八数线段的比
八年级数学相似图形知识点总结归纳
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八年级数学相似图形知识点总结归纳相似图形一、线段的比※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成 . ※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d 的比,即 ,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3、注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段 a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:bb:a, 与互为倒数;⑤比例的基本性质:若 , 则ad=bc; 若ad=bc, 则二、黄金分割※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四、相似多边形1、一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.五、相似三角形※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5、相似三角形周长的比等于相似比.※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方.六、探索三角形相似的条件※1、相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八、相似的多边形的性质※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九、图形的放大与缩小※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。
八年级数学 第四章第1-4 线段的比与黄金分割 北师大版知识精讲
初二数学 第四章第1-4 线段的比与黄金分割 北师大版【本讲教育信息】一.教学内容:线段的比与黄金分割(4.1—4.4)二.教学目标:1.了解线段的比、比例线段,理解并掌握比例线段的基本性质及简单应用. 2.了解黄金分割,体会其中的文化价值.3.认识形状相同的图形,了解相似多边形的含义.探索相似多边形的本质特征.4.发展从数学角度提出问题,分析问题和解决问题的能力,培养数学应用意识,体会数学与自然、数学与社会的密切联系.三.知识要点分析: 1.线段的比(1)如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ,那么就说这两条线段的比AB :CD=m :n ,或写成AB CD =mn .其中,线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.(2)在四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =cd ,我们就把这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.(3)比例的性质①基本性质:如果a b =cd,那么ad =bc .如果ad =bc (a 、b 、c 、d 都不等于0),那么a b =cd.②合比性质:如果a b =c d ,那么a ±b b =c ±dd.③等比性质:如果a b =c d =…=mn (b +d +…+n ≠0),那么a +c +…+m b +d +…+n =a b .2.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AC AB =BCAC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 3.相似多边形(1)所谓形状相同的图形,实际上就是形状相同、大小可以不同的图形.所谓形状相同,应和位置无关,和摆放角度无关,和摆放方向也无关.(2)各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.【典型例题】知识点1:线段的比 例1.已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项,其中a =2cm ,b =4cm ,c =5cm ,则d =( )A .1cmB .10cmC .52cmD .85cm题意分析:成比例的四条线段a :b =c :d ,其中d 是第四比例项.思路分析:把a =2cm ,b =4cm ,c =5cm 代入a :b =c :d ,便可求出d . 解:因为a :b =c :d ,a =2cm 、b =4cm 、c =5cm , 所以2:4=5:d ,即2d =20,解得d =10. 选B解题后的思考:关于线段的比要注意两点:一是所给线段的长度单位要统一;二是四条线段成比例时,一定要将这四条线段按顺序列出.例2.已知3a +5b b =73,求ab的值.题意分析:本题可以看作是比例式的问题,也可以看作是分数或分式的问题. 思路分析:把3a +5b b =73进行变形,变得的等式中含有a b ,或用a 表示b ,再代入ab 求值.解:解法一:因为3a +5b b =73,所以3(3a +5b )=7b ,所以9a =-8b ,所以a b =-89.解法二:因为3a +5b b =73,所以3a +5b 5b =715,所以3a +5b -5b 5b =7-1515,所以3a 5b =-815,所以a b =-815×53=-89.解法三:因为3a +5b b =73,所以3a b +5=73,所以3a b =73-5=-83,所以a b =-83×13=-89.解法四:设ab =k ,则a =bk ,因为3a +5b b =73,所以3bk +5b b =73,所以3k +5=73,所以k =-89,所以a b =-89.解题后的思考:本例从不同角度出发进行解答.解法一运用的是比例的基本性质;解法二主要是运用比例的合比性质;解法三是根据分式的特点,进行“拆分”;解法四是运用方程的思想解决问题.另外,需要注意比例式作为等式,可以运用等式的性质,比例式中的两个比作为分数或分式,可以运用分数或分式的基本性质.例3.如图所示,已知在△ABC 中,AB=12cm ,AE=6cm ,EC=4cm ,且AD BD =AEEC.(1)求AD 的长.(2)说明:BD AB =ECAC成立.BCD E题意分析:在△ABC 中,除已知条件外还可以看出AD +BD=AB ,AE +EC=AC . 思路分析:图形中的计算题常用设未知数解方程的方法进行计算,若设AD=x ,则已知的比例式即是关于x 的方程,从而可以求出AD 的长,把线段的长代入BD AB 和EC AC ,来判断BDAB=EC AC 是否成立.对于BD AB =ECAC,也可以用比例的性质验证. 解:(1)设AD=x cm ,则BD=12-x .因为AD BD =AE EC ,所以x 12-x =64,所以4x =6×(12-x ),所以x =365,即AD=365cm .(2)因为AD BD =AEEC ,所以AD +BD BD =AE +EC EC .所以AB BD =AC EC ,即BD AB =EC AC.解题后的思考:已知比例线段,求其中某条线段的长,通常转化成方程问题来解决. 小结:比例的基本性质有三个,但在实际运用时却是灵活多样的,注意结合分式的性质选择合适的解法.知识点2:黄金分割例4.人体下半身(即脚底到肚脐的长度)与身高的比越接近0.618越给人以美感,遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68m ,下半身长1.02m ,她应选择多高的高跟鞋使其看起来更漂亮?题意分析:穿上高跟鞋增加下半身的长度,使下半身与身高的比接近0.618. 思路分析:把她应选择的高跟鞋的高度设为x m ,下半身长变为1.02+x ,身高变为1.68+x ,二者之比约为0.618,依此可以求出x .解:设她应选择的高跟鞋的高为x ,由题意,得1.02+x1.68+x ≈0.618,所以1.02+x ≈0.618(1.68+x ),解得x ≈0.048, 0.048m =4.8cm .她应选择大约4.8cm 高的高跟鞋使其看起来更漂亮.解题后的思考:本题是黄金分割的实际应用问题,解题关键是找出比值0.618所对应的比例的前项和后项.例5.如图所示,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=55-5,∠A=36°,BD 平分∠ABC ,交AC 于点D ,试说明点D 是线段AC 的黄金分割点.BCD12题意分析:已知AB 、AC 、BC 三条线段的长度,根据其他已知条件,图中各角的度数都能求出来,问题就是判断CD AD =AD AC 是否成立?或AD AC =5-12是否成立?思路分析:本题应判断AD AC =5-12是否成立,因为AC 已知,只要求出AD 就可以了,步骤较少.解:因为AB=AC ,所以∠ABC=∠C . 又因为∠ABC +∠C +∠A=180°,∠A=36°, 所以∠ABC=∠C=72°.因为∠1=∠2=12∠ABC ,所以∠1=∠2=36°.所以∠1=∠A ,所以AD=BD . 因为∠2+∠C +∠BDC=180°, 所以36°+72°+∠BDC=180°,所以∠BDC=72°, 所以∠BDC=∠C ,所以BD=BC ,所以BC=BD=AD . 因为BC=55-5,所以AD=55-5.又因为AC=10,所以AD AC =5(5-1)10=5-12,所以点D 是线段AC 的黄金分割点.解题后的思考:只要确定出AD AC =5-12,即可说明点D 是AC 的黄金分割点,为此,需要求出AD 的长度.本例分析中的第一种方法学习了相似三角形之后比第二种方法更简单.小结:黄金分割是比例线段的特例,在实际生活中应用广泛.知识点3:相似多边形例6.①两个正方体;②两个半径不等的圆;③同一张底片冲洗出来的2寸照片和5寸照片;④圆柱与圆锥;⑤长与宽相同,但高不同的两个长方体;⑥横坐标相同,纵坐标成三倍关系的两个几何图形.形状相同的图形有哪些?请指出来.题意分析:所谓的形状相同是指形状一样,大小可以不同,不考虑其他的因素. 思路分析:通过想像或画草图进行判断. 解:形状相同的图形有①②③解题后的思考:所有的正方形、圆、等边三角形是形状相同的图形,其他的图形则形状不一定相同.例7.如图所示,矩形ABCD 的长、宽分别为10,8,矩形A’B’C’D’的长、宽分别为5、4,这两个矩形相似吗?为什么?两个矩形满足什么条件一定相似?A B C DA'B'C'D'题意分析:相似矩形是指两个矩形的对应角都相等,对应边成比例. 思路分析:任何一个矩形的四个角都是90°,所以两个矩形的对应角可以做到相等.再判断各边是否对应成比例就可以了.解:因为AD A ’D’=BC B ’C’=105=21,AB A ’B’=DC D ’C’=84=21,所以AD A ’D’=BC B ’C’=AB A ’B’=DC D ’C’.因为矩形四个角都是直角,所以∠A=∠B=∠C=∠D=∠A ’=∠B’=∠C’=∠D’=90°, 所以矩形ABCD ∽矩形A’B’C’D’.由上述说明过程知,两个矩形只要满足长与宽成比例就相似.解题后的思考:判断多边形相似容易失误,同学们一定要严格按定义来判断,不可投机取巧.如用一根宽为1cm 的木条钉成一个矩形镜框,外边缘长为10、宽为8,那么这个镜框的内外边缘两个矩形是否相似?例8.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,EF ∥BC ,EF 将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD 和EBCF ,若AD=3,BC=4,求AE :EB 的值.A BCD E F题意分析:所求的AE :EB 是两个相似梯形AEFD 和EBCF 的相似比.思路分析:与已知条件有关的相似比还有AD :EF 、EF :BC ,设法求出它们的比值本题便可解决,这个问题的关键是求出EF 的长.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ,所以AD EF =EFBC ,所以EF 2=AD·BC .因为AD=3,BC=4,所以EF 2=3×4=12,所以EF=23. 因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ,所以AE :EB=AD :EF=3:23=3:2.解题后的思考:利用相似多边形的对应边成比例,可以求出EF 的长,进而求得相似比AE :EB=AD :EF .小结:对相似多边形的理解一定要注意只有各角对应相等,各边对应成比例的多边形才是相似多边形,特别是各边对应成比例解题时一定要全部验证.总结:本讲要求了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段,通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.认识图形的相似、探索相似图形的性质等.各类考试中经常考查比例线段和黄金分割.【预习导学案】(相似三角形(4.5—4.6))一.预习前知1.什么是形状相同的图形,什么是相似多边形?2.判定两个三角形全等的条件有:__________;__________;__________;__________;__________.二.预习导学1.__________的三角形叫做相似三角形,两个相似三角形的相似比是1,这两个三角形的关系是__________. 2.如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成__________,并且__________相等,那么这两个三角形相似.简单地说:__________的两个三角形相似;三条边对应__________的两个三角形相似;两个角对应__________的两个三角形相似. 3.两个直角三角形一定相似吗?为什么?两个等腰直角三角形呢? 反思:(1)你知道相似三角形与全等三角形的区别与联系吗?(2)如何判定两个三角形相似?【模拟试题】(答题时间:50分钟)一.选择题1.如下图所示,有两个形状相同的星星图案,则x 的值为( ) A .15 B .12 C .10 D .822.下列图形中不是形状相同的图形的是( ) A .用一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B .用放大镜将一个细小物体的图案放大,原图形与放大后的图形C .某人的侧身照与正面照D .一棵树与它倒映在水中的像 3.下列图形相似的是( ) A .所有的三角形 B .所有的矩形 C .所有的菱形 D .所有的正方形 4.下列说法中正确的是( ) A .两条线段的比总是整数 B .两条线段的比总是正数 C .两条线段的比可能是0 D .两条线段的比与所采用的长度单位有关 5.点P 是线段MN 的黄金分割点,且MP >NP ,则NP=( )MP .A .5-12B .5+12C .3-52D .5-32*6.若x -2y 3y -x =23,则y x 的值为( )A .512B .125C .712D .-1257.在比例尺为1:8000的某地图上,如果矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ,那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A .80m ×160mB .8m ×16mC .800m ×160mD .80m ×800m**8.若a b =c d =e f =12,则f 9d 6b 3e3c 2a +-+-的值为( )A .12B .13C .15D .16二.填空题1.如图所示,下列各组图形中,是相似图形的是__________.(1)(2)(3)(4)2.正方形的边长与对角线的比值为__________.3.如果一个三角形三边的比为3:4:5,那么这个三角形一定是__________三角形. 4.C 是线段AB 上一点,AB=2AC ,则BC :AB=__________.5.已知一个多边形的最长边为27,最短边为9,另一个和它相似的多边形的最长边为9,则这个多边形的最短边为__________.6.已知1,2,2三个数,请你再添一个数,可写出一个比例式:__________.*7.x 2=y 3=z4,则x +y -z x +y +z =__________.*8.如图是一种贝壳的俯视图,点C 分线段AB 近似于黄金分割.已知AB=10cm ,则AC 的长约为__________cm .(结果精确到0.1cm )三.解答题1.如图所示的三角形各顶点的纵坐标保持不变,横坐标均乘以-1,则所得三角形与原三角形形状相同吗?若让纵坐标不变,横坐标均增加2,则所得三角形与原三角形形状相同吗?2.如图所示,图①是一条鱼,它是由12个全等的等腰直角三角形拼成的;图②是正方形;图③是等腰直角三角形.请同学们认真观察图形再回答: (1)图①中与图②中形状相同的图形有多少个? (2)图①中与图③中形状相同的图形有多少个?①②③*3.线段AB 是连接A 、B 两城市的高速公路,全长120km ,在A 、B 上建有两个收费站C 、D .已知AC :CB=1:5,AD :BD=11:1,一辆汽车从C 到D 行驶了34h ,求这辆车的速度.**4.已知:a ,b ,c 为三角形三边长,(a -c ):(c +b ):(c -b )=2:7:(-1),三角形周长为24.求三边长各为多少.【试题答案】一.选择题1.D 2.C 3.D 4.B5.A 【由题意得MP MN =NP MP =5-12,所以NP=5-12MP .】6.A 【因为x -2y 3y -x =23,所以3(x -2y )=2(3y -x ),即5x =12y ,所以y x =512】7.A 【比例尺是指图上距离和实际距离之比】8.D 【由a b =c d =e f =12可得a 3b =-2c -6d =3e 9f =16】二.填空题 1.(2)(4) 2.1: 23.直角【可设三边长分别为3k 、4k 、5k ,有(3k )2+(4k )2=(5k )2】 4.1:25.3【设这个多边形的最短边为x ,由题意得279=9x ,∴27x =81,∴x =3,∴最短边为3】6.1:2=2:2 27.19【设x 2=y 3=z4=k ,则x =2k 、y =3k 、z =4k ,x +y -z x +y +z =2k +3k -4k 2k +3k +4k =19】 8.6.2【因为点C 是线段AB 的黄金分割点,所以ACAB≈0.618,所以AC≈6.2】三.解答题1.纵坐标不变,横坐标均乘以-1,所得三角形与原三角形形状相同;纵坐标不变,横坐标均增加2,所得三角形与原三角形形状相同. 2.(1)图①中与图②中形状相同的图形有6个.(2)图①中与图③中形状相同的图形有17个.3.因为AB=120km ,由AC CB =15可得AC AB =16,AC=20km ;由AD BD =111可得BD AB =112,BD=10km .所以CD=AB -AC -BD=90km ,所以这辆车的速度为90÷34=120(km /h ).4.由(a -c ):(c +b ):(c -b )=2:7:(-1),设a -c =2k ,c +b =7k ,c -b =-k .根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a -c =2kc +b =7kc -b =-k a +b +c =24.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =10b =8c =6 .。
八年级数学下册《4.1 线段的比(二)》教学设计 北师大版
辽宁省辽阳九中八年级数学下册《4.1 线段的比(二)》教学设计北师大版一、学生知识状况分析学生的知识技能基础:学生在八(下)“变化的鱼”一节中,已经认识了图形在缩放过程中的变化关系。
这节课是“线段的比”的第二课时,学生已经通过第一节课的学习,观察了大量的图片,列举了许多现实生活中的情境,认识了线段的比的知识,知道了选用同一单位长度量线段的长度,从而求出两条线段的比。
通过图片创设的问题情境,重现了现实生活中的比例模型,初步掌握了解决有关比的问题的方法,初步认识了比例尺的应用。
在这个基础上,进一步来学习线段的比的有关知识,学生不会感到陌生,反而容易接受本节课的继续学习。
学生活动经验基础:上一节课,学生已经收集了一些相似图形的图片,如大小不同的两张中国地图、国旗,同底相片等。
已经感受了数学知识源于生活,用于生活。
各小组展示并讨论过线段比的事例,具有了一定的合作交流的基础和能力。
难点处理:比例的基本性质的推理是本节课的难点,教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神,在小组中展开讨论,教师参与指点。
二、教学任务分析教科书在学生认识线段的比的基础上,进一步提出了本节课的具体要求:理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。
学好了本节课,既承接了全等三角形的内容,又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。
在知识技能方面,要求学生了解线段的比和成比例线段;理解并掌握比例的基本性质及其简单应用;发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
学生经历运用线段的比解决问题的过程,在观察、计算、讨论、想像等活动中获取知识。
通过本节课的教学,培养学生的数学应用意识,体会数学与现实生活的密切联系。
根据以上的分析,提出本节课的教学目标:1、知识技能:了解线段的比和成比例线段;理解并掌握比例的基本性质及其简单应用;发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
2、过程与方法:经历运用线段的比解决问题的过程,在观察、计算、讨论、想像等活动中获取知识。
数学八年级第五章——线段的定比分点
课 题:线段的定比分点教学目的: 1掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式; 2熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式; 3理解点P 分有向线段21P P 所成比λ的含义; 4明确点P 的位置及λ范围的关系教学重点:线段的定比分点和中点坐标公式的应用教学难点:用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ>0还是λ<0授课类型:新授课课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2.向量加法的交换律:a +b =b +a3.向量加法的结合律:(a +b ) +c =a + (b +c )4.向量的减法向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与b的差即:a - b = a + (-b )5.差向量的意义: OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量6.实数与向量的积:实数λ与向量a ρ的积是一个向量,记作:λa ρ(1)|λa ρ|=|λ||a ρ|;(2)λ>0时λa ρ与a ρ方向相同;λ<0时λa ρ与a ρ方向相反;λ=0时λa ρ=0 7.运算定律 λ(μa ρ)=(λμ)a ρ,(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ,λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ8. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b ρ=λa ρ9.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ρ,有且只有一对实数λ1,λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一 λ1,λ2是被a ρ,1e ,2e 唯一确定的数量 10.平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标, 特别地,)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=11.平面向量的坐标运算若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=12.a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0二、讲解新课:1.线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点,P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点,存在实数λ,使 P P 1=λ2PP ,λ叫做点P 分21P P 所成的比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)2定比分点坐标公式:若点P 1(x 1,y 1) ,P2(x 2,y 2),λ为实数,且P P 1=λ2PP ,则点P 的坐标为(λλλλ++++1,12121y y x x ),我们称λ为点P 分21P P 所成的比 设P P 1=λ2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2),由向量的坐标运算P P 1=(x-x 1,y-y 1) ,2PP =( x 2-x, y 2-y)∵P P 1=λ2PP ∴ (x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x, y 2-y)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式(1-≠λ) 点P 分12P P 所成的比与点P 分21P P 所成的比是两个不同的比,要注意方向3点P 的位置与λ的范围的关系:①当λ>0时,P P 1与2PP 同向共线,这时称点P 为21P P 的内分点特别地,当λ=1时,有P P 1=2PP ,即点P 是线段P1P2之中点,其坐标为(2,22121y y x x ++) ②当λ<0(1-≠λ)时,P P 1与2PP 反向共线,这时称点P 为21P P 的外分点探究:若P1、P2是直线l 上的两点,点P 是l 上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数λ,使P P 1=λ2PP ,λ叫做P 分有向线段21P P 所成的比而且,当点P 在线段P1P2上时,λ>0;当点P 在线段P1P2或P2P1的延长线上时,λ<0对于上述内容,逆过来是否还成立呢?(1)若λ>0,则点P 为线段P1P2的内分点;(2)若λ<0,则点P 为线段P1P2的外分点一般来说,(1)是正确的,而(2)却不一定正确这是因为,当λ=-1时,定比分点的坐标公式x=λλ++121x x 和y=λλ++121y y 显然都无意义,也就是说,当λ=-1时,定比分点不存在 由此可见,当点P 为线段P1P2的外分点时,应有λ<0且λ≠-14线段定比分点坐标公式的向量形式:在平面内任取一点O ,设1OP =a,2OP =b,由于P P 1=OP -1OP =OP -a,2PP =2OP -OP =b-OP 且有21P P =λ2PP ,所以OP -a =λ(b -OP )即可得 OP =b a b a λλλλλ+++=++1111 这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用三、讲解范例:例1已知A (1,3),B (-2,0),C(2,1)为三角形的三个顶点,L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 上的点,满足BL ∶BC =CM ∶CA =NA ∶AB =1∶3,求L 、M 、N 三点的坐标 分析:所给线段长度的比,实为相应向量模的比,故可转换所给比值为点L 、M 、N 分向量BC 、CA 、AB 所成的比,由定比分点坐标公式求三个点的坐标 另外,要求L 、M 、N 的坐标,即求OL 、OM 、ON 的坐标(这里O 为坐标原点),为此,我们可借用定比分点的向量形式 下面给出第二种解法 解:∵A(1,3),B(-2,0),C(2,1),∴OA =(1,3),OB =(-2,0),OC =(2,1)又∵BL∶BC=CM∶CA=AN∶AB=1∶3∴可得:L 分CB ,M 分AC ,N 分BA 所成的比均为λ=2∴OL =λ+11OC +λ+11OB =31(2,1)+32(-2,0)=(-32,31) OM =λ+11OA +λλ+1OC =31 (1,3)+ 32(2,1)=(35,35) ON =λ+11OB +λλ+1OA =31(-2,0)+32(1,3)=(0,2) ∴L(-32,31)、M(35,35)、N(0,2)为所求 上述两种解题思路,各有特色,各有侧重,望同学们比较选择,灵活应用例2已知三点A (0,8),B (-4,0),C(5,-3),D点内分AB 的比为1∶3,E 点在BC 边上,且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半,求DE 中点的坐标分析:要求DE 中点的坐标,只要求得点D 、E 的坐标即可,又由于点E 在BC 上,△BDE 与△ABC 有公共顶点B ,所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解解:由已知有AD =31DB ,则得ABDB =34 又21=∆∆ABC BDE S S ,而S△BDE=21|DB |·|BE |·sin ∠DBE , S△ABC=21|AB |·|BC |sin ∠ABC ,且∠DBE =∠ABC ∴21=⋅⋅BC AB BEDB ,即得:32=BC BE又点E 在边BC2=,∴点E 分成比λ=2由定比分点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-⨯+==+⨯+-=221)3(20221524E E y x ,即E(2,-2), 又由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+-⨯+=631181311)4(310D D y x ,有D (-1,6) 记线段DE 的中点为M (x ,y ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==-+=2262212)1(2y x ,即M (21,2)为所求 四、课堂练习:1.已知点A (-2,-3),点B(4,1),延长AB 到P ,使||=3||,求点P 的坐标解:因为点P 在AB 上的延长线上,P 为的外分点,所以,=λ,λ<0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3).2.已知两点P 1(3,2),P2(-8,3),求点P (21,y)分21P P 所成的比λ及y的值解:由线段的定比分点坐标公式得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=λλλλ1321)8(321y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2249175y λ 五、小结六、课后作业: 1已知点A 分有向线段BC 的比为2,则在下列结论中错误的是( ) A 点C 分AB 的比是-31B 点C 分BA 的比是-3 C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是22已知两点P 1(-1,-6)、P2(3,0),点P (-37,y)分有向线段21P P 所成的比为λ,则λ、y的值为( )A -41,8B 41,-8C -41,-8 D 4,81 3△ABC 的两个顶点A (3,7)和B (-2,5),若AC 的中点在x 轴上,BC 的中点在y 轴上,则顶点C 的坐标是( )A (2,-7)B (-7,2)C (-3,-5)D (-5,-3)4已知点A (x ,2),B (5,1),C (-4,2x )在同一条直线上,那么x =5△ABC 的顶点A (2,3),B (-4,-2)和重心G (2,-1),则C 点坐标为 6已知M 为△ABC 边AB 上的一点,且S△AMC=81S△ABC,则M 分AB 所成的比为 7已知点A (-1,-4)、B (5,2),线段AB 上的三等分点依次为P 1、P2,求P1、P2点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ.8过P 1(1,3)、P2(7,2)的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ,求P 分21P P 所成的比值9已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A (-2,1),一组对边AB 、CD 的中点分别为M (3,0)、N (-1,-2),求平行四边形的各个顶点坐标参考答案:1D 2C 3A 42或27 5(8,-4) 6 71 7P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-2 8 125 9B(8,-1),C(4,-3),D(-6,-1) 七、板书设计(略)八、课后记:。
初中数学知识点精讲精析 线段的比
4·1线段的比1. 线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ,那么就说这注意点:(1)两线段的比值总是正数.(2)讨论线段的比时,不指明长度单位.(3)对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.3. 比例线段四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.(a 、d 叫做比例线段的外项,b 、c 叫做比例线段的内项) 4. 比例的基本性质. (比例线段中两个外项的积等于两个内项的积)反之也成立。
即如果ad =bc (a 、b 、c 、d 都不等于0),那么5. 合比性质.6. 等比性质7.线段的比和比例线段的区别和联系两条线段的比:=:或写成,其中,线段、分别叫做AB CD m n AB CD mn AB CD =这个线段比的前项和后项,如果把表示成比值,那么或。
m n k ABCDk AB k CD ==⋅2. 比例尺=图上距离实际距离四条线段、、、中,如果与的比等于与的比,即,那么,这a b c d a b c d a b cd=如果,那么。
a b cdad bc ==a b cd =如果,那么。
a b c d a b b c dd =±=±如果,那么。
a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++≠++++++= ()0鹏翔教图1BCA 线段的比是指两条线段之间的比的关系,比例线段是指四条线段间的关系. 若两条线段的比等于另两条线段的比,则这四条线段叫做成比例线段. 线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例,而不是线段a 、c 、b 、d 成比例.8. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a =1. 已知A 、B 两地的实际距离是80千米,在某地图上测得这两地之间的距离为1cm ,则该地图的比例尺为_____________,现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ,则将两地实际距离用科学记数法表示为____________千米.(保留两个有效数字) 【解析】∴图上距离与实际距离之比为1:8000000∴太原到北京的实际距离=6.4×8000000=51200000(cm )=512千米 点评:注意单位要统一.2.在某市城区地图(比例尺1∶9000)上,新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 、10 cm.(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米?(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少?它们的实际长度之比呢? 【解析】(1)根据题意,得808000000千米=cm太原到北京的图上距离太原到北京的实际距离=1800000090001=新安大街的实际长谎新安大街的图上长度90001=光华大街的实际长度光华大街的图上长度因此,新安大街的实际长度是 16×9000=144000(cm ), 144000 cm=1440 m; 光华大街的实际长度是 10×9000=90000(cm ) 90000 cm=900 m.(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5 新安大街的实际长度与光华大街的实 际长度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的结果可以发现:光华大街的图上长度新安大街的图上长度光华大街的实际长度新安大街的实际长度= 3.在比例尺为1∶8000的某学校地图上,矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ,矩形运动场的实际尺寸是多少? 【解析】根据题意,得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000 因此,矩形运动场的长是 2×8000=16000(cm )=160(m ) 矩形运动场的宽是1×8000=8000(cm )=80(m )所以,矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m4.为了参加北京市申办2008年奥运会的活动,如果有两边长分别为1,a (其中a >1)的一块矩形绸布,要将它剪裁出三面矩形彩旗(面料没有剩余),使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同,画出两种不同裁剪方法的示意图,并写出相应的a 的值. 【解析】方案(1):∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同,(*)∴1311a a = 解得:a =3图4-1方案(2): 由(*)得axa 112111-==∴x =a1,a =2 方案(3): 由(*)得211ya = ∴y =a21 且11z a = ∴z =a 1 由aa 211+=a 得a =621图4-2方案(4): 由(*)得an ab a 11111-==m a a a 11-= ∴b =a1 n =1-21am =a 2-1∵m +n =1 ∴1-21a+a 2-1=1∴a =2522+(负值舍去)55.(1)如图,已知d c b a ==3,求b b a +和d dc +; (2)如果dc b a ==k (k 为常数),那么d dc b b a +=+成立吗?为什么? 【解析】(1)由dcb a ==3,得 a =3b ,c =3d .因此,bbb b b a +=+3=4 ddd d d c +=+3=4 (2)d d c b b a +=+成立. 因为有dcb a ==k ,得a =bk ,c =dk .所以b bbk b b a +=+=k +1, dddk d d c +=+=k +1. 因此:ddc b b a +=+. 6. 在菱形ABCD 中,∠B =60°,求AC 与BD 的比值.【解析】设AO =x7.下图(1)中的鱼是将坐标为(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)的点O ,A ,B ,C ,D ,B ,E ,O 用线段依次连接而成的;(2)中的鱼是将(1)中鱼上每个点的横坐标,纵坐标都乘以2得到的.AB O DCAC BD ABO B AB AO x ⊥∠=∠===,,则123022又菱形中 ABCD AC x =2BO AB AO x x x=-=-=222223()∴==BD BO x 223∴===AC BD x x 2231333图4-4(1)线段CD 与HL ,OA 与OF ,BE 与GM 的长度分别是多少?(2)线段CD 与HL 的比,OA 与OF 的比,BE 与GM 的比分别是多少?它们相等吗? (3)在图(2)中,你还能找到比相等的其他线段吗? 【解析】(1)CD =2,HL =4,OA =415422=+, OF =41281022=+ BE =52122=+, GM =524222=+(2)2141412,2142====OF OA HL CD , 21525==GM BE . 所以,21===GM BE OF OA HL CD . (3)其他比相等的线段还有21====GL BD GH BC FG AB OM OE 8. 已知四条线段a =8cm ,b =4cm ,c =2.5cm ,d =5cm ,试判断它们是否成比例(若a =8cm ,b =0.05m ,c =0.6dm ,d =10cm 呢)? 【解析】分析先按从小到大或从大到小的顺序排列,然后比较最大和最小两线段长度的乘积与中间两条线段长度的乘积是否相等.(1)从小到大排列为c 、b 、d 、a ac =8×2.5=20,bd =4×5=20 ac =bd ∴成比例(2)先化成同一单位,并从小到大排列为b 、c 、a 、d b =5cm ,c =6cm ,a =8cm ,d =10cm bd =5×10=50,ac =6×8=48 bd ≠ac ∴不成比例9.(1)如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗?为什么? (2)如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗?为什么? (3)如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗?为什么. (4)如果d c b a ==…=nm (b +d +…+n ≠0),那么b an d b m c a =++++++ 成立吗?为什么.【解析】(1)如果dc b a =,那么d dc b b a -=-. ∵d cb a = ∴d cb a =-1-1 ∴dd c b b a -=-. (2)如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++ 设fe d c b a ===k ∴a =bk ,c =dk ,e =fk ∴bak f d b f d b k f d b fk dk bk f d b e c a ==++++=++++=++++)((3)如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±∵d c b a = ∴d c b a =+1+1 ∴dd c b b a +=+ 由(1)得ddc b b a -=- ∴dd c b b a ±=±. (4)如果d c b a ==…=n m(b +d +…+n ≠0)那么b a n d b m c a =++++++设d c b a ==…=nm =k ∴a =bk ,c =dk ,…,m =nk ∴bak n d b m d b k n d b nk dk bk n d b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(10.已知:d c b a ==fe=2(b +d +f ≠0) 求:(1)f d b e c a ++++;(2)f d b ec a +-+-;(3)f d b e c a 3232+-+-;(4)fb e a 55--.【解析】∵d c b a ==f3=2 ∴a =2b ,c =2d ,e =2f∴(1)f d b f d b f d b f d b f d b e c a ++++=++++=++++)(2222=2(2)fd b f d b f d b f d b f d be c a +-+-=+-+-=+-+-)(2222=2(3)f d b f d b f d b f d b f d b e c a 32)32(2326423232+-+-=+-+-=+-+-=2(4)f b f b f b e a 510255--=--=fb f b 5)5(2--=211.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b -3c =14. (1)求a ,b ,c (2)求4a -3b +c 的值. 【解析】(1)设a =4k ,b =3k ,c =2k ∵a +3b -3c =14 ∴4k +9k -6k =14 ∴7k =14 ∴k =2 ∴a =8,b =6,c =4(2)4a -3b +c =32-18+4=1812的面积.精析:根据比例的性质及已知条件求出a 、b 、c 的值,然后由三角形的面积公式求解.【解析】解之得:k =5∴△ABC 是以a =15cm ,b =20cm 为两条直角边,以c =25cm 为斜边的直角三角形.点评:比例实际上是比例性质的应用问题。
4.7.1相似三角形中的对应线段之比(教案)
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了相似三角形对应线段之比的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
此外,我也意识到,仅仅依靠课堂上的讲解和练习是远远不够的,我应该在课后鼓励学生们自主探索和学习,通过更多的实际问题来巩固他们的知识。同时,我也应该加强与学生的沟通,了解他们在学习中的困惑和需求,以便更好地调整我的教学策略。
最后,今天的课程也提醒我,教学是一个不断学习和成长的过程。我需要不断地更新自己的教学理念和方法,以适应新时代教育的需求,帮助学生们更好地理解和应用数学知识,激发他们对几何学的兴趣。通过这样的教学反思,我相信我可以不断改进教学,为学生们提供更高质量的学习体验。
-利用多媒体和实物模型,进行直观演示,增强学生的几何直观。
-通过小组讨论和合作,让学生在实际操作中探索和发现对应线段之比的应用。
-设计梯度练习题,从简单到复杂,逐步引导学生掌握难点的应用。
-及时给予反馈,针对学生的错误和疑惑进行个别辅导,确保学生能够透彻理解。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
4.培养学生的团队合作意识,通过小组讨论和合作完成课堂练习,提高沟通能力和协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形中对应线段之比的概念,即相似比。
-学会运用对应线段之比解决实际问题,如计算未知长度。
-掌握相似三角形中对应角平分线、对应高、中线等比例关系。
八年级数学 比例线段
相似形——比例线段学习目标及要求1、了解相似图形、相似多边形、相似比及比例线段等概念。
2、了解比例线段的性质。
3、了解黄金分割比及黄金数。
知识点1:相似多边形从几何直观上来说,两个图形如果形状一致,而大小不同,则称这两个图形相似,具体到多边形,称之为相似多边形。
从严谨定义上来说,如果两个多边形各边成比例,各角相等,则称这两个多边形为相似多边形。
知识点2:比例线段1、线段的比:如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ,n ,则m ∶n 就是线段a ,b 的比,记作a ∶b =m ∶n 或a mb n=,其中a 叫做比例前项,b 叫做比例后项。
2、比例线段:四条线段,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同,则称这四条线段成比例线段,简称比例线段。
例如线段a 、b 、c 、d ,如果a c bd=,则称线段a 、b 、c 、d 成比例线段,这里要注意,a 、b 、c 、d 必须按顺序写出,不能写成b c a d=或a d bc=。
3、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项: 若a cb d=,则称a 、d 为比例外项,b 、c 、为比例内项,d 为第四比例项,如果b =c ,则称b为a 、c 的比例中项。
知识点3:比例性质 1、基本性质:如果a c b d =,则根据等式的基本性质,两边同时乘以bd 得ad bc =。
2、合比性质:如果a c b d =,则根据等式的基本性质,两边同时加上1或-1得a b c d b d ±±=。
3、等比性质:如果nm dc b a === (0≠+++n d b ),则nm dc ba nd b m c a ====++++++ ,运用这个性质时,一定要注意0≠+++n d b 的条件。
知识点4: 黄金分割把线段AB 分成两条线段AP 、PB (AP >PB ),如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项,则线段AP 把线段AB 黄金分割,点P 叫做线段AB 的黄金分割点。
八年级数学比例线段练习题
2.2比例线段同步练习一、 填充题:(3分×14=42分)1、已知3)(4)2(y x y x -=+,则=y x : ,=+x y x2、543z y x==,则=++x z y x ,=+-++zy x z y x 53232 3、已知b 是a ,c 的比例中项,且a=3cm ,c=6cm ,则b= cm 。
4、已知, 如图:ABC ∆中,DE//BC ,AD :DB=1:3,EC=6cm ,则AE= cm .5、若线段AB=10cm ,C 是AB 的黄金分割点,则较短线段CB=cm 。
6、如图,直线321////l l l ,已知AG=1.2cm ,BG=2.4cm ,EF=4cm ,CD=3cm ,则 CH= ,KF= 。
7、 比例尺为1:50000的地图上,两城市间的图上距离为20cm ,则这两城市的实际距离是 公里。
8、 梯形的两腰AD ,BC 延长后相交于点M , (1) 如果AD=3.3cm ,BC=2cm ,DM=2.1cm ,则MC= cm 。
(2) 如果95=AB CD ,AD=16cm ,则DM= cm 。
9、如图,E 是ABC ∆中线AD 上的一点,CE 交AB 于F ,已知AE :ED=1:2,则AF :BF= 。
10、若梯形的中位线长12cm ,二条对角线分中位线所成的两条线段之比为1:3,则梯形的两底长分别是 。
二、 选择题(3分×7=21分)11、已知dc b a =,则下列等式中不成立的是…………………………( ) A.c d a b = B. d d c b b a -=- C. dc c b a a +=+ D. b a c bd a =++ 12、下列a 、b 、c 、d 四条线段,不成比例线段的是………………( )A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cmB. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mmC. a=30mm b=2cm c=54cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm13、如果 a:b=12:8,且b 是a 和c 的比例中项,那么b:c 等于………( )A. 4:3B. 3:2C. 2:3D. 3:414、已知53=y x ,则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④38=+x y x 这四个式子中正确的个数是……………………………( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个15、在右图中,BC//DE ,下列比例式中,正确的是…………………( )A.CE BD AC AB =B. DE BC BD AB =C. DEAB AE AD = D. AECE AD AB = 16、已知:MN//PQ ,a ≠b,c ≠x ,则满足关系式abc x =的图形是……( )17、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是……( )A. 5:3B. 5:4C. 5:12D. 25:12三、 解答题:(共计37分)18、(5分)已知7532=b a ,求ba b a 3423+的值。
八年级数学暑假专题 图形的相似 北师大版
初二数学暑假专题 图形的相似北师大版【本讲教育信息】一.教学内容:暑假专题——图形的相似二.教学目标:1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割.2.了解相似多边形的性质,掌握两个三角形相似的条件.3.了解图形的位似,能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小,利用图形的相似解决一些实际问题.三.知识要点分析: 1.线段的比(1)比例的性质:①a b =c d ⇔ad =bc ;②a b =c d ⇒b a =d c ;③a b =c d ⇒a ±b b =c ±d d ;④a b =cd=e f =…=mn (b +d +f +…+n ≠0)⇒a +c +e +…+m b +d +f +…+n =a b. (2)点C 把线段AB 分成AC 和BC 两条线段.如果AC AB =BCAC ,那么称线段AB 被点C黄金分割.点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 2.相似三角形的判定、性质(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例.(2)两个三角形相似的条件:①两角对应相等的两个三角形相似;②三边对应成比例的两个三角形相似;③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 3.相似多边形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. (2)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.4.位似图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 5.本讲内容结构如下:线段的比黄金分割形状相同的图形相似多边形的概念相似三角形及其判定条件的探索相似的综合应用,测量旗杆的高度相似多边形的性质图形的放大与缩小【典型例题】知识点1:线段的比例1.已知a 2=b 3=c 4=d5≠0,求a +b +c +d b +c的值.题意分析:本例考查比例的性质,从已知和所求来看不能直接利用比例的性质解题. 思路分析:根据已知比例式的特点,设一个参数表示出a 、b 、c 、d ,再代入所求代数式求解.或利用比例的性质把已知和所求变形,以寻求中间比. 解:∵a 2=b 3=c 4=d5≠0,∴a +b +c +d 2+3+4+5=a 2,b +c 3+4=b 3=a 2, ∴a +b +c +d 14=b +c 7,∴a +b +c +d b +c=147=2.解题后的思考:本例是等比性质与反比性质的综合运用.例2.已知线段AB =6,C 为AB 的黄金分割点,求AC -BC 的值.题意分析:黄金分割点把已知线段分成的较长线段与原线段的比是黄金比.思路分析:由黄金比和AB 的长度可求出AC 、BC 的长度,再求差即可.但应注意点C 的位置有两个.解:(1)若AC >BC ,如图所示:AB C∵点C 是线段AB 的黄金分割点,∴AC =5-12·AB =5-12×6=35-3,BC =AB -AC =6-(35-3)=9-35. ∴AC -BC =(35-3)-(9-35)=65-12. (2)若AC <BC ,如图所示:ABC则BC =5-12·AB =35-3. ∴AC =AB -BC =6-(35-3)=9-35, ∴AC -BC =(9-35)-(35-3)=12-65. 综上所述,AC -BC 的值为65-12或12-65.解题后的思考:本例极容易忽视一条线段上有两个黄金分割点,即AC 不一定是较长线段,应分情况计算.注意,本例两种情况下的结果可分析出是互为相反数,因此可先计算其中一种的结果,另一种取其相反数即可.小结:解决比例问题除了要熟练掌握比例的性质,还有一种重要方法,那就是引入比值k 的方法.利用这种方法可以很方便地推导出比例的性质、解决比例式求值问题.知识点2:相似图形例3.如图所示,△ABC ∽△DBA ,∠BAC =80°,∠C =70°,AB =5cm ,AC =3cm ,BC =6cm ,求∠BDA 、∠BAD 、∠DAC 、BD 、AD 、DC .BCD题意分析:本题根据相似三角形的性质求相似三角形的对应角的度数和对应边的长度. 思路分析:把已知的角、线段和所求的角、线段分类,化归到相应的相似三角形中,其中∠DAC 和DC 不能转化为相似三角形的角和边,应利用求差的方法来解.解:∵△ABC ∽△DBA ,∴∠BDA =∠BAC =80°,∠BAD =∠C =70°. ∴∠DAC =∠BAC -∠BAD =80°-70°=10°.∵△ABC ∽△DBA ,∴AB DB =BC BA =ACDA.即5BD =65=3AD ,解得BD =256,AD =52, ∴DC =BC -BD =6-256=116.解题后的思考:解决相似三角形的性质问题时,注意对应位置上的字母必须对应,这样才能保证其中的角、线段的对应关系.例4.如图所示,在矩形ABCD 中,E 在AD 上,EF ⊥BE ,交CD 于F ,连接BF ,则图中与△ABE 一定相似的三角形是( )A .△EFBB .△DEFC .△CFBD .△EFB 与△DEFAB CDEF题意分析:要判定两个三角形是否相似,只需看这两个三角形是否具备相似条件,另外还要注意矩形的四个角都是直角这一隐含条件.思路分析:由题中给的已知条件可知,∠EAB =∠FDE =90°,∠DEF +∠EFD =∠DEF +∠BEA =90°,故∠EFD =∠BEA ,所以△ABE 与△DEF 相似,选项A 、C 中均没有△DEF ,故可排除,而我们又无法找到△EFB 与△ABE 相似所具备的条件,因此选项B 是正确的.解:B解题后的思考:一般情况下,在判断两个三角形是否相似时,若不知道两个三角形各边长度关系时,应考虑两角是否对应相等.小结:判断两三角形相似的方法有三种,其中“两角对应相等,两三角形相似”最简单,也最常用.知识点3:相似图形的应用例5.有一块三角形形状的铁板,如图所示,其中,AB =90cm ,AC =60cm ,BC =45cm ,现要在AB 、AC 上确定两点D 、E ,然后沿DE 将上面部分剪去,使剩下的四边形部分BDEC 为梯形,且DE =15cm ,如何确定点D 和点E 的位置?B CDE题意分析:欲确定点D 、E 的位置,只要求出AD 、AE 的长即可.思路分析:由已知条件,较易推出△ADE ∽△ABC ,利用其对应边成比例,即可求出AD 、AE 的长.解:由四边形BDEC 为梯形,得DE ∥BC ,所以∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,△ADE ∽△ABC .所以DE BC =AD AB =AE AC ,即1545=AD 90=AE 60.因此AD =30(cm ),AE =20(cm ).即点D 应距顶点A30cm ,点E 应距顶点A20cm .解题后的思考:本题利用相似三角形的性质求出AD 、AE 的长,进而确定点D 和点E 的位置.题中要求“使剩下的四边形部分BDEC 为梯形”,如果将这一要求去掉,又该如何剪呢?例6.如图,电影胶片上每一个图片的规格为cm ×cm ,放映银幕的规格为2m ×2m ,若放映机的光源S 距胶片20cm 时,问银幕应在离镜头多远的地方才能使放映的图像刚好布满整个银幕?S题意分析:如图所示,可以看作一个正四棱锥.光源S 到胶片的距离正好是点S 到胶片中心的距离,光源S 到银幕的距离正好是点S 到银幕中心的距离.思路分析:设胶片和银幕两个正方形的中心(对角线交点)分别为O 2、O 1.则SO 1SO 2=SD 1SD 2=A 1D 1A 2D 2. B 1C 1D 1SA 1O 1O 2B 2A 2C 2D 2解:设银幕距镜头xcm ,根据题意,得2m =200cm . x 20=200,解得x =80007. 80007cm =807m . 答:银幕距镜头807m 时,放映的图像刚好布满整个银幕.解题后的思考:解决此类问题首先应建立数学模型,把实物立体图形转化为平面几何图形,从而构造出相似三角形.小结:图形相似与现实世界有着密切的联系,常见的应用问题有两类:一是阳光下测量物体的高度.二是从某一点观测物体.总结:学习本讲应注意两点:一是利用比例的性质、相似图形的性质解决一些计算类的题目;二是在判断三角形相似或说明角相等、线段之间的关系时逐步加强逻辑推理的力度,认识和把握更为复杂的图形,提高研究“空间与图形”的水平.【预习导学案】(暑假专题——证明)一.预习前知1.什么是定义、命题、定理、公理、推论、证明?2.平行线的性质有哪些?如何判定两直线平行?3.三角形内角和定理及其推论是什么?二.预习导学1.下列语句中不是命题的是()A.相等的角不是对顶角B.两直线平行,内错角相等C.两点之间线段最短D.过点O作线段MN的垂线2.地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形,并给每个洲都写上了代号,然后,他请5个同学每人认出2个洲来,5个同学的回答是:甲:3号是欧洲,2号是美洲乙:4号是亚洲,2号是大洋洲丙:1号是亚洲,5号是非洲丁:4号是非洲,3号是大洋洲戊:2号是欧洲,5号是美洲地理老师说:“你们每个人都认对了一半。
八年级数学线段的比同步练习
线段的比同步练习一、选择题1.延长线段AB到C,使BC=2AB,则AC:AB为()A.1:2 B.2:1 C.1:3 D.3:12.已知a,d,b,c依次成比例线段,其中a=3cm,b=4cm,c=6cm,则d的值为()A.8cm B.192cm C.4cm D.92cm3.已知mn=ab≠0,则下列各式中错误的是()A.m ba n= B.m ab n= C.a nm b= D.m an b=4.若ab=35,则a bb+的值是()A.85B.35C.32D.585.下列四条线段成比例的是()A.1cm,2cm,4cm,6cm B.3cm,4cm,7cm,8cm C.2cm,4cm,8cm,16cm D.1cm,3cm,5cm,7cm 二、填空题6.已知:y z x z x yx y z+++===k,则k=_______.7.已知线段a,b,c满足c2=ab,a=4,b=9,则c=______.8.设2a-3b=0,则aa b-=______.9.若1,2,3,x能组成比例式,则x=______.三、解答题10.已知2x=3y,求:(1)xy;(2)x yx-;(3)x yx+.11.已知ab=cd,求证:a b c da b c d++=--.12.已知a,b,c为△ABC的三边,且(a-c):(a+b):(c-b)=(-2):7:1,又a+b+c=24,求:(1)a,b,c的值;(2)判断△ABC的形状.13.已知a,b,c,d四条线段成比例,其中a=3cm,b=(x-1)cm,c=5cm,d=(x+1)cm,求x的值.14.某弹簧悬挂40kg的物体,伸长3cm,问悬挂70kg•的物体时弹簧伸长多少厘米?15.已知在同一时刻物高与影长成比例.12时整,1.5m的标杆在地上的影子长3m,•现在量得一建筑物的影长20m,则该建筑物有多高?16.小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为1.1m,那么小刚举起的手臂超出头顶()A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m17.如图4-1-1,延长线段AB到C,使BC=4,若AB=8,则线段AC•的长是BC的______倍.。
八下(实)第7讲:线段的比及黄金分割
1第九讲 相似三角形----比例性质【知识梳理】一、两条线段的比:同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。
二、成比例线段:1.比例线段:四条线段a ,b ,c ,d 中,如果dc b a =,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段。
2.比例中项:如果cb b a =(或ac b =2),则b 叫做a 、c 的比例中项。
三、比例的性质: 1.比例的基本性质:如果dc b a =,那么bc ad =。
2.更比性质:如果dc ba =,那么dbc a=。
3.反比性质:如果d c b a =,那么cd a b =。
4.合比性质:如果d c b a =,那么ddc b b a +=+。
5.分比性质:如果d c b a =,那么dd c b b a -=-。
6.等比性质:如果)0(≠+++===n d b nm d c b a ,那么b an d b mc a =++++++ 。
四、黄金分割:点c 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC>BC ),如果ACBCAB AC =,那么点c 叫做线段AB 黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比,618.0215≈-=ABAC 。
51(1) (2)-=较长全长35(2)...2-=较短全长(3)..,(52)=-一条线段有两个黄金分割点其距离全长【典例剖析】例1:(1)已知2a c a b c d b d b d --==,求和;(2)已知0,0,a c a b c da b c b b d a b c d++=-≠-≠=--,且求证:例2:已知a 、b 、c 是非零实数,且k cb a d da b c dc a b dc b a =++=++=++=++,求k 的值.变式1.已知一次函数y=kx-1中,比例系数k 满足c a b k a bb cc a===+++,试求直线y=kx-1与x轴的交点坐标.2y x B CE DA A CB变式2.若a b c 、、均为正数,a b c x b ca c a b===+++,则x 的值一定是( ) A 、12B 、-1C 、12或-1 D 、32例3:(天府前沿)若,65432+==+c b a 且2132=+-c b a ,试求c b a ::的值。
八年级数学证明比例线段练习题
证明比例线段练习题如图;在□ABCD 中;过B 做直线交AC 于F ;交DC 于G ;交AD 的延长线于E .试说明:BF 2=FE •FG .如图;ΔABC 与ΔADB 中;∠ABC=∠ADB=90°;AC=5cm ;AB=4cm ;如果图中的两个直角三角形相似;求AD 的长.如图;点C 、D 在线段AB 上;且ΔPCD 是等边三角形. (1)当AC ;CD ;DB 满足怎样的关系时;ΔACP ∽ΔPCB ; (2)当ΔPCB ∽ΔACP 时;试求∠APB 的度数.如下图;已知在△ABC 中;AD 平分∠BAC ;EM 是AD 的中垂线;交BC 延长线于E.求证:DE 2=BE·CE.已知:如图;ΔABC 中;∠ABC=2∠C ;BD 平分∠ABC. 求证:AB ·BC=AC ·CD.FG E DC B A如图;点C 、D 在线段AB 上;且△PCD 是等边三角形.(1)当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时;△ACP ∽△PDB .(2)当△PDB ∽△ACP 时;试求∠APB 的度数.如图;已知在△ABC 中;BE 平分ABC ∠交AC 于E ;点D 在BE 延长线上;且BE BD BC BA ⋅=⋅.(1)求证:△ABD ∽△EBC ; (2)求证:DE BD AD ⋅=2.如图;已知在△ABC 中; AB =AC =6;BC =5;D是AB 上一点;BD =2;E 是BC 上一动点;联结DE ;并作DEF B ∠=∠;射线EF 交线段AC 于F .(1)求证:△DBE ∽△ECF ;(2)当F 是线段AC 中点时;求线段BE 的长;(3)联结DF ;如果△DEF 与△DBE 相似;求FC 的长.EDABFBAC D BACD (备用图)。
最新整理初二数学教案线段的比.docx
最新整理初二数学教案线段的比§4.1.2线段的比(二)●教学目标(一)教学知识点1.知道比例线段的概念.2.熟记比例的基本性质,并能进行证明和运用.(二)能力训练要求1.通过变化的鱼来推导成比例线段,发展学生的逻辑推理能力.2.通过例题的学习,培养学生的灵活运用能力.(三)情感与价值观要求认识变化的鱼,建立初步的空间观念,发展形象思维;并通过有趣的图形,培养学生学习数学的兴趣.●教学重点1、成比例线段的定义.2、比例的基本性质及运用.●教学难点比例的基本性质及运用.●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课1、回忆小学时比例的概念和比例的基本性质①表示两个比相等的式子叫比例.如果a与b的比值和c与d的比值相等,那么或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项,两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项.即a、d为外项,c、b为内项.②比例的基本性质为:在比例中,两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是:如果(b,d都不为0),那么ad=bc.引入:上节课学习了两条线段的比,本节课就来研究比例线段.Ⅱ.新课讲解1.成比例线段的定义模仿比例的概念,引入一个正方形的具体例子,给出怎样的四条线段叫做成比例线段?四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段(proportionalsegments).2.比例的基本性质如果a,b,c,d四个数满足,那么ad=bc,如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么.利用等式的基本性质说明:若,则有ad=bc.3.线段的比和比例线段的区别和联系①线段的比是指两条线段之间的比的关系,比例线段是指四条线段间的关系.②若两条线段的比等于另两条线段的比,则这四条线段叫做成比例线段.③线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如是线段a、b、c、d 成比例,而不是线段a、c、b、d成比例.4.例题图4-5(1)如图,已知=3,求和;(2)如果=k(k为常数),那么成立吗?为什么?5.想一想(1)如果,那么成立吗?为什么?(2)如果,那么成立吗?为什么?(3)如果,那么成立吗?为什么.(4)如果=…=(b+d+…+n≠0),那么成立吗?为什么.Ⅲ.课堂练习1.已知=3,求和,=成立吗?2.已知==2,求(b+d+f≠0)Ⅳ.课时小结1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质,并能灵活运用. Ⅴ.课后作业习题4.2P1071、2Ⅵ.活动与探究1.已知:==2(b+d+f≠0)求:(1);(2);(3);(4).2.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b-3c=14.(1)求a,b,c(2)求4a-3b+c的值.。
八下 4.1.2线段的比 教学设计(于海峰)
§4.1.2 线段的比学习目标:⒈知道什么是成比例线段,掌握比例的基本性质及其简单应用。
⒉掌握设比值法,熟练运用合比性质和等比性质。
学习过程: 【探究一】回顾坐标系中图形的变化,思考下面问题: 图(1)中的鱼是将坐标为(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)的点O ,A ,B ,C ,D ,B ,E ,O 用线段依次连接而成的;图(2)中的鱼是将图(1)中鱼上每个点的横坐标,纵坐标都乘以2得到的.那么两个鱼发生了什么变化?填空:(1)线段CD = ,HL= ,OA = ,OF= ,BE = ,GM=(2)线段HL CD = ,OF OA = ,GMBE = 。
这些比值相等吗? (3)在图(2)中,你还能找到比相等的其他线段吗?知识点一:成比例线段四条线段a ,b ,c ,d 中,如果 与 的比等于 与 的比,即 = ,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段。
学以致用:1、下列各线段的长度成比例的是( ).A .2cm ,5cm ,6cm ,8cmB .1cm ,2cm ,3cm ,4cmC .3cm ,6cm ,7cm ,9cmD .3cm ,6cm ,9cm ,18cm2、边长为3cm 、4cm 、5cm 的三角形三边与一条线段成比例,则这条线段为____ _cm 特别注意:①线段的比是指两条线段之间的比的关系,比例线段是指四条线段间的关系. ②若两条线段的比等于另两条线段的比,则这四条线段叫做成比例线段。
③线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如dc b a =是线段a 、b 、c 、d 成比例,而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。
知识点二:成比例线段(成比例数)的性质线段的比其实就是四个数的比,若四个数a ,b ,c ,d 都不为零,且d c b a =,去分母得 ,即⇔=dc b a ⇔=d c b a :: ;简称为(两内项之积等于两外项之积)【探究二】师生互动,共同完成下面的问题:(1)如图,已知d c b a ==3,求b b a +和d d c + ; (2)如果d c b a ==k (k 为常数),那么d d c b b a +=+成立吗?为什么?【探究三】教师引导,学生动脑、动手。
八年级数学下册《4.2 黄金分割》教学设计
《4.2 黄金分割》一、教学内容及其分析一、教学内容:黄金分割二、内容分析:本节课要学的内容是黄金分割,指得是线段的比、成比例线段,其核心是线段的比,明白得它关键是把握成比例线段的特点,来明白得黄金分割的内容。
学生已经学过了大体作图,知道了作图的方式。
又在学习本章第一节后,把握了线段的比、成比例线段的概念,比例的大体性质,求比的计算和比例尺的计算等知识,本节课的内容黄金分割,确实是成比例线段的应用。
由于学习《黄金分割》不仅实现线段比例的要求,更是表现数学的文化价值,0.618的意义,表现数学与建筑、艺术等学科必然联系的纽带。
因此在本学科有超级重要文化价值,并有美化生活的作用,是相似形这一章的基础内容。
教学的重点是了解黄金分割的意义并能运用,解决重点的关键是通过建筑、艺术上实例欣赏,应用中进一步强化线段的比、成比例线段的特点,来明白得黄金分割的内含。
二、目标及其分析(一)教学目标1.了解黄金分割,会找一条线段的黄金分割点,会判定某一点是不是为一条线段的黄金分割点;2.通过找一条线段的黄金分割点,培育学生明白得与动手能力。
3.明白得黄金分割的意义,并能动手找到和制作黄金分割点和图形,让学生熟悉数学与人类生活的紧密联系。
(二)目标分析1.了解成比例线段,确实是是指结合具体事例,从它们的表示形式上对它们有所了解,并非给出它们的概念,更不涉及其图像或性质。
2.明白得比例的大体性质确实是指对性质的推理要明白,明白依据是什么。
由于本节课的教学内容重点是比例的性质,后续内容还涉及其运算,因此对照例的性质的定位应该是明白得层次,并能简单应用。
三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能碰到的问题是找出黄金分割点和黄金矩形,产生这一问题的缘故是对照例性质的明白得,和性质推理的熟悉。
要解决这一问题,确实是要用等式性质及方程的观点处置问题,关键是把握“比值k ”的方式将比例的性质加以证明,把握其内在的联系。
四、教学进程问题1:什么缘故女同胞们穿高跟鞋更有魅力?设计用意:通过创设一个有趣的情景,将同窗的注意力引向本章的学习当中,并引出黄金比解决实际问题。
八下 4.1.1线段的比 教学设计(于海峰)
第四章 相似图形§4.1.1 线段的比【有效学习】学习目标:1.知道线段比的概念.2.会计算两条线段的比.学习重点:会求两条线段的比. 学习难点:会求两条线段的比,注意线段长度的单位要统一.【自学提高】知识点1:两条线段的比把两条线段 的比,称为两条线段的比。
例:图中,△ABC 中线段AB 和BC 的比就可表示为:=BC AB 若a=4cm,b=3cm,c=2cm,那么=BCAB ,就称AB 和BC 的比值为 . (注意:单位长度必须统一才能求比)若k BCAB =,则=AB , =BC .别是16cm ,10cm.(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米?(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少?它们的实际长度之比呢?解:=新安大街的实际长度新安大街的图上长度 =光华大街的实际长度光华大街的图上长度新安大街的实际长度= 光华大街的实际长度==光华大街的图上长度新安大街的图上长度 =光华大街的实际长度新安大街的实际长度重点题型练习:小明站在一棵树旁边照相,照片中,小明身高量得1cm ,树量得5cm ,实际小明身高为1.6m ,求这棵数实际高度?(试用两种方法1、利用比例尺;2、利用图形比例)1. 在1:25000000的区图上,量得福州到北京的距离为6cm ,则福州到北京的实际距离为 km 。
2. 如果线段a=5cm ,b=6m ,那么a 与b 的比值是________.已知21=b a ,则b b a +=3、若2x=3y, 则x y= , 已知213a b b -= ,那么=b a _____,则2a b b -=4、若a:b=3:2,则(a+b ):(a-b )=_____.5、若(a-b):b=5:9, 则a:b=_____.6、752c b a ==,则=cb _____,b ac b a --+223=__________7、求正方形中,边长与对角线的比。
8、求等边三角形中,高和边的比。
线段的比(2)
b
d
由a c k, bd
得a kb, c kd.
因此
(2).如果 a b
c d
k (k为常数),
ab b
kb b b
bk 1
b
k
1,
那么a b c d 成立吗? c d kd d d k 1 k 1.
bd
d
d
d
为什么?
积累就是知识
请用类比的方法得出结论
1.如果 a c , 那么 a b c d 成立吗 ?为什么?
八年级数学(下) 第四章 相似图形
§4.1线段的比(2)
刁镇中心中学 刁峰
回顾 & 思考 ☞ 什么叫做两条线段 的比呢
如果选用一个长度单位量得两条线段a ,b 的长度分别为
m ,n .那么两条线段的比 a∶b = m∶n 或 a m bn
其中a,b分别叫做这个线段比的前项和后项.
如果把 m 表示成比值k, 那么a k,或a k b.
四条线段a,b,c,d成比例,记作a∶b=c∶d.
或 a c . 其中比例外项为a,d,比例内项为b, c.db称为d a,b,c的第四比例项.
特殊情况:若b与c相等,即a∶b=b∶d 则称b是a、d的比例中项
实践出真知
知识 内化
• 判断下列四条线段是
否成比1例.a=.2,b=3,c=6,d=12 2.a=2,b=4,c=4,d=8 3.a=2,b=3,c=4,d=7 4.a=2,b=3,c=6,d=4
如果ad bc, (其中a, b, c, d都不等于0),
那么a c . bd
说说你对P105【例2 的理解和收获
例2.(1).如图4 3,
解 : (1).由 a c 3,
八年级数学比例线段教学设计
八年级数学比例线段教学设计一、教学目标1.理解成比例线段以及项、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项等的概念.2.掌握比例基本性质和合分比性质.3.通过通过的应用,培养学习的计算能力.4.通过比例性质的教学,渗透转化思想.5.通过比例性质的教学,激发学生学习兴趣.二、教学设计先学后做,启发引导三、重点及难点1.教学重点比例性质及应用.2.教学难点正确理解成比例线段及应用.四、课时安排1课时五、教具学具准备股影仪、胶片、常用画图工具六、教学步骤(复习提问)1.什么是线段的比?2.已知这两条线段的比是吗,为什么?(讲解新课)1.比例线段:见教材P203页。
如:见教材P203页图5-2。
又如:即a、b、c、d是成比例线段。
注:①已知问这四条线段成比例吗?答:成比例。
,这里与顺序无关。
②若已知a、b、c、d是成比例线段,是指不能写成在说四条线段成比例时,一定要将这四条线段按顺序列出,这里与顺序有关。
板书教材P203页比例线段的一些附属概念。
2.比例的性质:1比例的基本性质:如果,那么。
它的逆命题也成立,即:如果,那么。
推论:如果,那么。
反之亦然:如果,那么。
①基本性质证明了“比例式”和“等积式”是可以互化的。
②由,除可得到外,还可得到其它七个比例式。
即由一个等积式,可写成八个不同的比例式让学生试写。
然后教师教给方法。
即:先按左:右=右:左“写出四个比例式。
再由等式的对称性写出另外四个比例式:。
注意区别与联系。
③用比例的基本性质,可检查所作的比例变形是否正确。
即把比例式化成等积式,看与原式所得的等积式是否相同即可。
④等积化比例、比例化等积是本章一个重要能力,要使学生达到非常熟练的程度,以利于后面学习。
2合比性质:如果,那么证明:∵ ,∴ 即:同理可证:找学生板演3等比性质:如果那么证明:设 ;则等比性质的证明思路及思想非常重要,它是解决数学中连比问题的’通法,希望同学们认真体会,务必掌握。
例1要求了解即可1已知:,求证:。
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1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍,则这两条线段的比=
2、早上8点和中午12点时,某地一根高30m的电线杆的影长分别为40m和10m,相应时刻电线杆的高与其影长的比分别是
3、在△ABC中,∠B=900,AB=BC=10cm;在△DEF中,ED=EF=12cm,DF=8cm.则AB与EF之比=,AC与DF之比 =
练一练:
(1)若线段AB=3cm,CD=6cm,则AB∶CD________,CD∶AB=_________。
(2)若线段MN= 0.2,PQ=0.75,则PQ∶MN=________.
(3)若线段a,b长度的比值等于1,则a与b的之间关系为__________。
(4)已知AB=5cm,延长AB到点C,使BC=10cm,则AB∶BC=,AC∶BC=,AB:AC=_____
A.5分钟 B.4分钟 C.3分钟 D.2分钟
拓展延伸
早上8点和中午12点时,某地一根高30m的电线杆的影长分别为40m,10m,同一时刻身高1.5m的小明的影长分别为2m,0.5m,相应时刻电线杆的高与影长的比各是多少?相应时刻小明的身高与影长的比各是多少?
课堂札记
一、由预习内容导入新课。
二、同学们通过合作探究理解两条线段的比与单位没有关系。
合作探究 (请认真阅读书本第101-103页后完成。)
1、通过预习想一想:两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系?
思考:线段a的长度为3厘米,线段b的长度为6米,所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗?说说你的理由.
新发现:如果选用同一个长度单位量得线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB:CD=,或写成 . 其中AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m:n表示成比值k,那么,或。
三、通过巩固练习检测同学们对本节知识的掌握情况。
学 习
要 点
【重点】会求两条线段的比。
【难点】会求两条线段的比,注意线段长度的单位要统一。
学 法
指 导
线段的比就是在统一长度单位下,两条线段长度的比。所以,在求它们长度的比时,应先统一单位,再求它们长度的比。换句话说,两线段的比与所采用的长度单位没有关系。
临晋初中八年级数学学科课题线段的比课型探究课主备人审阅人八年级数学组班级______姓名___________
学 习
目 标
1、结合现实情境了解线段的比和成比例线段。
2、理解并掌握比例的性质及其简单应用。
导案
2、做一做: 量出数学书的长和宽(精确到0.1 cm),并求出长和宽的比.如把单位改成mm和m,比值还相同吗?
预习导学
1、如果线段 , ,则这两条线则这两条线段的比是
3、课本P101,观察思考并回答问题。
1)如果把大树和小颖分别看成如图所示的两条虚线AB,CD,那么这两条线段的长
度比是。
2)已知小颖的身高是1.6m,大树的实际高度是m.
3)如果将此图片放大100倍或1000倍,AB与CD的比值也会扩大100倍或1000倍吗?
4、在比例尺为1:8000的某学校地图上,矩形运动场的图上尺寸是1cm×2cm,矩形运动场的实际尺寸是多少?
5、某同学要把相距 的两棵树画在比例尺为1:500的图纸上,则这两棵树的图距是。
6、在比例尺为1:100 000的地图上,海军参谋量得从海岸到A岛的距离为2厘米,并且知道船在此海上行使的最快速度为40千米/时,那么海军要到达A岛至少需要( )
学后记
新发现求两条线段的比时要注意的问题
(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示,如果单位长度不同,应先化成,再求它们的比;
(2)两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位;
(3)两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是。
新发现比例尺的定义
在地图或工程图纸上,与的比通常称为比例尺。
3、自学例1