解关于x 的不等式f(sinx)+f(cos(x +π2))≤g(x)．2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos840°＝（） A ．√32B ．12C ．−√32D ．−12解：cos840°＝cos （2×360°+180°﹣60°）＝﹣cos60°=−12．故选：D ．2．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝（） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U N ）∪MD ．（∁U M ）∩N解：因为M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝M ∩N ．故选：B ．3．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则f （x ）（）A ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增B ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减C ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增D ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减解：设幂函数为f （x ）＝x α，幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则2α=14，解得α＝﹣2，故f （x ）＝x ﹣2，所以f （x ）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减．故选：B ．4．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则扇形的面积为（） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 2解：令扇形的半径为r ，则2r +3r ＝5r ＝10，解得r ＝2cm ，所以扇形的面积S =12×3×22＝6．故选：D ．5．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，记x =a+m b+m ，y =ab，则（） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x 与y 的大小与m 的取值有关解：由a ＞0，b ＞0，m ＞0，且a ＜b ，可得x −y =a+m b+m −a b =m(b−a)b(b+m)＞0，所以x ＞y ，A 项符合题意．故选：A ．6．“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是（） A ．m ≥32B ．m ≤32C ．m ≥ln 32D ．m ≤ln 32解：f （x ）＝e x （e x ﹣3），f ′（x ）＝e x （e x ﹣3）+e x •e x ＝2e x （e x −32），令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 32，∴函数f （x ）在（﹣∞，ln 32）上单调递减，在（ln 32，+∞）上单调递增．∴“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是m ≥ln 32．故选：C ．7．将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1，再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2，最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3．若曲线C 3恰好是函数f （x ）的图象，则f （x ）在区间[0，π2]上的值域是（）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，2]C ．[1，2]D ．[﹣2，2]解：将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1：y ＝sin （x +π6）的图象；再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2：y ＝sin （2x +π6）的图象；最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3：y ＝2sin （2x +π6）的图象．由于曲线C 3恰好是函数f （x ）＝2sin （2x +π6）的图象．在区间[0，π2]上，2x +π6∈[π6，7π6]，sin （2x +π6）∈[−12，1]，2sin （2x +π6）∈[﹣1，2]．故f （x ）在区间[0，π2]上的值域是[﹣1，2]．故选：B ．8．已知函数f(x)=log 2(12x −a)的定义域为[﹣2，0]，若存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则实数a 的取值范围是（） A ．[47，+∞)B ．[25，1)C ．[25，4)D ．[47，1)解：令u （x ）=12x −a 在[﹣2，0]单调递减，所以u 的最小值为u （0）＝1﹣a ＞0，可得a ＜1，且u （x ）∈[1﹣a ，4﹣a ]，所以g （u ）＝log 2u 在[﹣2，0]单调递减，所以g （u ）∈[log 2（1﹣a ），log 2（4﹣a ）]，因为存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则f （x ）max ﹣f （x ）min ≥3，所以g （u ）max ﹣g （u ）min ＝log 2（4﹣a ）﹣log 2（1﹣a ）＝log 24−a 1−a ，由题意可得log 24−a 1−a ≥3，解得47≤a ＜1．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若函数f （x ）＝a x +b （其中a ＞0且a ≠1）的图象过第一、三、四象限，则（） A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．﹣1＜b ＜0D ．b ＜﹣1解：∵函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0+b ＜0，即a ＞1，b ＜﹣1．故选：BD ．10．下列不等式中，正确的有（） A ．0.2﹣3＜0.3﹣3＜0.4﹣3B ．0.81.1＜0.80.9＜0.80.7C ．log 0.25＜log 0.24＜log 0.23D ．cos3π7＜cos 2π7＜cos π7解：对于A ，幂函数y ＝x﹣3在（0，+∞）上单调递减，所以0.2﹣3＞0.3﹣3＞0.4﹣3，故A 错误；对于B ，指数函数y ＝0.8x 在（﹣∞，+∞）上单调递减，0.81.1＜0.80.9＜0.80.7，故B 正确；对于C ，对数函数y ＝log 0.2 x 在（0，+∞）上单调递减，log 0.25＜log 0.24＜log 0.23，故C 正确；对于D ，余弦函数y ＝cos x 在（0，π2）上单调递减，cos 3π7＜cos 2π7＜cos π7，故D 正确．故选：BCD ．11．若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则称f （x ）具有性质M ．下列函数中，具有性质M 的有（） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝e x C ．f （x ）＝lnxD ．f(x)=−1x+2解：根据题意，若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则函数的图象在（0，+∞）上为直线或向上凸， f （x ）＝e x 和f （x ）=−1x+2的图象不符合该特点，而f （x ）=√x 和f （x ）＝lnx 的图象符合该特点．故选：BC ．12．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）+1（其中ω，φ均为常数，且ω＞0，|φ|＜π）恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）的图象经过点(0，32 )；③函数f（x）的图象关于点(5π12，1)对称；④函数f（x）的图象关于直线x=−π6对称．则这3个条件的序号可以是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解：若满足①，则π=2πω，可得ω＝2，即函数的解析式为f（x）＝cos（2x+φ）+1，若满足②，则cosφ=12，|φ|＜π，可得φ=−π3或φ=π3，若①②正确时，则③代入可得cos（2×512π+π3）+1≠1，所以函数不关于（5π12，1）对称，或者cos（2×512π−π3）+1＝1，此时关于点(5π12，1)对称，④代入因为sin[2×（−π6）+π3]+1＝1，所以关于直线x=−π6对称，或者sin[2×（−π6）−π3]+1≠±1，所以不关于x=−π6对称，此时φ=−π3时，符合①②③；φ=π3时，符合①②④；②③④不能同时成立；若满足①③正确时，则cos（2×5π12+φ）+1＝1，|φ|＜π，可得φ=−π3，则②正确，④不正确，所以符合条件；若满足①④正确时，则2•（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，|φ|＜π，可得φ=π3，此时②正确，③不正确，符合条件；②③④不能同时成立；综上所述：①②③或①②④符合条件故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={(−x)12，x≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝ √2 ．解：函数f(x)={(−x)12，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝f （﹣2）=√2．故答案为：√2．14．已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=−713，则tan α＝ −512．解：∵sinα+cosα=−713， ∴两边平方，可得1+2cos αsin α=49169， ∴2cos αsin α=−120169， ∴（cos α﹣sin α）2=289169， ∵α为第二象限角， ∴cos α﹣sin α=−1713， ∴cos α=−1213，sin α=513， ∴tan α=sinαcosα=−512．故答案为：−512． 15．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，BC ＝40，若△ABC 的内接矩形的一边在BC 边上，则该内接矩形的面积的最大值为 150 ．解：设矩形与AB 、AC 分别交于点E 、F ，与B C 交于点G 、H ，且GH ＝x ，那么EG ＝FH ＝y ，根据题意，得y =3(40−x)8，矩形的面积为S ＝xy =3(40−x)x 8≤38×(x+40−x 2)2=150，当且仅当x ＝40﹣x ，即x ＝20时，S 取得最大值150．故答案为：150．16．设f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，若f （x ）+g （x ）＝2x ，则曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为 4047 ．解：因为f （x ）+g （x ）＝2x ①，所以f （﹣x ）+g （﹣x ）＝2﹣x ，又因为f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ），故﹣f （x ）+g （x ）＝2﹣x ②，由①②可知，f(x)=2x−2−x2，g(x)=2x +2−x2，y =f(x)g(x)=2x−2−x2x +2−x =4x −14x +1=1−24x +1为奇函数，图象关于原点对称，当x →+∞，y →1，且y ＜1，sin x 最大值为1，如图，曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为1011×2×2+3＝4047个．故答案为：4047．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）计算：3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4；（2）已知3x ＝5y ＝15，计算1x +1y的值并证明xy ＞4．解：（1）3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4＝2+823−14×（﹣2）4＝2+4﹣4＝2；（2）因为3x ＝5y ＝15，所以x ＝log 315，y ＝log 515， 1x+1y=log 153+log 155＝log 1515＝1，因为1=1x +1y，所以xy ＝x +y ，x ＞0，y ＞0，x ≠y ，所以xy ＝x +y ＞2√xy ，即xy ＞4，18．（12分）设集合A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }，集合I ＝（∁R A ）∩B ．（1）求I ；（2）当x ∈I 时，求函数f(x)=log 3x4x−1的值域．解：（1）因为A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}={x |x ＞3或0＜x ＜13}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }＝{x |0＜x ＜1}，所以∁R A ＝{x |13≤x ≤3或x ≤0}，故I ＝（∁R A ）∩B ＝{x |13≤x ＜1}；（2）当13≤x ＜1时，x 4x−1=14−1x∈[13，1），所以﹣1≤f （x ）＜0，故函数f （x ）的值域为[﹣1，0）．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ），且cosα=−√510m ．（1）求m 的值；（2）求sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)的值．解：（1）因为角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ），所以cosα=1√12+m2=−√510m ，即√1+m 2=−√510m ，且m ＜0，解得m ＝﹣2；（2）sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)=cosα⋅(−tanα)⋅(−cosα)cosα=cos αtan α＝sin α，因为P （1，﹣2），所以sin α=−2√1+4=−2√55，所以原式=−2√55． 20．（12分）已知函数f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ），其中x ∈R ，θ∈(−π2，π2)．（1）当θ=π4时，求f （x ）在区间[0，3]上的最值及取最值时x 的值；（2）若f （x ）的最小值为−34，求θ．解：（1）当θ=π4时，f(x)=(2x −2tan π4)(2x −tan π4)=(2x −2)(2x −1)，令2x ＝t ，t ∈[1，8]，则f （x ）＝g （t ）＝（t ﹣2）（t ﹣1）， g （t ）的图象对称轴为t =32，开口向上，∴当t =32即x =log 232，时，f （x ）取得最小值，最小值为−14；当t ＝8即x ＝3时，f （x ）取得最大值，最大值为42，∴f （x ）在区间[0，3]上的最小值为−14，此时x =log 232；最大值为42，此时x ＝3．（2）∵f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ）＝（2x ）2﹣（3tan θ）2x +2（tan θ）2=(2x−32tanθ)2−14(tanθ)2的最小值为−34，∴−14(tanθ)2=−34⇒tanθ=±√3，又−π2＜θ＜π2，∴θ=±π3．21．（12分）已知结论：设函数f（x）的定义域为R，a，b∈R，若f（a+x）+f（a﹣x）＝2b对x∈R恒成立，则f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，反之亦然．特别地，当a＝b＝0时，f（x）的图象关于原点对称，此时f（x）为奇函数．设函数g(x)=2e2x+1．（1）判断g（x）在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）计算g（x）+g（﹣x）的值，并根据结论写出函数g（x）的图象的对称中心；（3）若不等式g(m−1x)+g(−4x)≥2对x＞0恒成立，求实数m的最大值．解：（1）g（x）在R上单调递减，证明如下：任取x1＞x2，则e2x1+1＞e2x2+1＞0，所以21+e2x1＜21+e2x2，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在R上单调递减；（2）g（﹣x）+g（x）=21+e−2x+21+e2x=2⋅e2x1+e2x+21+e2x=2，所以g（x）的图象关于（0，1）对称；（3）令h（x）＝g（x）﹣1，则h（x）的图象关于（0，0）对称，即h（x）为奇函数且h（x）在R上单调递减，若g(m−1x)+g(−4x)≥2对x＞0恒成立，即h（m−1x）+h（﹣4x）≥0，即h（m−1x）≥﹣h（﹣4x）＝h（4x），所以m−1x≤4x，即m≤4x+1x在x＞0时恒成立，因为4x+1x≥2√4x⋅1x=4，当且仅当4x=1x，即x=12时取等号，所以m≤4，即m的最大值为4．22．（12分）已知f(x)=ln(√x2+1−x)+ax2，g（x）＝a（cos x+1），a∈R．（1）若f（x）为奇函数，求a的值，并解方程f(tanx)=−ln3 2；（2）解关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x)．解：（1）f(x)=ln(√x2+1−x)+ax2的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（﹣1）+f（1）＝ln（√2+1）+ln（√2−1）+2a＝ln1+2a＝0，解得a＝0，故f（x）=ln(√x2+1−x)，又y=√x2+1与y＝﹣x在[0，+∞）上均为增函数，故奇函数f（x）在[0，+∞）上均为增函数，所以f（x）在R上为增函数，又f(tanx)=−ln32=−ln√3=ln√33，所以tan x=√33，解得x＝kπ+π6（k∈Z）；（2）因为g（x）＝a（cos x+1），a∈R．y=ln(√x2+1−x)为奇函数，cos（x+π2）＝﹣sin x，所以关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x)．可转化为2a sin2x≤a（cos x+1），a∈R．即a（2﹣2cos2x﹣cos x﹣1）≤0⇔a（cos x+1）（2cos x﹣1）≥0，①当a＝0时，x∈R；②当a＜0时，x＝2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ（k∈Z）；③当a＞0时，x＝2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ（k∈Z）；综上，当a＝0时，原不等式的解集为R；当a＜0时，原不等式的解集为{x|＝2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ（k∈Z）}；当a＞0时，原不等式的解集为{x|＝2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ（k∈Z）}．。

高一上学期期末考试数学试卷-附含有答案

高一上学期期末考试数学试卷-附含有答案一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ={x|x ≤√3x}，B ＝{x |x 2+x ﹣6≥0}，则A ∩B ＝（） A ．∅B ．{x|√3≤x ≤3}C ．{x |2≤x ≤3}D ．{3}2．（5分）方程：x 3﹣3x +1＝0至少有一个实根的区间是（） A ．[√32，√3] B ．[√3，2] C ．[﹣1，0] D ．[√32，1] 3．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数f （x ）的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，若f （m ）＝﹣1，则m 的值是（） A ．﹣eB ．−1eC ．eD ．1e4．（5分）已知α∈（0，π），且3cos2α+7cos α＝0，则sin α的值为（） A ．√53B ．23C ．13D ．2√235．（5分）设a ＝log 54，则b =log 1513，c ＝0.5﹣0.2，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b6．（5分）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是△ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若∠ACB =2π3，AC ＝BC ＝1，则该月牙形的面积为（）A ．√34+π24B ．√34−π24C ．14+π24D ．3√34−π87．（5分）将log 30.81＝x 化成指数式可表示为（） A ．3x ＝0.81B ．x 0.81＝3C ．30.81＝xD ．0.813＝x8．（5分）已知函数f （x ）=16x ，记函数g （x ）＝f （x ）+x +1（2≤x ≤a ），其中实数a ＞2，若g （x ）的值域为[9，11]，则a 的取值范围是（） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[6，10]D ．[8，12]二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）下列函数既是奇函数又在区间（0，1）是减函数的是（）A ．y ＝x +1xB ．y ＝﹣x +1C ．y ＝x−13D ．y ＝|x |（多选）10．（5分）下列命题为真命题的是（） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若﹣3＜a ＜2，1＜b ＜4，则﹣7＜a ﹣b ＜1C ．若b ＜a ＜0，m ＜0，则m a＞m bD ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd（多选）11．（5分）下列叙述中正确的是（）A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2+bx +c ≥0”的充分条件是“b 2﹣4ac ≤0”B ．两个不等式a 2+b 2≥2ab 与“a+b 2≥√ab 成立的条件不同C ．命题∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＝0是假命题D ．函数y =√x 2+2+√x +2的最小值为2（多选）12．（5分）关于函数y ＝|sin （2x −π6）|，下列叙述正确的是（） A ．最小正周期为π2B ．直线x =π12是函数图象的一条对称轴C ．函数在[7π12，5π6]上单调递增D ．函数在[π2，π]上先递减，后递增三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）函数y ＝lg [（12）x ﹣1]的定义域是．14．（5分）如图，在单位圆中，P （1，0），M 、N 分别在单位圆的第一、二象限内运动，若S △PON =2√37，△MON 为等边三角形，则sin ∠POM ＝．15．（5分）若幂函数y ＝x a 的图像经过(3，√3)，则此函数的表达式为． 16．（5分）函数f （x ）＝3sin （ωx +π3）的最小正周期T ＝π，则ω＝．四．解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）计算：（1）（13）﹣2−(338)13+√(−2)44；（2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log √39．18．（12分）（1）已知sinα=−13，且α为第四象限角，求sin(α−π2)与tan α值；（2）已知tan α＝2，求cos αsin α的值． 19．（12分）设函数f(x)=2sin(2x +π3)，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数的对称轴、对称中心；（3）当x 取何值时，函数有最值；（4）求函数的单调区间；（5）判断函数在[π6，5π6]上的单调性；（6）求函数在[π6，5π6]上的值域；（7）求函数f （x ）＞1的解集． 20．（12分）讨论函数f(t)=5√t +√t在[25，910]上的单调性，并求函数的最大值和最小值． 21．（12分）小华同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程=12kx−180（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．（1）求发射器的最大射程；（2）请计算k在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a最大为多少？并请说明理由．22．（12分）设函数f（x）＝log a（1+12x），g（x）＝log a（1−12x）（a＞0且a≠1），若h（x）＝f（x）﹣g（x）．（1）求函数h（x）的定义域；（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；（3）求使h（x）＞0成立的x的集合．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．【解答】解：由题意可得，A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |x ≤﹣3或x ≥2} 则A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}．故选：C ．2．【解答】解：设方程：x 3﹣3x +1＝0，对应函数为f （x ）＝x 3﹣3x +1，则f ′（x ）＝3x 2﹣3 令f ′（x ）＝3x 2﹣3＝0，解得x ＝1或﹣1x ∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递减，x ∈（﹣1，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递增 A ．在[√32，√3]上，f （x ）先增后减，f （x ）min ＝f （1），则f （√32）＝（√32）3﹣3×√32+1＝1−9√38＜0，f （1）＝（1）3﹣3×1+1＝﹣1＜0，f （√3）＝（√3）3﹣3×√3+1＝1＞0，即方程x 3﹣3x +1＝0有一个实根，符合题意，故A 正确；B ．在[√3，2]上，f （x ）单调递减，则f （2）＝23﹣3×2+1＝3＞0，f （√3）＝（√3）3﹣3×√3+1＝1＞0，即方程x 3﹣3x +1＝0无实根，不符合题意，故B 错误；C ．在[﹣1，0]上，f （x ）单调递增，则f （﹣1）＝（﹣1）3﹣3×（﹣1）+1＝3＞0，f （0）＝03﹣3×0+1＝1＞0，即方程x 3﹣3x +1＝0无实根，不符合题意，故C 错误；D ．在[√32，1]上，f （x ）单调递增，则f （√32）＝（√32）3﹣3×√32+1＝1−9√38＜0，f （1）＝（1）3﹣3×1+1＝﹣1＜0，即方程x 3﹣3x +1＝0无实根，不符合题意，故D 错误；故选：A ．3．【解答】解：∵函数y ＝f （x ）的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称 ∴函数y ＝f （x ）与y ＝e x 互为反函数则f （x ）＝lnx 又∵f （m ）＝﹣1 ∴lnm ＝﹣1 m =1e故选：D ．4．【解答】解：由3cos2α+7cos α＝0得3（2cos 2α﹣1）+7cos α＝0，即6cos 2α+7cos α﹣3＝0 所以（2cos α+3）（3cos α﹣1）＝0，又α∈（0，π），则cos α∈（﹣1，1）所以cosα=13所以sinα=√1−cos 2α=2√23．故选：D ．5．【解答】解：∵b =log 1513=log 53，a ＝log 54＜log 55＝1∴b ＜a ＜1 ∵c ＝0.5﹣0.2＞0.50＝1∴b ＜a ＜c 故选：B ．6．【解答】解：由已知可得AB =√3，△ABC 的外接圆半径为1 由题意，内侧圆弧为△ABC 的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为2π3则弓形ABC 的面积为12×12×（2π3−sin2π3）=π3−√34外侧的圆弧以AB 为直径所以半圆AB 的面积为12×π×（√32）2=3π8 则月牙形的面积为3π8−（π3−√34）=√34+π24．故选：A ．7．【解答】解：把对数式log 30.81＝x 化成指数式为3x ＝0.81．故选：A ．8．【解答】解：因为f （x ）=16x所以g （x ）＝f （x ）+x +1=16x +x +1（2≤x ≤a ）根据对勾函数单调性可知g （x ）在[2，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增因为a ＞2当2＜a ≤4时，g （x ）在[2，a ]上单调递减且g （x ）的值域为[9，11] 则g （2）＝11，g （a ）＝a +1+16a=9 解得a ＝4当a ＞4时，g （x ）在[2，4]上单调递减，在[4，a ]上单调递增所以g （4）＝9为最小值，g （2）＝11 因为g （x ）的值域为[9，11] 所以g （a ）＝a +1+16a ≤11 解得2≤a ≤8 所以4＜a ≤8综上，a 的取值范围为[4，8]．故选：B ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1x，是奇函数且在区间（0，1）是减函数，符合题意；对于B ，y ＝﹣x +1，是一次函数，不是奇函数，不符合题意对于C ，y =x−13，是幂函数，是奇函数且在区间（0，1）是减函数，符合题意；对于D ，y ＝|x |，是偶函数，不符合题意故选：AC ．10．【解答】解：对于A ，当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，A 错误；对于B ，∵1＜b ＜4，∴﹣4＜﹣b ＜﹣1，又﹣3＜a ＜2，∴﹣7＜a ﹣b ＜1，B 正确；对于C ，∵b ＜a ＜0，∴1a＜1b ，又m ＜0，∴m a＞m b，C 正确；对于D ，∵a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，∴ac ＞bc ＞bd ，D 正确．故选：BCD ．11．【解答】解：对于A ，取a ＝b ＝0，c ＝﹣1，满足条件“b 2﹣4ac ≤0”，但不满足“ax 2+bx +c ≥0”，所以“b 2﹣4ac ≤0”不是“ax 2+bx +c ≥0”的充分条件，所以A 错；对于B ，不等式a 2+b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，不等式a+b 2≥√ab 成立的条件是a ，b ∈[0，+∞），所以B 对；对于C ，因为对任意x 0∈R ，有x 02+2x 0+2=(x 0+1)2+1＞0，所以C 对；对于D ，令u =√x 2+2，则u ≥√2＞1，因为函数y =u +1u，在[1，+∞）上单调增加，所以y =√x 2+2+1√x +2=u +1u ≥√2+1√2=3√22，所以D 错．故选：BC ．12．【解答】解：作出函数的图象，如图示：根据函数的性质可知，选项A ，B ，C 正确函数在[π2，π]上先递减，再递增，再递减，故选项D 错误；故选：ABC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．【解答】解：由题意，可知（12）x ﹣1＞0即（12）x ＞1解得x ＜0．故答案为：（﹣∞，0）．14．【解答】解：S △PON =12×1×1×sin∠PON =2√37，解得sin∠PON =4√37而点N 在第二象限则cos ∠PON =−1−(4√37)2=−17 ∵∠MON =π3∴sin∠POM =sin(∠PON −π3)=sin∠PON ×12−cos∠PON ×√32=5√314．故答案为：5√314． 15．【解答】解：幂函数y ＝x a 的图像经过(3，√3)，则√3=3a ，∴a =12 y =x 12=√x ．故答案为：y =√x ．16．【解答】解：函数f （x ）＝3sin （ωx +π3）的最小正周期T ＝π 故ω=2ππ=2．故答案为：2．四．解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）（13）﹣2−(338)13+√(−2)44＝9−32+2=192；（2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log √39＝（lg 2）2+lg 5•（1+lg 2）+4 ＝lg 2（lg 2+lg 5）+lg 5+4 ＝lg 2+lg 5+4＝5．18．【解答】解：（1）因为sinα=−13，且α为第四象限角所以cosα=√1−sin 2α=2√23可得sin(α−π2)=−cos α=−2√23，tanα=−√24．（2）因为tan α＝2 可得sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=25． 19．【解答】解：（1）对于函数f(x)=2sin(2x +π3)，x ∈R ，它的最小正周期为2π2=π．（2）令2x +π3=k π+π2，k ∈Z ，求得x =kπ2+π12，可得它的图象的对称轴为x =kπ2+π12，k ∈Z ；令2x +π3=k π，k ∈Z ，求得x =kπ2−π6，可得它的图象的对称中心为（kπ2−π6，0）k ∈Z ．（3）令2x +π3=2k π+π2，k ∈Z ，求得x ＝k π+π12，可得当x ＝k π+π12，k ∈Z 时，函数取得最大值为2；令2x +π3=2k π−π2，k ∈Z ，求得x ＝k π−5π12，可得当x ＝k π−5π12，k ∈Z 时，函数取得最小值为﹣2．（4）令2k π−π2≤2x +π3≤2k π+π2，k ∈Z ，求得k π−5π12≤x ≤k π+π12 可得函数的增区间为[k π−5π12，k π+π12]，k ∈Z ．令2k π+π2≤2x +π3≤2k π+3π2，k ∈Z ，求得k π+π12≤x ≤k π+7π12可得函数的减区间为[kπ+π12，kπ+7π12]，k∈Z．（5）在[π6，5π6]上，2x+π3∈[2π3，2π]故当2x+π3∈[2π3，3π2π]时，即x∈[π6，7π12]，函数f（x）单调递减；当2x+π3∈[3π2π，2π]时，即x∈[7π12，5π6]，函数f（x）单调递增故函数f（x）在[π6，5π6]上的减区间为[π6，7π12]，增区间为[7π12，5π6]．（6）在[π6，5π6]上，2x+π3∈[2π3，2π]，故当2x+π3=3π2时，函数f（x）取得最小值为﹣2；当2x+π3=2π3时，函数f（x）取得最大值为√3故函数的值域为[﹣2，√3]．（7）函数f（x）＞1，即sin（2x+π3）＞12，故有2kπ+π6＜2x+π3＜2kπ+5π6，k∈Z求得kπ−π12＜x＜kπ+π4，k∈Z故函数f（x）＞1的解集为（kπ−π12，kπ+π4），k∈Z．20．【解答】解：因为t∈[25，910]，令x=√t，则x∈[√25，√910]对于y=g(x)=5x+8x，g（x）在[√25，√910]上单调递减，证明如下：在[√25，√910]上任取x1，x2，且x1＜x2．则g(x2)−g(x1)=(5x2+8x2)−(5x1+8x1)=5(x2−x1)+8(x1−x2)x1x2=(x2−x1)(5x1x2−8x1x2)因为√25≤x1＜x2≤√910＜1＜√85，则x1x2＜85所以x2﹣x1＞0，5x1x2﹣8＜0，x1x2＞0．故g（x2）﹣g（x1）＜0，即g（x1）＞g（x2）所以g（x）在[√25，√910]上单调递减而x=√t在[25，910]上单调递增所以f(t)=5√t 8√t在[25，910]上单调递减所以f（x）在[25，910]的最大值为f(25)=5√25√25=5√10第11页（共11页）最小值为f(910)=5√910√910=25√106． 21．【解答】解：（1）由12kx −180（1+k 2）x 2＝0得：x =40k1+k2或x ＝0，…（2分）由x =40k+1k ≤20，当且仅当k ＝1时取等号．因此，最大射程为20米； …（5分）（2）网球发过球网，满足x ＝8时y ＞1．所以4k −45（1+k 2）＞1，即4k 2﹣20k +9＜0，因此12＜k ＜92…（8分）依题意：关于k 的方程12ka −180（1+k 2）a 2＝2.55在（12，92）上有实数解即a 2k 2﹣40ak +a 2+204＝0（a ≠0）…9分Δ＝1600a 2﹣4a 2（a 2+204）≥0得a ≤14，…（11分）此时k =107，球过网了，所以击球点的横坐标 a 最大为14 …（12分） 22．【解答】解：（1）根据题意，由h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝log a （1+12x ）﹣log a （1−12x ）则有1+12x ＞0且1−12x ＞0，解可得﹣2＜x ＜2所以函数定义域为（﹣2，2）（2）根据题意，对任意的x ∈（﹣2，2），﹣x ∈（﹣2，2）ℎ(−x)=f(−x)−g(−x)=log a (1−12)x −log a (1+12)x =g （x ）﹣f （x ）＝﹣h （x ）所以h （x ）为奇函数（3）h （x ）＞0，即f(x)＞g(x)⇔{a ＞11+12x ＞1−12x ＞0或{0＜a ＜10＜1+12x ＜1−12x 则a ＞1时，有0＜x ＜2，0＜a ＜1时，﹣2＜x ＜0则a ＞1时，x ∈{x |0＜x ＜2}，0＜a ＜1时，x ∈{x |﹣2＜x ＜0}。

(完整版)高一数学上学期期末考试试题(含答案),推荐文档

I的方程；
(2)若I的倾斜角为,li与圆C相交于P Q两点，求线段PQ勺中点M的坐标;
14
(3)若I与圆C相交于P Q两点，求三角形CPQ勺面积的最大值，并求此时li的
i
直线方程.
19(本题14分)已知圆M:2(2丫1
x y，定点A4,2在直线x 2y0上，点P在
厂
线段0/上，过P点作圆M的切线PT,切点为T.⑴若MP5,求直线PT的方程；
01pA={01的所有集合A的个数是
:若点P(34,Q(ab关于直线x- y-W0对称，则2a- b的值是
[•解答题
15(1)解方程:lg(x+1)+lg(x-2)=lg4)解不等式
16(本小题12分)二次函数f(x满足f(灶1)- f(x)= 2x且f(0)=1.
⑴求f(x的解析式；
⑵当x [—11]时，不等式：f(x)2x m恒成立，求实数m的范围.
⑵经过P,M ,T三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L.
2y2
20.已知OG:x(5)5,点A(1-3)
(I)求过点A与OG相切的直线I的方程；
(n)设OG为OG关于直线I对称的圆，则在x轴上是否存在点P使得P到两圆的切线长之比为2?荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试
说明理由.
高一上学期期末考试
亠、填空题
1集合A 4-10}, B {0,1}, C {1,2}=则(A B) C=___.
2.函数f(x)log(21)
1X的定义域为厂
2-\-~
3•过点(1,0)且倾斜角是直线x 3y1 0的倾斜角的两倍的直线方程
是.
4球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是
占函数y=x
+x(-K x<3 )的值域是」

(完整word版)高一数学第一学期期末试卷(附答案)

绝密★启用前高一第一学期期末复习一.选择题：本大题共12个小题.每小题4分;共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}5,3,2,3,2==B A ，则集合B A Y =A. {}2B. {}3,2C. {}5,3,2D.{}5,3,2,3,2 2．点(21)P -，到直线4310x y -+=的距离等于 A.45 B.107 C.2 D.1253．下列命题中正确的是①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行. A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 4. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，①DA 1与BC 1平行；②DD 1与BC 1垂直；③A 1B 1与BC 1垂直．以上三个命题中，正确命题的序号是A.①②B.②③C.③D.①②③5．已知奇函数()f x ，当0x >时1()f x x x=+，则(1)f -= A.1 B.2 C.-1 D.-2 6．下列函数中，在区间)2,0(上是增函数的是A.542+-=x x y B.x y =C.2x y -=D.12log y x =7.函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时()1f x x =-+，则当0x <时，()f x 的表达式为A ．()1f x x =+B ．()1f x x =-C ．()1f x x =-+D ．()1f x x =-- 8．已知过点A (2,)m -、B (,4)m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 A. 0 B. -8 C. 2 D. 10A 1D 1BACDC 1B 1第4题图9．两圆0122=-+y x 和042422=-+-+y x y x 的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离10．函数()312f x ax a =+-，在区间(1,1)-上存在一个零点，则a 的取值范围是 A ．115a -<<B ．15a >C ．15a >或1a <- D ．1a <- 11．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D.12π12．已知圆22450x y x +--=,则过点()1,2P 的最短弦所在直线l 的方程是 A.3270x y +-= B.240x y +-= C.230x y --= D.230x y -+=二．填空题：本大题共4个小题.每小题4分;共16分．将答案填在题中横线上．13．已知集合A={}6≤x x ，B={}3x x >，则A B I = ． 14．在空间直角坐标系中xyz o -,点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影，则OB 等于 .15．等边三角形的边长为2，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体第11题图积是．16．圆心是点(1,2)-，且与直线210x y +-=相切的圆的方程是 . 三．解答题：本大题共6个小题.共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分8分）已知点()()4,2,6,4-B A ，求：（1）直线A B 的方程；（2）以线段AB 为直径的圆的方程.18．（本小题满分8分）已知函数2()2f x x x =--．求：（1）()f x 的值域；（2）()f x 的零点；（3）()0f x <时x 的取值范围．19．（本小题满分10分）如图，已知正四棱锥P-ABCD 的底边长为6、侧棱长为5. 求正四棱锥P-ABCD 的体积和侧面积．PACDB第19题图20．（本小题满分10分）计算下列各式：（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+；（2）74log 2327log lg 25lg 47+++.21．（本小题满分10分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，5=AB ，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1//平面CDB 1；得分评卷人得分评卷人第21题图22．（本小题满分12分）已知函数()(0,)x xe af x a a R a e =+>∈是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）证明函数()f x 在[0,)+∞上是增函数．高一数学试题（B ）参考答案及评分标准一．选择题：1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 11．D 12．D 二．填空题:13．{}36x x <≤ 14．13 15．2π 16．221(1)(2)5x y -++=三．解答题: ⒘ 解:（1）设直线上的点的坐标为()y x , ………………………………1分则有)4(42646----=-x y ………………………………3分化简得0143=+-y x ……………………………4分（2）由()()102644222=-+--=AB ……………………………5分所以圆的半径10=r … …………………………6分圆心坐标为()5,1264,242=⎪⎭⎫⎝⎛++- ……………………………7分所以圆的方程为()()105122=-+-y x 或()210 …………………8分⒙解：（1）22199()2()244f x x x x =--=--≥-或min ()f x =241219414⨯⨯---=-⨯（）（），得函数()f x 的值域∞9[-,+)4．…………………………………………………3分（2）令220x x --=，得函数()f x 的零点-1，2 ……………………………6分（3）由图得()0f x <时x 的取值范围是12-（，………8分 ⒚．解：设底面ABCD 的中心为O ，边BC 中点为E ，连接PO ，PE ，OE ……………………1分在Rt PEB ∆中，PB=5，BE=3，则斜高PE=4 ………………2分在Rt POE ∆中，PE=4，OE=3，则高4分所以211633ABCD V S PO =⋅⋅=⨯= ………………………………6分 114644822S c PE =⋅⋅=⨯⨯⨯=侧面积 ………………………8分⒛（1）原式232223827149--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛ …………………………1分 2132232333()1()()222-⨯⨯-=--+ …………………………2分223331()()222--=--+ 12= …………………………………………………………4分（2）原式3433log lg(254)23=+⨯+ …………………………6分 =210lg 3log 2413++- …………………………………………………7分1152244=-++= ……………………………………………8分 CD B第19题图 APE O21．证明：（1）底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴ AC ⊥BC ， …………………………2分又 AC ⊥1C C ，∴ AC ⊥平面BCC 11B ；………4分 ∴ AC ⊥BC 1 …………5分（2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ， ∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1 …………………………………………7分∵ DE ⊂平面CDB 1 ………………………………………………………………8分AC 1⊄平面CDB 1………………………………………………………………9分 ∴ AC 1//平面CDB 1 ………………………………………………………………10分22．解：（1）Q ()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，即x x x xe a e a a e a e --+=+，…2分整理得11)()0xx a e ae --=（，得10a a-=，又0a >，1a ∴=．…………5分（2）由（1）得1()xx f x e e=+．设120x x ≤<，∴12121211()()))x x x x f x f x e e e e-=+-+（（=121212)(1)x x x x x x e e e e ++--（；…………8分 120x x ≤<Q ，120x x ∴+>，12120,1x x x x e e e +∴-<>，121212)(1)0x x x x x x e e e e++--∴<（，即12()()0f x f x -<， ∴12()()f x f x <；…………………………………………………………………11分所以函数()f x 在[0,)+∞上是增函数． …………………………………………12分第21题图。

高一上学期期末考试数学试卷含答案(共3套,word版)

高一年级第一学期期末考试试题数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．若A （-2，3），B （3，-2），C （12，m ）三点共线，则m 的值是（） A. 12-B. 12C. 2-D. 22．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（） A．324R B．38R C．324R D．38R 3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+ B ．12+ C ．22+ D ．1+4．如图，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．AC ⊥平面ABB 1A 1 B ．CC 1与B 1E 是异面直线 C ．A 1C 1∥B 1ED ．AE ⊥BB 15．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则下列命题正确的是( )A ．若m ⊥β，则α⊥β；B ．若α⊥β，则m ⊥n ；C ．若m ∥β，则α∥β；D ．若α∥β，则m ∥n . 6．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限11C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限7．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 38．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A ．12B ．1C ．22D ． 29．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A —CD —B 的余弦值为（）A ．12B ．13C ．3D ．310．如图，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 的取值范围是（）A ．[- B ．[- C ． D ．12．已知正三棱锥P —ABC （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A 的截面与棱PB ，PC 分别交于点D 和点E ，则截面△ADE 周长的最小值是（）A ．B ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 14．经过点(3,1)P ，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______________________．15．等腰直角△ABC 中，AB =BC =1，M 为AC 的中点，沿BM 把△ABC 折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C —BM —A 的大小为_____________．16．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围是________________．三、解答题（本大题共6 小题，共70分） 17. （本小题满分10分）求满足以下条件的m 值． (1)已知直线2mx ＋y +6＝0与直线 (m －3)x -y +7=0平行；(2)已知直线mx ＋(1－m )y ＝3与直线(m －1)x ＋(2m ＋3)y ＝2互相垂直.18. （本小题满分12分）如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2. (1)求圆C 的标准方程；(2)求圆C 在点B 处的切线方程．19．（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，CD =1，∠BCD =60°，BD ⊥CD ，正方形ADEF ，且面ADEF ⊥面ABCD ．（1）求证：BD ⊥平面ECD ；（2）求D 点到面CEB 的距离．20．（本小题满分12分）已知△ABC 的顶点B （-1，-3），边AB 上的高CE 所在直线的方程为4370x y +-=，BC 边上中线AD 所在的直线方程为330x y --=． (1) 求直线AB 的方程； (2) 求点C 的坐标．21.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．（1）证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；（2）若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F AEC 的体积．22.（本小题满分12分）如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点． (1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ；(2)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．1A答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,）13.4:9 14.或（只写对一个方程不给分）15.16．三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17. （10分）也可用m(m－1)＋(1－m)(2m＋3)＝0，即m2＋2m－3＝0，解得m＝1，或m＝－3.………10分18．（12分解：(1)过点C作CM⊥AB于M，连接AC，则|CM|＝|OT|＝1，|AM|＝|AB|＝1，所以圆的半径r＝|AC|＝＝，从而圆心C(1，)，即圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2…………6分(2)令x＝0得，y＝±1，则B(0，＋1)，所以直线BC的斜率为k＝＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C在点B处的切线的斜率为1，则圆C在点B处的切线方程为y－(＋1)＝1×(x－0)，即y＝x＋＋1………….12分19．（12分）解:（1）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD．又∵BD⊥CD，ED∩CD=D，∴BD⊥平面ECD．…………..4分（2）∵CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，又∵正方形ADEF，∴CB=2，CE=，，∴，∴，Rt△BCD的面积等于S△BCD=1=，由得（I）ED⊥平面ABCD，∴点E到平面BCD的距离为ED=2，设点D到到面CEB的距离为h，∴=，∴h=，即点D到到面CEB的距离为………………12分20.（12分）解：（1）∵,且直线的斜率为，∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即．………………6分（2）设，则，∴，解得，∴．………………12分21.（12分）解：（1）证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.又，因此AE⊥平面B1BCC1.……3分而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.……5分（2）设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.又三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.又，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．……8分由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝AB＝.在Rt△AA1D中，AA1＝＝＝，所以FC＝AA1＝.……10分故三棱锥F AEC的体积V＝S△AEC·FC＝××＝.……12分22.（12分）解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA………..4分(2)解：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，.取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，因此∠A1B1N＝30°.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°……………12分2018--2019学年度第一学期期末考试高中一年数学科试卷完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的） 1、若角终边经过点，则（）A.B.C. D.2、函数的一条对称轴是（） A.B.C.D.3、已知集合}1{>=x x A ，11{|()}24x B x =>，则A B ⋂=（） A ．R B ．),1(+∞ C ．)2,(-∞ D ．)2,1( 4、( ) A.B.C.D.5、已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,2cos )(x x f x x x f π，则=)2(f （） A ． 1- B ．1 C ． 3- D ． 36、已知，则()()3sin 2cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭等于（）A. 23—B. C. D. 7、若向量，，则在方向上的投影为（）A. -2B. 2C.D.8、若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+，则(2)f =（）A.0B.1C.83D.4 9、若向量，i 为互相垂直的单位向量，—j 2=j m +=且与的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1210、已知函数2(43)3,0,()log (1)1,0,a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A. 13[,]34 B.1334⎛⎤ ⎥⎝⎦， C. 103⎛⎤ ⎥⎝⎦， D.30,4⎛⎫⎪⎝⎭11、已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A. （0，]B. （0，2]C. [，]D. [，]12、将函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x 2cos 4x f π和直线()1x x g —=的所有交点从左到右依次记为，若P 点坐标为()30，=++A P 2....（） A. 0 B. 2 C. 6 D. 10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13、已知角θ的终边经过点(39,2)a a -+，且θsin >0，θcos <0则a 的取值范围是 14、已知函数3()2,(0,1)x f x a a a -=+>≠且，那么其图象经过的定点坐标是15、已知2cos ,63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 16、已知关于的方程0a cos 3sin =+θθ—在区间()π，0上有两个不相等的实数根，则=+2cosβα__________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，写明过程或演算步骤) 17、（本题满分10 分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （）（1）求证：；(2) ，求实数m 的值.18、（本题满分12 分）已知是的三个内角，向量，，且. (1) 求角；(2)若，求． 19、（本题满分12 分）已知函数()log (2)log (3),a a f x x x =++-其中01a <<. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值20、（本题满分12 分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0,0,0A ωϕπ>><<，函数()f x 图像上相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且在3x π=处取到最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将向左平移6π个单位，得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调递增区间。

2023-2024学年安徽省马鞍山市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（） A ．{0，1，2，3}B ．{1，2，3）C ．{x |﹣1≤x ≤4）D ．{x |0≤x ≤3}2．已知函数f(x)={x +1，x ≤1x −2，x ＞1，则f （f （2））＝（）A ．15B ．﹣3C ．54D ．1093．下列直线中，与函数y =tan(2x −π4)的图象不相交的是（）A ．x =π2B ．y =π2C ．x =3π8D ．y =3π84．已知a =0.30.3，b =log 0.33，c =30.3，则（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a5．函数f(x)=x 3−log 12x −2的零点属于区间（） A ．(0，13)B ．(13，12)C ．(12，1)D ．（1，2）6．已知sinθ+cosθ=15(0＜θ＜π)，则cos2θ＝（）A ．±2425B ．−2425C ．±725D ．−7257．已知0＜a ＜1，则在同一坐标系中，函数y ＝a ﹣x与y ＝log a x 的图象是（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数f （x ）＝sin|x |+|sin x |，下列结论正确的是（） A ．f （x ）是奇函数B ．f （x ）在区间(−π，−π2)上单调递减C ．f （x ）在区间[﹣π，π]上有3个零点D ．f （x ）的最小值为﹣1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题是真命题的是（）A ．命题“∀x ＞0，lnx ≤x ﹣1”的否定是“∃x ＞0，lnx ≥x ﹣1”B ．∀x ∈R ，x 2+x +1＞0C ．“a ＞1”是“f(x)=x +ax在（1，+∞）上单调递增”的充要条件D ．若a ＞0＞b ，则ab ＜a 210．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列结论中一定成立的是（） A ．cos （A +B ）＝﹣cos C B ．tan （B +C ）＝tan AC ．cosA+C2=sinB D ．sinB+C 2=cos A211．若m ，n 均为正数，且满足m +2n ＝2，则（） A ．mn 的最大值为12B ．1m +1n 的最小值为3+2√2C ．2m +4n 的最小值为4D ．2m +mn的最小值为1+2√212．已知实数x ＞0，y ＞0，满足log 2x −log 2y ＜(12)x −(12)y ，则（）A ．1x ＜1yB ．x 2＜y 2C ．lg （y ﹣x +1）＞0D ．2x ﹣y ＜1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．已知log 0.8a ＞1，则实数a 的取值范围为． 14．已知幂函数y =(m 2−2m −2)x m2−m−3在（0，+∞）单调递增，则实数m ＝．15．写出函数f （x ）＝2sin πx 的一条对称轴方程．16．把一条线段分割为两部分，使较长部分的长度与全长的比值等于较短与较长部分的长度的比值，这个比值称为黄金分割比（简称黄金比）．黄金比在建筑、艺术和科学等领域中都有广泛应用．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它满足较短边与较长边的长度之比等于黄金比．由上述信息可求得sin18°＝．四、解答题，本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内.17．（10分）计算下列各式的值：（1）2log 33+(e −π)0+(1258)13；（2）sin 8π3+tan(−5π4)+cos 7π6．18．（12分）已知A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}，B ＝{x |m ≤x ≤m +2}．（1）若m ＝0，求（∁R A ）∪B ；（2）若x ∈B 是x ∈A 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．（12分）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x 米、长为y 米的长方形展牌，其中y ＞x ，其面积为3（x ﹣y +15）平方米．（1）求y 关于x 的函数解析式，并求出x 的取值范围；（2）如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？并求出周长的最小值． 20．（12分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)．（1）若g(x)=f(π6−x)，求函数g （x ）的单调递增区间；（2）当x ∈[−π4，0]时，函数y ＝2af （x ）+b 的最大值为1，最小值为﹣3，求实数a ，b 的值．21．（12分）已知函数f(x)=2024x−a2024x+1为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）若f （m +5）+f （3m ﹣m 2）＞0，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知f(x)=2sinxsin(x +π3)+a ，且f(π6)=1，（1）求a 的值及f （x ）的最小正周期；（2）将f （x ）的图象向左平移π6个单位长度，再向下平移12个单位长度，得到g （x ）的图象．若关于x的方程g （x ）﹣m ＝0在x ∈[0，π2]有两个不同的根，求实数m 的取值范围．2023-2024学年安徽省马鞍山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（） A ．{0，1，2，3}B ．{1，2，3）C ．{x |﹣1≤x ≤4）D ．{x |0≤x ≤3}解：集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝{0，1，2，3}．故选：A ．2．已知函数f(x)={x +1，x ≤1x −2，x ＞1，则f （f （2））＝（）A ．15B ．﹣3C ．54D ．109解：∵函数f(x)={x +1，x ≤1x −2，x ＞1，∴f （2）＝2﹣2=14，∴f （f （2））＝f （14）=14+1=54．故选：C ．3．下列直线中，与函数y =tan(2x −π4)的图象不相交的是（）A ．x =π2B ．y =π2C ．x =3π8D ．y =3π8解：由题意，令2x −π4=k π+π2，解得x =kπ2+3π8，k ∈Z ；当k ＝0时，x =3π8，所以直线x =3π8与函数y =tan(2x −π4)的图象不相交．故选：C ．4．已知a =0.30.3，b =log 0.33，c =30.3，则（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为y ＝x 0.3在（0，+∞）上单调递增，所以0＜0.30.3＜30.3，又b ＝log 0.33＜0，所以b ＜a ＜c ．故选：B ．5．函数f(x)=x 3−log 12x −2的零点属于区间（）A ．(0，13)B ．(13，12)C ．(12，1)D ．（1，2）解：∵y ＝x 3，y =−log 12x 都是（0，+∞）上的增函数，且f （1）=13−log 121−2=−1＜0，f（2）=23−log122−2=7＞0，∴函数f(x)=x3−log12x−2的零点属于区间（1，2）．故选：D．6．已知sinθ+cosθ=15(0＜θ＜π)，则cos2θ＝（）A．±2425B．−2425C．±725D．−725解：因为sinθ+cosθ=15(0＜θ＜π)，两边同时平方得，sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ=125，即sinθcosθ=−2425＜0，因为0＜θ＜π，sinθ＞0，cosθ＜0，所以sinθ=45，cosθ=−35，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×925−1=−725．故选：D．7．已知0＜a＜1，则在同一坐标系中，函数y＝a﹣x与y＝log a x的图象是（）A．B．C．D．解：当0＜a＜1时，y＝a﹣x为增函数，y＝log a x为减函数，此时C图象符合要求．故选：C．8．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在区间(−π，−π2)上单调递减C．f（x）在区间[﹣π，π]上有3个零点D．f（x）的最小值为﹣1解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）＝sin|x |+|sin x |，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝f （x ），故函数为偶函数；故A 错误；对于B ，在区间(−π，−π2)上，f （x ）＝﹣sin x ﹣sin x ＝﹣2sin x ，f （x ）在区间(−π，−π2)上单调递增，B错误；对于C ，当x ＝0时，f （0）＝0，f （π）＝0，f （x ）为偶函数，所以f （﹣π）＝0，故函数f （x ）在区间[﹣π，π]上有3个零点，故C 正确；对于D ，对于C ，当x ＞0时，f （x ）＝sin x +|sin x |，此时f （x ）={2sinx ，x ∈(2kπ，2kπ+π)0，[2kπ+π，2kπ+2π]，k ∈N ，所以当x ≥0时，f （x ）≥0，根据函数是偶函数，f （x ）≥0恒成立，即函数的最小值是0，故D 错误．故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题是真命题的是（）A ．命题“∀x ＞0，lnx ≤x ﹣1”的否定是“∃x ＞0，lnx ≥x ﹣1”B ．∀x ∈R ，x 2+x +1＞0C ．“a ＞1”是“f(x)=x +ax在（1，+∞）上单调递增”的充要条件D ．若a ＞0＞b ，则ab ＜a 2解：命题“∀x ＞0，lnx ≤x ﹣1”的否定是“∃x ＞0，lnx ＜x ﹣1”，故A 错误； x 2+x +1=(x +12)2+34＞0，故∀x ∈R ，x 2+x +1＞0，故B 正确；当a ＜0，则f （x ）＝x +ax在（1，+∞）上单调递增，故C 错误；a ＞0＞b ，则ab ＜0，a 2＞0，故ab ＜a 2；故D 正确．故选：BD ．10．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列结论中一定成立的是（） A ．cos （A +B ）＝﹣cos C B ．tan （B +C ）＝tan AC ．cosA+C2=sinB D ．sinB+C 2=cos A2解：因为A +B +C ＝π，A ：cos （A +B ）＝cos （π﹣C ）＝﹣cos C ，选项A 正确； B ：tan （B +C ）＝tan[π﹣（A +B ）]＝﹣tan A ，选项B 错误； C ：cos A+C 2=cos （π2−B 2）＝sin B2，选项C 错误；D ：sinB+C 2=sin （π2−A 2）＝cos A2，选项D 正确．故选：AD ．11．若m ，n 均为正数，且满足m +2n ＝2，则（） A ．mn 的最大值为12B ．1m +1n 的最小值为3+2√2C ．2m +4n 的最小值为4D ．2m +mn的最小值为1+2√2解：因为m ，n 均为正数，且满足2＝m +2n ≥2√2mn ，当且仅当m ＝2n ，即m ＝1，n =12时取等号，所以mn ≤12，A 正确；1m+1n=m+2n 2m+m+2n 2n=32+n m+m 2n≥32+2√nm ⋅m2n=32+√2，当且仅当m =√2n ，即n ＝2−√2，m ＝2√2−2时取等号，B 错误；因为2m +4n ≥2√2m ⋅4n =2√2m+2n =4，当且仅当m ＝2n ，即m ＝1，n =12时取等号，C 正确；2m+m n=m+2n m+m n= 1+2n m +m n ≥1+2√2n m ⋅mn= 1+2√2，当且仅当m =√2n ，即n ＝2−√2，m ＝2√2−2时取等号，D 正确．故选：ACD ．12．已知实数x ＞0，y ＞0，满足log 2x −log 2y ＜(12)x −(12)y ，则（）A ．1x ＜1yB ．x 2＜y 2C ．lg （y ﹣x +1）＞0D ．2x ﹣y ＜1解：令f （x ）＝log 2x ﹣（12）x ，则x ＞0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增，由log 2x −log 2y ＜(12)x −(12)y 可得log 2x ﹣（12）x ＜log 2y ﹣（12）y ，所以f （x ）＜f （y ），所以0＜x ＜y ，故1x ＞1y，x 2＜y 2，A 错误，B 正确；因为y ﹣x +1＞1，所以lg （y ﹣x +1）＞0，C 正确；因为x ﹣y ＜0，所以2x ﹣y ＜1，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．已知log 0.8a ＞1，则实数a 的取值范围为（0，0.8）．解：因为log 0.8a ＞1＝log 0.80.8，所以0＜a ＜0.8．故答案为：（0，0.8）．14．已知幂函数y =(m 2−2m −2)x m2−m−3在（0，+∞）单调递增，则实数m ＝ 3 ．解：幂函数y =(m 2−2m −2)x m 2−m−3在（0，+∞）单调递增，则{m 2−2m −2=1m 2−m −3＞0，解得m ＝3．故答案为：3．15．写出函数f （x ）＝2sin πx 的一条对称轴方程： x =12，（答案不唯一）．解：令πx ＝k π+π2，k ∈Z ，则x ＝k +12，k ∈Z ．故答案为：x =12，（答案不唯一）．16．把一条线段分割为两部分，使较长部分的长度与全长的比值等于较短与较长部分的长度的比值，这个比值称为黄金分割比（简称黄金比）．黄金比在建筑、艺术和科学等领域中都有广泛应用．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它满足较短边与较长边的长度之比等于黄金比．由上述信息可求得sin18°＝√5−14．解：由题意，设△ABC 为A ＝36°的黄金三角形，则有b ＝c ，根据黄金三角形的性质可得ab =√5−12，所以cos36°=b 2+c 2−a 22bc =√5+14，因为sin 218°=12（1﹣cos36°）=3−√58=(√5−1)216，则sin18°=√5−14．故答案为：√5−14．四、解答题，本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内.17．（10分）计算下列各式的值：（1）2log 33+(e −π)0+(1258)13；（2）sin 8π3+tan(−5π4)+cos 7π6．解：（1）原式＝2+1+(52)3×13=2+1+52=112；（2）原式＝sin （3π−π3）+tan （﹣π−π4）+cos （π+π6）＝sin π3−tan π4−cos π6=√32−1−√32=−1．18．（12分）已知A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}，B ＝{x |m ≤x ≤m +2}．（1）若m ＝0，求（∁R A ）∪B ；（2）若x ∈B 是x ∈A 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}＝{x |1≤x ≤4}，当m ＝0时，B ＝{x |m ≤x ≤m +2}＝{x |0≤x ≤2}，所以∁R A ＝{x |x ＞4或x ＜1}，（∁R A ）∪B ＝{x |x ≤2或x ＞4}；（2）若x ∈B 是x ∈A 的充分不必要条件，则B ⫋A ，所以{m ≥1m +2≤4（两等号不能同时取得），解得，1≤m ≤2，故实数m 的取值范围为[1，2]．19．（12分）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x 米、长为y 米的长方形展牌，其中y ＞x ，其面积为3（x ﹣y +15）平方米．（1）求y 关于x 的函数解析式，并求出x 的取值范围；（2）如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？并求出周长的最小值．解：（1）宽为x 米、长为y 米的长方形展牌，所以面积为：xy ＝3（x ﹣y +15），即（x +3）y ＝3（x +15），所以y =3(x+15)x+3=3+36x+3，其中y ＞x ＞0， ∴3+36x+3＞x ，解得0＜x ＜3√5，即f （x ）＝3+36x+3（0＜x ＜3√5）；（2）展牌的周长即2x +2y ＝2x +6+72x+3=2（x +3）+72x+3≥2√2(x +3)⋅72x+3=24，当且仅当2（x +3）=72x+3，即x ＝3时，等号成立，此时y ＝9，所以设计展牌的长为9和宽为3，才能使展牌的周长最小，最小值为24． 20．（12分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)．（1）若g(x)=f(π6−x)，求函数g （x ）的单调递增区间；（2）当x ∈[−π4，0]时，函数y ＝2af （x ）+b 的最大值为1，最小值为﹣3，求实数a ，b 的值．解：（1）函数f(x)=sin(2x −π6)，所以f(π6−x)=sin(π3−2x −π6)=−sin(2x −π6)，令π2+2kπ≤2x −π6≤2kπ+3π2，（k ∈Z ），整理得：π3+kπ≤x ≤kπ+5π6，（k ∈Z ），故函数的单调递增区间为：[π3+kπ，kπ+5π6]，（k ∈Z ）．（2）由于x ∈[−π4，0]，故2x −π6∈[−2π3，−π6]，所以sin(2x −π6)∈[−1，−12]，当a ＞0时，函数y ＝2af （x ）+b 的最大值为−12⋅2a +b =1，最小值为﹣2a +b ＝﹣3，故{−12⋅2a +b =1−2a +b =−3，解得{a =4b =5；当a ＜0时，函数y ＝2af （x ）+b 的最大值为﹣2a +b ＝1，最小值为−12⋅2a +b =−3；故{−12⋅2a +b =−3−2a +b =1，解得{a =−4b =−7．故当a ＞0时，a ＝4，b ＝5；当a ＜0时，a ＝﹣4，b ＝﹣7． 21．（12分）已知函数f(x)=2024x−a2024x+1为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）若f （m +5）+f （3m ﹣m 2）＞0，求实数m 的取值范围．解：（1）因为f(x)=2024x−a 2024x +1为奇函数，所以f （0）=1−a2=0，即a ＝1，经检验a ＝1符合题意；（2）由（1）得，f （x ）=2024x−12024x +1=1−22024x+1在R 上单调递增，证明如下：任取x 1＜x 2，所以2024x 1−2024x 2＜0，1+2024x 1＞0，1+2024x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=21+2024x 2−21+2024x 1=2(2024x1−2024x2)(1+2024x 1)(+2024x 2)＜0，所以f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在R 上单调递增；（3）若f （m +5）+f （3m ﹣m 2）＞0，则f （m +5）＞﹣f （3m ﹣m 2）＝f （m 2﹣3m ），所以m +5＞m 2﹣3m ，解得，﹣1＜m ＜5，故m 的范围为（﹣1，5）．22．（12分）已知f(x)=2sinxsin(x +π3)+a ，且f(π6)=1，（1）求a 的值及f （x ）的最小正周期；（2）将f （x ）的图象向左平移π6个单位长度，再向下平移12个单位长度，得到g （x ）的图象．若关于x的方程g （x ）﹣m ＝0在x ∈[0，π2]有两个不同的根，求实数m 的取值范围．解：（1）因为f(x)=2sinxsin(x +π3)+a ，且f(π6)=1，所以2×12×1+a ＝1，所以a ＝0，第11页（共11页） f （x ）＝2sin x sin （x +π3）＝2sin x （12sinx +√32cosx ）＝sin 2x +√3sinxcosx =1−cos2x 2+√32sin2x =sin （2x −π6）+12，故T =2π2=π；（2）将f （x ）的图象向左平移π6个单位长度，再向下平移12个单位长度，得到g （x ）＝sin （2x +π6），若关于x 的方程g （x ）﹣m ＝0在x ∈[0，π2]有两个不同的根，即m ＝g （x ）在x ∈[0，π2]有两个不同的交点，作出函数y ＝g （x ）的图象，如图所示，结合函数图象可知，12≤m ＜1，故m 的范围为[12，1）．。