高中数学-定积分的概念练习

高中数学-定积分的概念练习

一、基础达标

1．下列命题不正确的是

( )

A ．若f (x )是连续的奇函数，则

B ．若f (x )是连续的偶函数，则

C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a

b f (x )d x >0

D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a

b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正

答案 D

2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3

＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为

( )

A.

B ．2⎠⎛0

1(x 3

＋sin x )d x

C ．

D.⎠⎛0

1(x 3

＋sin x )d x

答案 B

3．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛a

b f (x )d x 等于

( )

A ．8

B ．10

C ．18

D ．不确定 答案 A

4．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，则f (x )为奇函数，则⎠⎛-6

6f (x )d x ＝

( )

A ．0

B ．16

C ．12

D ．8 答案 A

5．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积，

S ＝________.

答案 ⎠⎛a

b [f 1(x )－f 2(x )]d x (两图积分式相同)

6．由定积分的几何意义，定积分sin x d x 表示________．

答案 由直线x ＝0，x ＝π

2，y ＝0和曲线y ＝sin x 围成的曲边梯形的面积

7．根据定积分的几何意义推出下列积分的值．

(1) x d x ；(2) cos x d x .

解 若x ∈[a ，b ]时，f (x )≥0，则⎠⎛a

b f (x )d x 的几何意义是表示由直线x ＝a ，x=b

y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的平面图形的面积；若x ∈[a ，b ]时，f (x )≤0，则⎠⎛a

b f (x )d x

表示所围成的图形面积的负值．

(1)如图①，x d x ＝－A 1＋A 1＝0.

(2)如图②，cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.

二、能力提升 8．和式

1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)

，当n →∞时的极限值用定积分式子可表示为 ( )

A.⎠⎛011x

d x

B.⎠

⎛0

1

1

x ＋1d x

C.

⎠

⎛0

1

1

x －1d x D.⎠

⎛0

1

1

x ＋2d x 答案 B

9.⎠⎛0

1x 2d x ＝13，⎠⎛1

2x 2d x ＝73，则⎠

⎛0

2x 2

d x ＝________.

答案 8

3

10．图1，图2用定积分可表示为________，________.

答案

f (x )d x －⎠⎛1

3f (x )d x ，

f (x )d x

11．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x )＝2x (取细棒所在直线为x 轴，细棒的一端为原点)，棱长为l ，试用定积分表示细棒的质量m ，并求出m 的值． 解 细棒的质量m ＝⎠⎛01ρ(x )d x ＝⎠⎛012x d x .而⎠⎛0

12x d x 表示由

直线y ＝2x ，x ＝l ，x ＝0及x 轴所围成的图形面积，如图所示．

∴⎠

⎛0

12x d x ＝12×l ×2l ＝l 2

.

即m ＝l 2

. 三、探究与创新 12．求定积分

x 2d x 的值．

解 将区间[－1,2]等分成n 个区间，则每个区间的长度为3

n

. 每个小区间的面积ΔS i ＝(－1＋3i n )23

n

.

面积和S n ＝∑i ＝1

n

(－1＋3i n )23

n

＝ i ＝1

n (1＋9i 2

n 2－6i n )3

n

＝[n ＋

9n

2

n

n ＋1

2n ＋1

6

－6n

×

n n ＋1

2

]3n

＝3＋92(1＋1n )(2＋1n )－9(1＋1n )

当n →∞时，S n →3＋9

2

×2－9＝3.

∴

x 2d x ＝3.