1.5 随机变量的函数变换
函数图像的变换(2019)
2、（ 0）对y＝sin（x＋）图像的影响.
函数y＝sin（x＋）的图像可以看作是把y＝sin（x＋）的 图像上所有的点横坐标缩短（ 1时）或伸长(0 1时)
到原来的 1 倍（纵坐标不变）而得到.
这种变换称为周期变换（伸缩变换）
它是由 的变化而引起的， 与周期T的关系为 T 2
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以候神人於执期 ”於是王翦将兵六十万人 可不勉与 甘泉则作益延寿观 公子刻攻魏首垣 善赵将李齐 上怒曰：“纵以我为不复行此道乎 夺之权 恐其有变 甘心於外国 秋 明汉王之信於天下 威动万里 秦文公东猎汧渭之间 天子所以赏赐者数十巨万 掩定襄狱中重罪轻系二百馀人 为关内侯 命曰 “畤”；使人人奉职 秦昭王後悔出孟尝君 故令人谓韩王曰：“秦召西周君 交易有无之路通 左 转祸而说秦 今王头至 固以为常 取东周 如冠玉耳 居妫水北 以为十四县 监郯下军 婴已而试补县吏 置前 如此而魏亦关内侯矣 私家富重於王室 危亡之术也 今乃於毛先生而失之也 又阴痿 皆去其 业 自子夏 齐大夫黎鉏言於景公曰：“鲁用孔丘 灵公太子蒉聩得过南子 始皇七年 及薨 鄡单字子家 六月壬申 布衣也 鲁昭公之二十年 里中持羊酒贺两家 ”於是少女缇萦伤父之言 诏以为太子舍人、门大夫、家令 秦又攻其垒 其顺者乃治之 报乙卒 有如万分之一 以次问之 高后欲立诸吕为 王 轸自为厚而为王薄也 是吾不肖 尽取齐之宝藏器 五在中国 赵得全 而逐武王后出之魏 四十二年 而忍卖之乎 又可尽亨之邪 放怪兽 田乞伪事高、国者 拔五城 予百家居之 子定公臧立 同宇 自命也； 昭王三十二年 啸命群雄 右陇蜀 而亲近蒙毅 此王业也 尹佚筴祝曰：“殷之末孙季纣 三 年而燕王喜使太子丹入质於秦 梓材有作 以
随机变量的函数变换
f X ( x)
1 2 X
( x mX )2
2 2 X
e
Y b X h(Y ) a
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
1 e 2 a X
1 2 X
e
y b mX )2 a 2 2 X (
1 a
( y amX b ) 2
2 2 a 2 X
mY am X b
2 2 Y a 2 X
2
例 : 平方律检波的输入输出的关系为 : Y bX 2 b 0 已知输入随机信号X的概率密度为f X ( x), 求输出 随机信号Y的概率密度fY ( y ).
X 1 h1 ( y ) Y b X 2 h2 ( y ) Y b
X 1 h1 (Y ) X 2 h2 (Y )
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h1' ( y )
' f X (h2 ( y )) h2 ( y )
1
例1.1.5 随机变量X和Y满足线性关系Y aX b, X为高斯变量, a, b为常数, 求Y的概率密度.
fY ( y ) 1 (2 by ) [ f X ( y b ) f X ( y b )]
3
三、随机变量函数的数字特征
已知随机变量X及其概率密度f X ( x), 随机变量Y g ( X )
E[Y ] yfY ( y)dy g ( x) f X ( x)dx
t2 2 2
FT [e
] 2 e
2 2
2
fY ( y ) fY ( y )
1 2
函数的图像----图像的伸缩变换
o
x
2.作函数y sin 2x, y sin 1 x
简图.
2
解时:的函图数象y=.sin2x的周期T
列x 表:
0
4
2x
0
2
sin2x 0 1
的
,因x此先[0,作 ]
2
3 4
3 2
2
0 -1 0
解:函数 y sin 1 x 时的图象. 2
T 的4周 期
x [0, 4,]因此先作
列x
可得到（ ）
的图像上所有点向左 6
平移个单位，
A.y sin(2x ) 6
C.y sin(2x ) 3
B.y sin(2x ) 6
D.y sin(2x ) 3
2.要得到函数
y
2
cos(2x
3
)
，只需将函y数 2sin 2x
的
图像（ ）
A.向左平移 个单位 12
C.向右平移 个单位
的纵坐标伸长(A>1)或缩短(A<1)为原来的A倍，横坐标不变
得到。值域为[-A，A]
y=sinx
相位 y=Asin(x+) 周期
变换
变换
y=Asinx
周期 变换
y=Asinωx
y=Asin(ωx+)
相位 变换
★阅读P49– P52，完成“基础感知”； ★巩固固化，完成“深入学习”.
★对议，小组内两人讨论，完成“基础感知”； ★组议，小组讨论运用公式，完成“深入学习”
0
表:
1 2
x
0
sin 12x 0
2 3 4
2
3 2
2
1 0 -1 0
随机变量的定义定义
条件随机变量
01
定义
条件随机变量是指在给定某些变量的条件下，另一个变量 的概率分布。
02 03
描述
条件随机变量通常用于描述两个或多个随机事件之间的条 件关系，例如在概率图模型中，条件随机变量被用来表示 节点之间的条件依赖关系。
应用
条件随机变量在许多实际问题中都有应用，例如在自然语 言处理中，给定上下文的情况下，下一个词的概率分布可 以用条件随机变量来表示；在推荐系统中，给定用户历史 行为的情况下，用户的兴趣偏好可以用条件随机变量来表 示。
02
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各自方差的比值，用于衡量两个随机
变量的线性相关程度。
03
协方差与相关系数的性质
协方差和相关系数具有对称性、非负性、规范性等性质，这些性质使得
协方差和相关系数成为描述两个随机变量之间线性关系的重要指标。
03
CATALOGUE
随机变量的应用
在统计学中的应用
方差的定义
方差是随机变量取值与期望值之差的平方的平均值，用于衡量随机变量取值的离散程度 。
方差的性质
方差具有非负性、规范性、可加性等性质，这些性质使得方差成为描述随机变量离散程 度的重要指标。
协方差与相关系数
01
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，反映了两个随机变量
同时取值的波动情况。
概率分布
随机变量是概率论的基本概念之一，它可以表示某一随机现象的 结果，并具有特定的概率分布。
随机事件的概率
通过随机变量，我们可以计算随机事件的概率，了解事件发生的 可能性。
随机过程的描述
在随机过程中，随机变量用于描述随机现象的变化规律，帮助我 们理解随机现象的本质。
1.5函数的图像----图像的伸缩变换(课件PPT)
7
导—3min
3.作函数 ysinx,y12sinx的简图. 解：这两个函数的周期T=2.因此作它在[0, 2 ] 的图象，再 按周期扩展.
列 x0 表: sinx 0
2
1
3 2
2
0 -1 0
2sinx 0 2 0 -2 0
1 2
sinx
0
1 2
0
1 2
0
8
导—3min 2 y
描 点: 1
o
连 线:
列x
0
表:
1 2
x
0
sin 12x 0
2 3 4
2
3 2
2
1 0 -1 0
5
导—3min
作图:
y
1
x
o
2
-1
6
导—3min
—周期变换 y=sinx, xR(>0,1)的图象可以由y=sinx的图象所有
点的横坐标伸长(<1)或缩短(>1)原来的1/倍,纵坐标
不变得到。
作图:
y
1
o
-1
2
3
4 x
y 2sin(1 x)
。
23
变换为函数
15
展—7min 4.把f(x)的图象沿x轴向右平移 个单位，再把所得 8 图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，恰好得到 y=cosx的图象，求函数f(x)的表达式。
16
评—7min
A ——振幅变换 y=Asinx, xR(A>0,A 1)的图象可以由y=sinx的图象所有点的 纵坐标伸长(A>1)或缩短(A<1)为原来的A倍，横坐标不变得到。 值域为[-A，A]
随机变量的函数变换
如果随机变量Y是二维随机变量(X1,X2) 的函数，即
Y g ( X 1, X 2 )
可求Y的数学期望和方差。
f X ( x)
1 2 X
e
( x m X )2 2 X 2
a、b为常数，求Y的概率密度。
如果X和Y之间不是单调关系，即 Y的取值y可能对应X的两个或更多的 值x1,x2,…, xn。
假定一个y值有两个x值与之对应，则有
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
' 1
'
一般地，如果y=g(x)有n个反函数 h1(y), h2(y),…, hn(y)，则
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y ) f X (hn ( y )) hn ( y )
'
' 1
'
例2：假定输入输出的关系为Y=bX2， b>0，若已知X的概率密度为f(x)，求Y 的f(y)。
Y [ X ]
如果X与Y之间的关系是单调的，并且 存在反函数，即 X 1[Y ] h(Y )
若反函数h(Y)的导数也存在，则可利 用X的概率密度求出Y的概率密度。
综合上述讨论，得到
fY ( y ) f X ( h( y )) h ( y )
'
例1：随机变量X和Y满足线性关系 Y=aX+b，X为高斯变量，即
1.5 随机变量的函数变换
这个函数关系的含义为：在随机试 验E中，设样本空间为S={ei}，对每一 个试验结果ei，对应于X的某个取值 X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei) 与X(ei)有如下关系：
随机变量的函数变换
对数变换的性质与定理
1
对数变换可以用来将正态分布转换为标准正态分 布。
2
如果随机变量X的对数变换Y=logX服从正态分布， 那么Y的数学期望EY=0，方差DY=1。
3
如果X是连续型随机变量，那么对于任意实数a， 有P(aX≤x)=P(X≤x/a)。
幂函数变换的性质与定理
幂函数变换可以用来将均匀 分布转换为标准均匀分布。
对数变换
对数变换是指将随机变量X替换为 log(X)，其中log表示以e为底的对数。 对数变换可以用来将概率分布从偏态 分布转化为正态分布。
在生物学、医学和金融领域，对数变 换被广泛应用于处理数据，因为这些 领域的数据往往呈现偏态分布。
幂函变换
幂函数变换是指将随机变量X替换为X^a，其中a是常数且a≠0。幂函数变换可以用来改变随机变量的分 布形状，特别是当X的值域较大时。
在研究随机过程时，经常需要将时间变量或空间变量进行函数变 换，以分析随机过程的性质和行为。
随机变量的变换
通过对随机变量进行函数变换，可以研究其概率分布的性质，如 期望、方差、协方差等。
随机事件的变换
在概率论中，通过对随机事件进行函数变换，可以研究其概率的 增减和变化规律。
在金融数学中的应用
风险度量
如果随机变量X的幂函数变换 Y=X^n服从均匀分布[0,1]，那 么Y的数学期望EY=1/n，方差
DY=1/n^2。
如果X是连续型随机变量，那 么对于任意实数a和正整数n， 有 P(aX≤x)=P(X≤x^(1/n))/|a|^ n。
05
函数变换的应用
在统计学中的应用
分布变换
通过函数变换，可以将一种分布 的随机变量转换为另一种分布的 随机变量，从而简化统计分析过 程。
人工智能的数学基础】随机变量的变量替换定理
人工智能的数学基础】随机变量的变量替换定理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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1.1.3 随机变量的函数变换
1 f X ( x) = e 2π σ
−
( x −m )2 2σ 2
f X ( x) =
1 e 2π
x2 − 2
fY ( y) = f X1 ( y) ∗ f X2 ( y)
Φ Y (ω ) = Φ X1 (ω ) ⋅ Φ X 2 (ω ) = Φ (ω )
2 X
ΦX (−ω) = e
t2 − 2 2σ
f X ( x) =
1 2π σ X
−
( x−mX )2
2 2σ X
e
Y −b X = h(Y) = a
fY ( y ) = f X (h( y )) h′( y ) =
− 1 = e 2π a σ X
1 2π σ X
e
y −b −mX )2 − a 2 2σ X (
1 a
( y − am X −b ) 2
(1) Φ X (ω ) = Φ1 (ω )Φ 2 (ω )
(2) Φ X (ω ) = Φ1 (ω )Φ 2 (ω )Φ 3 (ω ) (3) Φ X (ω ) = Φ1 (ω )Φ 2 (2ω )Φ 3 (3ω )
(4) Φ X (ω ) = e
j10ω
Φ1 (2ω )Φ 2 (ω )Φ 3 (4ω )
性 3: 互 独 随 变 之 的 征 数 于 随 变 质 相 立 机 量 和 特 函 等 各 机 量 特 函 之 ,即: 若 = ∑Xn, Xn之 相 独 , 征 数 积 Y 间 互 立
n= 1 N
则: ΦY (ω) = E[e
jωY
] = ∏ Xn (ω) Φ
n= 1
14
N
随机变量X 1 , X 2 , X 3彼此独立, 且特征函数分别为Φ1 (ω ), Φ 2 (ω ), Φ 3 (ω ), 求下列随机变量的特征函数 : (1) X = X 1 + X 2 ; (3) X = X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 (2) X = X 1 + X 2 + X 3 ; (4) X = 2 X 1 + X 2 + 4 X 3 + 10.
随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法
明
要 】概 率论与数理统计》 《 中的求解随机变量函数的分布 ， 图解法的求解直观、 易于掌握 ， 本文通过 实例 （ 线性 变换与平方 变换） 以说 加
【 关键词 】 图解法； 分布 函数法 ； 随机变量的函数
０ 引 言
数学上难于理解的问题 ， 若能用图形说清楚 ， 对学生 、 教师都会 收 【 其 它 Ｏ 到事半功倍 的效 果 ， 在求解随机变量 函数 Ｙ＝ （） ｇｘ 的分 布中 ， 一系列 的 ２ ８的概 率 密度 ． Ｘ＋ 公式推导令学生难于理解与掌握 ， 课堂上用图解法求解 函数 的的分布 从 图 ３上 ， Ｘ取值在（ ４ ， Ｏ，）对应 Ｙ的取值在 （ ， ） Ｏ８ ， 可使学生易于理解 、 易于掌握分 布函数法 ， 下面以实例来 说明用图解 法求解 随机 变量函数中常用的线性变换 Ｙ＝Ｘ＋ （≠０（ 调函数） ａ ｂａ ） 单 与 平 方 变 换 Ｙ Ｘ２ 单 调 函 数 ）学 生 也 可 以用 在其 它 类 型 的 变 换 中 ， ： ＝ ｆ 非 ， 如 Ｂ 对数变换 、 指数变换及三角函数变换 等． 。
—、 。 ：
Ｏ ｛ 哇
×
分 布函数 ：ｄ ）Ｆ（／ ）蹦 一 ／ ）两边对 Ｙ 导得 Ｙ的概率密度 Ｆｙ＝ ｘ 一 、 ， 、 求
ｆ ｙ＝ ｄ ） — 一 Ｏ ／ ｔ 、 ｙ） 、 ｙ） 一 ／ ） ．
２Ｖ Ｙ
图２
对平 方变换 Ｙ＝ 非单调 函数 ）从 图形上搞清 ｘ与 Ｙ的取值 范 Ｘ（ ， 围， 以写 出它们相应的分布函数 ， 可 从而求导得 Ｙ的概率 密度 函数．
一
ｆ
．
０ ＼
图３
Ｘ
率值 ， 如图 １ ：
Ｏ ｘ
5 随机变量的函数及其分布
§5 随机变量的函数及其分布一、离散型随机变量的函数二、一维连续型随机变量的函数的分布 三、(连续型)随机向量函数的分布律 四、随机向量的变换 本章补充与注记人们经常碰到随机变量的函数.例如分子运动的动能T =2/2mv 是分子运动速度——随机变量v 的函数；数理统计中经常用到2χ(n)分布，相应的随机变量2χ=21ξ+…+2n ξ，其中各i ξ相互独立，都服从N (0, 1). 2χ是1ξ,…,n ξ的函数. 一般，若ξ是随机变量, y = g (x )是普通的实函数，则η= g (ξ)是ξ的函数. 接着产生两个问题：1) η是随机变量吗？2) 如果是，η的分布与ξ的分布有什么关系？对于多个随机变量的函数，也存在同样的问题.对第一个问题比较容易解决. 因为若η= g (ξ)是随机变量，就必需满足§1的(1)式，这就不得不对函数g (x ) 有所限制.定义 设g (x )是一维实函数， 是R 上的波雷尔σ-域. 若对任意B ∈ ，都有{x : g (x ) ∈B }=g -1 (B ) ∈(1)(即当g (x )的值域是波雷尔集时，其原像也是波雷尔集), 则称g (x )是一元波雷尔函数.实变函数论中可以证明：一切分段连续, 分段单调的函数都是波雷尔函数，故它是十分广泛的一类函数，日常碰到的大都是这类函数.现在我们可以来回答第一个问题：若ξ是概率空间 (Ω, , P )上的随机变量, f (x )是一元波雷尔函数，η= f (ξ) , 则对任意的B ∈ ，由这里的 (1)及§1的(1)式可得{ω:η(ω)∈B }={ω: f (ξ(ω))∈B }={ω:ξ(ω)∈f -1(B ) }∈ .故η是随机变量.类似可以定义n 元波雷尔函数. 且若f (1,,n x x )是波雷尔函数，则η=f (1,,n ξξ)就是随机变量. 以后我们讲随机变量的函数都是指这种函数.下面讨论第二个问题，分几步来解决.一、离散型随机变量的函数这种情况比较简单，仅举几个例子来说明.例1 设ξ的分布列为101211114288-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，η=2ξ-1, ζ=2ξ, 求η,ζ各自的分布.解η的可能取值为-3, -1, 1, 3, 是有限个, 只须算出对应的概率. 由于{η=-3}= {ξ=-1}，故P {η=-3}= P {ξ=-1}，类似可得其它概率. 我们得到η的分布: 311311114288--⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.ζ可取的值为0,1,4,但注意到{ζ=1}={ξ=1} {ξ=-1},故P {ζ=1} =P {ξ=1}+P {ξ= 1-}=113848+=;ζ的分布列为014131288⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.一般，设ξ有分布列P (ξ=i x ) = p (i x ),i =1,2,…, 则η=f (ξ)有分布列P (η=jy ) =()()i ji f x y p x =∑, j =1, 2,….例2 设ξ～B (1n ,p ), η～B (2n ,p ), ξ,η相互独立，求ζ=ξ+η的分布. 解ξ,η各可取值0,1,…,1n 和0,1,…, 2n , 则ζ可取值0, 1,…, 1n +2n , 且由§4的(5)式，得P (ζ= r ) =(,)r k P k r k ξη===-∑=0()()rk P k P r k ξη===-∑=12120rn kn r kk kr k r kn n k Cp qCpq--+--=∑=1212rn n rrk r k n nk p qCC +--=∑=1212n n rr r n n C p q +-+,这里用到了组合数的性质. 计算的结果表明: ξ+η～B (1n +2n ,p ), 这个事实显示了二项分布一个很重要的性质：两个独立的二项分布，当它们的第二参数相同时，其和也服从二项分布，它的第一参数恰为这两个二项分布第一参数的和. 这性质称为二项分布的再生性（或可加性(additive property)）.从ξ,η的概率意义来看，这结果是非常明显的：ξ和η分别是12n n 和重贝努里试验中成功的次数，两组试验合起来，ζ=ξ+η应该就是12n n +重贝努里试验中成功的次数.本例计算过程中得到的公式P (ζ= r ) =(,)r k P k r k ξη===-∑=0()()rk P k P r k ξη===-∑ (2)是计算取非负整数值的独立随机变量和的分布的公式，称为离散卷积公式.二、一维连续型随机变量的函数的分布设ξ的密度函数为p (x )，我们要求出η=f (ξ)的分布函数G (y ). 事实上, G (y ) =P (η≤y ) = P (f (ξ) ≤y ), 而D ={x :f (x ) ≤y }是一维波雷尔集，故G (y )= P (ξ∈D ) =()d x Dp x x∈⎰. (3)至于η是不是连续型随机变量，它的密度函数是什么，在一般场合无法作出决定，但在某些特殊而又常见的场合，我们可以直接导出η的密度函数g (y ).定理1 若f (x )严格单调，其反函数1f -(y )有连续导函数，则η=f (ξ)也是连续型随机变量，其密度函数为g (y ) =11(),(())|(())|,.0,y f x p f y f y y --'⎧∈⋅⎨∈⎩的值域其它 (4)证 不妨设f (x )严格单调增加，且-∞< x <+∞时,A < f (x ) <B .显然若y ≤A 则G (y ) = 0，此时有g (y )=0；当A <y <B 时, {η≤y }={f (ξ) ≤y }= {ξ≤1f -(y )}, 故G (y ) = P (η≤y ) =1()()d f y p x x--∞⎰,令x =1f -(v ), 得G (y )=11(())(())d yAp f v f v v--'⋅⎰=()d yg v v-∞⎰,其中g (v ) 如(4)式所示；而当y ≥B 时有G (y )=1, 故g (y ) = 0; 这就证得(4)式.当y = f (x )为严格单调减少时，类似可证(4)式成立.推论 若y = f (x ) 在不相重叠的区间12,I I ,…上逐段严格单调, 在各段的反函数12(),()h y h y ,…有连续导数，则η= f (ξ)是连续型随机变量，其密度为g (y ) =(),(())|()|,.0,i i i y h y p h y h y '⎧∈⋅⎨⎩∑当各的定义域时其它. (5)证 注意到{f (ξ) ≤y }={ξ()i iE y ∈∑}，其中()i E y 是i I 中满足f (x ) ≤y 的x 的集合，再利用(4)式得到()()(())()d i i E y iiP y P E y p x xηξ≥=∈=∑∑⎰=(())|()|d yi i ip h x h x x-∞'∑⎰=(())|()|d .yiiip h x h x x -∞'∑⎰由此即得证(5)式.例3 设ξ～N ( a ,σ2), 求η=k ξ+b 的密度函数 (k ≠0).解y =f (x ) = kx +b 满足上述定理1中的条件，1f -(y ) = (y -b )/ k , ξ的密度p (x )=22()2x a σ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭, -∞ < x <+∞, 由(4)式,g (y 22[]/2y b a k σ---}·|1/ k exp22()2()y ka b k σ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭, 说明η～N (ka +b ,22k σ). 特别，若η= (ξ-a )/ b ，则η～N (0,1)，这个结果早已为我们所熟知.例4 ξ～N (0, 1), 求η=2ξ的密度.解y =2x 是分段单调的，反函数：当1I =(-∞,0)时,x =1h (y )=当2I =(0,+ ∞)时，x =2h ; 值域都是y >0. 故y >0时，g η(y) =exp ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭/2e y -;y ≤0时, g η(y )=0.它称为χ2(1) 分布. 关于χ2分布，后面还要作较详细介绍.例5 设ξ有连续的分布函数F (x ), 求θ= F (ξ)的分布. 解 考虑θ的分布函数，因为0≤F (x )≤1, 故x <0时, P (θ≤x ) = 0,(不可能事件); x ≥1时, P (θ≤x) =1, (必然事件); 当0≤x<1时，{θ≤x }={F (ξ) ≤x },考虑F (x )的反函数，由于y = F (x )不一定严格增加，对同一y ，可能有很多个x 与它对应, 为确定起见，对任意 0≤y ≤1，定义F -1(y ) = sup{x : F (x )<y }作为F (x )的反函数（图2－6中，对应y 1的是x 1）.于是P (θ≤x ) = P ( F (ξ) ≤x ) = P (ξ≤ F -1(x)) = F (F -1(x)) = x , 即θ= F (ξ)服从[0, 1]上的均匀分布.例6 （例5的反问题）若θ服从 [0, 1] 上的均匀分布, F (x )满足分布函数的三个性质,求ξ= F -1(θ)的分布.解ξ的分布函数为P (ξ≤x ) = P (F -1(θ) ≤x) = P (θ≤F (x )),因为0≤F (x ) ≤1，而θ～U [0, 1]，由均匀分布函数的定义，对任意x ，上式等于F (x ).本例说明：不论F (x )是什么函数，只要满足分布函数的三个条件，就存在随机变量使其分布函数为F (x ).三、(连续型)随机向量函数的分布律设 (1,,n ξξ) 为连续型随机向量，其密度为p (1,,n x x ). 又设η=f (1,,n ξξ),则η的分布函数可由下式决定:F η(y ) = P (f (1,,n ξξ)≤y) =111(,,)(,)d d n n nf x x yp x x x x ≤⎰⎰. (6)下面看几种特殊情况. 1.1.η=12ξξ+ F η(y ) =121212(,)d d x x yp x x x x +≤⎰⎰=111212(,)d d y x dx p x x x x +∞--∞-∞⎰⎰,作变量代换x 2=z - x 2，再交换积分次序，得F η(y )=111d (,)d yx p x z x z+∞-∞-∞-⎰⎰=111((,)d )d yp x z x x z+∞-∞-∞-⎰⎰,这说明η是连续型随机变量，其密度函数为()(,)d p z p x z x xη+∞-∞=-⎰. (7)特别, 当ξ1与ξ2相互独立，各自有密度p 1(x ), p 2(x )时, ξ1+ξ2的密度为12()()()d p z p x p z x xη+∞-∞=-⎰（或12()()d p z x p x x+∞-∞-⎰) . ')7(')7(式称为卷积公式(convolution )，与离散卷积公式 (2) 对照，两者极为相似.例7 ξ,η独立同分布，都服从N (0,1), 求ζ=ξ+η的分布密度.解 用卷积公式')7(. 对任意z ∈R ,22/()/2()dxz x p z xζ+∞----∞=⎰22/4/2d zz x----∞⎰.注意到上面积分号中是N (z /2 ,1/2)的密度， 就有()p z ζ2/4z-, 这说明ζ=ξ+η～N (0, 2).以后会用更简单的方法证明：若ξ,η相互独立，ξ～N (211,a σ), η～N(222,a σ), 则ξ+η～N (221212,a a σσ++). 本例是其特殊情况. 与本节的例2对照，可知正态分布对两个参数都有再生性.例8 设ξ,η相互独立，密度函数分别如下两式，求ζ=ξ+η的密度.0,e ,()0.0,ax x a p x x ξ->⎧=⎨≤⎩(a > 0); 0,e ,()0.0,bx x b p x x η->⎧=⎨≤⎩(b > 0).解 当且仅当x >0且z -x >0时, 即z > x >0时, ()()p x p z x ξη-≠0. 因此由(7)'式，当z ≤0时()0p z ζ=；当z >0时，()()0()e e d e e d zzax b z x bz a b x p z a b x ab xζ------==⎰⎰故1)a = b 时, ()e bzp z abz ζ-=; 2) a ≠b 时,()(e e )bzaz ab p z a b ζ--=--.2.η=ξ1/ξ212121212/()( /y)=(,)d d x x yF y P p x x x x ηξξ≤=≤⎰⎰22212121210d (,)d d (,)d yx yx x p x x x x p x x x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰,令12x zx =, 并交换积分次序，得222222220()[(,)d (,)d ]d y F y p zx x x x p zx x x x zη+∞-∞-∞=-⎰⎰⎰()d y p z zη-∞=⎰.这说明若 (ξ1,ξ2) 是连续型随机向量，则η=ξ1/ξ2是连续型随机变量，其密度为()(,)||d p z p zx x x xη+∞-∞=⎰. (8)例9 ξ,η相互独立，都服从U [0, a ], 求ξ/η的密度.解0,1,()()0,.x a a p x p x ξη≤≤⎧⎪==⎨⎪⎩其它 又ξ,η相互独立，故只有当00xz a x a ≤≤⎧⎨≤≤⎩时，p (zx , x ) =()p zx ξ()p x η=21a ≠0. 上述区域为图中阴影部分.由(8)式，当z < 0时，对任何x , p (z x , x ) = 0, 此时/()0p z ξη=; 当0≤z <1时，由图中区域I ，2/011()2ap z xdx aξη=⋅=⎰;当1≤z <+∞时，为图中II,/22/01()1/2a zp z xdx z aξη=⋅=⎰.3.次序统计量的分布设12,,,n ξξξ独立同分布，分布函数都为F (x ). 把12,,,n ξξξ每取一组值12(),(),,()n ξωξωξω(w ∈Ω)都按大小次序排列，所得随机变量*1ξ, *2ξ,…, *n ξ称为次序统计量(order statistic ), 它们满足*1ξ≤*2ξ≤…≤*n ξ. 因此，*1ξ= min {12,,,n ξξξ},*n ξ=max{12,,,n ξξξ}.现在来求*1ξ,*n ξ及(*1ξ,*n ξ)的分布，这在数理统计中是有用的.1) *n ξ的分布函数P (*n ξ≤x ) = P (12,,,n x x x ≤≤≤ξξξ)= P (12)()()n x P x P x ≤≤≤ξξξ=[()]n F x . (9)2) *1ξ的分布函数先考虑{*1ξ≤x }的逆事件{*1ξ> x },P {*1ξ> x }=1(,,)n P x x >>ξξ=1()()n P x P x >>ξξ=[1()]nF x -,故P(*1ξ≤x )=1-[1()]nF x -.(10)3) (*1ξ,*n ξ)的联合分布函数F (x , y ) = P (*1ξ≤x , *n ξ≤y ) = P (*n ξ≤y )-P (*1ξ> x , *n ξ≤y )=[()]nF x -P (1()ni i x y =<≤ξ),因此当x < y 时,F (x , y ) = [()]n F x -[()()]nF y F x -;当x ≥y 时,F (x , y ) = [()]nF x . (11)如果12,,,n ξξξ还是连续型随机向量，有密度p (x ) =F '(x )，则上面各随机变量（向量）也是连续型，可将各分布函数求导以得到密度函数.四、随机向量的变换设 (12,,,n ξξξ) 的密度为p (1,,n x x ). 现有m 个12,,,n ξξξ的函数:η1=f 1(12,,,n ξξξ),…,ηm =f m (12,,,n ξξξ), 则 (η1,…,ηm ) 也是随机向量，除了各边际分布外，还要求其联合分布. 类似(6)式, 其联合分布函数为G (1,,m y y )=P (m m y y ≤≤ηη,,11 )=11(,,)d d n nDp x x x x ⎰⎰.(12)这里D 是n 维区域:{(1,,n x x ):111(,,)n f x x y ≤,…, 1(,,)m n m f x x y ≤}.定理2 如果m = n , {f j }有唯一的反函数组：x i = x i (1,,n y y ), i =1,…,n , 且J =11(,,)(,,)n n x x y y ∂∂≠0, 则(η1,…,ηn)是连续型随机向量. 当(1,,n y y )∈(1,,)n f f 的值域时，其密度为q (1,,n y y ) = p [x 1 (1,,n y y ),…, x n (1,,n y y )]|⋅J |， (13) 其它情况 q (1,,n y y )=0.证 只须在(12)式中利用重积分的变量代换: u 1=11(,)n f x x ,…,u n =),(1n n x x f , 就有G (1,,n y y ) =⎰⎰∞-∞-111),,(y y nn ndu du u u q ,故q (1,,n y y )确为(η1,…,ηn )的联合密度.例10 ξ,η相互独立，都服从参数为1的指数分布，求α=ξ+η与β=ξ/η的联合密度; 并分别求出ξ+η与ξ/η的密度.解 (ξ,η)的联合密度：当x > 0且y > 0时，p (x , y ) =()ex y -+, 其它情况为0.函数组 /u x y v x y =+⎧⎨=⎩的反函数组为/(1)/(1)x uv v y u v =+⎧⎨=+⎩，当x ,y >0时,u , v >0,1211(,)1//(,)u v J y x y x y -∂==-∂=2x y y +-=-2(1)v u +, 故 |J | =2(1)u v +,由(13)式，(α,β)的联合密度为：u >0且v >0时, q (u , v ) =2e /(1)u u v -+; 在其它情况q (u , v ) = 0.α=ξ+η与β=ξ/η各自的密度为q (u , v ) 的边际密度. 不难看出：u >0时, ()e up u u -α=; u ≤0时，()p u α=0;v >0时, ()p v β=1/2(1)v +; v ≤0时，()p v β=0,并且α,β相互独立.本例中，自然也可以用第三段中的方法计算ξ+η与ξ/η各自的分布，但这里的方法显然更方便.这是一个富有启发性的例子，它告诉我们：1o 要判断随机向量的几个函数η1,…,ηn 是否独立，可用随机向量变换公式求得它们的联合分布，再用独立性的各种充要条件来判断；2o 要求随机向量的一个函数的分布，有时可适当补充几个函数，先求它们的联合分布，而原来要求的函数的分布可作为其边际分布. 例11 假设X 是一个随机变量，令Y ＝2X ，那么我们可以用X 的分布函数F X (x )来表示（X ，Y ）的联合分布函数F XY (x ,y ). 如果y ≥2x ，那么P (X ≤x ，Y ≤y )＝P (X ≤x )=F X (x ); 如果y <2x ,那么P (X ≤x , Y ≤y )=P (Y ≤y )=P (X ≤y /2)=F X (y /2) 因此(),2.(,)(/2),2.XXY X F x y x F x y F y y x ≥⎧=⎨<⎩例12 例12 ξ，η相互独立，并且ξ服从N(0,σ2),η服从(0,π)上的均匀分布.求α＝ξ＋a cos η的密度函数，其中a 为常数.解 (ξ，η)的联合密度为：p (x ,y)= 22/2,,0,0,x x y -σ-∞<<∞<<π⎩其他. 令β＝η，那么与变换α=ξ+a cos η，β＝η相对应的方程组是cos ,.u x a y v y =+⎧⎨=⎩它有唯一解cos ,,x u a v y v =-⎧⎨=⎩并且J ＝1. 这样我们得到q (u ,v )=p (u -a cos v ,v ).因此，α的密度函数为22π(cos)/2()(cos,)de d.u a vp u p u a v v vvασ+∞-∞--=-=⎰例13 ξ与η独立同分布，都服从N(0, 1), ξ=ρϕcos,η=ρϕsin. 求证: ρ=ρ(ξ,η)与ϕ=ϕ(ξ,η)相互独立.证先利用(13)式求(ρ,ϕ)的联合密度. 变换的函数组与反函数组分别为(,),(,).r x yx yρθϕ=⎧⎨=⎩cos,sin.x ry rθθ=⎧⎨=⎩在{-∞< x <∞,-∞< y <∞, (x, y) ≠(0, 0)} 与{r>0, 0≤θ<2π}中变换是一一对应的, J=r, (ξ,η)的联合密度为p(x, y) =221exp2π2x y⎛⎫+- ⎪⎝⎭,故(ρ,ϕ)的联合密度为q(r, θ) =2/21e,0,02π,2π0,r r rθ-⎧⋅⋅>≤<⎪⎨⎪⎩其它.q(r,θ)可分离成R(r) ⋅Θ(θ)，其中R(r) =2/20,e,.0,r rr-⎧>⎪⎨⎪⎩其它, Θ(θ)=1/2π02π,0.θ≤<⎧⎨⎩，，其它分别为ρ,ϕ的密度，故ρ与ϕ相互独立. 这里ρ的分布称为瑞利(Rayleigh)分布，ϕ是[0, 2π]上的均匀分布.反之，设ξ1,ξ2相互独立，都服从U[0, 1],1/2112(2ln)cos(2π)ηξξ=-,1/2212(2ln)sin(2π)ηξξ=-,则12,ηη相互独立，都服从N(0, 1)；这是产生N(0, 1)随机数的一种基本方法.从本章习题我们可以看到, 即使ξ,η相互独立, ξ和η的两个函数f1(ξ,η)与f2(ξ,η)仍然可以不独立. 但在某些特殊情况，仍保持独立性.例14假设随f1机变量X和Y相互独立，并且Z仅是X的函数，W仅是Y的函数：(),().Z g X W h Y==如果hg,导数存在，那么Z和W仍相互独立.证. 首先假设(),()g x z h y w==，有唯一解11(,)x y. 既然()0(,)0()g x J x y h y '='=()()g x h y ''并且(,)()()XY X Y p x y p x p y =，我们有1111()()(,).()()X Y ZW p x p y p z w g x h y =''但x 1仅是z 的函数，y 1仅是w 的函数；因此，Z 和W 相互独立. 至于解并不唯一的情况，也可类似证明，请读者自行完成.更一般地我们有下面的定理.定理3 令121k n n n n ≤≤≤≤=；f 1是n 1个变量的Borel 可测函数，f 2是21n n -个变量的Borel 可测函数，…，f k 是1k k n n --个变量的Borel 可测函数. 如果X 1, X 2,… , X n 是独立随机变量，那么112111211(,,),(,,),,(,,)k k n n n k n n f f f -++X X X X X X是相互独立的.特别，当12,,,k f f f 是单变量函数时，我们有1122(),(),,()k k f f f X X X 相互独立.注意逆命题不成立，即有这样的例子：ξ2,η2相互独立，但ξ与η不独立(见本章习题65).五、数理统计中几个重要分布本段介绍数理统计中应用很广的三个重要分布——χ2分布, t 分布和F 分布. 它们都与正态分布有密切关系，都可作为随机变量的函数来导出它们的密度. 先讨论比χ2分布更广泛的一类分布——Γ分布，它的密度函数由§2的(15)式定义. 这里再来介绍Γ分布的一个重要性质.引理（Γ分布的可加性）Γ分布Γ (λ,r )对第二个参数具有可加性：若ξ1,ξ2相互独立，ξ1～Γ(λ,r 1), ξ2～Γ(λ, r 2), 则ξ1+ξ2～Γ(λ,r 1+ r 2).证 由卷积公式(7)'式,η=ξ1+ξ2的密度：当z <0时,p η(z )=0; 当z >0时, p η(z )=121211()012e ()e d ()()r r z r r x z x x z x xr r λλλλ------ΓΓ⎰.整理后，作变量代换x =z t ，并利用第二型欧拉积分B (r 1, r 2) =121110(1)d r r t t t ---⎰=Γ(r 1)Γ(r 2)/Γ(r 1+ r 2),就有 1212121211121212()e (,)e ()()()r r r r r r r r z zp z z B r r z r r r r λληλλ+++-+---==ΓΓΓ+,所以η～Γ(λ,r 1+ r 2).当r =1时，Γ(λ,1) 即为指数分布. 另一特殊情况是取λ=1/ 2, r =n /2(n 为自然数），即为下面的1. χ2分布称Γ(1/2, n /2)为χ2(n )分布，其中称n 为它的自由度(degree of freedom ). 它的密度为/2/21/2(1/2)()e ,0,(/2)0,0.n n x p x x x n x --⎧=>⎪Γ⎨⎪≤⎩(14) 定理4 (1)χ2分布具有可加性，也就是说，设ξ1～χ2(n 1),ξ2～χ2(n 2)，则ξ1+ξ2～χ2(n 1+ n 2)；(2) 若ξ1,⋯,ξn 相互独立，都服从N (0,1)，则221=n ηξξ++～χ2(n ). (15)证 (1) 由Γ分布的可加性即得χ2分布的可加性.(2) 记2i i ηξ=, i =1,…,n , 由{ξi }相互独立，可知{ηi}相互独立. 又在本节的例4已经直接算得ηi的密度，由于(1/2)Γ=ηi ～χ2(1)，再由(1), 运用数学归纳法，就得 211n n i i i i ξη===∑∑～χ2(n ).上述定理显示了χ2分布的本质属性，χ2分布中的自由度n 即是21n i i ξ=∑中独立正态变量ξi 的个数.2. t 分布 定理5 若ξ～N (0,1), η～χ2(n ), 且ξ与η相互独立，则随机变量T =的密度函数为p (x2(1)/2/)n x n -++, -∞< x <+∞. (16)称具有上述密度的随机变量T 服从t (n )分布，n 为它的自由度.为了证明定理5, 可先用定理1求出θ=的密度，再用商的密度公式(8)求出T =ξ/θ的密度，详细证明见本章末的补充与注记6.3.F 分布定理6 设随机变量ξ～χ2(m ), η～χ2 (n ), ξ与η相互独立, 则F =//mn ξη的密度函数为/21/2/2()/2[()/2]() ,0,(/2)(/2)()0,0.m m n m n m n x p x m n x m n mx n x -+⎧Γ+=>⎪ΓΓ+⎨⎪<⎩(17) 称具有上述密度的随机变量服从F (m ,n )分布，m 与n 分别为它的第一自由度和第二自由度.为了证明定理，可先用定理1求得1/m ξξ=与1/n ηη=的密度，然后再利用商的密度公式(8)求得F=11/ηξ的密度，详细计算见本章末的补充与注记6. F 分布有下述性质:(1)(1)若F ～F (m , n ), 则1/ F ～F (n , m ). 这从F 的定义立即可以得到.2) 若T ～t (n )，则T 2～F (1, n ).证=T ξξ与η相互独立,ξ～N(0,1),η～χ2(n ),而22/(/)T n ξη=,且ξ2～χ2(1),ξ2与η相互独立，所以T 2～F (1, n ).补充与注记1. 十九世纪中叶以前，概率论的主要兴趣仍然集中在随机事件的概率计算上. 俄国数学家切贝雪夫（Chebyshev 1821-1894），马尔可夫（Markov 1856-1922）和李雅普洛夫 （Lyapunov 1857-1918）等首先明确地引进随机变量这一概念，并加以广泛地应用与研究.2.电话的呼叫数, 等车的乘客数, 放射粒子数等等随机变量为什么服从普阿松分布呢？这些随机变量表示的都是在一定的时间或空间内出现的事件数, 它们具有下列共同的特性，即平稳性，独立增量性和普通性. 以电话交换台固定时间t内收到的呼唤数ξ为例来说明这件事，它具有1o平稳性，即在[t0, t0+t]时段内来到的呼叫数ξ= k的概率只与时段的长度t 有关，而与区间的起点t0无关，记作P k(t). 从而对不同时段的呼叫数的考察当长度t相同时可以看成重复试验.2o独立增量性(无后效性)，即ξ=k这一事件与t0以前所发生的一切事件独立，所以考察不同时段的呼叫数是独立试验.3o普通性，指在充分小的时间间隔内，最多来到一个呼叫，严格地说，当t →0时1-P0(t)-P1(t)=o(t) (1) 现在我们来计算P k(t)，把区间[t0, t0+1)n等分，则[t0, t0+ t)分成nt份，取足够大的n并把nt看成整数，并使近似地在每个小区间[t0+ (r-1)/n, t0+ r/n) 内至多有一次呼叫, (∆t=1/n), r=1,2,…, nt. 故在一个小区间内有还是没有一次呼叫是一次贝努里试验，而由于头两条性质，对整个时段[t0, t0+ t)(即对nt个小区间) 的考察可看成是nt重贝努里概型，故事件{ξ= k}近似服从二项分布：P(ξ= k)≈b(k; nt, p n) (2)这里p n是在一个小区间中有一次呼叫的概率，它与区间长度∆t成正比，即p n=λ∆t.现在我们来计算P k(t)，把区间[t0, t0+1)n等分，则[t0, t0+ t)分成nt份，取足够大的n并把nt看成整数，并使近似地在每个小区间[t0+ (r-1)/n, t0+ r/n) 内至多有一次呼叫, (∆t=1/n), r=1,2,…, nt. 故在一个小区间内有还是没有一次呼叫是一次贝努里试验，而由于头两条性质，对整个时段[t0, t0+ t)(即对nt个小区间) 的考察可看成是nt重贝努里概型，故事件{ξ= k}近似服从二项分布：P(ξ= k)≈b(k; nt, p n) (2)这里p n是在一个小区间中有一次呼叫的概率，它与区间长度∆t成正比，即p n =λ∆t .(2)式是近似的，其原因是略去了高阶无穷小，当∆t →0即n →∞时, (2)变为精确值. 由普阿松定理，得到 (注意lim n n ntp t λ→∞=)()()lim (; ,)e !kt n n t P k b k nt p k λλξ-→∞===, k =0,1,2,….这就说明了ξ服从参数为λt 的普阿松分布.在随机过程理论中，将用更严密的方法讨论这件事，并把上述结果进一步推广.3. 我们来说明Γ-分布及指数分布的实际意义. 把参数为λt 的普阿松过程中接待r 个顾客所需要的时间记为τr 我们来推导它的分布函数F ( t ).当t ≤0时，F (t ) = 0;当t >0时，以ξ(t )表示t 秒内接待的顾客数，它服从参数为λt 的普阿松分布，而事件{τr ≤t} = {ξ(t )≥r }, 从而F (t ) =P (τr ≤t) = P(ξ(t )≥r ) =1-P (ξ(t )< r ) = 1-10()e !k t r k t k λλ--=∑, 故而其密度函数p (t ) =F '(t ) = 11100()e ()e !!k t k tr r k k k t t k k λλλλλλ-----==-+∑∑ 11()e e (1)!()r t rr t t t r r λλλλλ----==-Γ, (t >0).这正是Γ-分布. 上面推导说明普阿松过程中接待r 个顾客所需要的时间τr 服从Γ-分布. 如果我们把某机器更换一个零件看成接待一个顾客，则更换相同的r 个零件所需的时间τr 服从Γ-分布. 特别，更换一个另件所需时间τ(即该另件的寿命) 服从指数分布. 所以指数分布有时也称为寿命分布.4. 离散型随机变量的概率密度函数定义脉冲函数，即所谓广义函数()x δ，它是满足下列积分关系的函数：对所有在0点连续的函数φ()()(0).x x dx φδφ∞-∞=⎰通过平移变换，不难看出下式成立：00()()().x x x dx x φδφ∞-∞-=⎰这样，对任意函数F (x )，如果x 0是其不连续点，令k 是F (x )在x 0处的跳跃高度，即00()()k F x F x +-=-. 那么0()k x x δ-在x 0的值可看成是)(x F 在x 0处的导数. 假如X 是离散型随机变量，具有分布列1212n nx x x p p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 那么，它的密度函数可写为：()(),i i i p x p x x δ=-∑即[]d ()()()()d i i i F x F x F x x x x δ-=--.同样也可用p (x )的积分来表达事件的概率，如2112()()d x x P x X x p x x ++<≤=⎰, 2112()()d x x P x X x p x x +-<≤=⎰. 例. 如果X 服从退化分布，只取一个值c ，那么它的密度函数为()()p x x c δ=-；如果X 服从两点分布，取0，1两个值的概率分别为1-p 和p ，那么它的密度函数为()(1)()(1)p x p x p x δδ=-+-.混合型随机向量的联合概率密度函数假设X 是离散型随机变量，分布列如上；Y 是连续型随机变量，分布密度为()Y p y ， 这样(X ,Y )的联合概率分布完全集中在一族直线k x x =上. 落在线段{}(,d )k x y y y ⨯+上的概率为(,d )k P X x y Y y y =<≤+.这时，联合分布函数(,)F x y 对y 连续，对x 不连续，其中不连续点为,1,2,.k x x k ==如果X 和Y 相互独立，那么利用前面关于离散型随机变量密度函数，同样可以写出(X ,Y )的联合密度函数为1(,)()()k k k p x y p x x p y δ∞X ==-∑，即(),,1,2,,(,)0,.k k p p y x x k p x y Y ==⎧=⎨⎩其它例. 假设Z 是一个服从(-π,π)上均匀分布的随机变量，如果cos X Z =，sin Y Z =, 那么(X ,Y )的联合概率分布完全集中在圆周221x y +=上. 为了计算其概率密度函数，令1ρ=，那么ρ和Z 相互独立，并且联合概率密度函数为11,,(,)(1)()20,.z p z p z ρππρδρπ⎧=-<<⎪=-=⎨⎪⎩，其它另外，方程组cos ,sin .x z y z ρρ=⎧⎨=⎩有唯一解，并且|J |=1. 因此，(X ,Y )的联合概率密度函数为22,1,(,)20,.x y p x y π⎧+=⎪=⎨⎪⎩其它5. 存在性定理尽管常用的随机变量和分布函数都有其实际背景，与某个具体的随机试验相联系，但为了理论研究的方便，我们通常假设某随机变量服从某分布或具有某密度函数，而不涉及具体的随机试验. 事实上，下面的存在性定理表明，给定任一个分布函数)(x G ，总可以构造一个适当的试验和相应的随机变量使得其具有分布函数)(x G .定理 假如G (x )是一个分布函数，那么存在一个概率空间),,(P ΩF 和一个随机变量X 使得X 在P 下的分布函数)(x F X 恰好等于G (x ).证. 我们把所有实数看成是想象的某试验的结果，即Ω=R ，并定义其上的σ域 为R 上的Borel 域 . 定义概率P 如下：对任意x ，定义 中的事件（-∞，x ]的概率](,()P x G x -∞=.这样，由测度论中的有关理论知道， 上的所有事件的概率都是确定的. 现在定义随机变量X 如下：(),X ωωωΩ=∈这是合理的，因为这里的ω是一个实数. 进而，对任意x 我们有).()())(()(x G x x x F =≤P =≤X P =X ωω6.复合分布. 以上我们介绍了一些常用的分布函数，但在实际问题中往往需要考虑其他类型的分布函数或者是上述常用分布函数的复合. 例如，在保险精算业务中，时常需要考虑下列一种风险模型. 记N 是给定时期保单的理赔次数，X i 是第i 次理赔的理赔量，则该时期的总理赔量S 等于1N i i X =∑. 这个模型的特点在于理赔次数N 是随机变量，因此S 的分布是X i 的分布与N 的分布的复合. 为讨论模型方便，我们作如下假定：i) 随机变量序列X i 同分布，共同分布为F (x );ii) 随机变量序列N , X 1，X 2，⋯，相互独立.这样S 的分布()S F x 可由全概率公式加以计算0()()(|)().S n F x P S x P S x N n P N n ∞==≤=≤==∑当N 服从普阿松分布时，我们称S 的分布为复合普阿松分布.例. 假设N 服从几何分布，()n P N n pq ==，0,1,2,n =，其中01q <<,1p q =-；X i 为指数分布()1i x X F x -=-,0x >，求S 的分布解. 记1n n i i S X ==∑. 由上述公式得，(0)(0)P S P N p ====；对0x >，0()(|)()n P S x P S x N n P N n ∞=≤=≤==∑=0()n n n pq P S x ∞=≤∑=1001d (1)!x n n z n pq z z n ∞--=-∑⎰=0d x pzpq z -⎰.这表明S 是一个混合型分布：取0值的概率为p ，以概率q 在(0,∞)上服从参数为p 的指数分布.7. 全概率公式的连续形式假设A 是任一事件，并且()0P A ≠，令X 是一随机变量，其分布函数为F (x )，密度函数为p (x ). 对12x x <，因为1221()()()P x X x F x F x <≤=-，那么121221(,)(|).()()A x X x P A x X x F x F x P <≤<≤=-并且进而有[]211221(|)(|)()(|)()()F x A F x A P A P A x X x F x F x -<≤=-. (1)对任意集合B ，如果()0P B =，那么(|)P A B 没有定义. 然而，如果B 与X 有关，那么我们可以用某种极限的方式来定义(|)P A B . 现考虑一种重要情形，即{}B X x ==. 假设对某个x ，()0p x ≠，我们可以定义0(|)lim (|)x P A X x P A x X x x ∆→==<≤+∆.这样由(1)有(|)()(|)()p x A P A P A X x p x ==,其中[]0(|)(|)()(|)lim ,()()x F x x A F x A P A p x A F x x F x ∆→+∆-=+∆-称为在条件A 下的条件密度函数，它具有密度函数的性质. 从上述进一步成立(|)()d (|)()d P A X x p x x p x A P A x +∞∞-∞-∞==⎰⎰既然右边等于()P A ，那么我们获得全概率公式的连续形式()(|)()d P A P A X x p x x∞-∞==⎰和相应的贝叶斯公式(|)()(|)(|)()d P A X x p x p x P A X x p x x∞-∞=A ==⎰例. 假设随机变量P 服从(0,1)区间上的均匀分布. 现独立投掷一枚硬币10次，每次出现正面的概率为p . 求出现4次正面的概率？解. 用ξ表示投掷硬币10次所出现的正面次数，当P p =时，ξ服从二项分布(10,)B p . 因此，由全概率公式得1(4)(4|)d P P P p pξξ====⎰=1446100(1)d C p p p-⎰=4101(5,7)11C β=8.t 分布与F 分布的密度函数的推广. 1). t (n )分布若ξ～N (0, 1),η～2()n χ,且ξ与η相互独立，我们来计算t =ξ的密度.先求θ. y=x 的严格增加函数，其反函数x = ny 2有连续导数. 对 y >02/22/21/2(1/2)()[()]|()|()e 2(/2)n n ny p y p x y x y ny nyn θη--'=⋅=⋅Γ=2/21/22(/2)e(/2)n n ny n y n --Γ；显然当y ≤0时, ()0p y θ=.再求t =ξ/θ的密度. 因为ξ与η相互独立，故ξ与θ也独立. 由商的密度公式，t 的密度为()(,)||d ()()||d t p z p zy y y y p zy p y y yξθ∞∞-∞-∞=⋅=⋅⎰⎰=22/2()/21/202(/2)e d (/2)n zy n ny n y y y n ∞---⋅Γ⎰(令u =222n z y +)/2/2(1)/210e d n n n u u u∞+--⎰(1)/221n z n -+⎫+⎪⎭, (-∞< z <∞).2). F (m , n )分布设ξ～2()m χ,η～2()n χ,ξ与η相互独立. 我们来计算F =//mn ξη的密度. 先计算1/m ξξ=的密度. 令y = x / m , 则x = my . 1ξ的密度为/2/21/21(1/2)()()()()e (/2)m m my p y p my my my mm ξ--'=⋅=Γ=/2/21/2(/2)e(/2)m m my m y m --Γ, (y >0).同理,1/n ηη=的密度为/2/21/22(/2)()e(/2)n n nx n p x x n --=Γ, (x >0). 因此11=/F ξη的密度是12()()()||d F p z p zx p x x x∞-∞=⎰=/2/2/21()/21()/20(/2)(/2)d (/2)(/2)m n m m n mz n x m n z x e x m n ∞-+--+ΓΓ⎰ (令u =2mz n x +)=()/2/2/2/21()/210(/2)(/2)2d (/2)(/2)m n m n m m n u m n z u e um n mz n +∞-+--⎛⎫⎪ΓΓ+⎝⎭⎰=/21/2/2()/2(()/2)(/2)(/2)()m m n m n m n z m nm n mz n -+Γ+ΓΓ+, (z >0); z ≤0时,()0F p z =.。
随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法
随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法
线性变换与平方变换是随机变量函数的一类变换，它用于描述实验中观察到的随机变量之间的关系。
本文主要介绍线性变换与平方变换的图解法，并讨论它们之间的区别和特点。
线性变换是指把一个随机变量变换成另一个同样可以表示为一组常数乘以原来随机变量的新的随机变量的变换。
它的图解法可以用四象限散点绘图来表示，如图1所示，以一个变
量Y为横轴，另一个变量X为纵轴，变换前原变量X和Y在图中表示为正方形，变换后
新变量X'和Y'形成直线，其斜率可以由图中给出，公式可表示为：Y'/X' = kY/X。
图1 线性变换的图解法
平方变换是把一个随机变量X变换为X^2的随机变量Y的变换，它的图解法可以用交叉
散点图来表示，如图2所示，以一个变量X为横轴，另一个变量Y为纵轴，表示X^2 = Y，公式可表示为Y = X^2。
综上所述，线性变换与平方变换的图解法有所不同。
前者是从一个正方形变成一条斜率，而后者是从一个点变成一条曲线。
同时，它们都是研究随机变量之间联系，表现出不同随
机变量之间的内在联系的一种变换方式。
随机变量的拉普拉斯变换及威德形式的反演公式
２１ 第 ６ ００年 期
随机变量的拉普拉斯变换及威德形式的反演公式
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ｎＸｔ －ｉ ＞ ￣
∽ Leabharlann … 这就是威德反演公式。 最后证 明 （２ １）式再 （ ，ｏ ）的任何 有限区问中成立 Ｏ ｏ 的一致性。 设 Ｊ （ ，一）是有 限区间 ，对 ＞０ ｒ Ｏ
所 以，
６ ６ ‘
脚 ＝ｃ （ ） 一
赤即
Ｅ ） －（ｔ ＝ｅｆｄ Ｘｔ ＇）
（ １ ）
故
㈡ 山
证明己 知Ｘ ＝ ，… 服从 １ ，Ｊ 参数为 指数 布， ２ 的 分
－ｆ １ ￣－ ｒ ）式左端为 Ｘ 的母函数，右端为 Ｘ 的拉普拉 ］（
斯 换 （ 拉 变 。 １ 式 端 是 数 厂） 变 称 氏 换）（） 右 又 函 的
２ ． 威德反演公式的大数定律
令 ，对 （ ）式两边取极限，有 ５
定 １ ｊ相 独 、 服 参 为 的 数 理 设 是 互 立 均 从 数 指
赤即
） ㈤ ＝ ・
分 的 机 量 列 ＝ 那 ， 布随变序， ∑ 么
ｋ＝ｌ
（ ） 一
ＸＮ ０ Ｇ Ｕ ＩＮ Ｎ Ｃ Ｎ
《随机变量的变换与二次函数的变换》
《随机变量的变换与二次函数的变换》
《随机变量的变换与二次函数的变换》是一种分析数据的方法，用来对随机变量和二次函数进行变换，以改变它们的运动趋势。
变换可以有效地改变它们原有的行为，从而使数据的变化情况更具有普遍性。
首先，当处理随机变量时，根据其分布特性，通常需要做变换，这是因为一般的随机变量的分布不会是正态的，因此变
换可以有效地把它们变成高斯分布。
常用的变换方法是：对数变换、标准差变换、指数变换，以及 Box-Cox变换等等。
这些变换方法都能有效地将随机变量变换成具有高斯分布特征的变量。
其次，围绕二次函数变换，其变换形式主要有两种，一种是
把二次函数变换成一次函数，也可以把二次函数变换成三次
函数，这样就可以轻松地解决问题。
二次函数变换的具体过
程是：先将函数的参数进行改变，然后将函数的参数映射到
曲线上，从而改变函数的形式，最后得到我们期望的函数形式。
二次函数变换的好处是，可以在保持原先的数据的情况下，实现对数据的变换，同时建立起更完整的模型，能够更
准确地代表数据的变化。
最后，随机变量变换和二次函数变换都是有效的数据分析手段，能够有效地改变数据的变化情况和行为，从而使数据变得更
具有普遍性，更有用。
对数据有了更多的理解，也就可以使
用更先进的算法，从而得到更准确的结果。
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Y [ X ]
如果X与Y之间的关系是单调的，并且存在 反函数，即
X [Y ] h( y)
1
若反函数h(Y)的导数也存在，则可利用X的 概率密度求出Y的概率密度。
复习：积分的求导运算：
d b (t ) db(t ) f ( x ) dx f ( b ( t )) dt a dt
x1 y2 x2 y2
f X ( x1 , x2 ) J
J 称为雅可比行列式
X 1 h1 (Y1 , Y2 ) X 2 h2 (Y1 , Y2 )
fY ( y1 , y2 ) J f X ( x1 , x2 ) h1 y1 h2 y1 h1 y2 f X ( h1 ( y1 , y2 ), h2 ( y1 , y2 )) h2 y2
1.5 随机变量的函数变换
这个函数关系的含义为：在随机试验E 中，设样本空间为S={ei}，对每一个试验结 果ei，对应于X的某个取值X(ei)，相应地指 定一个Y(ei)，且Y(ei)与X(ei)有如下关系：
Y (ei ) g[ X (ei )]
显然，Y的概率特性与X是有关系的。
1.5.1 一维变换
x h( y )
由于分布函数非负，得到
h( y) fY ( y) f X (h( y)) y x fY ( y ) f X ( x ) y
h( y) fY ( y ) f X ( x ) y
x h( y )
1.5.2 二维变换
设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度f(x1 x2), ， 另有二维随机变量(Y1,Y2)，且
Y1 1 ( X 1 , X 2 ) Y2 2 ( X 1 , X 2 )
求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度f(y1, y2)。
X 1 h1 (Y1 , Y2 ) X 2 h2 (Y1 , Y2 )
fY ( y1 , y2 ) f X ( x1 , x2 )
x1 y1 x2 y1
FY ( y) P[ ( X ) y] P[ X (Y )]
1
FY ( y) P[ X h( y)]
h( y )
f X ( x)dx
利用积分的求导运算公式得：
dFY ( y ) dh( y ) f X (h( y )) dy dy
dh( y ) fY ( y ) f X (h( y )) dy
J 称为雅可比行列式
已知X与Y独立
f R (r, ) f R (r) f ( )