2021学年高一数学人教2019必修二新教材培优8.2 立体图形的直观图(原卷版)
合集下载
8.2立体图形的直观图课件-高一下学期数学人教版必修第二册
(2)画底面.以 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN ，使 MN = 4 cm ；在 y 轴上取线段 PQ ，
3
2
使 PQ = cm .分别过点 M 和点 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和点 Q 作 x轴的平行线，设
它们的交点分别为A ， B ， C ， D ，则四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD .
第八章 立体几何初步
8.2立体图形的直观图
新知探究
探究一：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
情境设置
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将
这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象
空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识.
问题：视察以下两幅图，
(3)画侧棱.过点 A ， B ， C ， D 分别作 z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线
段 AA′ ， BB′ ， CC′ ， DD′ (其中点 A′ ， B′ ， C′ ， D′ 在平面 ABCD的上方).
(4)成图.顺次连接 A′ ， B′ ， C′ ， D′ ，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改
行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
新知运用
跟踪训练1 画出下图所示的水平放置的直角梯形的直观图.
【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为 x 轴，
垂直于OB的腰OD所在直线为 y轴建立平面直角坐标
系，如图①所示.画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′ = 45∘ ，如图②所示.
改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图了.
反思感悟
方法总结
画空间几何体的直观图的基本原则：
3
2
使 PQ = cm .分别过点 M 和点 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和点 Q 作 x轴的平行线，设
它们的交点分别为A ， B ， C ， D ，则四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD .
第八章 立体几何初步
8.2立体图形的直观图
新知探究
探究一：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
情境设置
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将
这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象
空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识.
问题：视察以下两幅图，
(3)画侧棱.过点 A ， B ， C ， D 分别作 z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线
段 AA′ ， BB′ ， CC′ ， DD′ (其中点 A′ ， B′ ， C′ ， D′ 在平面 ABCD的上方).
(4)成图.顺次连接 A′ ， B′ ， C′ ， D′ ，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改
行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
新知运用
跟踪训练1 画出下图所示的水平放置的直角梯形的直观图.
【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为 x 轴，
垂直于OB的腰OD所在直线为 y轴建立平面直角坐标
系，如图①所示.画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′ = 45∘ ，如图②所示.
改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图了.
反思感悟
方法总结
画空间几何体的直观图的基本原则：
8.2立体图形的直观图-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
2．在直观图中“变”的量与“不变”量 (1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变； (2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂 直关系有变化)； (3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化. 斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行 位置不改变.
③连接 A′B′、C′D′、D′E′、F′A′得到正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图 A′B′C′D′E′F′.
(2)画六棱锥 P－ABCDEF 的顶点，在 O′z′轴上截取 O′P′＝OP.
(3) 成 图 . 连 接 P′A′ 、 P′B′ 、 P′C′ 、 P′D′ 、 P′E′ 、 P′F′，并擦去x′轴、y′轴、z′轴，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观 图P′－A′B′C′D′E′F′(图3).
[错解] ∠BAC＝2∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′ [错因分析] 错误的原因是对斜二测画法理解不透，在用斜二测画 法画直观图时，角的度数一般会发生变化，但这种变化并不是角的度数 减小了一半，它的变化与角的两边的位置有关. [正解] 如图②所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点.在直观图 中 过 C′ 作 C′D′ ∥ O′y′ 轴 ， 交 A′B′ 于 D′ ， 在 Ox 轴 上 截 取 AB ＝ A′B′，AD＝A′D′.过D作DC ∥Oy轴，使DC＝2D′C′，连接AC， BC，则△ABC为原三角形.用量角器量出∠BAC，可以得出∠BAC≠60°，所 以∠BAC≠2∠B′A′C′，∠BCA≠∠B′C′A′.
(2)在直观图中，设 B′C′与 y′轴的交点为 D′，则易得 O′D′ ＝3 2，所以原平面图形为一边长为 6，高为 6 2的平行四边形，所以其 面积为 6×6 2＝36 2.
高中数学 必修2(人教版)8.2立体图形的直观图
8.2 立体图形的直观图
最新 能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、 课标 圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
要点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步 骤
水平面
45° 135°
x′轴 y′轴 长度不变
保持原 一半
要点二 立体图形直观图的画法
用斜二测画法画空间几何体的直观图时，与平面图形相比只 多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是__z′__轴____，平面_x_′__O_′__y_′ 表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示_竖__直__平__面_．已知 图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，其_平__行__性__和__长__度_都不变．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” 三变：坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段长度改变；图形 改变；三不变：平行性不变；与x轴、z轴平行的线段的长度不 变；相对位置不改变．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观 图中仍平行．( √ ) (2)两条相交直线的直观图可能是平行直线．( × ) (3)用斜二测画法画平面图形的直观图时，垂直的线段在直观 图中仍垂直．( × ) (4)正方形的直观图为平行四边形．( √ ) (5)梯形的直观图不是梯形．( × )
故四边形OABC是菱形，故选C. 答案：C
(cm)，所以OA＝
3．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3， B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中 ∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB边上的中线为2.5.
解析：步骤一：画出六棱锥P -ABCDEF的底面．①在正六边
最新 能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、 课标 圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
要点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步 骤
水平面
45° 135°
x′轴 y′轴 长度不变
保持原 一半
要点二 立体图形直观图的画法
用斜二测画法画空间几何体的直观图时，与平面图形相比只 多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是__z′__轴____，平面_x_′__O_′__y_′ 表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示_竖__直__平__面_．已知 图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，其_平__行__性__和__长__度_都不变．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” 三变：坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段长度改变；图形 改变；三不变：平行性不变；与x轴、z轴平行的线段的长度不 变；相对位置不改变．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观 图中仍平行．( √ ) (2)两条相交直线的直观图可能是平行直线．( × ) (3)用斜二测画法画平面图形的直观图时，垂直的线段在直观 图中仍垂直．( × ) (4)正方形的直观图为平行四边形．( √ ) (5)梯形的直观图不是梯形．( × )
故四边形OABC是菱形，故选C. 答案：C
(cm)，所以OA＝
3．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3， B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中 ∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB边上的中线为2.5.
解析：步骤一：画出六棱锥P -ABCDEF的底面．①在正六边
8.2+立体图形的直观图-高一数学教材配套教学精品课件(人教A版2019必修第二册)
尺寸不作要求,侧棱长为1.5 cm)
学习目标
1、直观图：观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
步骤
斜二测画法要求
建系
在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画
直观图时，把它们画成对应的 ’ 轴和 ’ 轴，两轴相交于点’ ，
内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体
几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.
学习目标
思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望
远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
且AC＝6，AB＝3，∴S△ABC＝ ×6×3＝9.
思考：直观图与原图的面积之间有何关系？
2
原
4
直 =
原 = 2 2直
9
.
学习目标
辨析：判断正误.
1.用斜二测画法画水平放置的∠时，若∠的两边分别平行于轴和轴，且
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行. （✓
作z'轴的平行线,
在这些平行线上分别截取AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'都等于1.5 cm. (4)
成图.顺次连接A',B',C',D',E',F',去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,就得到
正六棱柱的直观图.
学习目标
练习：画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长
学习目标
1、直观图：观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
步骤
斜二测画法要求
建系
在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画
直观图时，把它们画成对应的 ’ 轴和 ’ 轴，两轴相交于点’ ，
内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体
几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.
学习目标
思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望
远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
且AC＝6，AB＝3，∴S△ABC＝ ×6×3＝9.
思考：直观图与原图的面积之间有何关系？
2
原
4
直 =
原 = 2 2直
9
.
学习目标
辨析：判断正误.
1.用斜二测画法画水平放置的∠时，若∠的两边分别平行于轴和轴，且
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行. （✓
作z'轴的平行线,
在这些平行线上分别截取AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'都等于1.5 cm. (4)
成图.顺次连接A',B',C',D',E',F',去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,就得到
正六棱柱的直观图.
学习目标
练习：画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长
8.2空间几何体的直观图— 人教版高中数学新教材必修第二册课件(共22张PPT)
（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观
图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原
讲
课人：来的一半
邢
启 强
15
典型例题
例3 已知圆柱的底面半径为1cm,侧面母线长 3cm,画出它的直观图.
解：(1)画轴.如图,画x轴、z轴，使∠xOz=90°. (2)画下底面.以O为中点，在x轴上取线段AB,使OA=OB=1cm.利用 椭圆模板画椭圆，使其经过A,B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面. (3)画上底面.在Oz上截取点O',使OO'=3cm,过点O'作平行于轴Ox的轴 O'x'.类似下底面的作法作出圆柱的上底面. (4)成图.连接AA‘,BB’,整理得 到圆柱的直观图.
平行线上分别截取3cm长的线段AA,BB,CC,DD.
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
z
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
y
就可得到长方体的直观图. D1
C1
A1 M
A
D
Q
o
P
B1 C
N
x
B
学习新知
规则：
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、 oy,再取oz轴，使∠xoz=900，且∠yoz=900 ；
典型例题
例4 某简单组合体由上下两部分组成，下
部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的
底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体
的直观图.
分析：画组合体的直观图，先要
分析它的结构特征，知道其中有 哪些简单几何体以及它们的组合
·Z
方式，然后再画直观图，本题中
没有尺寸要求，画图时只需选择
合适的大小，表达出该几何体的
8.2 立体图形的直观图 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共31张PPT)
正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A B C D E F 。
y
F ME
A
O Dx
B NC
规则：
横同竖半
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,
把它们画成对应的 x' 轴和 y'轴,两轴相交于O,且使 x' o' y ' 45 0 或135 0 ,它们
确定的平面表示水平面；
3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同 表现形式
人教A版必修第二册
Z
y
D
A
C
Bx
3 画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA，使AA=1.5cm, 过B,C,D各点
分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1.5cm长的 线段BB,CC,DD.
Z
D
A
D
y C
B C
A
B
x
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
它的直观图。
解：画法：
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,
使xOy=45,xOz 90.
Z
y
O
x
2 画 底 面 .在 x轴 正 半 轴 上 取 线 段 AB,使 AB=3cm;在 y
轴上取线段AD,使AD=1cm.过点B作y轴的平行线, 过点D作x轴的平行线,设它们的交点为C,则平行 四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图。
常用的一些空间图形的平面画法
练习 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确。
(1) 相等的线段在直观图中仍然相等。 (2) 平行的线段在直观图中仍然平行。 (3)一个角的直观图仍然是一个角。 (4) 相等的角在直观图中仍然相等。
y
F ME
A
O Dx
B NC
规则：
横同竖半
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,
把它们画成对应的 x' 轴和 y'轴,两轴相交于O,且使 x' o' y ' 45 0 或135 0 ,它们
确定的平面表示水平面；
3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同 表现形式
人教A版必修第二册
Z
y
D
A
C
Bx
3 画侧棱.在z轴正半轴上取线段AA，使AA=1.5cm, 过B,C,D各点
分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1.5cm长的 线段BB,CC,DD.
Z
D
A
D
y C
B C
A
B
x
4 成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理
去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线 ,
就可得到长方体的直观图.
它的直观图。
解：画法：
1画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,
使xOy=45,xOz 90.
Z
y
O
x
2 画 底 面 .在 x轴 正 半 轴 上 取 线 段 AB,使 AB=3cm;在 y
轴上取线段AD,使AD=1cm.过点B作y轴的平行线, 过点D作x轴的平行线,设它们的交点为C,则平行 四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图。
常用的一些空间图形的平面画法
练习 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确。
(1) 相等的线段在直观图中仍然相等。 (2) 平行的线段在直观图中仍然平行。 (3)一个角的直观图仍然是一个角。 (4) 相等的角在直观图中仍然相等。
数学人教A版(2019)必修第二册8.2立体图形的直观图(共25张ppt)
，两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.。
③ 画上底面：在上截取点′，使′ = 3 ，过点
’作平行于轴的轴′′.类似下底面的作法作出圆
柱的上底面。
′
′
O
z
′
′ ′
′
④ 成图：连接′，′，整理得到圆柱的直观图。
O
新知探索
对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥
们的交点为，则□ABCD就是长方体的底面的直观图；
Z
D
③ 画侧棱：在轴正半轴上取线段’，使′ = 1.5，过，，各点分
别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5长的线段′，′，
′；
④ 成图：顺次连接′，′，′，′，并加以整理 (去掉辅助线，将被遮挡的
新知探究
思考1：如下图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺
望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
新知探究
思考2：为什么是这些形状？能用平行投影知识加以解释吗？
A
投射线
B
S（投影方向）
C
O
C1
B1
投影
投影面
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影. 平行投影的
投影线是平行的.
练习巩固
例2：已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它
的直观图
① 画轴：如图，画轴、轴、轴，三轴相交于点0()，使∠0 = 45°，
∠ =90°；
② 画底面：在轴正半轴上取线段，使 = 3;在轴正半轴上取线段
，使 = 1。过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它
辨析1：判断正误.
③ 画上底面：在上截取点′，使′ = 3 ，过点
’作平行于轴的轴′′.类似下底面的作法作出圆
柱的上底面。
′
′
O
z
′
′ ′
′
④ 成图：连接′，′，整理得到圆柱的直观图。
O
新知探索
对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥
们的交点为，则□ABCD就是长方体的底面的直观图；
Z
D
③ 画侧棱：在轴正半轴上取线段’，使′ = 1.5，过，，各点分
别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5长的线段′，′，
′；
④ 成图：顺次连接′，′，′，′，并加以整理 (去掉辅助线，将被遮挡的
新知探究
思考1：如下图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺
望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
新知探究
思考2：为什么是这些形状？能用平行投影知识加以解释吗？
A
投射线
B
S（投影方向）
C
O
C1
B1
投影
投影面
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影. 平行投影的
投影线是平行的.
练习巩固
例2：已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它
的直观图
① 画轴：如图，画轴、轴、轴，三轴相交于点0()，使∠0 = 45°，
∠ =90°；
② 画底面：在轴正半轴上取线段，使 = 3;在轴正半轴上取线段
，使 = 1。过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它
辨析1：判断正误.
8.2立体图形的直观图课件2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
A
O Dx
F M E
A
O
D x
B N C
B NC
（3）连接A'B',C'D',E'F',F'A'，并擦去辅助线x' 轴和y' 轴，便获得正 六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'.
平面图形的斜二测画法步骤： （1）建两个坐标系，注意斜坐标系夹角为450或1350； （2）与坐标轴平行或重合的线段保持平行或重合； （3）水平线段等长，竖直线段减半；
y'
E
F
O'
A
B
D C x'
思考：用斜二测画法画可以将一个多边形水平放置，如图所 示，若是一个圆，我们将其水平放置有什么办法？
y
C EG
A OBx
D FH
y
CEG
A O
B x
DF H
但生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非 常像椭圆，因此我们一般用椭圆为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
（4)成图. 连接AA',BB'，整理得到圆柱的直观图.
A
O
Bx
对于圆锥的 直观图，一般先 画圆锥的底面， 再借助于圆锥的 轴确定圆锥的顶 点，最后画出两 侧的两条母线.
O
圆锥
画球的直观
图，一般需要画
出球的轮廓线，
O
它是一个圆. 同
时还经常画出经
过球心的截面圆，
它们的直观图是
球
椭圆，用以衬托
球的立体性.
设原三角形的底为a，高为h，则其面积为
S原
立体图形的直观图高一下学期数学人教A版+(2019)必修第二册
已知 OB 4 ，且△ABO的面积为16，过点 A作 AC x 轴于点C′， 则 AC 的长为 2 2
BO CO 1 , AO 3 ，那么原△ABC是一个中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
如图， ABC是由斜二测画法得到的水平放置的 ABC 的直观图，其
中 AB，AC 所在直线分别与 x 轴、y 轴平行，且 AB AC ，
那么△ABC是
若利用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，
则圆柱的高应
√A.平行于z′轴且大小为10 cm
B.平行于z′轴且大小为5 cm C.与z′轴成45°且大小为10 cm D.与z′轴成45°且大小为5 cm
三、直观图的还原与计算
由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中
方形的直观图中，顶点 B 到 x 轴的距离为__2_2__.
直观图和原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为 S ，其直观图面积为 S ， 则有 S 2 2S
由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图 是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的面积.
2 2
如图是利用斜二测画法得到的水平放置的Rt△ABO的直观图，
斜二测画法
y
D
C
利用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图 步骤一：建坐标系 在已知图形中建立坐标系
A (O) B
x
x
y
O
x' x
画直观图时，把它们画成对应的 x 轴 和 y 轴，两轴相交于点 O ，且 使 xOy 45 .它们确定的平面表
示水平面
y
D
C
A (O) B
x
x
BO CO 1 , AO 3 ，那么原△ABC是一个中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
如图， ABC是由斜二测画法得到的水平放置的 ABC 的直观图，其
中 AB，AC 所在直线分别与 x 轴、y 轴平行，且 AB AC ，
那么△ABC是
若利用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，
则圆柱的高应
√A.平行于z′轴且大小为10 cm
B.平行于z′轴且大小为5 cm C.与z′轴成45°且大小为10 cm D.与z′轴成45°且大小为5 cm
三、直观图的还原与计算
由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中
方形的直观图中，顶点 B 到 x 轴的距离为__2_2__.
直观图和原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为 S ，其直观图面积为 S ， 则有 S 2 2S
由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图 是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的面积.
2 2
如图是利用斜二测画法得到的水平放置的Rt△ABO的直观图，
斜二测画法
y
D
C
利用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图 步骤一：建坐标系 在已知图形中建立坐标系
A (O) B
x
x
y
O
x' x
画直观图时，把它们画成对应的 x 轴 和 y 轴，两轴相交于点 O ，且 使 xOy 45 .它们确定的平面表
示水平面
y
D
C
A (O) B
x
x
数学人教A版(2019)必修二8.2立体图形的直观图(共30张ppt)
(2)画底面，在x轴上取线段AB，使AB= 3 cm.在y轴上取线段AD,
使AD= 1 cm，分别过点D和B作x轴和y轴的平行线交于 C点，四
边形ABCD就是长方形的底面ABCD.
z
y
C
D
O
A
Bx
活动2：空间几何体的直观图
（3）画侧棱.在 z 轴正半轴上取线段 AA ，使 AA 1.5cm ，过 B ， C ， D
用以衬托球的
立体性.
活动2：空间几何体的直观图
【例 3】已知圆柱的底面半径为 1cm ，侧面母线长为 3cm ，画出它的直观图.
解：（1）画轴.如图，画 x 轴、 z 轴，使 xOz 90 .
（2）画下底面.以 O 为中点，在 x 轴上取线段 AB ，
使 OA OB 1cm .利用椭圆模板画椭圆，使其
活动1：平面图形的直观图
y
. . . .
① 在直角坐标系中
.
. . . . o.
画出正方形；
x
活动1：平面图形的直观图
②建立∠x′o′y′=45°的坐标系
③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x′、y′轴，
但横向长度不变，纵向长度减半.
y
. . .
.
.
Байду номын сангаас
.
.
y’
.
. o.
x
.
.
.
.
.
o’
x’
y
F
A
M
O
B
y
E
N C
D
A
x
B
F M E
O
N C
D
x
活动1：平面图形的直观图
使AD= 1 cm，分别过点D和B作x轴和y轴的平行线交于 C点，四
边形ABCD就是长方形的底面ABCD.
z
y
C
D
O
A
Bx
活动2：空间几何体的直观图
（3）画侧棱.在 z 轴正半轴上取线段 AA ，使 AA 1.5cm ，过 B ， C ， D
用以衬托球的
立体性.
活动2：空间几何体的直观图
【例 3】已知圆柱的底面半径为 1cm ，侧面母线长为 3cm ，画出它的直观图.
解：（1）画轴.如图，画 x 轴、 z 轴，使 xOz 90 .
（2）画下底面.以 O 为中点，在 x 轴上取线段 AB ，
使 OA OB 1cm .利用椭圆模板画椭圆，使其
活动1：平面图形的直观图
y
. . . .
① 在直角坐标系中
.
. . . . o.
画出正方形；
x
活动1：平面图形的直观图
②建立∠x′o′y′=45°的坐标系
③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x′、y′轴，
但横向长度不变，纵向长度减半.
y
. . .
.
.
Байду номын сангаас
.
.
y’
.
. o.
x
.
.
.
.
.
o’
x’
y
F
A
M
O
B
y
E
N C
D
A
x
B
F M E
O
N C
D
x
活动1：平面图形的直观图
8.2 立体图形的直观图(课件)-高一数学(人教A版2019必修第二册)
y'
A' 1 B'
1
1
O'
C'
y
AB
O
C
2.一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到 的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积为______， x' 周长为______.
(法1)算直观图面积，由倍数关系得原图面积
S直
(1 2
2)
2 2
22 4
S原 2 2S直 2 2
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半；
y
D
C
O
Bx
已知图形
y'
D'
C'
O'
B' x'
直观图
巩固：画水平放置的平面图形的直观图
y
F ME
y
y
A 面积：
D
AO
Dx
B NC y'
BO
Cx
y'
AO B
Cx
y'
O'
x'
O'
x'
O'
x'
面积：
水平放置的平面图形的直观图与原图的关系
1.画水平放置的平面图形的直观图
在已知图形中取相互垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'， 且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；
已知图形中平行于x轴或者y轴的线段，在直观图中分别画成 平行于x'轴或y'轴的线段(平行关系不变)；
立体图形的直观图高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
y/
使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在
Q
x x轴上取线段MN，使MN＝3 D
C/
cm；在y轴上取线段PQ，使A M
o
P
BN
PQ＝1.5 cm.分别过点M和N作
y轴的平行线，过点P和Q作x轴
的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形
ABCD就是正方体的底面ABCD.
上两条垂直的直线为 x, y 轴，建立空间直角坐标系，
斜二测画法中， x ， y 轴表示水平面，z 轴与 x 轴垂
直， y 轴与 x 夹角为 45°，平行于 x 轴、 z 轴的线段仍 平行于 x 轴、 z 轴，长度不变，平行于 y 轴的线段仍
平行 y轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去 坐标轴得直观图．如图所示：
A´
·O yB´x
A ·O B x
随堂检测
1．若把一个高为 10 cm 的圆柱的底面画在 x′O′y′平面
上，则圆柱的高应画成( A )
A．平行于 z′轴且大小为 10 cm B．平行于 z′轴且大小为 5 cm C．与 z′轴成 45°且大小为 10 cm D．与 z′轴成 45°且大小为 5 cm 解析：平行于 z 轴(或在 z 轴上)的线段，在直观图中的 方向和长度都与原来保持一致．选 A. 答案：A
z D′ A′
C′ y B′
D
C
Ao
B
x
归纳总结
用斜二测画法画空间几何体的直观图的规则： ⑴在已知几何体中取两两互相垂直的x轴、y轴、 z 轴，三轴相交于点O. 画直观图时，把它们画对应的x' 轴、 y'轴、 z'轴，使∠x'O'y' ＝45º， ∠x'O'z' ＝90º.
8.2 立体图形的直观图 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
当将两坐标轴的夹角变为45°或135°时，台面看起来就是平行四边形了.
2
斜二测画法画平面图形
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2
斜二测画法画平面图形
【注意】斜二测画法要点剖析
斜：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x’O’y’，使∠x’O’y’=45°（或135°）
二测：指两种度量形式. 画直观图时，已知图形中平行于x轴的线段，在直观
反思感悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐
标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，
以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的
线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平
面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
跟踪训练1
自定)
解
画法：
(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在
的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；
画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝
45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；
②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取
1.5
平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底
面ABCD.
z
z
y
y
O
x
M
A
Q
D
O
P
C
N
B
x
③画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取
2cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
8.2立体图形的直观图 课件-2021-2022学年高一下学期数学 人教A版(2019)必修第二册
画B′C′平行x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画E′F′平行x′轴，并且等于
EF.
y
F
M
O
A
y
E
A
D
x
B
B
N
F
M
O
N
E
D
C
x
C
注意： 平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的
线段，在直观图中长度为原来的一半.
（3）连接A′B′, C′D′, D′E′, F′A′,并擦去辅助线x′轴和y′轴，便
（4）相等的角在直观图中仍相等. （
D
×）
√）
√）
×）
C
D'
A'
A
B
C'
B'
2.用斜二测画法画出水平放置的边长为4cm的正三角形的直观图.
正方形
斜二测画法
正六边形
正三角形
关键：确定多边形的顶点
水平放置的圆的直观图的画法
一般用椭圆作为圆的直观图
正等测画法
当堂达标
1、如图为水平放置的正方形OCBA，它在直角坐标系xOy
中点B的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的正方
形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______
2、如图ΔA′B′C′是水平放置的ΔABC的直观图，
则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是
________
3、如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是
一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为
分线MN为y轴，两轴交于点O．画相应的x′轴，y′轴，两轴相交于点
O′，使∠x′o′y′ =45°.
F
A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
一、基础巩固
1．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )
A ．3
B ．22
C ．32
D ．34
2．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（ ）
A ．①②
B ．①
C ．③④
D ．①②③④ 3．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为22cm 2，则原平面图形的面积为( )
A ．4 cm 2
B ．2cm 2
C ．8 cm 2
D ．822
4．已知边长为1的菱形ABCD 中，3A π
∠=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（ ）
A ．32
B ．34
C ．66
D ．68
5.如图，正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）
A ．8cm
B ．6cm
C ．()213cm +
D ．()
212cm + 6．已知正ABC 的边长为a ，那么ABC 的平面直观图A B C '''的面积为（ ）
A ．234a
B ．238a
C ．268a
D ．2616
a 7．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．
A ．12+
B ．22+
C ．1222+
D ．212
+ 8．如图，已知OAB ∆的直观图O A B '''∆是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么OAB ∆的面积是（ ）
A ．12
B ．22
C ．1
D ．2
9．下列说法正确的是（ ）
A ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B ．梯形的直观图可能是平行四边形
C ．矩形的直观图可能是梯形
D ．正方形的直观图可能是平行四边形
10．如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．6 B．8 C．232
+
+D．223
'''.已知点O'是11．用斜二测画法画水平放置的ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C
A O，则ABC的边BC边上的高为（）
斜边B C''的中点，且1
A．1 B．2 C．2D．22
12．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()
A．AB B．AD C．BC D．AC
二、拓展提升
13.如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．
''''的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形14.如图,正方形O A B C
状,并求原图形的周长与面积.
15．圆台的上、下底面半径分别为5cm 、10cm ，母线长20AB cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点（B 在下底面），求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．。