分式及其基本性质导学案

第9章分式
9.1分式及其基本性质
第1课时
学习目标
1.知道分式的概念，能用分式表示现实情境中的数量关系，明确分式与整式的区别.
2.知道分式有意义、无意义和分式的值为零的条件，并能简单地的运用.
3.通过对分式概念的学习及用分式表示现实情境中的数量关系，进一步发展符号感.
4.重点：分式的概念，分式有意义的条件
5.难点：分式有无意义，分式的值为零的条件.
预习案
一、阅读教材P89“例1”前面的内容，解决下列问题.
1.在“问题1”中，第一块m 2hm 稻田共收水稻________kg ，第二块 n 2
hm 稻田共收水
稻________kg ，两块稻田共收水稻_________kg ，故平均每公顷稻田收水稻_________kg . 2.长方形的长为a ，宽为b ，则面积S =_______.如果已知S 及a ，则_____=b . 3.仔细观察代数式n m bn am ++和a
S
，它们有什么共同的特征？它们是我们以前学过的整式
吗？
【归纳总结】1.一般地，如果用a 、b 表示两个整式，并且b 中__________，那么式子b
a
叫做__________，其中a 叫做分式的___________，b 叫做分式的_________. 2.整式和分式统称为_________,即有理式⎩
⎨
⎧.____________,
【预习自测】有理式：
3
31
3,48,6573,52,57,4,4---+--p y
x n m m y x x x 中，分式有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【变式训练】在下列代数式中，分式有_________(只填序号)
①a b 2；②b a +2；③x
x -+-41；④y x xy 2
21+；⑤54322xy y x -；⑥112--x x ；⑦x x 32.
二、阅读教材本节“例1”，解决下列问题.(方法指导：分母为零则分式无意义)
1.分式的概念中b 的取值可以是0吗？
2.在“例1（1）”中，由于零作分母无意义，所以要使分式有意义，只要满足_________即可，故分式有意义的条件是：____________.
3.通过“例1（2）”，你发现当分式满足什么条件时，分式的值为零？
【归纳总结】分式b
a
中，当_______时，分式无意义，当______时，分式有意义；当时_____分式的值为零.
【预习自测】当_______时，分式212+-x x 的值为零；当_________时,分式2
1
2+-x x 没有意义；当_________时,分式
2
1
2+-x x 有意义. 【变式训练】当取什么值时，下列分式有意义？ （1）13-+x x ； （2）3+x x ； （3）2122++x x ； （4）5
33
2-+x x .
探究案
【互动探究1】下列式子：()b
a b ab a x y x y x x x b a x x x -+--+-+++2
22,
23,,1,2,21,1,2π中，分式的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 【方法归纳交流】分式的分子和分母都要是______________，分子可以含有字母也可以不含有字母，但是分式的____________一定要还有字母. 【互动探究2】：当3-=x 时，在下列各分式：（1）
33+-x x ；（2）33+-x x ；（3）()()()()
3232--++x x x x ；
（4）
()()()()
3232+--+x x x x 中，有意义的有（ ）
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个 【互动探究3】：甲、乙两人同时同地同向而行，甲每小时走a km ，乙每小时走b km ，如果从起点到终点的距离为m km ，甲的速度比乙快，则甲比乙提前几个小时到达终点？（用分式表示）
【变式训练】一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果的售价是多少元？
【互动探究4】：当取何值时，分式x
x 242+-的值为零？
【变式训练】若使分式5
5--x x 的值为0，且满足x x y 12022-=，求y x -的值.
【互动探究5】若3=b a ，求2
222322b ab a b ab a +---的值.
【变式训练】设，ab b a 42
2=+0>>b a ，则
b
a b
a -+的值等于多少？
训练案
一、选择题
1.下列各式中，分式有（ ） ①
31+x ;②13+x ;③y x
32;④3
y x +.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 2.要使分式
()()2
22+-+x x x 有意义的条件是（ ）
A. 0≠x ；
B. 2-≠x ；
C.2≠x ；
D.x 取任意实数. 3.若分式
4
422+--x x x 的值为0，那么x 等于（ ）
A.2
B. 2-
C.2或2-
D.2或1.
4.使分式x 417
--的值为正数的条件是（ ） A.41>x B. 4
1
<x C.0<x D.0>x .
5.要使分式
4
24---x x x 的值为0，应取（ ）
A.4-=x
B. 4=x
C.4±=x
D.以上答案都不对
二、填空题
6.当=x _________时，分式
3
1
-x 没有意义.
7.在分式
1
52-y y
中，当_______=y 时分式无意义；当______=y 时，分式的值为0. 8.当_______=m 时，分式()()2
3312+---m m m m 的值为0.
9.已知分式
a
x x x +--53
2，当2=x 时，分式无意义，则_______=a .
10.写出一个含有字母x 的分式，要求不论取任何实数，该分式都有意义：___________.
三、解答题 11.在代数式()1
2,,11,33,21,,713+--+++
πx x y x x a n m x x x 中，哪些是分式？
12.当x 等于什么数时，下列分式没有意义？ ⑴354--x ； （2）x x 2123-+； （3）1412--x x ； （4）21
x
x -.
13.当x 与y 分别为何值时，分式1
2
-+-y x x 的值为零？
14.当x 为何值时，分式()()
1416
2+--x x x 的值为零？
15.列分式表示下列各题的结果：
（1）把甲、乙两种饮料按质量比y x :混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg 这种混合饮料需要多少千克甲种饮料？
（2）甲、乙两人同时同地同向而行，甲每时走a km ，乙每时走b km ，如果从起点到终点的距离为m km ，且甲的速度比乙快，则甲比乙提前几时到达终点？
16.若对于分式
m
x x +-21
2，不论x 取何实数，该分式总有意义，试判断m 的取值范围.
反思：__________________________________________________________________________
第2课时
学习目标
1.知道分式的基本性质，会用分式的基本性质将分式进行简单的恒等变形.
2.能利用分式的基本性质把分子与分母的系数化为整数，会利用分式的符号法则化简分式中的符号.
3.通过分数与分式的比较，培养良好的类比联想的思维习惯.
4.重点：分式的基本性质
5.难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．
预习案
一、阅读教材P91“例2”前面的内容，解决下列问题. 1.
()3
(__)(__)3186;12__(__)2
31===
=. 2.上述变形的依据是什么？
3.分数的基本性质是：_________________________________________________________
4.把长为a 2，面积为2的长方形沿长边的中间部分平均分成两部分，得到一个面积为1的长方形， 则大长方形的宽为_____,小长方形的宽为_______,因为两个长方形的宽相等， 则有_______.
5.若将上题中的数字“2”替换成“3,4,5，……”，上述等式还成立吗？
【归纳总结】分式的基本性质：分式的分子、分母_________________________________， 分式的值不变.用字母表示为：
a b a ((___)
(___)(___)(___)==、b 、m 都是整式，且m ≠0). 【预习自测】如果把分式
y
x x
+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A.扩大3倍 B.不变 C. 缩小3倍 D.缩小6倍
二、阅读教P91“例2”，解决下列问题. 1.根据分式的意义：
____5)(5_____;)5(5____;)5()(5=÷--=--=-÷-=--=-÷-=--b a b
a
b a b a b a b a . 2.如果要把分式
y
x y
x 3.05.02.01.0+-中的分子和分母的系数全变为整数，根据分式的基本性质，只
需要分子和分母都乘以__________,便可得结果___________.
3.对于分式3
1413121+-
b a ，如果要将各项系数化为整数，分子、分母需同乘以_______，便可得结果________.
【归纳总结】
1.对于分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值_____.
2.利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以各分母的_________，可以使分子、分母中的系数全都化为整数.
【预习自测】不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含负号. （1）
___25=-y
x
； （2）______3=---b a . 探究案
【互动探究1】：下列运算中，错误的是（ ）
A.)0(≠=c bc ac b a
B.x
y
xy xy =22 C.
b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D.x
y x
y y x y x +-=+-
【互动探究2】：根据分式的基本性质，在括号里填上适当的代数式，使下列等式成立（ ） （1）
()2
22____2y ax xy =； （2）()y
x y x y x +=--+-___； （3）(____)22b a b a b a -=-+； （4）()___2b a ab
ab a -=
-. 【变式训练】下列各等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）)0(1≠=c abc c ab ； （2）b a bx x a 22=； （3）()y
x y x y x y x +-=--222
.
【互动探究3】若()()()1
133-=---x x x m x m 成立，求m 的取值范围.
【变式训练】当_____a 时，等式
()()()
3131---=-a x a x x x 成立. 【方法归纳交流】在利用分式的基本性质时，要保证乘以（或除以）的数___________.
【互动探究4】：不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中的各项系数化为整数.
(1)x
y x 5.032-； （2）b a b
a 3
123
3
2+-.
【变式训练】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中的各项系数化为整数.
（1）
b a b
a 24
341
-+； （2）b a b a 3.01.05125.0+-.
【互动探究5】：不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中的最高次项的系数化为正数.
（1）y
x x ---2
2； （2）13212--+-x x x .
【变式训练1】不改变分式的值，把下面分式的分子、分母中按字母的降幂排列，并使最高
次项的系数化为正数：3
121413422
3
+-+-a a a a .
【变式训练2】对于变式训练1，除了满足上面的要求外，还要求把分子、分母的系数化为整数呢？
训练案
一、选择题
1.下列三种说法：①分式的分子、分母都乘以2+a ，分式的值不变；②分式
y
-83
的值能等于零；③
1
2
+x x 的最小值为零，其中正确的有（ ）
A. 0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.使分式
x
x x
x 35352-=-从左到右变形成立的条件是（ ） A.0<x B.0>x C.0≠x D.30≠≠x x 且
3.下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A.y x y x y x y
x 222121+-=+-
B.b a b a b a b a 222.02.0++=++
C.y x x y x x --=-+-11
D.b a b a b a b a +-=-+ 4.若分式3
49
22+--x x x 的值为零，那么（ ）
A.33-==x x 或
B.33-==x x 且
C.3=x
D.3-=x
5.根据分式的基本性质，分式b
a a
--可变形为（ ） A.b a a -- B.b a a + C.b a a -- D.b
a a +- 6.不改变分式2
3.01
5.0+-x x 的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A.2315+-x x
B.203105+-x x
C.2312+-x x
D.20
32+-x x
二、填空题
1.写出下列等式中未知的分子或分母.
(1)()()2
___242
2+=+-x x x ; (2)()12___2+=+x x x ; (3)()1(___)___11122-=-=+-a a a a . 2.把分式y
x x -2
中的x 和y 的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值__________.
3.(___)
11(___)112222x y y x -=
-=+-+-. 4.不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项的系数都为整数，
______05
.0012
.02.0=---x x .
5.商品的原售价为m 元，按此价的9折出售，仍获利%n ，则此商品的进价是_________元.
6.有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称出它的质量为a 千克，再称出其余电线的总质量为b 千克，则这捆电线的总长度是___________米.
三、解答题
1.不改变下列分式的值，使分子和分母中最高次项的系数为正数，并把分子和分母中的多项式按x 的降幂排列：
（1）x x x 23122
---+； （2）2
2
213x x x -+--； （3）y x y
x 4
13121-+.
2化简下列各式：
（1）2205x xy ； （2）2242x xy y x --； （3）()
x x x +-2221； （4）2
43
2)
(25)(15b c a c b a --.
3.对分式b a b a +-22的变形，甲同学的做法是：()()b a b
a b a b a b a b a -=+-+=+-22；乙同学的做法是：()()()
()b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b a -=---=-+--=+-22222222))((.请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确，并说明理由.
4.若分式2
22---x x x 的值为零，求x 的值.
5.小明说分式932
-+x x 与分式3
1
-x 完全相同，你认为小明的说法正确吗？说明理由.
6.若04133212
2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--y y x x ，求分式y
x y x 23-的值.
反思：________________________________________________________________
第3课时
学习目标
1.知道分式约分的意义，能利用分式的基本性质对分式进行约分.
2.知道什么是最简分式.
3.经历利用分式的基本性质将分式化简的过程，体会分式约分与分数约分的联系与区别.
4.重点：利用分式的基本性质将分式化简为最简分式.
5.难点：分子、分母是多项式的分式约分.
预习案
一、 【旧知回顾】填空：
()()()
______36;_____2=++=z y z y x aby a xy . 阅读教材P92“例3”及前面两段和后面一段的内容，解决下列问题. 1.化简
27
9
的值为_____，像这样，利用_______________，把分数的分子、分母中的__________约去，这种变形称为分数的约分. 2.分式
2
2016b ab
中分子、分母的公因式是______，根据分式的基本性质，分子、分母同除以____得_______.
3.2
242a a a --=()()()[]()
______2________2=+-=--a a
a a ,通过解此题可以发现：若分式的分子、分母中出现“-”,一般要根据符号法则，将负号移到_____________.
【归纳总结】1.分式的约分同分数的约分类似，根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的______________约去，这种变形称为分式的_________.由此可以看出，约分的关键是找分子、分母的__________.
2.一个分式约分的结果应为____________,即_________________________或_____________. 【讨论】当分式的分子、分母是多项式时，如何找出分子、分母的公因式？
【预习自测】化简下列各分式，正确的是（ ） A.
b a m b m a =++ B. 1=++b a b a C.1111-+=-+
c b ac ab D.y
x y x y x +=-+1
22 探究案
【互动探究1】下列分式()()b
a b a b a b a a b b a a bc +-++--22222
,
2,3,1215中，最简分式的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【互动探究2】下列各题的约分对不对？如果不对，应该怎样改正？
（1）b a b a b a -=--22；（2）242111x x x =--；（3）()23
)(a b a
b b a -=--；
（4）x x x 2349322
-=-+.
【变式训练】约分：
（1）ab b a 41322-； （2）())(25n m n n m m ---； （3）()3
2
)(62x y x y x x --； （4）99622--+-x x x .
【互动探究3】已知3=y x ，求y
xy x
x 222--的值.
【变式训练1】对于上题，若条件不变，求2
22
222y
x y x +-的值.
【变式训练2】若求,432z y x ==222z
y x xz yz xy ++++的值
【互动探究4】小明解“a 为何值是，分式9
9
62
2-++a a a 有意义？”的过程如下： 解：因为()()()333339
9
62
22-+=-++=
-++a a a a a a a a ， 所以当3≠a 时，分式9
9
62
2-++a a a 有意义. 请判断小明的解答是否正确，并说明理由.
【互动探究5】已知411=-b a ，求分式ab
b a b ab a 7222+---的值.
【变式训练】设0>>b a ，ab b a 42
2
=+，则b
a b
a -+的值等于多少？
训练案
一、选择题
1.分式2
2224222,,11,434b
ab ab a y x y xy x x x a x y -+++---+中，最简分式有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.下列从左到右的变形正确的是（ ）
A.11++=-+a b b a b a
B.am bm a b =
C.a b a ab =2
D.22
a
b a b =
3.下列各式与
y
x y
x +-相等的是（ ） A.5)(5)(+++-y x y x B.y x y x +-22 C.)()(2
22y x y x y x ≠-- D.22
2
2y x y x +- 4.下列约分:①
x x x 3132= ；②b a m b m a =++ ；③a a +=+1122； ④12
2=++xy xy
； ⑤11
1
2-=+-a a a ；⑥y x y x y x --=---1)()(2 其中正确的有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个 5.在分式①
n m m n +-；②n m m n ---；③n m m n ---；④n m n m --+-中与n
m n
m +-相等的是（ ） A.①② B.③④ C.①②③④ D.②③ 6.如果0<<y x ，那么
xy
xy x
x +
的化简结果为（ ）
A.0
B. 2-
C.2
D.3
二、填空题
1.将下列各式约分：
（1）________562110253=-d b a c b a ；（2）
______1233
43=-ab c
b a ；
（3）_______44422=-+-x x x ； （4）________212
32
2=+-+-x x x x .
2.若分式
1
1
2
-=
-a a a a ，则a 的取值范围是_________. 3.观察下列各式： 54
5
445,434434,323323,212212+=⨯+=⨯+=⨯+=⨯，……. 想一想，什么样的两数之积等于两数之和？设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律为_________________+=⨯.
4.已知
111=-b a ，则b
ab a b ab a ---+2的值等于_______. 5.当_____=a 时，
()()a
a a a a a 511152++-+=+成立. 6.如果32=
b a ，且2≠a ，那么
______5
1
=-++-b a b a .
三、解答题
1.把下列分式化为最简分式
（1）()()m m ---1151102
； （2）()()222
2c
b a
c b a -+--.
2.若c b a ,,满足432c b a ==，求分式c
b a
c b a 3223+--+的值.
3.矩形的面积为122++a a ，若矩形的一边长为21a -，求另一边长.
4.若实数b a ,满足条件2=+a b b a ，求2
22
24b ab a b ab a ++++的值.
5.若3=b a ，求2
22
2322b
ab a b ab a +---的值.
反思：__________________________________________________________________________。