专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用

专升本高等数学(二)-导数的应用、中值定理及其应用
(总分：94.53，做题时间：90分钟)
一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：5，分数：5.00)
1.在下列函数中，以x=0为极值点的函数是______．
∙ A.y=-x3
∙ B.y=cosx
∙ C.y=tanx-x
∙ D.y=arcsinx-x
（分数：1.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
2.下列命题正确的是______．
∙ A.在(a，b)内，f'(x)＞0是y=f(x)在(a，b)内为增函数的充分条件
∙ B.可导函数的驻点一定是极值点
∙ C.连续函数在[a，b]上的极大值必大于极小值
∙ D.函数y=f(x)的极值点一定是此函数的驻点
（分数：1.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：
3.已知y=f(x)在x0处有极大值，下列结论正确的是______．
∙ A.f'(x0)=0，且f"(x0)＜0
∙ B.f'(x0)=0，或f'(x0)不存在
∙ C.f'(x0)=0
∙ D.f"(x0)＜0
（分数：1.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
4.下列命题正确的是______．
∙ A.若(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，则f"(x0)=0
∙ B.若f"(x0)=0，则(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点
∙ C.若f"(x0)=0，或f"(x0)不存在，则(x0，f(x0))可能为曲线y=f(x)的拐点
∙ D.以上命题都不对
（分数：1.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：
5.已知(0，1)是曲线y=ax3+bx+1上的拐点，则a，b的值是______．
∙ A.a=1，b=-3
∙ B.a≠0，b∈R
∙ C.a=1，b=0
∙ D.a∈R，b∈R
（分数：1.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：
二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：2，分数：2.00)
6.曲线f(x)=x3-2x在点x=1的切线方程是 1．
（分数：1.00）
填空项1:__________________ （正确答案：y=x-2．）
解析：
7.曲线y=x3-3x2-x的拐点坐标为 1．
（分数：1.00）
填空项1:__________________ （正确答案：(1，-1)．）
解析：
三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：3，分数：87.50)
证明下列等式或不等式．（分数：22.50）
2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明一个函数是常数函数，分为两步：第一步先证其为常数，即证其导为0；第二步，再用特殊点求常数．设y=arcsinx+arccosx，由于[*]，得知函数y为常数函数．取x=0，得y=arcsin 0+arccos 0=[*]，所以 arcsinx+arccosx=[*])
解析：
＞1)．（分数：2.50）
正确答案：(设[*]，由于[*]，在x＞1时恒有y'＞0，所以函数[*]在x＞1上是单调递增的函数．而y(1)=0，从而y(x)＞y(1)=0，即lnx-[*]，也即 [*])
解析：
(3).[0，3]上的最大值和最小值．（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为[*]，令y'=0，得驻点x=1，不可导点x=0，x=2．由于y(0)=0，y(2)=0，y(3)=[*]，所以最大值为y(3)=[*]，最小值为y(0)=0，y(2)=0．)
解析：
(4). 2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(为方便求导，把函数改写成指数对数形式：[*]，由于 [*] 令y'=0，得x=e．当x＜e时，y'＞0；当x＞e时，y'＜0．说明函数在x=e处取得极大值，且[*]．)
解析：
(5).求曲线y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(求曲线y=ax3+bx2+cx+d，使得(-2，44)为驻点，(1，-10)为拐点．由y'=3ax2+2bx+C一0及已知得知：3a(-2)2+2b(-2)+c=0，44=a(-2)3+b(-2)2+c(-2)+d．
由y"=6ax+2b=0及已知得知：6a+2b=0，-10=a+b+c+d．
联立解得：[*])
解析：
(6). 2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(描绘函数[*]的图形．
(1)函数y=f(x)定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)．x=-1为间断点．
[*]
(2)f'(x)=0的根为x=1；f"(x)=0的根为x=2．点x=1和x=2把定义域划分成四个区间：(-∞，-1)，(-1，1]，[1，2]，[2，+∞)．
(3)在各部分区间内f'(x)，f"(x)的符号、相应曲线弧的升降及凹凸，以及极值点和拐点等如下表所示．
x (-∞，-1) (-1，1) 1 (1，2) 2 (2，+∞)
f'(x) - + 0 - - -
f"(x) - - - - 0 +
f(x) [*] [*] 极大值点[*] 拐点[*]
(4)由于[*]．所以图形有一条水平渐近线y=2和一条铅直渐近线x=-1．
(5)补充几个点，如算出x=1，x=2处的函数值．
[*]
从而得图形上的两个点[*]．
又由于f(0)=2，[*]，f(-2)=-4，f(-4)=[*]，从而得图形上的4个点．
M3(0，2)，[*]，M5(-2，-4)，[*]
函数[*]的图形如下图所示．
[*])
解析：
(7).欲用围墙围成面积为216m2的一块巨型的地，并在正中间用一堵墙将其隔成两块．问这块土地的长和宽选取多大尺寸时，才能使所用建筑材料最省?（分数：2.50）
正确答案：(设s为围墙总长，长为x，宽为y．则x·y=216所以[*]．因为s=2x+3y=2x+[*]，所以令[*]，得x=18(为x=-18舍去)．且x=18是函数的唯一驻点．由结论知x=18是极小值点，也是最小值点．所以当x=18m，[*]时，所用材料最省．)
解析：
(8).y=x的交点处的切线方程．（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由[*]得交点(1，1)．再由[*]，得切线方程为 [*])
解析：
(9). 2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(定义域为x≠-1．
由[*]，得x=0，x=-2．
列表讨论(见下表)．
x (-∞，-2) (-2.-1) (-1，0) (0，+∞)
f'(x) + - - +
f(x) [*] [*] [*] [*]
所以函数的单调递增区间为(-∞，-2)和(0，+∞)；单调递减区间为(-2，-1)和(-1，0)．)
解析：
求下列函数的极值．（分数：35.00）
(1).y=e x cosx（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=e x cosx-e x sinx=e x(cosx-sinx)，令y'=0得x=kπ+[*]．
又y"=-2e x sinx，当[*]时，[*]，函数有极大值
[*]
当[*]时，[*]，函数有极小值
[*])
解析：
2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]，令f'(x)=0，得驻点x=1，不可导点x=0．列表讨论(见下表)．
x (-∞，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞)
f’(z)+ - 0 +
l厂(z) [*] 极大值点[*] 极小值点[*]
故极大值f(0)=0，极小值[*]．)
解析：
(3).试证明：如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2-3ac＜0，那么这个函数没有极值．（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：因y'=3ax2+2bx+c，要使可导函数没有极值，必使y'=0恒不成立．
即使3ax2+2bx+c=0没有实数解，从而必须使一元二次方程的判别式Δ=(26)2-4·3ac＜0即b2-3ac＜0．) 解析：
(4).试问a为何值时，函数f(x)=asinx+sin3x?它是极大值还是极小值?并求此极值．（分数：2.50）
正确答案：(f'(x)=acosx+cos3x，当[*]时，f'(x)=0，得acos[*]+cosπ=0，从而a=2．又f"(x)=-asinx-3sin3x，[*]，所以有极大值[*][*])
解析：
(5).问函数y=x2＜0)在何处取得最小值?并求出最小值．（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*]，令y'=0得x=-3．又[*]．所以在x=-3时y有最小值，其值为27．)
解析：
(6).求函数-3，3]的最大值和最小值．（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(由[*]得驻点x=-2，不可导点x=-5，x=1．而f(-3)=4，f(-2)=[*]，f(1)=0，f(3)=[*]．所以最大值是f(3)=[*]，最小值是f(1)=0．)
解析：
(7).求函数y=x2e-x的凹凸区间和拐点．（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(因为y'=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2)
y"=e-x(2x-x2)+e-x(2-2x)=e-x(x2-4x+2)
令y"=0解得[*]．易判定[*]都是拐点．
凹区间是(-∞，2-[*])∪(2+[*]，+∞)，凸区间是(2-[*]，2+[*])．)
解析：
(8).描绘函数y=e-x2的图形．（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(对于[*]
(1)定义域为R．
(2)易知其为偶函数，图像关于y轴对称，且有
y'=-2xe-x2，y"=(4x2-2)e-x2
令y'=0，得x1=0；
令y"=0，得[*]．因此没有使y'，y"不存在的点．
(3)讨论函数的性质，如下表所示．
x [*] [*] [*] 0 [*] [*] [*]
f'(x) + + + 0 - - -
f"(x) + 0 - - - 0 +
f(x) [*] 拐点[*] 极大值点[*] 拐点[*]
可见，有两个拐点[*]≈(-0.7，0.6)，[*]≈(0.7，0.6)．一个极大值点(0，1)．
(4)因[*]，所以有水平渐近线y=0．)
解析：
(9). 2.50）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*])
解析：
(10).某工厂每天生产x支产品的总成本为元)．该产品独家经营，市场需求规律为
x=75-3P，其中P为每支售价，问每天生产多少支时获利润最大?此时的每支售价为多少?（分数：2.50）
正确答案：(设利润为L(x)，[*]，则
L(x)=px-C(x)=[*]x2+32x-75
求导得L'(x)=[*]+32，令L'(x)=0，得[*]+32=0，x=36，从而[*]．
又L"(x)=[*]＜0，所以当每天生产36支时，获利润最大，此时每支售价为13元．)
解析：
(11).设计一个容积为Vm3的圆柱形无盖容器，已知每平方米侧面材料的价格是底面材料价格的1.5倍，问容器的底半径r与高h为多少时，材料总造价y最小?（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(在不影响问题解答的前提下，不妨设底面材料价格为1个单位．则
y=πr2+2πrh·1.5
由于V=πr2h，得[*]，代入上式得y=πr2+[*]．
求导得y'=2πr-[*]，令y'=0，解得3V=2πr3．联立V=πr2h。

两式相比得[*]．
又因[*]，所以函数y有极小值．进一步求出[*]．)
解析：
(12).欲围造一个面积为15000m2的长方形运动场，其正面围墙材料造价为600元/m2，其余三面围墙材料造价为300元/m2，试问正面长为多少米才能使材料费最少(设围墙的高相同)?（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(设运动场正面围墙长为xm，则宽为[*]m．四面围墙的高记为hm，四面围墙所用材料费用f(x)来表示，则
[*]
令f'(x)=0，所以x1=100m，x2=-100m(舍)．
[*]
因为f"(100)＞0，由于驻点唯一，且存在最小值，可知x=100m，侧面长为150m时，所用材料费最小．)
解析：
(13).由拉格朗日中值定理有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，其中a＜ξ＜b 2.50）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：([*]可能存在，也可能不存在．在f"(x)在x=a连续的条件下，有[*]=f"(a)．错误解法：由拉格朗日中值定理知，存在(a，b)内的ξ，所以当b→a时，必有ξ→a，从而有 [*] 分析错因：上述推
理实际上似定了f'(x)在x=a连续，此时才成立=[*]=f'(a)．但这个假定是拉格朗日中值定理的条件中所
不具备的，所以不能推出这个结论．例如，函数 [*] 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，满足拉格朗日
中值定理的条件，但由定义可知f'(0)根本不存在，因而[*]不可能成立．)
解析：
(14).要产生因式f'(x)-λf(x)，如何拼凑?要产生因式λf'(x)-f(x)，如何拼凑?要产生因式λf'(x)+f(x)，又如何拼凑?（分数：2.50）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(要产生因式f'(x)-λf(x)，只须用(f(x)e-λx)'=(f'(x)-λf(x))e-λx拼凑；要产生因式
λf'(x)-f(x)，只须用[*]拼凑；要产生因式λf'(x)+f(x)，只须用[*]拼凑．)
解析：
已知函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．试证明：（分数：30.03）
(1).存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ（分数：2.73）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(证明令g(x)=f(x)+x-1，则g(x)在[0，1]上连续，且 g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0 根据连续函数的零点定理，可知存在ξ∈(0，1)，使得 g(ξ)=f(ξ)+ξ-1=0，即f(ξ)=1-ξ)
解析：
(2).存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)-1．（分数：2.73）
正确答案：(证明由于函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)[*](0，1)，ζ∈(ξ，1)[*](0，1)，使得 [*])
解析：
(3).设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导．证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使
数：2.73）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明作辅助函数F(x)=xf(x)，则F(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，满足拉格朗日中值定理条件，从而至少存在一点ξ∈(a，b)，使得 [*] 由于F'(x)=f(x)+xf'(x)，可见 [*])
解析：
(4).设f(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0．试证明：在(a，b)内，一定存在kf(x)+f'(x)的零点．（分数：2.73）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明设F(x)=e kx f(x)，则F(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
F(a)=e ka f(a)=0，F(b)=e kb ef(b)=0
由罗尔定理知至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，即
[ke kx f(x)+e kx f'(x)]|x=ξ=0
[kf(x)+f'(x)]|x=ξ=0
也就是在(a，b)内，一定存在是kf(x)+f'(x)的零点．)
解析：
(5).设f(x)在闭区间[0，1]上有二阶连续导数，且f'(0)=f'(1)=0．试证明：至少存在一点c∈(0，1)，
使f'(c)=0．（分数：2.73）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明设[*]，由于F(0)=0，[*]，由题意，F(x)在闭区间[0，1]上连续且可导．由罗尔定理知至少存在一点c∈(0，1)，使得 [*] 即 [*])
解析：
(6).设函数φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明在(a，b)内至少存在一点ξ
数：2.73）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明取F(x)=(b-x)[φ(x)-φ(a)]，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)，由罗尔定理知至少存在一点ξ∈(a，b)使F'(ξ)=0，即[*]．)
解析：[解析] 要证(b-ξ)φ'(ξ)-[φ(ξ)-φ(a)]=0，即要证
{(b-x)[φ(x)-φ(a)]'+(b-x)'[φ(x)-φ(a)]}|x=ξ
={(b-x)[φ(x)-φ(a)]}'|x=ξ=0
可取F(x)=(b-x)[φ(x)-φ(a)]，利用罗尔定理证明．
(7).设=k 2.73）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由拉格朗日中值定理知，f(x+a)-f(x)=f'(ξ)a，其中，ξ介于x，x+a之间，故当x→∞时，ξ→∞，因此 [*])
解析：
(8).试确定常数a，b，使f(x)=x-(a+bcosx)sinx为当x→0时是关于x的5阶无穷小．（分数：2.73）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(利用麦克劳林公式，有 [*] 要使[*]，必须使[*]，即[*]，此时 [*] 即[*]时，函数
f(x)=x-(a+bcosx)sinx是x→0时关于x的5阶无穷小．)
解析：
(9). 2.73）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])
解析：
(10).设f(x)为连续函数，若对任意区间[a，b]f(x)恒等于零．（分数：2.73）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明设f(x0)≠0，x∈[a，b]，不妨设f(x0)＞0，由于f(x)为连续函数，可知必存在x0的小邻域(x0-δ，x0+δ)，使这个小邻域内总有f(x0)＞0，从而
[*]
这与已知矛盾，从而知f(x)≡0．
如果x0=a或x0=b，上述邻域可以取为[a，a+δ)或(b-δ，b)]．)
解析：[解析] 证明函数为零，针对具体函数，采取的方法有利用导数为零、最大值等于最小值、泰勒公式等方法判定函数为常数且恒等于零．本题中f(x)为抽象函数，[a，b]为任意区间，可以考虑利用反正法．
(11).设f(x)为区间[a，b]上单调减少的连续函数．证明：．（分数：2.73）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明方法一将欲证的定积分不等式化为[*]．
设[*]，则
[*]
其中，a＜ξ＜x，可知F(x)在[a，b]上单调减少．
由于F(a)=0，当a≤x≤b时，总有F(x)≤F(a)=0．特别地令x=b．刚可得
[*]
方法二将欲证的不等式转化为
[*]
考察
[*]
由于[*]，f(x)为单调减少函数，可知f(ξ2)＜f(ξ1)，因此有
[*])
解析：[解析] 证明定积分的不等式，常用方法有：①采用特殊转化为一般策略，把定积分转化为变上限(或变下限)的积分函数，利用微分学中证明函数不等式的方法证明；②利用定积分的性质证．注意：本题利用了以下结论：若f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0．则必有 [*]。