必修1 第二章 基本初等函数基本题型分类

必修1 第二章 基本初等函数（Ⅰ）基本题型分类题型一：指数与指数幂的运算和对数与对数的运算（一）化简求值：1．化简=-++44332121)()( ．1．解：22122121214433=-++=-++)()()()(．2．化简=⋅⋅--+32642422312 ．2．解：12222642441222232612122223122232==⋅⋅=⋅⋅--++--+-+-)()()()(．3．化简=--+-+-2121212121212b a b a b a ba ba ． 3．解：022121221212121212121212121=----=--+-+-b a b a b a b a b a b a b a ba )(．（二）含附加条件的幂的求值4．已知51=+-aa ，求下列各式的值． (1)22-+a a ；(2)2121--aa ； 4．解：(1)由51=+-aa 两边平方得：252212=++--a aa a ，即2322=+-a a ． (2)3252122121=-=-+=---a a a a )(，∴32121±=--a a ．题型二：指数函数、对数函数、幂函数的定义5．(1)下列以x 为自变量的函数，其中为指数函数的是（ ）A.(5)x y =-B.( 2.71828)xy e e =≈ C.5x y =- D.2x y π+= (2)如果函数2(33)x a a a -+是指数函数，则有（ ）A. 12a a ==或B.1a =C. 2a =D.01a a >≠且5．解：(1)B ；(2)C ；由指数函数的三大特征：①x a 的系数为1；②底数,0>a 且1≠a 的常数；③指数位置上仅有自变量x ．【规律总结】①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；③指数函数的指数仅有自变量x ．6．函数x a a x f a )(log )()(121++-=是对数函数，则实数=a ．6．解：⎩⎨⎧>+=+-01112a a a 解得：1=a ．【规律总结】判断一个函数是否为对数函数的方法：判断一个函数是对数函数必须是形如,(log 0>=a x y a 且)1≠a 的形式，即必须满足以下条件：7．函数3221-+--=m m xm m x f )()(是幂函数，且当),(+∞∈0x 时，)(x f 是增函数，则)(x f 的解析式为 ． 7．解：因为函数3221-+--=m m xm m x f )()(是幂函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧>-+=--031122m m m m 解得：2=m ；3x x f =)(． 【规律总结】由幂函数的特征：①指数α为常数；②底数为自变量；③系数为1．题型三：指数函数、对数函数、幂函数的图象8．(1)函数33(0,1)x y a a a -=+>≠且的图象过定点 ．8．解：(1)令03=-x ，3=x ，4=y ，所以函数33(0,1)x y aa a -=+>≠且的图象过定点),(43． 【归纳总结】：函数m a y x f +=)(恒过定点问题，令0=)(x f 解出x ，则定点为),(m x +1．(2)如图是指数函数(1)x y a =，(2)x y b =，(3)x y c =，(4)x y d =的图象，则,,,a b c d 与1的大小关系为（ ）A.1a b c d <<<<B.1b a d c <<<<C.1a b c d <<<<D.1a b d c <<<<(2)令1=x ，这时各自的函数值就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：B ．9．(1)函数,()(log 021>-+=a x y a 且)1≠a 的图象恒过点 ．(2)如图所示的曲线是对数函数x y a log =，x y b log =，x y c log =，x y d log =图象，则d c b a ,,,与1的大小关系为 ．9．解：(1)令11=+x ，0=x ，所以函数,()(log 021>-+=a x y a 且)1≠a 的图象恒过点),(20-【规律总结】对数函数恒过定点问题 (1)求函数,)((log 0>+=a x f m y a 且)1≠a 的图象过的定点时，只需令1=)(x f 求出x ，即得定点为),(m x ．(2)令1=y ，这时各自的真数就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：01>>>>>c d a b ．10．如图所示，曲线是幂函数n x y =在第一象限内的图象，已知n 分别取22111,,,-四个值，相应于曲线4321C C C C ,,,1的n 依次为（ ）A,21211,,,- B.12112-,,, C.12121-,,, D.21112,,,- 10．解：由幂函数的性质得：答案：D ．题型四：指数函数、对数函数、幂函数的性质(一)比较大小(1)已知809070218080....,.,.===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）(A)c b a >> (B)c a b >> (C)a b c >> (D)b a c >>(1)解：D【规律总结】：1.底数相同，指数不同，利用指数函数的单调性解决；2.底数不同，指数相同，利用指数函数的图象解决；在同一个平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数函数所取值对应的函数值即可．3.底数不同，指数也不同：采用中间量法．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较c a 与d b 的大小，可取d a 或c b 为中间量，c a 与da 利用函数的单调性比较大小，db 与d a 利用函数的图象比较大小．(2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b(2)解：B【规律总结】：1.若底数为同一常数，则可根据对数函数的单调性直接进行比较；2.若底数为同一字母，则可根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；3.若底数不同，真数相同，则可以根据对数函数的图象进行比较；4.若底数和真数均不相同，则常借助1,0等中间值进行比较． (3)设525352525253)(,)(,)(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A.b c a >> B.c b a >> C.b a c >> D.a c b >>(3)解：A【规律总结】：1. 若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；2. 若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；3. 若指数与底数都不相同，则考虑取中间量法；取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较c a 与d b 的大小，可取d a 或c b 为中间量，c a 与d a 利用函数的单调性比较大小，d b 与d a 利用函数的图象比较大小．(二)求函数值域或最值11．求函数12141+-=x x y )()(在],[23-上的值域．11．解：12121121412+-=+-=x x x x y )()()()( 设x t )(21=，∵84123≤≤∴-∈t x ],[，∴4321122+-=+-==)()(t t t t g y ，所以函数)(t g y =在],[2141∈t 上单调递减，在],[821∈t 上单调递增， ∴当21=t 时，43=min y ；当8=t 时，57432182=+-=)(max y ； 所以函数12141+-=x x y )()(在],[23-上的值域为],[5743． 【规律总结】求形如：函数],[,n m x c bs as y x x ∈++=2的值域．使用“换元法”设x s t =，从而原函数c bs as y x x ++=2变为关于t 的一元二次函数c bt at t g y ++==2)(；由],[n m x ∈，求出x s t =的值域],[q p ，即t 的范围为],[q p ，进而转化为求一元二次函数c bt at t g y ++==2)(在],[q p t ∈上的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．12．求函数32221--=x x y )(的值域．12．解：函数32221--=x x y )(的定义域为R ；设4413222-≥--=--=)(x x x t ，所以),[,)(+∞-∈=421t y t ， 所以160≤<y ，所求函数32221--=x x y )(的值域为],(160． 【规律总结】求形如函数)(x f a y =的值域．使用“换元法”设)(x f t =，求出)(x f t =的值域],[n m ，从而转化为t a t g y ==)(在],[n m t ∈的值域（使用指数函数的单调性）．13．已知x 满足不等式37250250-≤+x x ..log )(log ，求函数)(log )(log )(4222x x x f ⋅=的最值． 13．解：由37250250-≤+x x ..log )(log 得01235050≤++)log )((log ..x x ，则21350-≤≤-x .log ， 即2150503505050--≤≤.log log .log .,.x ，∴82≤≤x ； 又))(log (log )(log )(log )(21422222--=⋅=x x x x x f 23222+-=x x log )(log令x t 2log =，∵82≤≤x ，∴321≤≤t ， 则],[,)(321232∈+-==t t t t h y ， ∴4123-==)(min h y ，23==)(max h y ． 【规律总结】求形如：],[n m x ∈时，函数),(log )(log 102≠>++=s s c x b x a y s s 的值域． 使用“换元法”设x t s log =，由],[n m x ∈，求出x t s log =值域],[q p ，即t 的范围为],[q p ，进而转化为求一元二次函数c bt at t g y ++==2)(在],[q p t ∈上的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．14．求函数),[),(log +∞∈+-=22222x x x y 的值域．14．解：设112222+-=+-=)(x x x t ，∵),[+∞∈2x ，从而2≥t ，∴),[,log )(+∞∈==22t t t g y ， ∴12=≥)(g y ，所以函数),[),(log +∞∈+-=22222x x x y 的值域为),[+∞1．【规律总结】求形如函数],[),(log n m x x f y a ∈=的值域．使用“换元法”设)(x f t =，求出],[),(n m x x f t ∈=的值域],[q p ，从而转化为求函数],[,log )(q p t t t g y a ∈==的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．（三）解不等式15．(1).已知2520<x .，求实数x 的取值范围．(1).解：∵22205125--==.)(，∴2202520-=<..x ，∴2->x ；所以实数x 的取值范围是),(+∞-2． (2). 求不等式01472>>--a a a x x (，且)1≠a 中x 的取值范围．(2).解：①若1>a ，则1472->-x x ，∴3-<x ；②若10<<a ，则1472-<-x x ，∴3->x ；综上，当1>a 时，不等式01472>>--a a ax x (，且)1≠a 中x 的取值范围为),(3--∞； 当10<<a 时，不等式01472>>--a a ax x (，且)1≠a 中x 的取值范围为),(+∞-3． 【规律总结】1．形如)()(x g x f a a >的不等式，借助于指数函数),(10≠>=a a a y x 的单调性求解；如果a 的值不确定，需分1>a 与10<<a 两种情况讨论；2．形如b a x >的不等式，注意将b 转化为以a 底的指数幂的形式，再借助指数函数),(10≠>=a a a y x的单调性求②若10<<a ，则⎪⎩⎪⎨⎧->>->120102x x x x 解得：1>x ；综上，当1>a 时，不等式)1log 2log -<x x aa （的解集为∅； 当10<<a 时，不等式)1log 2log -<x x aa （的解集为),(+∞1． 【规律总结】1.形如b x a a log log >的不等式，可借助指数函数的单调性求解，若底数a 的值不确定，则需对其分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论．2.形如b x a >log 的不等式，要首先将b 化为以a 为底数的对数形式，再进行求解．3.形如x x b a log log >的形式，可借助对数函数的图象求解．题型五：复合函数的单调性判断及应用17．判断函数)(log )(x x x f 222-=的单调性，并指出它的单调区间．17．解：令022>-x x ，得0<x 或2>x∴函数)(log )(x x x f 222-=的定义域为0<x x |{或}2>x ，设),(,+∞∈221x x ，且21x x <， )()(log )(log )(log )()(2222221122222121221--=---=-x x x x x x x x x f x f ∵),(,+∞∈221x x ，∴020221>->-x x ,，又∵21x x <；∴12202211<--<)()(x x x x ∴02222112<--)()(log x x x x ，所以)()(21x f x f < 函数)(log )(x x x f 222-=在),(+∞2上单调递增．同理可证：函数)(log )(x x x f 222-=在),(0-∞上单调递减．所以函数)(log )(x x x f 222-=的单调递减区间为),(0-∞；单调递增区间为),(+∞2．【规律总结】嵌套式复合函数的单调性：“同增异减”．形如：))((x g f y =，设)(x g t =为内函数，)(t f y =为外函数；当内函数)(x g t =和外函数)(t f y =在定义域内单调性相同时，此时这个复合函数))((x g f y =在该定义域上为增函数，即“同增”；当内函数)(x g t =和外函数)(t f y =在定义域内单调性相异时，此时这个复合函数))((x g f y =在该定义域上为减函数，即“异减”．形如：复合函数)(log x f y a =`，先令0>)(x f 求出函数的定义域，当1>a 时，若)(x f 在定义域上为增函数，则复合函数)(log x f y a =在该定义域上为增函数，若)(x f 在定义域上为减函数，则复合函数)(log x f y a =在该定义域上为减函数； 若10<<a 时，若)(x f 在定义域上为增函数，则复合函数)(log x f y a =在该定义域上为减函数，若)(x f 在定义域上为减函数，则复合函数)(log x f y a =在该定义域上为增函数．。