几个常用函数的导数 说课稿 教案 教学设计
几个常用函数的导数(教案)
章节一：导数的基本概念1.1 引入导数的定义解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们了解函数在某一点的增减性、极值等性质。
章节二：常数的导数1.2 常数的导数证明常数的导数为0：根据导数的定义，常数的切线斜率为0，其导数为0。
强调常数的导数对解题的重要性：在求解复合函数的导数时，常数的导数会出现。
章节三：幂函数的导数1.3 幂函数的导数导数的求法：对于幂函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
举例说明：求f(x) = x^2的导数，根据公式得到f'(x) = 2x。
章节四：指数函数的导数1.4 指数函数的导数导数的求法：对于指数函数f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。
强调指数函数导数的应用：在求解涉及指数函数的导数问题时，要熟练运用该公式。
章节五：对数函数的导数1.5 对数函数的导数导数的求法：对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
举例说明：求f(x) = ln(x)的导数，根据公式得到f'(x) = 1/x。
章节六：三角函数的导数（正弦函数）6.1 正弦函数的导数导数的求法：对于正弦函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
强调正弦函数导数的周期性：正弦函数的导数也是一个周期函数，周期为2π。
章节七：三角函数的导数（余弦函数）7.1 余弦函数的导数导数的求法：对于余弦函数f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。
强调余弦函数导数的奇偶性：余弦函数的导数是奇函数，即满足f'(-x) = -f'(x)。
章节八：三角函数的导数（正切函数）8.1 正切函数的导数导数的求法：对于正切函数f(x) = tan(x)，其导数为f'(x) = sec^2(x)。
几个常用函数的导数(教案)
几个常用函数的导数(教案)章节一：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的定义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够求解常见函数的导数。
教学内容：1. 导数的定义及几何意义；2. 导数的计算方法；3. 常见函数的导数。
教学步骤：1. 引入导数的定义，解释导数的几何意义；2. 引导学生通过极限的概念理解导数的计算方法；3. 举例讲解常见函数的导数；4. 练习求解常见函数的导数。
教学评估：1. 检查学生对导数定义的理解程度；2. 评估学生对导数计算方法的掌握情况；3. 检测学生求解常见函数导数的能力。
章节二：常数函数的导数教学目标：1. 掌握常数函数的导数；2. 能够求解常数函数的导数。
教学内容：1. 常数函数的导数定义；2. 常数函数导数的计算方法。
教学步骤：1. 引入常数函数的导数定义；2. 讲解常数函数导数的计算方法；3. 举例求解常数函数的导数；4. 练习求解常数函数的导数。
教学评估：1. 检查学生对常数函数导数定义的理解程度；2. 评估学生对常数函数导数计算方法的掌握情况；3. 检测学生求解常数函数导数的能力。
章节三：幂函数的导数教学目标：1. 掌握幂函数的导数；2. 能够求解幂函数的导数。
教学内容：1. 幂函数的导数定义；2. 幂函数导数的计算方法。
教学步骤：1. 引入幂函数的导数定义；2. 讲解幂函数导数的计算方法；3. 举例求解幂函数的导数；4. 练习求解幂函数的导数。
教学评估：1. 检查学生对幂函数导数定义的理解程度；2. 评估学生对幂函数导数计算方法的掌握情况；3. 检测学生求解幂函数导数的能力。
章节四：指数函数的导数教学目标：1. 掌握指数函数的导数；2. 能够求解指数函数的导数。
教学内容：1. 指数函数的导数定义；2. 指数函数导数的计算方法。
教学步骤：1. 引入指数函数的导数定义；2. 讲解指数函数导数的计算方法；3. 举例求解指数函数的导数；4. 练习求解指数函数的导数。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版《几种常见函数的导数》教案教学目的：1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．教学难点：公式1)'(-=n n nx x )(Q n ∈的推导．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim00函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y=＝(0/x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?（2）求平均变化率xx y ?=?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ??→?0lim二、讲解新课： 1. 0'=C (C 为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 证明：()y f x ==C ，∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0∴x y=0，y '=C ′=xy x ??→?0lim =0，∴y '=0.2. 1)'(-=n nnx x (Q n ∈)说明：实际上，此公式对R n ∈都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了*N n ∈的证明证明：()y f x ==nx∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=()n nx x x +?- =n x +1C n 1n x -Δx +2C n 2n x-(Δx )2+…+n n C ()n x ?－nx=1C n 1n x-Δx +2C n 2n x - (Δx )2+…+n n C ·()nx ?xy ??=1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx +…+n n C ·1()n x -?∴y '=()n x '=xy x ??→?0lim=0lim →?x （1C n 1n x-+2C n 2n x-Δx +…+n n C ·1()n x -?)=1C n 1n x-=n 1n x-∴y '=1)'(-=n n nx x 3. x x cos )'(sin =证明方法一：y =sin x ，Δy =sin(x +Δx )－sin x =sin x cos Δx +cos x sin Δx －sin xxxx x x x x y ?-?+?=sin sin cos cos sin ∴y '=xxx x x x x y x x ?-?+?=??→?→?sin sin cos cos sin lim lim000sin (cos 1)cos sin limx x x x xx→?-+?=?200sin (2sin )sin 2limlim cos x x xx x x x x ?→?→?-?=+?? 202sin 2lim(2sin )cos 4()2x x x x x x ?→??=-??+? =－2sin x ·1·0+cos x =cos x ∴y '=cos x证明方法二：x y sin =，2)(sin 2)(cos2sin )sin(xx x x x x x x x y -?++?+=-?+=?2sin2cos 2x x x ???? ?+=， 22sin2cos x xx x x y ????? ?+=??，∴ 0lim )'(sin '→?==x x y 22sin2cos lim 0x xx x x y x ????? ?+=??→? x x x x x x x cos 22sinlim 2cos lim 00=????? ?+=→?→?．4. x x sin )'(cos -=证明方法一：y =cos x ，Δy =cos(x +Δx )－cos x =cos x cos Δx －sin x sin Δx －cos xy '=xxx x x x x y x x ?-?-?=??→?→?cos sin sin cos cos lim lim 00 0cos (cos 1)sin sin limx x x x xx→?--?=?200cos (2sin )sin 2limlim sin x x xx x x x x→?→?-?=-??202sin 2lim(2cos )sin 14()2x x x x x x→??=-?-??2cos 10sin sin x x x =-??-=- ∴y '=－sin x 证明方法二：x y cos =，2)(sin 2)(sin 2cos )cos(xx x x x x x x x y -?++?+-=-?+=?2sin 2sin 2xx x ??+-=， 22sin2sin x xx x x y ????? ?+-=??，∴ 0lim )'(cos '→?==x x y 22sin2sin lim 0x xx x x y x ????? ?+-=??→? x x x x x x x sin 22sinlim 2sin lim 00-=????? ?+-=→?→?．∴y '=－sin x .第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用三、讲解范例：例1 求(1)(x 3)′ (2)(21x)′ (3)(x )′解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3(3) xx x x x 212121)()(2112121==='='--例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．解：∵ 51ts =，∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=?-='-=t s ．答：质点在2=t 时的速度是645-．例3求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程．解：∵ x y sin = ∴ xx y cos )(sin ='='∴ 236cos6=='=ππx y ∴ 所求切线的斜率23=k ∴ 所求切线的方程为 )6(2321π-=-x y ，即 0361236=-+-πy x 答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ．四、课堂练习：1．(口答)求下列函数的导数：(1)y =x 5 (2)y =x 6 (3)x =sin t (4)u =cos ? 答案：(1)y ′=(x 5)′=5x 4；(2)y ′=(x 6)′=6x 5；(3)x ′=(sin t )′=cos t ；(4)u ′=(cos ?)′=－sin ? 2.求下列函数的导数：(1)y =31x(2)y =3x 答案：(1) y ′=(31x)′=(x －3)′=－3x －3－1=－3x －4(2321313133131)()(--=='='='x x x x y3.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s)，求质点在t =3时的速度.解：v =s ′=(t 3)′=3t 3－1=3t 2当t =3时，v =3×32=27 m/s ，∴质点在t =3时的速度为27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=21gt 2，(s 单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s 2)，求t =3时的速度. 解：v =s ′(t )=(21gt 2)′=21g ·2t 2－1=gt . t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s ，∴t =3时的速度为29.4 m/s.5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4－1=4x 3.∴y ′|x =2=4·23=32∴点P (2，16)处的切线方程为y －16=32(x －2)，即32x －y －48=0五、小结：这节课主要学习了四个公式:①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n －1(n ∈R )，③(sin x )′=cos x ，④(cos x )′=－sin x 六、课后作业：P127 1.2.3八、课后记：求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版一、教学目标1. 理解导数的基本概念和物理意义。
2. 掌握几种常见函数的导数求导法则。
3. 能够熟练运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的基本概念和物理意义。
2. 几种常见函数的导数。
3. 导数的求导法则。
三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的基本概念、物理意义，几种常见函数的导数，导数的求导法则。
2. 教学难点：导数的求导法则的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解导数的基本概念和物理意义。
3. 采用案例分析法，让学生通过实际问题，运用导数解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：以实际问题引入导数的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解导数的基本概念和物理意义，让学生理解导数的本质。
4. 讲解导数的求导法则，让学生能够熟练运用求导法则求解导数。
5. 利用案例分析，让学生运用导数解决实际问题，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
8. 布置作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，为下一节课的教学做好准备。
10. 学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，不断改进教学方法。
六、教学评价1. 评价内容：学生对导数基本概念和物理意义的理解，以及对几种常见函数导数的掌握情况。
2. 评价方式：课堂提问、作业批改、课后访谈等。
3. 评价标准：能准确理解导数概念，熟练掌握几种常见函数的导数，并能运用导数解决实际问题。
七、教学反思1. 反思内容：教学方法、教学内容、课堂氛围、学生参与度等。
2. 反思方式：教师自我反思、学生反馈、同行评价等。
3. 改进措施：针对反思结果，调整教学方法，优化教学内容，提高课堂活力，关注学生个体差异。
八、教学拓展1. 拓展内容：导数在其他领域的应用，如物理学、经济学等。
2. 拓展方式：查阅相关资料、邀请专家讲座、小组讨论等。
3. 拓展目标：让学生了解导数在实际生活中的广泛应用，提高学生的学习兴趣。
几个常用函数的导数(教案)
3.2.1几个常用函数导数教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数。
教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 教学过程：【合作探究】探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数？新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？【典型例题】1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数y c = 0y '=0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数y x = 1y '=1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函数 导数2y x = 2y x '=2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆ 函数 导数1y x =21y x '=- 5．函数y x =6．推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=【反思总结】1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.【当堂检测】1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .【板书设计】 1．函数()y f x c ==的导数 3．函数2()y f x x ==的导数 5．函数y x =2．函数()y f x x ==的导数 4．函数1()y f x x==的导数 6．推广：【课后作业】P82 探讨。
《1.2.1几个常用函数的导数》教学案
《1.2.1几个常用函数的导数》教学案教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用. 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式. 教学过程：新课讲授1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 0y '=表示函数y c =图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 1y '=表示函数y x =图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 2y x '=表示函数2y x =图像(图3.2-3)上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x ==的导数 5．函数()y f x ==的导数(2)推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=四．回顾总结五．教后反思：。
几个常用函数的导数(教案)
几个常用函数的导数(教案)第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义强调导数表示函数在某点的瞬时变化率1.2 导数的几何意义图形演示导数表示切线的斜率解释导数与曲线的切线有关，导数为正表示曲线上升，导数为负表示曲线下降1.3 导数的计算法则介绍导数的四则运算法则强调复合函数的导数运算法则，如链式法则第二章：常数的导数2.1 常数的导数证明常数的导数为0强调常数的导数与函数的瞬时变化率无关2.2 常数倍函数的导数证明常数倍函数的导数为常数的倍数举例说明常数倍函数的导数性质第三章：幂函数的导数3.1 正整数幂函数的导数证明正整数幂函数的导数为幂函数的指数减1倍的函数举例说明正整数幂函数的导数性质3.2 负整数幂函数的导数证明负整数幂函数的导数为幂函数的指数加1倍的函数的倒数举例说明负整数幂函数的导数性质第四章：指数函数的导数4.1 指数函数的导数证明指数函数的导数为自身强调指数函数的导数与自变量无关4.2 对数函数的导数证明对数函数的导数为1除以自变量的对数强调对数函数的导数与自变量有关，随着自变量的增加而减少第五章：三角函数的导数5.1 正弦函数的导数证明正弦函数的导数为余弦函数强调正弦函数的导数周期性5.2 余弦函数的导数证明余弦函数的导数为负的正弦函数强调余弦函数的导数周期性5.3 正切函数的导数证明正切函数的导数为负的正弦函数除以余弦函数强调正切函数的导数周期性第六章：反三角函数的导数6.1 反正弦函数的导数证明反正弦函数的导数为1除以平方根下的1-x^2强调反正弦函数的导数定义域和值域6.2 反余弦函数的导数证明反余弦函数的导数为-1除以平方根下的1-x^2强调反余弦函数的导数定义域和值域第七章：双曲函数的导数7.1 双曲函数的导数证明双曲函数的导数为1除以自变量的双曲函数的平方强调双曲函数的导数与自变量有关，随着自变量的增加而减少7.2 双曲函数的导数的应用举例说明双曲函数的导数在几何和物理中的应用第八章：复合函数的导数8.1 复合函数的导数介绍复合函数的导数运算法则，如链式法则强调复合函数的导数计算的关键是找到内函数和外函数8.2 反函数的导数证明反函数的导数为原函数的导数的倒数强调反函数的导数与原函数的导数有关第九章：高阶导数9.1 一阶导数回顾一阶导数的定义和计算方法强调一阶导数的重要性9.2 二阶导数介绍二阶导数的定义和计算方法强调二阶导数在研究函数的增减性和极值中的作用第十章：导数的应用10.1 最大值和最小值问题介绍利用导数解决最大值和最小值问题的方法强调需要先求一阶导数和二阶导数10.2 曲线的切线和法线介绍利用导数求曲线的切线和法线的方法强调切线和法线的斜率与导数的关系10.3 曲线的曲率和凹凸性介绍利用导数研究曲线的曲率和凹凸性的方法强调曲率和凹凸性与导数的关系重点和难点解析重点一：导数的基本概念导数表示函数在某点的瞬时变化率，是微积分中的核心概念。
几个常用函数的导数 说课稿 教案 教学设计
几个常用函数的导数
教学目的使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点和难点掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．
教学过程
一、复习提问
1．按定义求导数有哪几个步骤？
2．用导数的定义求下列各函数的导数：(1)y＝x5；(2)y＝c．
二、新课
1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．
2．几个常见函数的导数公式．
(1)设y=c(常数)，则y'=0．
此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．
(2)(x n)'＝nx n-1(n为正整数)．
“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”．
(3)(sinx)'=cosx．
证明：y＝f(x)=sinx，
在学生推导过程中，教师要步步追问根据及思路．如：
此公式可叙述成“正弦函数的导数等于余弦函数”．
(4)(cosx)'=－sinx．
此公式证明由学生仿照公式(3)独立证明．
此公式可叙述成“余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号”．
三、练习(课文练习)
四、小结四种常见函数的导数公式。
几个常用函数的导数教案
几个常用函数的导数教案导数是微积分中一个非常重要的概念，它表示函数在某一点的变化率。
对于常用函数，我们常常需要求它们的导数，这样可以帮助我们更好地理解函数的性质和解决一些实际问题。
下面是几个常用函数的导数教案。
一、常数函数的导数常数函数的导数很简单，因为函数的值在整个定义域上都是相同的，所以它的导数是0。
我们可以通过实例来说明这个问题：比如，函数y = 3的导数为dy/dx = 0。
因为无论x取任何值，y的值都是3，没有变化的趋势。
二、幂函数的导数幂函数是形如y = x^n (n为常数)的函数，它们的导数可以通过幂函数的求导公式来计算。
公式如下：dy/dx = n * x^(n-1)其中，n是幂函数中的指数。
我们可以通过实例来演示幂函数的导数计算：比如，函数y = x^3的导数为dy/dx = 3 * x^(3-1) = 3 * x^2三、指数函数的导数指数函数是形如y = a^x (a是常数)的函数，它们的导数可以通过指数函数的求导公式来计算。
公式如下：dy/dx = a^x * ln(a)其中，ln(a)是常数a的自然对数。
我们可以通过实例来演示指数函数的导数计算：比如，函数y = 2^x的导数为dy/dx = 2^x * ln(2)四、对数函数的导数对数函数是指形如y = log_a(x) (a是底数，x>0)的函数，它们的导数可以通过对数函数的求导公式来计算。
公式如下：dy/dx = 1 / (x * ln(a))我们可以通过实例来演示对数函数的导数计算：比如，函数y = log_2(x)的导数为dy/dx = 1 / (x * ln(2))五、三角函数的导数三角函数是常用的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的导数可以通过三角函数的导数公式来计算。
公式如下：dy/dx = cos(x) [对于正弦函数]dy/dx = -sin(x) [对于余弦函数]dy/dx = sec^2(x) [对于正切函数]我们可以通过实例来演示三角函数的导数计算：比如，函数y = sin(x)的导数为dy/dx = cos(x)函数y = cos(x)的导数为dy/dx = -sin(x)函数y = tan(x)的导数为dy/dx = sec^2(x)通过上述教案，学生可以初步了解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导规则，为后续学习提供基础。
几个常用函数的导数教案
几个常用函数的导数教案教案标题：几个常用函数的导数教案教案目标：1. 理解常用函数的导数概念；2. 掌握求解几个常用函数的导数的方法；3. 能够灵活运用导数概念解决实际问题。
教案内容和步骤：Step 1: 引入导数的概念及其意义 (5分钟)介绍导数的概念，解释导数与函数斜率和变化率的关系。
通过实例让学生理解导数的重要性，以及它在数学和其他学科中的应用。
Step 2: 导数定义的解释 (10分钟)给出导数的定义，并详细解释定义中的各个部分。
使用图形或示意图来帮助学生理解导数的计算过程，并强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
Step 3: 常用函数的导数求解 (30分钟)针对以下几个常用函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，逐个讲解其导数的求法。
3.1 常数函数 f(x) = C 的导数求解 (5分钟)给出常数函数的导数定义，解释为什么常数函数的导数总是0，并举例说明。
3.2 幂函数 f(x) = x^n 的导数求解 (7分钟)介绍幂函数的导数求解公式，并通过几个具体的例子来演示求解过程。
3.3 指数函数 f(x) = a^x 的导数求解 (7分钟)解释指数函数导数求解的思路，引入自然指数函数e^x，并简要论述它的导数性质。
通过具体的例子来讲解指数函数导数的计算。
3.4 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数求解 (7分钟)介绍对数函数导数求解的方法，重点讲解自然对数函数ln(x)的导数。
通过例题让学生掌握对数函数导数的求取方法。
3.5 三角函数 f(x) = sin(x), cos(x), tan(x) 的导数求解 (7分钟)讲解三角函数的导数求解规则，并通过图形和实例说明求解过程，以及导数与三角函数属性之间的关系。
Step 4: 应用导数解决实际问题 (10分钟)列举一些实际问题，如最值问题、切线问题等，引导学生运用导数的知识解决这些问题。
同时，提供一些简单的练习题和习题让学生巩固所学知识。
几个常用函数的导数教案
几个常用函数的导数教案一、引言（150字）在微积分中，求一个函数的导数是非常重要的。
本教案将介绍几个常用函数的导数，并以详细的步骤和示例来说明。
导数的概念对理解变化率、速度和斜率等概念至关重要。
通过本教案，学生将学会计算常见函数的导数，培养微积分思维，为进一步深入学习奠定基础。
二、函数的导数的定义（200字）1.函数的导数表示函数在其中一点的变化率或速度。
2.函数的导数可以通过极限来定义，即函数在其中一点的导数是函数在该点的切线斜率的极限。
三、常见函数的导数（800字）1.常数函数的导数：a.常数函数f(x)=c，导数为0，表示函数在任何点的切线斜率都为0。
b.示例：f(x)=3，导数为0。
2.幂函数的导数：a.幂函数f(x)=x^n（n为常数），导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
b.示例：f(x)=x^3，导数为f'(x)=3*x^23.指数函数的导数：a. 指数函数f(x)=a^x（a>0且a≠1），导数为f'(x)=ln(a)*a^x。
b. 示例：f(x)=2^x，导数为f'(x)=ln(2)*2^x。
4.对数函数的导数：a. 对数函数f(x)=log_a(x)（a>0且a≠1），导数为f'(x)=1/(x*ln(a))。
b. 示例：f(x)=log_2(x)，导数为f'(x)=1/(x*ln(2))。
5.三角函数的导数：a. 正弦函数f(x)=sin(x)，导数为f'(x)=cos(x)。
b. 余弦函数f(x)=cos(x)，导数为f'(x)=-sin(x)。
c. 正切函数f(x)=tan(x)，导数为f'(x)=sec^2(x)。
d. 示例：f(x)=sin(x)，导数为f'(x)=cos(x)。
四、总结与拓展（150字）通过本教案，我们学习了常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的定义解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以用来描述函数在某一点的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法讲解导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数、指数函数、对数函数的导数公式。
示例讲解：计算常见函数在某一点的导数，如f(x) = x^2, f(x) = e^x, f(x) = ln(x)。
第二章：线性函数和多项式函数的导数2.1 线性函数的导数引入线性函数的导数：线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其导数为f'(x) = a。
强调线性函数导数的简洁性：线性函数的导数恒为一个常数。
2.2 多项式函数的导数引入多项式函数的导数：多项式函数的一般形式为f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + + a_1x + a_0，其导数为f'(x) = na_nx^(n-1) + (n-1)a_(n-1)x^(n-2) + + a_1。
示例讲解：计算多项式函数在某一点的导数，如f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4。
第三章：指数函数和对数函数的导数3.1 指数函数的导数引入指数函数的导数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。
强调指数函数导数的性质：指数函数的导数恒为一个正数。
3.2 对数函数的导数引入对数函数的导数：对数函数的一般形式为f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
强调对数函数导数的性质：对数函数的导数在定义域内为正数。
第四章：三角函数的导数4.1 正弦函数的导数引入正弦函数的导数：正弦函数的一般形式为f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
强调正弦函数导数的周期性：正弦函数的导数也是一个周期函数。
4.2 余弦函数的导数引入余弦函数的导数：余弦函数的一般形式为f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版一、教学目标：1. 了解导数的定义和几何意义；2. 掌握几种常见函数的导数公式；3. 会求解函数在某一点的导数；4. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学重点与难点：重点：1. 导数的定义和几何意义；2. 几种常见函数的导数公式；3. 求解函数在某一点的导数。
难点：1. 导数的几何意义的理解；2. 求解函数在某一点的导数的方法。
三、教学方法与手段：1. 采用讲解、示例、练习相结合的教学方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，展示函数图像和导数几何意义；3. 引导学生通过自主学习、合作交流的方式探索和掌握导数的基本概念和求解方法。
四、教学内容与步骤：1. 导入新课：回顾函数的斜率概念，引出导数的定义；2. 讲解导数的定义和几何意义，示例演示；3. 引导学生总结几种常见函数的导数公式；4. 讲解求解函数在某一点的导数的方法，示例演示；5. 布置练习题，学生自主练习，教师巡回指导。
五、教学评价：1. 课堂讲解：关注学生的听课情况，提问学生掌握程度；2. 练习题：检查学生对几种常见函数导数的掌握程度；3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的运用能力；4. 学生互评：鼓励学生相互学习，共同进步。
教案示例：1. 导入新课：提问：我们在学习函数的时候，曾经学习了斜率的概念，斜率与函数有什么关系呢？引导学生思考，引出导数的定义。
2. 讲解导数的定义和几何意义：解释导数的定义：函数在某一点的导数，就是该点处函数图像的切线斜率。
展示函数图像，引导学生理解导数的几何意义。
3. 引导学生总结几种常见函数的导数公式：提问：我们如何求解函数在某一点的导数呢？引导学生总结几种常见函数的导数公式。
4. 讲解求解函数在某一点的导数的方法：示例演示：求解函数在某一点的导数。
讲解求解方法，引导学生掌握。
5. 布置练习题，学生自主练习，教师巡回指导：布置练习题，要求学生求解几种常见函数在某一点的导数。
教师巡回指导，解答学生疑问。
高中几个常用导数教案设计
高中几个常用导数教案设计教案一：导数的定义与几何意义通过函数图像的动态展示，引导学生观察函数在某一点处的切线斜率，引出导数的几何意义——即函数在该点的瞬时变化率。
结合具体的例子，如直线、抛物线等基本函数，讲解导数的定义及其计算方法。
通过练习题巩固学生对导数定义和几何意义的理解。
教案二：导数的运算法则本节课的重点是教授导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
通过举例说明如何运用这些法则求解简单的导数问题。
例如，可以设计一个实验，让学生自己计算不同函数组合后的导数，并总结出相应的运算规则。
强调导数在实际问题中的应用，如物理中的速度和加速度问题，让学生了解学习导数的实际意义。
教案三：高阶导数的理解与应用高阶导数是导数概念的延伸，对于理解复杂函数的性质至关重要。
在这一部分，教师可以通过曲线的凹凸性和拐点等几何特性来引入二阶导数的概念。
通过实例分析，让学生学会如何求取函数的高阶导数，并解释其在图像上的表现。
同时，讨论高阶导数在物理学、工程学等领域的应用，增强学生的实践意识。
教案四：导数在优化问题中的应用导数在解决最值问题中扮演着重要角色。
在本节教案中，教师可以设计一系列的问题，引导学生使用导数来求解最大值和最小值问题。
通过实际问题的设置，如成本最小化、利润最大化等，让学生在解决问题的过程中理解导数在优化问题中的关键作用。
同时，也可以介绍无约束和有约束优化问题的解决方法。
教案五：导数与函数的极值本节教案的目的是帮助学生掌握利用导数判断函数极值的方法。
通过讲解函数的临界点、导数为零的判定条件等内容，使学生能够准确地找到函数的极大值和极小值。
结合实际例子，如气温变化、产品销量预测等，让学生在真实情境中应用所学知识，提高其分析和解决问题的能力。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握几种常见函数的导数公式。
3. 会求函数在某一点的导数。
4. 能够运用导数解决实际问题，如运动物体的瞬时速度、加速度等。
二、教学重难点1. 重点：几种常见函数的导数公式。
2. 难点：导数的应用，如求函数在某一点的导数，解决实际问题。
三、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解导数的定义和几何意义。
2. 运用归纳法，让学生掌握几种常见函数的导数公式。
3. 利用例题讲解法，培养学生求函数在某一点的导数的能力。
4. 采用问题驱动法，激发学生运用导数解决实际问题的兴趣。
四、教学准备1. 课件：几种常见函数的导数公式及例题。
2. 练习题：巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：回顾导数的定义和几何意义。
2. 新课：讲解几种常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 例题：求函数在某一点的导数，如f(x) = x^2，在x=1时的导数。
4. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 拓展：运用导数解决实际问题，如求运动物体的瞬时速度、加速度等。
6. 小结：总结本节课的主要内容和知识点。
7. 作业：布置作业，让学生进一步巩固所学知识。
8. 课后反思：根据学生的课堂表现和作业情况，对教学进行总结和调整。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对导数定义和几何意义的理解，以及几种常见函数导数的掌握情况。
2. 评价方法：课堂问答、练习题、小组讨论。
3. 评价内容：a. 学生能否准确描述导数的定义和几何意义。
b. 学生是否能熟练运用几种常见函数的导数公式。
c. 学生是否能独立求出给定函数在某一点的导数。
d. 学生是否能运用导数解决实际问题。
七、教学反馈1. 课堂问答：通过提问，了解学生对导数概念和公式的理解程度。
2. 练习题：收集学生作业，分析其解答过程和结果，评估掌握情况。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进互动交流，提高解决问题的能力。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的定义解释导数的概念，强调导数表示函数在某点的瞬时变化率。
通过图形和实际例子演示导数的意义。
1.2 导数的几何意义解释导数表示切线的斜率，通过图形展示导数与切线的关系。
强调导数与函数图像的切线有关，而不仅仅是函数值的变化。
1.3 导数的计算法则介绍导数的四则运算法则，包括加减乘除和复合函数的导数。
强调导数的计算法则在求导过程中的应用。
第二章：常数函数和幂函数的导数2.1 常数函数的导数证明常数函数的导数为0，强调常数函数的瞬时变化率为0。
2.2 幂函数的导数引入幂函数的导数公式，解释指数对导数的影响。
通过例子展示不同指数幂函数的导数计算方法。
2.3 指数函数和对数函数的导数引入指数函数的导数公式，解释指数函数的瞬时变化率。
引入对数函数的导数公式，解释对数函数的瞬时变化率。
第三章：三角函数的导数3.1 正弦函数的导数引入正弦函数的导数公式，解释正弦函数的瞬时变化率。
3.2 余弦函数的导数引入余弦函数的导数公式，解释余弦函数的瞬时变化率。
3.3 正切函数的导数引入正切函数的导数公式，解释正切函数的瞬时变化率。
第四章：反三角函数的导数4.1 反正弦函数的导数引入反正弦函数的导数公式，解释反正弦函数的瞬时变化率。
4.2 反余弦函数的导数引入反余弦函数的导数公式，解释反余弦函数的瞬时变化率。
4.3 反正切函数的导数引入反正切函数的导数公式，解释反正切函数的瞬时变化率。
第五章：复合函数的导数5.1 链式法则介绍链式法则，解释复合函数的导数计算方法。
5.2 反函数的导数引入反函数的导数概念，解释反函数的导数与原函数的关系。
5.3 复合函数的导数应用通过例子展示复合函数的导数在实际问题中的应用。
第六章：高阶导数6.1 导数的重复求导解释高阶导数的概念，即函数导数的导数。
演示如何求二阶、三阶等高阶导数。
6.2 求导法则在高阶导数中的应用强调高阶导数求导法则，如链式法则、乘积法则在高阶导数计算中的应用。
几个常用函数的导数(教案)
几个常用函数的导数(教案)章节一：导数的基本概念1.1 引入：解释导数的定义强调导数的重要性1.2 导数的定义：引入极限的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率1.3 导数的计算：强调导数的计算方法介绍导数的计算规则章节二：常数函数的导数2.1 常数函数的导数：解释常数函数的导数是0通过实例进行验证章节三：幂函数的导数3.1 幂函数的导数：引入幂函数的概念解释幂函数的导数规则3.2 幂函数的导数计算：强调幂函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节四：指数函数的导数4.1 指数函数的导数：引入指数函数的概念解释指数函数的导数是它本身的导数4.2 指数函数的导数计算：强调指数函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节五：对数函数的导数5.1 对数函数的导数：引入对数函数的概念解释对数函数的导数是它本身的导数5.2 对数函数的导数计算：强调对数函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证强调学生需要掌握的导数概念和计算方法几个常用函数的导数(教案)章节六：三角函数的导数6.1 三角函数的导数：引入三角函数的概念解释三角函数的导数规则6.2 三角函数的导数计算：强调三角函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节七：反三角函数的导数7.1 反三角函数的导数：引入反三角函数的概念解释反三角函数的导数规则7.2 反三角函数的导数计算：强调反三角函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节八：复合函数的导数8.1 复合函数的导数：引入复合函数的概念解释复合函数的导数规则8.2 复合函数的导数计算：强调复合函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节九：高阶导数9.1 高阶导数的概念：解释高阶导数的定义强调高阶导数的重要性9.2 高阶导数的计算：介绍高阶导数的计算方法通过实例进行计算和验证回顾整个教案的重点内容强调学生需要掌握的导数概念和计算方法10.2 练习：提供一些相关的习题供学生练习鼓励学生进行自主学习和思考参考资料：提供一些参考资料供学生进一步学习鼓励学生进行深入研究和探索对教案的一些补充和说明强调学生需要积极参与课堂讨论和实践活动重点和难点解析章节一：导数的基本概念补充和说明：引导学生通过图形直观理解导数表示的是函数在某一点的切线斜率，而非曲线本身的信息。
《几种常见函数的导数》教案苏教版选修
3.2.1《几种常见函数的导数》教案（苏教版选修1-1）3.2.1常见函数的导数教学目标：掌握初等函数的求导公式；教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数＝本节课我们将学习常见函数的导数。
首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x2 （3）、y=x3问题：，，呢？问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？二、新授1、基本初等函数的求导公式：⑴ (k,b为常数)⑵ (C为常数)⑶⑷⑸⑹⑺由⑶~⑹你能发现什么规律?⑻ （为常数）⑼⑽⑾⑿⒀⒁从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。
（1）( 2）（3）(4) （5）y=sin(+x)(6) y=sin（7）y=cos(2π－x)例2.若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标.变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.总结切线问题：找切点求导数得斜率变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程变式3:已知直线,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.三:课堂练习.1.求下列函数的导数(1)(2)(3)(4)(5)(6)四、小结（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用五:作业反馈1. 已知,则=。
2．设，则它的导函数为。
3．过曲线上的点的切线方程为。
4．求下列函数的导函数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）5．求曲线在处的切线方程。
几个常用函数的导数教案.
§1.2.1几个常用函数的导数（教案）
一、教学目标：
1．掌握并能运用的导数公式正确求函数的导数．2．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程。
二、教学重点：
1、常见函数的导数公式及应用；
2、求函数曲线上某一点的切线方程。
三、教学难点：求函数曲线上某一点的切线方程。
四、教学过程：
（一）．复习引入
1、复习导数的概念及其几何意义
2、思考：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数
，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一堂课我们将导数公式表求几个常用的函数的导数。
（二）．新课讲授
（三）．典例评析
例4：求曲线:y=x2在点P(1,1处的切线方程
(四课堂练习
五．回顾总结
1、掌握并会熟练应用如下公式：
六．布置作业
1.练习册p6 1、2、3、5、6、8、9， p1010。
2.预习本节剩余内容。
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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
【教学目标】
1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y
＝1x ，y ＝x 的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。
【教法指导】 本节学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
本节学习难点：能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x
，y ＝x 的导数． 【教学过程】
☆复习引入☆
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．
☆探索新知☆
探究点一 几个常用函数的导数
思考1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？
答 (1)计算Δy Δx
，并化简； (2)观察当Δx 趋近于0时，Δy Δx
趋近于哪个定值； (3)Δy Δx
趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数． 思考2 利用定义求下列常用函数的导数：
①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2，
④y ＝1x
，⑤y ＝x . 答 ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0 Δy Δx
＝ lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx
＝lim Δx →0 －1x x ＋Δx ＝－1x
2(其它类同)， ⑤y ′＝12x
. 思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(1)函数y ＝f (x )＝c (常数)的导数的物理意义是什么？
(2)函数y ＝f (x )＝x 的导数的物理意义呢？
思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
(3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？
答 函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y ′＝3，
y ′＝4.
(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率．
(2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢．
(3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，
函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．
函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |
越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．
思考5 画出函数y ＝1x 的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．
答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x
2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x
减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．
点(1,1)处切线的斜率就是导数y ′|x ＝1＝－11
2＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y ＝－x ＋2. 思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？
答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．
探究点二 基本初等函数的导数公式
思考 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？
答 公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例．
例1 求下列函数的导数：
(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x .
解 (1)y ′＝0；
(2)y ′＝(5x )′＝5x
ln 5； (3)y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x
； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3
. 反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以
下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝
⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13
x .
例2 判断下列计算是否正确．
求y ＝cos x 在x ＝π3
处的导数，过程如下： y ′|x ＝π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3′＝－sin π3＝－32
. 解 错误．应为y ′＝－sin x ，
∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32
. 反思与感悟 函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导．
跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数．
解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x
， ∴f ′(1)＝1，
∴函数f (x )在x ＝1处的导数为1.
探究点三 导数公式的综合应用
按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题：
(1)可求基本初等函数图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程．
(2)知切线斜率可求切点坐标．
例3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2
相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x
上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．
解 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y
＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，
即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，
∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离
为
22.。