专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用

专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用

(总分：94.53，做题时间：90分钟)

一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：5，分数：5.00)

1.在下列函数中，以x=0为极值点的函数是______．

∙ A.y=-x3

∙ B.y=cosx

∙ C.y=tanx-x

∙ D.y=arcsinx-x

（分数：1.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：

2.下列命题正确的是______．

∙ A.在(a，b)内，f'(x)＞0是y=f(x)在(a，b)内为增函数的充分条件

∙ B.可导函数的驻点一定是极值点

∙ C.连续函数在[a，b]上的极大值必大于极小值

∙ D.函数y=f(x)的极值点一定是此函数的驻点

（分数：1.00）

A. √

B.

C.

D.

解析：

3.已知y=f(x)在x0处有极大值，下列结论正确的是______．

∙ A.f'(x0)=0，且f"(x0)＜0

∙ B.f'(x0)=0，或f'(x0)不存在

∙ C.f'(x0)=0

∙ D.f"(x0)＜0

（分数：1.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：

4.下列命题正确的是______．

∙ A.若(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，则f"(x0)=0

∙ B.若f"(x0)=0，则(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点

∙ C.若f"(x0)=0，或f"(x0)不存在，则(x0，f(x0))可能为曲线y=f(x)的拐点

∙ D.以上命题都不对

（分数：1.00）

A.

B.

C. √

D.

解析：

5.已知(0，1)是曲线y=ax3+bx+1上的拐点，则a，b的值是______．

∙ A.a=1，b=-3

∙ B.a≠0，b∈R

∙ C.a=1，b=0

∙ D.a∈R，b∈R

（分数：1.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：

二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：2，分数：2.00)

6.曲线f(x)=x3-2x在点x=1的切线方程是 1．

（分数：1.00）

填空项1:__________________ （正确答案：y=x-2．）

解析：

7.曲线y=x3-3x2-x的拐点坐标为 1．

（分数：1.00）

填空项1:__________________ （正确答案：(1，-1)．）

解析：

三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：3，分数：87.50)

证明下列等式或不等式．（分数：22.50）

2.50）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明一个函数是常数函数，分为两步：第一步先证其为常数，即证其导为0；第二步，再用特殊点求常数．设y=arcsinx+arccosx，由于[*]，得知函数y为常数函数．取x=0，得y=arcsin 0+arccos 0=[*]，所以 arcsinx+arccosx=[*])

解析：

＞1)．（分数：2.50）

正确答案：(设[*]，由于[*]，在x＞1时恒有y'＞0，所以函数[*]在x＞1上是单调递增的函数．而y(1)=0，从而y(x)＞y(1)=0，即lnx-[*]，也即 [*])

解析：

(3).[0，3]上的最大值和最小值．（分数：2.50）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为[*]，令y'=0，得驻点x=1，不可导点x=0，x=2．由于y(0)=0，y(2)=0，y(3)=[*]，所以最大值为y(3)=[*]，最小值为y(0)=0，y(2)=0．)

解析：

(4). 2.50）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(为方便求导，把函数改写成指数对数形式：[*]，由于 [*] 令y'=0，得x=e．当x＜e时，y'＞0；当x＞e时，y'＜0．说明函数在x=e处取得极大值，且[*]．)

解析：

(5).求曲线y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．（分数：2.50）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(求曲线y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．由y'=3ax2+2bx+C一0及已知得知：3a(-2)2+2b(-2)+c=0，44=a(-2)3+b(-2)2+c(-2)+d．

由y"=6ax+2b=0及已知得知：6a+2b=0，-10=a+b+c+d．

联立解得：[*])

解析：

(6). 2.50）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(描绘函数[*]的图形．

(1)函数y=f(x)定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)．x=-1为间断点．

[*]

(2)f'(x)=0的根为x=1；f"(x)=0的根为x=2．点x=1和x=2把定义域划分成四个区间：(-∞，-1)，(-1，1]，[1，2]，[2，+∞)．

(3)在各部分区间内f'(x)，f"(x)的符号、相应曲线弧的升降及凹凸，以及极值点和拐点等如下表所示．

x (-∞，-1) (-1，1) 1 (1，2) 2 (2，+∞)

f'(x) - + 0 - - -

f"(x) - - - - 0 +

f(x) [*] [*] 极大值点[*] 拐点[*]

(4)由于[*]．所以图形有一条水平渐近线y=2和一条铅直渐近线x=-1．

(5)补充几个点，如算出x=1，x=2处的函数值．

[*]

从而得图形上的两个点[*]．

又由于f(0)=2，[*]，f(-2)=-4，f(-4)=[*]，从而得图形上的4个点．

M3(0，2)，[*]，M5(-2，-4)，[*]

函数[*]的图形如下图所示．

[*])

解析：

(7).欲用围墙围成面积为216m2的一块巨型的地，并在正中间用一堵墙将其隔成两块．问这块土地的长和宽选取多大尺寸时，才能使所用建筑材料最省?（分数：2.50）