高中数学-定积分的概念练习
定积分定义计算例题
定积分定义计算例题定积分是高中数学中比较重要的一个概念，也是数学中的一个重要工具。
下面是一些定积分的定义和计算例题：1. 定积分的定义：定积分是指在一定区间内，曲线和坐标轴之间的面积。
表示为：$int_a^bf(x)dx$。
其中，$a$和$b$是积分区间的两个端点，$f(x)$是被积函数。
2. 定积分的计算方法：(1) 划分区间：将积分区间分成若干个小区间。
(2) 求出每个小区间的面积：用等式$S=frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)$求出每个小区间的面积。
(3) 将每个小区间的面积相加：$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^nfrac{1}{2}(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x _i)$。
3. 计算例题：例1：计算$int_0^{pi/2}sin x dx$。
解：因为$sin x$在区间$[0,pi/2]$上单调递增，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=ifrac{pi}{10}$，$x_{i+1}=(i+1)frac{pi}{10}$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}(sin x_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^{pi/2}sin x dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}(sinx_i+sin x_{i+1})cdotfrac{pi}{10}approx1$例2：计算$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx$。
解：因为$frac{1}{1+x^2}$在区间$[0,1]$上单调递减，所以可以将积分区间划分成若干个小区间。
设划分的小区间为$[x_i,x_{i+1}]$，则$x_i=icdot0.1$，$x_{i+1}=(i+1)cdot0.1$。
每个小区间的面积为：$frac{1}{2}left(frac{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right) cdot0.1$将每个小区间的面积相加，得到：$int_0^1frac{1}{1+x^2}dxapproxsum_{i=0}^9frac{1}{2}left(fra c{1}{1+x_i^2}+frac{1}{1+x_{i+1}^2}right)cdot0.1approx0.78$。
高中数学 定积分 试题及解析
高中数学定积分试题一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣13．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1 6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e+C．e﹣D．e+19．定积分（+x）dx＝（）A．+B．C．+1D．10．若a＝（x+1）dx，b＝cos xdx，c＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．812．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜014．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．102415．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．816．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e17．直线y＝x与曲线y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．18．若函数f（x）＝A sin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B．C．1﹣D．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A．e2﹣1B．e2﹣C．e2﹣D．e2﹣21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A．B．C．D．﹣1 22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A．B．C．D．25．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．026．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C．D．27．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A．B．C．D．828．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A．B．C．D．929．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝．34．计算定积分＝．35．（e x+2x）dx＝．36．计算：dx＝．37．若，则a＝．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是40．计算定积分sin xdx＝．41．定积分＝．42．的值为．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝．50．计算2xdx＝．参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π【分析】对2和分别积分，结合定积分的几何意义求解即可．【解答】解：＝+，而表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆在[0，2]部分的面积，故＝+＝2x+＝4+π，故选：A．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣1【分析】根据定积分的计算方法直接求解即可．【解答】解：＝（x﹣lnx）＝（e﹣1）﹣（1﹣0）＝e﹣2，故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．3．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．【分析】根据函数|1﹣x2|为偶函数，将原式转化为[0，2]上的定积分，再分别转化为[0，1]和[1，2]上分别积分即可．【解答】解：∵函数|1﹣x2|为偶函数，∴|1﹣x2|dx＝2＝2+2＝2（x﹣）|+2（）|＝4．故选：B．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．【分析】画出图象，利用定积分求出即可．【解答】解：＝b﹣＝，b＝1，故b＝1，把b＝1代入f（x）＝x2（x＞0），得a＝1，故选：C．【点评】考查定积分的应用，基础题．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1【分析】由定积分公式，求解．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查定积分，属于基础题．6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用定积分求出阴影面积，再求出概率．【解答】解：阴影部分的面积m＝，矩形的面积为n＝3，故阴影部分概率为，故选：B．【点评】考查了几何概型和用定积分求面积，基础题．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．【分析】依题意，＝（﹣x+2）dx+，根据定积分的几何意义，表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．【解答】解：依题意，＝（﹣x+2）dx+其中表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，如图，所以＝（﹣x+2）dx+＝（2x﹣）|+＝，故选：C．【点评】本题考查了定积分的计算，定积分的几何意义，属于基础题．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e +C．e ﹣D．e+1【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：利用定积分的关系式的应用求出结果，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9．定积分（+x）dx＝（）A ．+B ．C ．+1D ．【分析】直接利用定积分的运算和几何意义的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．若a ＝（x+1）dx，b ＝cos xdx，c ＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】直接利用定积分和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：a ＝（x+1）dx ＝．b ＝cos xdx ＝，c ＝e x dx ＝所以：c＞a＞b故选：C．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．8【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（x2+2x ），进而计算可得答案．11【解答】解：根据题意，＝（x2+2x ）＝（4+4）﹣（4﹣4）＝8；故选：D．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式，属于基础题．12．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意分析，封闭图形面积即为（x+3）﹣（x2+1）在x＝﹣1到x＝2上定积分的值．【解答】解：令x+3＝x2+1，得x1＝﹣1，x2＝2，则S ＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查定积分的基本定理，涉及定积分的计算，属于基础题．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x ）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜0【分析】由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，得解．【解答】解：如图，g（x ）＝f（t）dt ＝﹣，因为x∈（﹣1，0），12所以t∈（﹣1，0），故f（t）＞0，故f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，故选：B．【点评】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．14．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解【解答】解：因为a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，故选：C．【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．15．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．8【分析】联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），解得A（2，4），B（2，﹣4），由曲线，以及直线l：x＝2围成的封闭图形面积S，即可判断出正误．【解答】解：联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），所以曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为：S ＝＝＝2x2＝2×22﹣2×02＝8，13故选：D．【点评】本题主要考查积分的应用，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．16．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x ＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：根据封闭图形的组成，所以：＝＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．直线y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．【解答】解：y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积S ＝＝＝．14故选：D．【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属基础题．18．若函数f（x）＝A sin（ωx ﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B ．C．1﹣D ．【分析】先求出f（x）的解析式，以及对应的零点，积分即可．【解答】解：依题意A＝1，＝＝π，∴T＝2π，ω＝＝1，∴f（x）＝sin（x ﹣），故当x ＝时，f（x）＝0．∴阴影面积为＝＝cos（x ﹣）|＝1﹣．故选：C．【点评】本题考查了正弦型函数的图象，定积分，主要考查计算能力，属于基础题．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A ．B ．C ．D ．15【分析】由题意利用积分法求出由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积．【解答】解：由题意，令S ＝x2dx ＝x 3＝×（1﹣0）＝，∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S ＝．故选：B．【点评】本题考查了定积分的几何意义与应用问题，是基础题．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A ．e2﹣1B ．e2﹣C ．e2﹣D．e2﹣【分析】先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为S，利用定积分求出S 即可．【解答】解：由题意，曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形如图所示∴S ＝＝（）＝﹣＝故选：A．【点评】本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．﹣1【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．16【解答】解：由，解得或，则曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为S ＝（﹣x2）dx ＝（﹣x3）＝（﹣）﹣0＝，故选：C．【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【分析】根据题意，由定积分定理，可得汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt ＝（+t ）＝5.5；故选：C．【点评】本题考查了微积分基本定理，关键是理解定积分的几何意义．23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先计算出曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积，然后求出曲线y＝﹣x2﹣x与直线y＝kx的交点坐标，然后利用定积分计算直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x围17成区域的面积，等于曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积的一半，列方程求出k 的值．【解答】解：曲线y＝﹣x2﹣x与x轴交于（﹣1，0）和原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成的平面区域的面积为，联立，解得或，即直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x交于点（﹣k﹣1，﹣k2﹣k）和坐标原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x位于直线y＝kx上方区域的面积为＝＝，解得，故选：D．【点评】本题考察利用定积分计算曲边三角形的面积，关键在于积分函数与积分区间，属于中等题、24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，画出图象确定所求区域，结合定积分的几何性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图所示，阴影部分为曲线y＝x2与y＝x所围成的图形，其面积S＝S△ABO﹣S曲边梯形ABO ＝（x﹣x2）dx；故选：A．【点评】本题考查定积分的几何意义，要注意明确被积函数和积分区间．1825．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B ．C ．D．0【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为﹣1的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：联立方程可得，解得x＝﹣1，0，1，∴直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积S＝2（x﹣x3）dx＝2（）＝2（﹣）＝，故选：C．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．26．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C ．D ．【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx＝（3x ﹣x3﹣x2）＝（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）＝，故选：C．19【点评】本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．27．由曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A ．B ．C ．D．8【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2与直线y＝6x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由解得，∴曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积S ＝﹣（x ﹣2）dx ＝﹣（）＝﹣2＝．故选：A．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．28．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A ．B ．C ．D．9【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的面积，即可求得结论．【解答】解：由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3联立，解得y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是S ＝（﹣x2﹣2x+3）dx ＝（﹣x3﹣x2+3x ）＝．故选：B．【点评】本题给出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3，求它们围成的图形的面积，着重考查了20定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题．29．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移﹣力”只要求W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx，进而计算可得答案．【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx＝∫12（5﹣x2）dx＝（5x﹣x3）|12＝故选：C．【点评】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法，属于基础题．30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx【分析】由圆的方程求得y关于x的解析式，再求出x的取值范围，根据圆的对称性和定积分的几何意义，写出圆的面积表达式．【解答】解：由圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0），得y＝±，由（x﹣a）2≤r2，解得a﹣r≤x≤a+r；根据圆的对称性和定积分的几何意义，计算圆的面积为S圆＝2dx．故选：D．【点评】本题考查了圆的方程与定积分的应用问题，是基础题．31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx【分析】由题意结合定积分的几何意义整理计算即可求得最终结果．【解答】解：定积分表示曲边梯形的面积，位于x轴上方为正面积，位于x轴下方为负面积，据此可得：由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积是．故选：C．【点评】本题考查定积分的几何意义及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．【分析】首先确定所给数据中唯一曲边三角形的点的个数，然后利用频率近似概率，结合几何概型求解曲边三角形的面积即可．【解答】解：由表可知，向矩形区域{（x，y）|1⩽x⩽e，0⩽y⩽1}内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其横坐标分别为2.5，1.22，2.52，2.17，1.89，2.22其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故选：D．【点评】本题考查了蒙特卡洛模拟的方法，频率值近似为概率值，将古典概型与几何概型联系起来即可，属于常考题目．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝1+．【分析】cos xdx可以直接积分，dx根据几何意义积分即可．【解答】解：dx表示单位圆在[0，1]上的部分的面积，即个单位圆的面积，∴cos xdx+dx＝sin x+＝1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．34．计算定积分＝．【分析】＝dx﹣dx，前式根据定积分的几何意义求解，后式直接积分即可得到所求．【解答】解：＝dx﹣dx，dx表示半圆y＝在[0，1]上部分的面积，即个单位圆的面积，∴＝dx﹣dx＝﹣x＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．35．（e x+2x）dx＝e2+3．【分析】直接利用定积分运算法则求解即可【解答】解：（e x+2x）dx＝e2﹣1+（22﹣0）＝e2+3，故答案为：e2+3【点评】题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力36．计算：dx＝π﹣．【分析】根据定积分的几何意义，结合圆的知识求解即可．【解答】解：依题意，dx表示半圆y＝，在x＝1和x＝2之间的部分与x轴围成的区域的面积，如图中阴影所示，依题意，△AOB为等边三角形，故B的纵坐标为∴dx＝π×22﹣＝π﹣，故答案为：π﹣．【点评】本题考查了定积分的求法，考查定积分的几何意义，主要考查计算能力和直观想象，属于中档题．37．若，则a＝2．【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．【解答】解：若，则，即，所以a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：将直线方程与曲线方程联立可得，所以正直线y＝x和抛物线y＝﹣x2+2x交点坐标为（0，0），（1，1），结合图象可知围成的封闭图形的面积为．故答案为：．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．本题属于基础题．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是【分析】根据定积分的几何意义和积分法则求解即可．【解答】解：根据定积分的几何意义，由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是：S＝＝＝﹣0＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义与计算问题，是基础题．40．计算定积分sin xdx＝2．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得sin xdx＝（﹣cos x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，sin xdx＝（﹣cos x）＝cos0﹣cosπ＝2；故答案为：2．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．41．定积分＝+e．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（+e x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，＝（+e x）＝（+e）﹣（0+1）＝+e，故答案为：+e．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．42．的值为8π．【分析】利用定积分性质和圆的面积求出即可．【解答】解：根据定积分的性质，y＝sin3x为奇函数，在[﹣4，4]图象关于原点对称，定积分为0，y＝在x∈[﹣4，4]的面积为以（0，0）为圆心，半径为4的圆的面积的一半，故为8π，故答案为：8π．【点评】本题考查定积分的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为3﹣2ln2．【分析】求出曲线，直线y＝2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．【解答】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为＝（x2﹣2lnx）＝3﹣2ln2．故答案为：3﹣2n2．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．【分析】联立直线和抛物线，可得交点坐标，对y积分即可求得面积．【解答】解：联立y2＝x与y＝x﹣2可得，直线与抛物线的交点为（1，﹣1），（4，2），根据定积分的意义，图象所围成的阴影部分面积：S＝＝（）＝，故答案为：．【点评】本题考查了定积分的应用，定积分的几何意义，属于基础题．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为1．【分析】根据定积分的几何意义求解即可．【解答】解：依题意，令e+1＝e x+1，得x＝1，所以直线x＝0，y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的区域的面积为S＝＝＝（ex﹣e x）|＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的计算，属于基础题．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．【分析】计算出阴影面积，圆的面积，代入几何概型的概率计算公式即可．【解答】解：依题意，图中阴影面积为S＝2＝﹣2cos x|＝4，而圆的面积为S'＝π×π2＝π3，所以圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，圆的方程与面积，几何概型的概率计算，属于基础题．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．【分析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：由曲线y＝与直线y＝2x﹣1构成方程组，解得，由直线y＝2x﹣1与y＝0构成方程组，解得；∴曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为：S＝dx﹣（2x﹣1）dx＝﹣（x2﹣x）＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的计算问题，关键是求出积分的上下限，是基础题．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为e e﹣2e．【分析】运用定积分知识计算围城曲边梯形的面积可得结果．【解答】解：根据题意得，联立得；∴S＝＝e e﹣e﹣e（lne﹣ln1）＝e e﹣2e故答案为e e﹣2e．【点评】本题考查由定积分计算围成图形的面积．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝±6．【分析】求出直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）的两个交点，确定被积函数和被积区间，利用定积分可求出围成的封闭区域的面积，即可求出k的值．【解答】解：当k＞0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1上方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为＝k，得k ＝6；当k＜0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1下方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为，得k＝﹣6．故答案为：±6．【点评】本题考查利用定积分来计算面积，解决本题的关键是确定被积函数和被积区间，属于中等题．50．计算2xdx＝8．【分析】直接根据定积分的计算法则即可．【解答】解：2xdx＝x2＝32﹣12＝8，故答案为：8【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题。
高中数学定积分训练题
高中数学定积分训练题定积分是高中数学中的重要概念之一，通过解决定积分训练题，我们能够更好地理解和应用这一概念。
本文将通过一系列高中数学定积分训练题，帮助读者加深对定积分的理解，并培养解决问题的能力。
题一：计算定积分$\int_{1}^{3} (2x+1)dx$。
解析：首先我们进行不定积分：$\int (2x+1)dx = \int 2xdx + \int dx = x^2 +x + C$。
然后根据定积分的性质，我们有 $\int_{1}^{3} (2x+1)dx = [(x^2+x)|_{1}^{3}] = [(3^2 + 3) - (1^2 + 1)] = 13$。
题二：计算定积分$\int_{0}^{\pi} \sin x dx$。
解析：由于$\int \sin x dx = -\cos x + C$，所以我们有 $\int_{0}^{\pi} \sin x dx = -\cos x |_{0}^{\pi} = [(-\cos \pi) - (-\cos 0)] = 2$。
题三：计算定积分$\int_{0}^{2} (x^2 - 3x + 2)dx$。
解析：我们进行不定积分：$\int (x^2 - 3x + 2)dx = \int x^2 dx - \int 3x dx + \int 2 dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C$。
根据定积分的性质，我们有 $\int_{0}^{2} (x^2 - 3x + 2)dx =[(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x) |_{0}^{2}] = [(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (0 - 0 + 0)] = \frac{2}{3}$。
题四：计算定积分$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$。
解析：我们知道 $\int \cos x dx = \sin x + C$，所以 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \sin x |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = [(\sin \frac{\pi}{2}) - (\sin -\frac{\pi}{2})] = 2$。
高中数学 4.5.3 定积分的概念同步精练 湘教版选修22
高中数学 4.5.3 定积分的概念同步精练 湘教版选修2-21．下列积分的值等于1的是( )．A ．∫2012d x B ．∫10x 2d xC ．∫1－1x d xD ．∫20|x |d x2．已知∫31f (x )d x ＝56，则( )． A ．∫21f (x )d x ＝28 B ．∫32f (x )d x ＝28 C ．∫212f (x )d x ＝56D ．∫21f (x )d x ＋∫32f (x )d x ＝563．已知f (x )的图象是连续的，且为偶函数，在对称区间－a ，a ]上的积分∫a－a f (x )d x 的值为( )．A ．0B ．2∫0－a f (x )d x C ．∫0－a f (x )d x D ．∫a0f (x )d x 4．下列等式成立的是( )．A ．∫ba 0x d x ＝b －aB ．∫ba x d x ＝12C ．∫1－1|x |d x ＝2∫10|x |d xD ．∫b a (x ＋1)d x ＝∫ba x d x5．∫101－x 2d x ＝( )．A ．π4B ．π2 C ．π D．2π6．若π20sin x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为__________．7．定积分∫50(3x －6)d x ＝________.8．不用计算，根据其几何意义，用不等号连接下列各式：(1)∫10x d x ________∫10x 2d x ； (2)∫10x d x ________∫21x d x ； (3)∫204－x 2d x ________∫202d x .9．用定积分的定义求半径为r 的圆的面积．10．物体在力F 的作用下从静止开始运动，力F 的大小与位移s (m)的关系是F ＝13s ＋1，求物体运动5 m 的过程中力F 所做的功．参考答案1．A 用定积分的定义或几何意义计算，可得2⎰12d x ＝1，1⎰x 2d x ＝13，11-⎰x d x ＝0，2⎰|x |d x ＝2.2．D 由定积分的性质易得D 项正确． 3．B 由定积分的几何意义及函数的性质可知，aa-⎰f (x )d x ＝2a-⎰f (x )d x ＝2a⎰f (x )d x .4．C 根据定积分的几何意义，可知11-⎰|x |d x ＝21⎰|x |d x .5．A ∵被积函数y ＝1－x 2表示的是以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义知，1⎰1－x 2d x ＝14·π·12＝π4.6．2 由定积分的几何意义知S ＝π⎰sin x d x ＝2π20⎰sin x d x ＝2×1＝2.7．152 如下图，计算可得A 的面积为272，B 的面积为6，从而5⎰(3x －6)d x ＝272－6＝152.8．(1)＞ (2)＜ (3)＜ (1)如图1，图①表示1⎰x d x ，图②表示1⎰x 2d x ，显然1⎰x d x ＞1⎰x 2d x .图1(2)如图2，图③表示1⎰x d x ，图④表示21⎰x d x .∴1⎰x d x ＜21⎰x d x.图2(3)如图3，图⑤表示2⎰4－x 2d x ，图⑥表示2⎰2d x .故2⎰4－x 2d x ＜2⎰2d x.图39．解：如图，将半径n 等分，各圆环面积依次近似于矩形的面积2πi n r ·r n，i ＝1,2，…，n.圆面积S ＝所有圆环面积之和≈∑i ＝1n2πr 2·i n2＝I ，I ＝2πr 2·1n2(1＋2＋3＋…＋n )＝2πr2n (n ＋1)2n 2＝πr 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n .当n →∞时，S →πr 2.10．解：s ∈0,5]，将0,5]n 等分，得Δs ＝5n ，s i ＝5n i ，则F i ＝13s i ＋1＝53n i ＋1，在(s i ，s i ＋1)的位移内，力F i 所做的功W i ＝F i Δs ＝5n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53n i ＋1＝253n2i ＋5n ，∑n i ＝1W i ＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫253n 2i ＋5n ＝556＋256n.当n →＋∞时，556＋256n →556.∴F 做的功为556 J.。
高中数学定积分的概念及相关题目解析
高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。
定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。
那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。
例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。
这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。
在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。
高中数学-定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用练习
高中数学-定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用练习1．定积分2(3)d x -⎰等于A ．−3B ．3C ．−6D ．62．定积分e1(1ln )d x x +⎰的值为A ．e 2+B ．e 1+C ．D ．e 1-3．定积分3209d x x -⎰的值为A ．9πB ．3πC ．94π D ．92π 4．求曲线2x y =与x y =所围成的封闭图形的面积时，下列式子正确的是 A ．12()d S xx x =-⎰B ．12()d S x x x =-⎰C ．120()d S y y y =-⎰D ．1()d S y y y =-⎰5．已知函数2(10)()1(01)x x f x x ⎧-≤≤=⎨<<⎩，则11()d f x x -⎰的值为A ．23 B ．32- C ．34-D ．34 6．如图，函数221y x x =-++与1y =相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是A ．1B ．43C 3D ．27．22(1cos )d x x ππ-+=⎰．8．曲线y x =与2y x =所围成的封闭图形的面积S = ．9．下列值等于1的定积分是 A ．1d x x ⎰ B ．1(1)d x x +⎰C ．11d x ⎰D ．101d 2x ⎰10．若222d 2mx x x -π--=⎰,则m 等于 A ．−1 B ．0 C ．1D ．211．如图所示，正弦曲线sin y x =，余弦曲线cos y x =与两直线0x x ==π,所围成的阴影部分的面积为A ．1B ．2C ．2D ．2212．一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度55()51V t t t=-++(的单位:s,v 的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是A ．55ln 10 mB ．55ln 11 mC ．(12+55ln 7) mD ．(12+55ln 6) m13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．1714．已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()d f x x ⎰的值约为A ．99100B ．310C ．910D ．101115．（高考陕西卷）定积分1(2e )d x x x +⎰的值为A ．e 2+B ．e 1+C ．D ．e 1-16．（高考山东卷）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．D ．417．（高考福建卷）如图,点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .18．（高考陕西卷）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．1234569101112131415161．C 【解析】因为2(3)d x -⎰23|32(3)06x =-=-⨯--⨯=-,故选C ． 2．C 【解析】根据已知条件,结合微积分基本定理可知e1e1(ln |=e 1ln )d =x x x x +⎰．【解题技巧】利用微积分基本定理求定积分时，关键是求出被积函数的原函数.3．C 【解析】由定积分的几何意义可得0x ⎰表示由曲线y =直线0x =，3x =围成的封闭图形的面积，即圆229x y +=在第一象限与x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积，C ．4．B 【解析】两曲线的交点的横坐标为0,1,所以积分区间为[0,1],结合图形及定积分的几何意5．D D. 6．B 【解析】可求出两曲线的交点坐标为(01),(21)，，，所以22220(211)d (2)d S x x x x x x =-++-=-+⎰⎰322014()|33x x =-+=．故选B.【名师点睛】定积分的应用主要有两方面:一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别. 7．2π+【解析】8．13【解析】由定积分公式可得331231220021211)d ()|(10)(10)33333S x x x x ==-=⨯--⨯-=⎰．9． C 【解析】由题意得10．B 【解析】由已知可得: y =的图象为圆:22(1)1x y ++=对应的上半部分，由定积分的几何意义可得0m =，故选B.11．D 【解析】由题中图形以及定积分的几何意义，可得所求阴影部分的面积等于D.12．B 【解析】令55501t t -+=+，注意到t >0，得t =10，即行驶的时间为10 s.由题意得，行驶的距离为s =1021000551(5)d [555ln(1)]|55ln1112t t t t t t -+=-++=+⎰，即紧急刹车后火车继续行驶的距离为55ln 11 m.13．C 【解析】根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y x =与y =OABC 中任取一点P ，点P取自阴影部分的概率为11616=.故选C ．【思路分析】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积，进而由几何概型计算公式即可得到答案.14．A 【解析】1()d f x x ⎰表示函数()f x 的图象与x 轴、直线0x =、直线1x =所围成的封闭图形的面积，由图象可知为题图中阴影部分的面积，而由已知条件可知阴影部分面积占长方形面积的33100，所以103399()d =3100100f x x ⨯=⎰，应选A.15．C 【解析】121212000(2e )d (e )|(1e )(0e )e x x x x x+=+=+-+=⎰，故选C .16．D 【解析】由已知得，23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰，故选D . 【解题技巧】（1）利用定积分求平面图形面积的步骤:①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）知图形的面积求参数:求解此类题的突破口:画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．17．512【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S阴影=3222111754d44333|x x x=-=--=⎰,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=553412SS==阴影.18．1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示:原始的最大流量是1(101022)2162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py=(0p>)，因为该抛物线过点(5,2)，所以2225p⨯=，解得254p=，所以2252x y=，即2225y x=，所以当前最大流量是52353355222240(2)d(2)|(255)[2(5)(5)]257575753x x x x---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2．。
高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念
课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·广州高二检测)关于定积分m=dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+C，D.被积函数为y=-x3【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( )A.[-2，2]B.[0，2]C.[-2，0]D.不确定【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].3.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A.[mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2014·长春高二检测)定积分(-3)dx=__________.【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，(-3)dx=-3dx=-6.答案：-66.计算：(1-cosx)dx=________.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.答案：2π【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.答案：2π三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·济南高二检测)已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.(3)(3x2-2x3)dx.【解析】(1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.8.求定积分(-x)dx的值.【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·黄冈高二检测)设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.答案：-3.(2013·天津高二检测)曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为( )A.dxB.dxC.dxD.dx【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·深圳高二检测)定积分2014dx=__________.【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分(2+)dx=________.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.【解析】原式=2dx+dx.因为2dx=2，dx=，所以(2+)dx=2+.答案：2+三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt=300+400+200=900(米).关闭Word文档返回原板块。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)
一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．133．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．24．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．3侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．23D ．236．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 17．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．438．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．29．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 10．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞11．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ） A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.14．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______15．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 16．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________． 17．定积分()12xx e dx +=⎰__________．18．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.19．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．若，则的值是__________．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.22．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值. 23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围. 24．计算曲线223y x x =-+与直线3y x所围图形的面积．25．在(332x x11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求1x α⎰d x26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．D解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．3．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 4．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．5．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离2d =，由勾股定理可得2221()()22a a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．6．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.7．A解析：A 【解析】 试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.8．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线9．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．10．C解析：C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设abt ，则312t a b，再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根，最后根据判别式即可得出结果． 【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1223331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=，即3210ab a b，设ab t ，则312t a b，a 、b 为方程23102t xx t 的根，有231402t t ，解得19t 或1t ≥， 所以1,[1,)9a b ，故选C ．【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．11．B解析：B 【解析】由31x x=，得1x =±，则图象的交点为(1,1)--，(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B12．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t ＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t 的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析：[)2,2-【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可． 【详解】解：当|t |≥2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞，可得2n 22()11t lim 2121n t t t→∞⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞可得： 22()2lim 211?()2n n tt t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为[﹣2，2）． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．14．【解析】【分析】先求出两曲线的交点再由面积与定积分的关系利用定积分即可求解【详解】由题意令解得交点坐标为所以曲线围成的图形的面积【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积其中解答中根据题设中的 解析：1【解析】 【分析】先求出两曲线,x y e y e ==的交点，再由面积与定积分的关系，利用定积分即可求解． 【详解】由题意，令x y ey e=⎧⎨=⎩，解得交点坐标为(1,)e ， 所以曲线,,0xy e y e x ===围成的图形的面积110()()|1x xS e e dx ex e =-=-=⎰．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题设中的条件建立面积的积分表达式，利用定积分的计算准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e 【解析】1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．18．【解析】试题分析：联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点：1定积分的应用---求曲边梯形的面积；2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图在直角坐标系中画出直 解析：323【解析】 试题分析：联立2{230y x x y =--=,交点(1,1)A -,(9,3)B ,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为322332111132(23)(3)|(399)(13)333S y y dy y y y --=+-=+-=+---+=⎰.考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对x 进行定积分，2,y x y x ==±，有些麻烦，这里就转化为对y 进行定积分，要容易很多.19．或【解析】试题分析：展开后第二项系数为时时考点：1定积分；2二项式定理解析：3或73【解析】试题分析：展开后第二项系数为233122a a -=-∴=±，1a =时3121|33x -==，1a =-时 31217|33x --== 考点：1．定积分；2．二项式定理20．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2 【解析】 试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.三、解答题21．（1）()2f x x x =+；（2）{|0}λλ<【解析】分析：（1）设2()f x ax bx c =++，代入已知，由恒等式知识可求得,,a b c ； （2）由（1）得()g x ，题意说明()0<g x 在[0,1]x ∈上恒成立，由分离参数法得221x x x λ+<+，问题转化为求22([0,1])21x x x x +∈+的最小值． 详解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，()00f =，0c ∴=. 于是()()()()22111f x f x a x b x ax bx +-=+++--222ax a b x =++=+.解得1a =，1b =.所以()2f x x x =+. （2）由已知得()()221g x x x x λ=+-+ 0>在[]0,1x ∈上恒成立. 即221x x x λ+<+在[]0,1x ∈上恒成立. 令()221x x h x x +=+，[]0,1x ∈ 可得()()()()()22222212221'02121x x x x x h x x x +-+++==>++. ∴函数()h x 在[]0,1单调递增，∴ ()()min 00h x h ==.∴ λ的取值范围是{|0}λλ<.点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为()()g h x λ≤，这样只要求得()h x 的最小值min ()h x ，然后再解min ()()g h x λ≤，即得λ范围．22．（1）800()4(010)25f x x x x =+≤≤+；（2）当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元.【解析】试题分析：（I ）根据c （0）=8计算k ，从而得出f （x ）的解析式；（II ）利用基本不等式得出f （x ）的最小值及等号成立的条件．试题（1）当0x =时，()085k c ==，∴40k =. 由题意知，()4020425f x x x ⨯=++，即()()800401025f x x x x =+≤≤+. （2）∵()()800401025f x x x x =+≤≤+∴()()21600'425f x x -=++，令()'0f x =，即()242516000x +-=， ∴7.5x =. 当[)0,7.5x ∈时，()'0f x <，当(]7.5,10x ∈时，()'0f x >，当7.5x =时，()f x 取得最小值. ()min 80047.57027.55f x =⨯+=⨯+. 所以，当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 23．(Ⅰ)3a=-,2b =-；(Ⅱ)[]4,16-；(Ⅲ)124t ≤≤ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得3a =-,2b =-；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t的取值范围是124t ≤≤+ 试题（Ⅰ）()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-' ∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=- 令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16- （Ⅲ）因为[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立，令()()2216h x tx t x =-++ 对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t+=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得：t的取值范围为124t ≤≤+ 24．92． 【解析】【详解】试题分析：利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数． 试题由23{23y x y x x =+=-+解得03x x ==及．从而所求图形的面积332200[(3)(23)](3)S x x x dx x x dx =+--+=-+⎰⎰3230139=|322x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 考点：定积分． 25．67 【分析】 先求()332x x -11展开式的通项公式，其中有2项有理项，确定概率1α6=，根据定积分的计算法则，先求出被积函数x α的原函数，再分别将积分上下限代入求差，即可求出结果.【详解】解：T r ＋1＝11r C ·(3x )11－r ·()32x -r ＝11r C ·311－r ·(－2)r ·，r ＝0,1，…，11，共12项其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为21α126==. 111716600066=|=77x dx x dx x α∴=⎰⎰ 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式展开式的特定项问题、考查古典概型的概率公式，考查定积分的计算.解题关键是熟练应用二项式展开式的通项公式，找出符合条件的项数.26．（1）1m ≤-；（2）4a ≤.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数对t 的范围进行分类讨论求最值.(2)本小题实质是22ln 3x x x ax ≥-+-在()0,x ∈+∞上恒成立，进一步转化为3 2ln a x x x ≤++在()0,x ∈+∞上恒成立,然后构造函数()32ln (0)h x x x x x=++>利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根. 试题（1）()f x 定义域为()0,+∞，()()ln 1f x x m '=++，因为()f x 在()1,+∞上为单调函数，则方程()ln 10x m ++=在()1,+∞上无实根. 故10m +≥，则1m ≤-.（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++，对一切()0,x ∈+∞恒成立. 设()32ln (0)h x x x x x =++>，则()()()231'x x h x x +-=， 当()()()0,1,'0,x h x h x ∈<单调递减，当()()()1,,'0,x h x h x ∈+∞>单调递增.()h x 在()0,+∞上，有唯一极小值()1h ，即为最小值.所以()()min 14h x h ==，因为对任意()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成成立，故4a ≤.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰102xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3πC.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12 B.14 C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。
高中数学定积分综合练习(含答案)
定积分综合练习一、选择题：1．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分 （ ）A ．dx x⎰101B ．dx x p⎰1C ．dx xp⎰10)1(D ．dx n x p ⎰10)(2．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10213．dx x |4|102⎰-=（ ）A ．321 B ．322C ．323D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ）A ．320gt B ．20gtC ．220gtD ．620gt5．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）A ．4B ．2C ．25D ．3 6．dx e e x x ⎰-+1)(=（ ）A ．e e 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ⎰--101 B ．()[]dx x x ⎰-+-2101 C ．()[]dy y y ⎰--2101 D ．()[]dx x x ⎰+--1019．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.2810．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）A ．⎰32dx x ρB ．()⎰+212dx x ρC ．⎰1dx x ρ D ．()⎰+321dx x ρ二、填空题：12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 14．按万有引力定律，两质点间的吸引力221r m m kF =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a ） ．三、解答题：15．计算下列定积分的值 （1）⎰--312)4(dx x x ； （2）⎰-215)1(dx x ； （3）dx x x ⎰+20)sin (π； （4）dx x ⎰-222cos ππ；16．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．17．求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.18．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功．19．设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且f ′（x ）=2x +2. （1）求y =f （x ）的表达式；（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.20．抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ．OxyF ABCD E G图参考答案一、1．B ；2．C ；3．C ；4．C ；5．D ；6．D ；7．B ；8．C ；9．A ；10．A ； 二、11．dx x ⎰+1011；12．dx x ⎰-102)1(；13．dx x ⎰π20|cos |；14．)11(21ba m km -； 三、15．（1）（2）（3）（4）16．解：首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=01 23)2(dx x x x ⎰++-+20 23)2(1237=17．解：焦点坐标为)0,(a F ，设弦AB 、CD 过焦点F ，且OF AB ⊥． 由图得知：FBD FBE AGF ACF S S S S >=>，故AFBDOA ACFDOA S S >． 所求面积为：22 023842a dy a y a A a ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=． 18．解：物体的速度233)(bt bt dtdxV ='==．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．当x=0时，t=0；当x=a 时，311)(bat t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为3277130320302727727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====⋅==⎰⎰⎰⎰19．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1. （2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x t td )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(tt x x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0， ∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.20．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以32261)(b a dx bx ax S ab =+=⎰-(1) 又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组⎩⎨⎧+==+bx ax y y x 24得ax 2＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2＋16a=0． 于是,)1(1612+-=b a 代入（1）式得： )0(,)1(6128)(43>+=b b b b S ，52)1(3)3(128)(+-='b b b b S ； 令S'(b)=0；在b ＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b ＜3时，S'(b)＞0；当b ＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且29max =S ．。
高中数学 专题1.5.3 定积分的概念测试(含解析)新人教A
定积分的概念（时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分 1.（5分）定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 【答案】 A【解析】积分=∫f(x)df(x)=[f(x)]^2/2=[f(b)]^2/2-[f(a)]^2/2=(a^2-b^2)/2 2．（5分）下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x ) 在[a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 【答案】 D3．（5分）已知()3156f x dx =⎰，则()A. ()2128f x dx =⎰ B. ()3228f x dx =⎰C.()21256f x dx =⎰D.()()231256f x dx f x dx +=⎰⎰【答案】D【解析】由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝3及y ＝0的图象围成的曲边梯形可分拆成两个：由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝2及y ＝0的图象围成的曲边梯形和由y ＝f (x )，x ＝2，x ＝3及y ＝0的图象围成的曲边梯形．∴()()()32311256f x dx f x dx f x dx =+=⎰⎰⎰，故选D.4．（5分）下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则()0aaf x dx -=⎰B ．若f (x )是连续的偶函数，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则()0baf x dx >⎰D ．若f (x )在[a ，b )上连续且()0baf x dx >⎰，则f (x )在[a ，b )上恒正【答案】D5.（5分）设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b【答案】 B【解析】 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ10x 13d x ，a >b >c ，故选B.6．（5分）lim n →∞ln n＋1n2＋2n2＋n n2等于( )A ．ʃ21ln 2x d x B ．2ʃ21ln x d x C ．2ʃ21ln(1＋x )d x D ．ʃ21ln 2(1＋x )d x【答案】 B【解析】 lim n →∞ln n1＋1n21＋2n2…1＋n n2＝lim n →∞2n ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n1＋2n…1＋n n＝2lim n →∞ ∑ni ＝1ln 1＋i n n ＝2ʃ21ln x d x (这里f (x )＝ln x ，区间[1,2]或者2lim n →∞ ∑ni ＝1ln 1＋in n＝2ʃ10ln(1＋x )d x ，区间[0,1])．7．（5分）由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 【答案】 －ʃ0－πsin x d x【解析】 由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－ʃ0－πsin x d x . 8．（5分）已知12013x dx =⎰，22173x dx =⎰，则()2201x dx +⎰＝________.【答案】143【解析】∵220x dx ⎰＝120x dx ⎰＋221x dx ⎰＝178333+=，2012dx =⎰， ∴()2201x dx +⎰＝220x dx ⎰＋208141233dx =+=⎰.9.（5分）用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)⎰1－x 2d x .(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知⎰1－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴⎰1－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34.10．（5分）弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )=kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功.【解析】将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所做的功为W =F·x .其长度为()1i b i b bx n n n-⋅∆=-=. 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所做的功分别记作ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n . (2)近似代替： 由条件知，()()()111,2,,i i b i b b W F x k i n n n n --⎛⎫∆≈⋅∆=⋅⋅=⎪⎭⋯ ⎝. (3)求和：()()()222221111101211.22n nn i i i i b n n b kb kb kb W W k n nnn n n ==--⎛⎫≈∆=⋅⋅=++++-=⋅=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⋯⎭∑∑(4)取极限：2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →+∞→+∞→+∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑. 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为22kb .。
高中数学专题练习-定积分问题
高中数学专题练习-定积分问题[题型分析·高考展望] 定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.常考题型精析题型一 定积分的计算例1 (1)(·陕西)定积分ʃ10(2x ＋e x )d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1(2)(·江西)若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A.－1B.－13C.13D.1点评 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解. 变式训练1 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.不存在(2)若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A.－1 B.0 C.1D.2题型二 利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)(·山东)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2 B.4 2 C.2D.4(2)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.43 B.2C.83 D.1623(3)由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A.1B.π4C.223 D.22－2点评求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4)计算定积分.变式训练2(·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.gt 203B.gt 20C.gt 202D.gt 2062.(·广州模拟)若20π⎰(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A.－1B.1C.－ 3D. 33.由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B.1 C.32D. 34.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝ʃ30(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A.15B.20C.25D.305.(·德州模拟)图中阴影部分的面积是( )A.16B.18C.20D.226.(·北京朝阳区模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( ) A.43 B.54 C.65D.767.(·湖南)已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且230π⎰f (x )d x ＝0，则函数f (x )的图象的一条对称轴是( ) A.x ＝5π6 B.x ＝7π12 C.x ＝π3D.x ＝π68.设n ＝20π⎰4sin x d x ，则二项式(x －1x )n 的展开式的常数项是( ) A.12 B.6 C.4D.19.曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为________.10.(·青岛模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________.11.(·福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______.12.求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积.答案精析定积分问题 常考题型精析 例1 (1)C (2)B解析 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.(2)∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 变式训练1 (1)C (2)A解析 (1)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56. (2)根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.例2 (1)D (2)C (3)D解析 (1)令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝ʃ20(4x －x 3)＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 4420＝8－4＝4，故选D. (2)∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2ʃ20x 24d x ＝⎪⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83. (3)方法一 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4. 故所求阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π40＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪⎪π2 π4＝sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2. 故选D.方法二 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，得x ＝π4. 根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积 S ＝2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＝2(sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0) ＝22－2. 故选D. 变式训练2 1.2解析 由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为y ＝ax 2，将点(5,2)代入抛物线方程得a ＝225，故抛物线方程为y ＝225x 2，抛物线的横截面面积为S 1＝2⎠⎛05⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2dx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －275x 3⎪⎪⎪50＝403(m 2)，而原梯形下底为10－2tan 45°×2＝6(m )， 故原梯形面积为S 2＝12(10＋6)×2＝16， S 2S 1＝16403＝1.2.高考题型精练1.C [由题意，可知所走路程为00d t t ⎰v ＝00d t gt t ⎰＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20.]2.A [⎠⎜⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.] 3.D [⎠⎜⎜⎛-π3π3cos x d x=sin x⎪⎪⎪⎪π3—π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ 3.]4.A [由已知得S 10＝ʃ30(1＋2x )d x ＝12，据等差数列性质可得S 10＝12，S 20－S 10＝5，S 30－S 20＝S 30－17亦成等差数列， 故有12＋S 30－17＝10⇒S 30＝15.] 5.B [S ＝ʃ4－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫y22＋4y －y 364－2＝18.] 6.A [根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋1＝43.] 7.A [∵⎠⎜⎛02π3sin(x －φ)d x ＝－cos(x －φ)⎪⎪⎪⎪2π30＝0，∴－cos(2π3－φ)＋cos φ＝0. ∴cos(2π3－φ)－cos φ＝0. ∴32sin φ－32cos φ＝0. 3sin(φ－π3)＝0. ∴φ－π3＝k 1π(k 1∈Z ). ∴φ＝k 1π＋π3(k 1∈Z ).∴f (x )＝sin(x －k 1π－π3)(k 1∈Z ). 由x －k 1π－π3＝k 2π＋π2(k 1，k 2∈Z ) 得x ＝(k 1＋k 2)π＋56π(k 1，k 2∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝(k 1＋k 2)π＋56π(k 1，k 2∈Z ).故x ＝5π6为函数f (x )的一条对称轴.]8.B [由定积分得n ＝－4cos x ⎪⎪⎪⎪ π2＝4，二项式的通项公式为T k ＋1＝C k 4x 4－k (－1x )k＝C k 4(－1)k x 4－2k ，由4－2k ＝0，得k ＝2，所以常数项为T 3＝C 24(－1)2＝6，故选B.]9.32－ln 2解析 S ＝ʃ21(x －1x )d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x 21＝32－ln 2.10.－1解析 由曲线在原点处与x 轴相切，可得f ′(0)＝b ＝0， 此时f (x )＝－x 3＋ax 2＝x 2(a －x )，据定积分知阴影部分面积－ʃ0a (－x 3＋ax 2)d x ＝112，解得a ＝－1.11.512解析 由题意知，阴影部分的面积ʃ21(4－x 2)d x ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 321＝53，∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.12.解 由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2－x ，y ＝－13x得交点B (3，－1).故所求面积S ＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x ＝321202136x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋43＝136.。
高中数学——定积分的概念常考试题解析讲解
3
(−36.计算
1 3
2 3
2 2
1
15
7
1 ＝ ，1 ＝ ，0 ＝ ，7.已知
4
4
3
4 2
56
2 ＝ 3 ，求：
2
这就是定积分
的几何意义.
直线＝把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，
因此大曲边梯形的面积是两个小曲边梯形的面积1，
2之和，即＝2)
=
( )( 为常数)
1 () ± 2 () =
形”的所有边都是直线段.
思考3:能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边
图形”的面积问题？
求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求
和，④取极限.
1、求由直线＝0，＝1，＝0和曲线＝(－1)
围成的图形面积.
2、求由抛物线＝2与直线＝4所围成的曲边梯形
的面积.
求变速直线运动的(位移)路程
高中数学—定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积常考试题解析
1.5.2 汽车行驶的路程常考试题解析
思考1：如何计算下列两图形的面积？
思考2：如图，为求由抛物线＝2与
直线＝1，＝0所围成的平面图形
的面积，图形与我们熟悉的“直边
图形”有什么区别？
曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图
＝( < )，＝0及曲线＝()所围成的曲边梯形的面积.
(2)当函数() ≤ 0时,曲边梯形位于轴的下方,此时 等
2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念学案(含解析)新人教A版选修2-
1．5.3 定积分的概念问题1提示：分割、近似代替、求和、取极限． 问题2：你能将区间等分吗？ 提示：可以．定积分的概念如果函数f (x )在区间上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －a nf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x ，即⎠⎛ab f(x)d x ＝lim n→∞∑i ＝1nb －an f(ξi )．其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．对定积分概念的理解由定义可得定积分⎠⎛ab f(x)d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a b f(t)d t ＝⎠⎛ab f(u)d u.问题1：根据定积分的定义，求⎠⎛12(x ＋1)d x 的值是多少．提示：⎠⎛12(x ＋1)d x ＝52.问题2：⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f(x)＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？提示：相等．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数f(x)连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x的几何意义．评析定积分的几何意义关于定积分的几何意义，当函数f(x)在区间上恒为正时，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛ab f(x)d x 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.问题1：利用定积分的定义，试求⎠⎛12x 2d x ，⎠⎛122x d x ，⎠⎛12(x 2＋2x)d x.提示：计算得⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛122x d x ＝3，⎠⎛12(x 2＋2x)d x ＝163.问题2：由问题1计算得出什么结论？提示：⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x)d x.问题3：还有相类似的性质吗？ 提示：有．定积分的性质(1)⎠⎛ab kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)；(2)⎠⎛a bd x ＝⎠⎛abf 1(x)d x±⎠⎛abf 2d x；(3)⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a c f(x)d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)．对定积分的性质的说明定积分的性质(1)(2)被称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)被称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：①⎠⎛a bd x ＝⎠⎛abf 1(x)d x±⎠⎛abf 2d x±…±⎠⎛ab f m (x)d x(m ∈N *)．②⎠⎛a b f(x)d x ＝∫c 1a f(x)d x ＋⎠⎛c 1c 2f(x)d x ＋…＋⎠⎛bc kd x (a<c 1<c 2<…<c k <b ，且k ∈N *)．⎠⎛1令f(x)＝3x ＋2. (1)分割在区间上等间隔地插入n －1个分点，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n)，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n＋i －n＋2·1n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2＋5n ＝3n 2＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝li m n→∞S n ＝li m n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤利用定积分的定义，计算⎠⎛12(x ＋1)d x 的值．解：f(x)＝x ＋1在区间上连续，将区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx ＝1n.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)， ∴f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，∴∑i ＝1nf(ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n＋1n2 ＝2＋n －12n ＝2＋12－12n ＝52－12n，∴⎠⎛21(1＋x)d x ＝lim n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12n ＝52.(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3) ⎠⎛－111－x 2d x.(1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32.(3)⎠⎛1－11－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．解：图①中，被积函数f(x)＝－1－x 在区间上连续不间断，且f(x)≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为 S ＝－⎠⎛－12 (－1－x)d x ＝12×3×3＝92，所以阴影部分的面积为92.图②中，被积函数f(x)＝－1－x 2在区间上连续不断，且f(x)≤0， 根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为S ＝－⎠⎛－11－1－x 2d x ＝12π×12＝π2，所以阴影部分的面积为π2.已知⎠⎛01x 3d x ＝4，⎠⎛12x 3d x ＝4，⎠⎛12x 2d x ＝3，⎠⎛24x 2d x ＝3，求下列各式的值：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .(1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.定积分与函数的奇偶性若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在上连续，则： (1)若函数f (x )为奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝0；(2)若函数f (x )为偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .已知⎠⎛a b d x ＝12，⎠⎛ab g(x )d x ＝6，求⎠⎛ab 3f (x )d x .解：∵⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a b g(x )d x ＝⎠⎛ab d x ，∴⎠⎛a b f (x )d x ＝12－6＝6，∴⎠⎛ab 3f (x )d x ＝3⎠⎛ab f (x )d x ＝3×6＝18.5.错用定积分的几何意义致误由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为________．由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形可以分成三部分：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，利用定积分的几何意义可得，所求面积为π⎰2cos x d x －ππ⎰322cos x d x ＋2ππ⎰32cos x d x .π⎰2cos x d x －ππ⎰322cos x d x ＋2ππ⎰32cos x d x1．若对定积分的几何意义理解不到位，则易错误地表示为∫2π0cos x d x. 2．写定积分时应注意：当f(x)≥0时，S ＝⎠⎛abd x ；而＜0时，S ＝－⎠⎛abd x.由定积分的几何意义可得⎠⎛－13(3x ＋1)d x ＝________. 解析：由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示．⎠⎛－13(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛－13 (3x ＋1)d x＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13×(3×3＋1)－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1×2＝503－23＝16. 答案：161．下列等式不成立的是( ) A. ⎠⎛a b d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛ab g(x )d xB. ⎠⎛a b d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －aC. ⎠⎛ab f (x )g(x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g(x )d xD.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2ππsin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 2．图中阴影部分的面积用定积分表示为()A.⎠⎛012xd xB.⎠⎛01(2x－1)d xC .⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x)d x解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵0<x <π2∴sin x >0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为π⎰2sin x d x .答案：π⎰2sin x d x4．若⎠⎛a b d x ＝3，⎠⎛a b d x ＝1，则⎠⎛ab d x ＝________.解析：⎠⎛ab d x＝⎠⎛a b d x＝⎠⎛ab d x －⎠⎛ab d x＝3－1＝2. 答案：25．用定积分的几何意义求⎠⎛－114－x 2d x .解：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB·BC ＝23， ∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.一、选择题1．若⎠⎛a b f(x)d x ＝1，⎠⎛ab g(x)d x ＝－3，则⎠⎛ab d x 等于( )A ．2B ．－3C ．－1D ．4解析：选C ⎠⎛a b d x ＝2⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛ab g(x)d x ＝2×1－3＝－1.2．由定积分的几何意义可得⎠⎛02x2d x 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 定积分⎠⎛02x 2d x 等于直线y ＝x 2与x ＝0，x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝12×2×1＝1.3．已知f(x)为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D ∵被积函数f(x)是偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等，∴⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛06f(x)d x ＝2×8＝16.4．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.5．定积分⎠⎛01x d x 与⎠⎛01x d x 的大小关系是( )A .⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01x d xB .⎠⎛01x d x ＞⎠⎛01x d xC .⎠⎛01x d x ＜⎠⎛01x d x D ．无法确定解析：选C 由定积分的几何意义结合右图可知⎠⎛01x d x ＜⎠⎛01x d x. 二、填空题6．设f(x)是连续函数，若⎠⎛01f(x)d x ＝1，⎠⎛02f(x)d x ＝－1，则⎠⎛12f(x)d x ＝________.解析：⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01f(x)d x ＋⎠⎛12d x ，所以⎠⎛12d x ＝⎠⎛02f(x)d x －⎠⎛01f(x)d x ＝－2.答案：－27．如下图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．解析：由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛2－4x 22d x. 答案：⎠⎛2－4x 22d x 8.⎠⎛2－2(sin x ＋2x)d x ＝________. 解析：由定积分的性质可得⎠⎛2－2(sin x ＋2x)d x ＝ ⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠⎛2－22x d x.又因为y ＝sin x 与y ＝2x 都是奇函数，故所求定积分为0. 答案：0三、解答题9．求⎠⎛1－1f(x)d x 的值，其中f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，－1≤x<0，e －x ，0≤x≤1，且⎠⎛0－－d x ＝－2，⎠⎛01e －x d x ＝1－e －1.解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠⎛0－1f(x)d x ＋⎠⎛01d x＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．10．利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)⎠⎛1－1|x|d x ； (2)⎠⎛01d x.解：(1)如下图，因为A 1＝A 2，所以⎠⎛1－1|x|d x ＝2A 1＝2×12＝1. (A 1，A 2分别表示图中相应各处面积)(2)⎠⎛01d x ＝⎠⎛011d x －⎠⎛011－－2d x ，即用边长为1的正方形的面积减去圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，为1－π4.。
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高中数学-定积分的概念练习
一、基础达标
1．下列命题不正确的是
( )
A ．若f (x )是连续的奇函数，则
B ．若f (x )是连续的偶函数，则
C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a
b f (x )d x >0
D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a
b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正
答案 D
2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3
＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为
( )
A.
B ．2⎠⎛0
1(x 3
＋sin x )d x
C ．
D.⎠⎛0
1(x 3
＋sin x )d x
答案 B
3．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛a
b f (x )d x 等于
( )
A ．8
B ．10
C ．18
D ．不确定 答案 A
4．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，则f (x )为奇函数，则⎠⎛-6
6f (x )d x ＝
( )
A ．0
B ．16
C ．12
D ．8 答案 A
5．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积，
S ＝________.
答案 ⎠⎛a
b [f 1(x )－f 2(x )]d x (两图积分式相同)
6．由定积分的几何意义，定积分sin x d x 表示________．
答案 由直线x ＝0，x ＝π
2，y ＝0和曲线y ＝sin x 围成的曲边梯形的面积
7．根据定积分的几何意义推出下列积分的值．
(1) x d x ；(2) cos x d x .
解 若x ∈[a ，b ]时，f (x )≥0，则⎠⎛a
b f (x )d x 的几何意义是表示由直线x ＝a ，x=b
y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的平面图形的面积；若x ∈[a ，b ]时，f (x )≤0，则⎠⎛a
b f (x )d x
表示所围成的图形面积的负值．
(1)如图①，x d x ＝－A 1＋A 1＝0.
(2)如图②，cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.
二、能力提升 8．和式
1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
，当n →∞时的极限值用定积分式子可表示为 ( )
A.⎠⎛011x
d x
B.⎠
⎛0
1
1
x ＋1d x
C.
⎠
⎛0
1
1
x －1d x D.⎠
⎛0
1
1
x ＋2d x 答案 B
9.⎠⎛0
1x 2d x ＝13，⎠⎛1
2x 2d x ＝73，则⎠
⎛0
2x 2
d x ＝________.
答案 8
3
10．图1，图2用定积分可表示为________，________.
答案
f (x )d x －⎠⎛1
3f (x )d x ，
f (x )d x
11．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x )＝2x (取细棒所在直线为x 轴，细棒的一端为原点)，棱长为l ，试用定积分表示细棒的质量m ，并求出m 的值． 解 细棒的质量m ＝⎠⎛01ρ(x )d x ＝⎠⎛012x d x .而⎠⎛0
12x d x 表示由
直线y ＝2x ，x ＝l ，x ＝0及x 轴所围成的图形面积，如图所示．
∴⎠
⎛0
12x d x ＝12×l ×2l ＝l 2
.
即m ＝l 2
. 三、探究与创新 12．求定积分
x 2d x 的值．
解 将区间[－1,2]等分成n 个区间，则每个区间的长度为3
n
. 每个小区间的面积ΔS i ＝(－1＋3i n )23
n
.
面积和S n ＝∑i ＝1
n
(－1＋3i n )23
n
＝ i ＝1
n (1＋9i 2
n 2－6i n )3
n
＝[n ＋
9n
2
n
n ＋1
2n ＋1
6
－6n
×
n n ＋1
2
]3n
＝3＋92(1＋1n )(2＋1n )－9(1＋1n )
当n →∞时，S n →3＋9
2
×2－9＝3.
∴
x 2d x ＝3.。