北师大版高中数学高一必修3学案古典概型的特征和概率计算公式

2．1古典概型的特征和概率计算公式

预习课本P130～133，思考并完成以下问题

(1)古典概型的定义是什么？

(2)古典概型的概率公式是什么？

[新知初探]

1．古典概型的定义

如果一个试验满足：

(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；

(2)每一个试验结果出现的可能性相同．

我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．2．古典概型的概率公式

对于古典概型，如果试验的所有可能结果(基本事件数)为n，随机事件A包含的基本事

件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝m n.

[点睛]在一次试验中可能出现的每一个结果称为基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件．例如，掷一枚骰子，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”共6个结果，就是该随机试验的6个基本事件．

[小试身手]

1．一个家庭有两个小孩，则所有的基本事件是()

A．(男，女)，(男，男)，(女，女)

B．(男，女)，(女，男)

C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)

D．(男，男)，(女，女)

解析：选C用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个基本事件(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．2．下列试验是古典概型的为()

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率； ③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率； A ．①② B ．②④ C ．①②④

D ．③④

解析：选C ①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．

3．从100台电脑中任抽5台进行质量检测，每台电脑被抽到的概率是( ) A.1

100 B.15 C.16

D.120

解析：选D 每台电脑被抽到的概率为5100＝1

20

.

4．从1,2,3,4中随机取出两个数，则其和为奇数的概率为________．

解析：不同的取法包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个基本事件，每个基本事件发生的可能性相同，因此是古典概型．和为奇数包括(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个基本事件，故所求概率为46＝2

3

.

答案：2

3

古典概型的判定

[典例] (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；

(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率． [解] (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．

(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．

(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的

可能性相等．

只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型．

[活学活用]

下列随机事件：

①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；

②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动汇报；

③一只使用中的灯泡寿命长短；

④抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况；

⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．

这些事件中，属于古典概型的有________．

解析：

题号判断原因分析

①不属于命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同

②属于任选1人与学生的性别无关，仍是等可能的

③不属于灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能

④属于该试验结果只有“正”“反”两种，且机会均等

⑤不属于该品牌月饼评“优”与“差”的概率不一定相同

古典概型的概率计算

[典例]

(1)点数之和为5的概率；

(2)点数之和为7的概率；

(3)出现两个4点的概率．

[解]在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则所有的基本事件包括：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．

(1)记“点数之和为5”为事件A，从图中可以看到事件A包含的基本事件数共有4个：

(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(A)＝4

36＝

1

9.

(2)记“点数之和为7”为事件B，从图中可以看到事件B包含的基本事件数共有6个：

(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，所以P(B)＝6

36＝

1

6.

(3)记“出现两个4点”为事件C，则从图中可以看到事件C包含的基本事件数只有1个：

(4,4)，所以P(C)＝1 36.

求解古典概型的概率“四步”法

[活学活用]

先后抛掷均匀的壹分、贰分、伍分硬币各一次．

(1)一共可能出现多少种结果？

(2)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的结果有多少种？

(3)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的概率是多少？