第8章 动态规划
OR8
解： 把对每一个部位派出 巡逻队数量的决策，看成 是一个阶段，可归结成4 个阶段的决策问题。
2 3 4
A 18 14 10
B 38 35Biblioteka 31C 24 22 21D 34 31 25
2007/08
--20--
--第8章 动态规划--
一、建立模型
（1）阶段变量：k=1, 2, 3, 4 （2）状态变量：xk——第k阶段可用于分配的巡逻队数量； （3）决策变量：uk——第k阶段派出的巡逻队数量； 允许决策集合D(xk)={2, 3, 4} （4）状态转移律：xk+1=xk－uk ； （5）阶段指标函数：vk(uk)——预期损失函数，如表示； （6）基本方程：fk ( xk )= min{vk(uk)+ fk+1(xk+1)} （7）边界条件：f5 ( x5 )=0
3+ 3 3+ 4
=6，u3 * (C3) = C3D1
3）k=2， f2(x2)=min{v2(x2，u2) + f3(x3)}， B1C1+ f3(C1) f2(x2=B1)= min B1C2+ f3(C2) B1C3+ f3(C3) B2C1+ f3(C1) f2(x2=B2)= min B2C2+ f3(C2) B2C3+ f3(C3) = min = min 7+4 5+7 6+6 3+4 2+7 4+6 =7， u2 * (B2) = B2C1 =11，u2 * (B1) = B1C1
2007/08 --8--
--第8章 动态规划--
（3）决策（decision）：指在某阶段从给定的状态出发，决策者从面 临的若干种不同的方案中所做出的选择。 决策变量uk(xk) ∈Dk(xk)——允许决策集合， uk(xk)取值范围。 要点： ① 决策变量是对活动过程控制的手段； ② 决策变量取值可以是连续型的，也可以是离散型的； ③ 允许决策集合相当于可行域。 （4）策略（policy）与子策略（subpolicy）：各阶段决策组成的序列 总体称为策略；从某一阶段开始到过程最终的决策序列称为子策 略。 n 阶段策略可记为 {u1(x1), u2(x2) , … , un(xn)}， 子策略可记为 {uk(xk), uk+1(xk+1) , … , un(xn)}。 （5）状态转移律：状态参数变化的规律。从第k阶段的某一状态值xk 出发，当决策变量uk的取值确定之后，下一阶段的状态值xk+1按 某种规律T(xk , uk)确定。 第k+1阶段状态是第k阶段状态xk和变量uk的函数 xk+1 = T(xk , uk)， 又称状态转移方程。
运筹学复习考点
整理课件
59
• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
整理课件
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• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
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•
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5 3 6 -6 0
0
801001
5
14 1 2 0 0 0
-6
4 0 1 -1 1 0
物流系统与物流工程第08章物流节点选址与网络布局.
(2)不可行区域约束
13 13
8.2.4选址问题中的距离计算
1.直线距离
y
E ij 2 2
d ( xi x j ) ( y i y j )
yj
终点 dij） 直线距离（
2.折线距离
d xi x j y i y j
R ij
yi
dij） 折线距离（
O
xi
xj
x
14 14
3 3
内容概要
第8章 物流节点选址与网络布局
8.1 节点选址问题概述 8.2节点选址问题的基本描述
8.3 常用节点选址模型
4 4
8.2.1节点选址的意义
选址在整个物流系统中占有非常重要的地位，主要属于物流管理 战略层的研究问题。选址决策就是确定所要分配的设施的数量、 位置以及分配方案。这些设施主要指物流系统中的节点，如制造 商、供应商、仓库、配送中心、零售商网点等。
8.2.3选址模型的分类
1.被定位设施的维度及数量 (1)根据设施的维数（三维，二维，一维） (2)设施选址的数量(单一或多个) 2.选址问题目标区域的特征 (1)连续选址 (2)网格选址 (3)离散选址
8 8
8.2.3选址模型的分类
3.选址成本 1)可行性/最优性 (1) Minisum目标函数 寻求整个设施选址的总和为最小，目标是优化全部 或者平均性能
max min C j ( X )
X j
5 6 7
中值=5.5
0
反中心点=2.5 中心点=3.5
11 11
8.2.3选址模型的分类
3.选址成本 2)固定权重与可变权重 3)被定位设施间有无相互联系 4)确定性与随机性 5)静态与动态
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
运筹学课程章节
对照教学大纲
第1章 线性规划 章
• 线性规划基本理论：模型形式，解的概念， 线性规划基本理论：模型形式，解的概念， 解的性质等 • 线性规划应用：6类问题建模 线性规划应用： 类问题建模 类问题建模* • 图解法 图解法* • 单纯形法：基本单纯形法 ，大M法，两阶 单纯形法：基本单纯形法*， 法 段法， 段法，前者重要
第2章 线性规划的对偶理论
• • • • • 对偶问题的构建：对偶规划 对偶问题的构建：对偶规划* 对偶问题的性质 运用对偶性质进行线性规划求解* 运用对偶性质进行线性规划求解* 影子价格理解* 影子价格理解 灵敏度分析*和参数分析 灵敏度分析 和参数分析
第4章 目标规划
• 目标规划建模* 目标规划建模 • 图解法
第5章 运输问题和指派问题
• 运输问题表示：语言描述，表格表示，数 运输问题表示：语言描述，表格表示， 学模型表示， 学模型表示，几何图形表示 • 标准运输问题的表上作业法 标准运输问题的表上作业法* • 表格建模 ：应用，建立运输问题的供需平 表格建模*：应用， 衡与单位运价表， 衡与单位各位同学的选择 • 祝各位同学 考试顺利通过并取得好成绩
• 指派问题表示：语言描述，表格表示，数 指派问题表示：语言描述，表格表示， 学模型表示， 学模型表示，几何图形表示 • 表格建模：应用，指派问题的指派平衡与 表格建模：应用， 单位效率表 • 指派问题的匈牙利算法
第6章 网络模型
• 最优生成树问题 ：最小树，最大树 最优生成树问题*：最小树， • 最短路问题*：三种算法，有向图法，无向 最短路问题*：三种算法，有向图法， 图法， 图法，表格法 • 最大流问题 ：可行流法，增广链法 最大流问题*：可行流法，
第八章-分离序列合成
• 初始•状如态何和理初解始初决始策状，态是和按初照始过决程策进？行的方向相对而言的。
• 右图中，过程从S 点出发，
所以S 点是全过程的初始状态
4
• 对P2 点来说，P1和Q1 是
其初始状态，从P1 到P2 和 S ●
P1
●
6
P2
●
1
P3
●
4
2
6
1
4 ●F
从Q1 到P2 是P2 的初始决策。
• 同理，P2 点又是P3 和Q3 点的初始状态。
(1) 蒸馏—— 组分的沸点； (2) 萃取—— 溶解度； (3) 筛分—— 固体粒度； (4) 蒸馏、萃取——组分挥发度。
8.2.3 可能的分离序列数
A
B
or
ABCD
C
D
• 分离序列的综合，实质上是一个组合问题（Combinatorial
Problem）；
组分 A
• 按相对挥发度由大到小排列，相 邻两组分之间可以分离开，称为分
SP1F V = 4 + Vp(2) =14
SQ1F V = 5 + Vq(2) =13
∴选择Q决策，整个问题的 最小代价是： Vs(1) =13
不论初始状态如何，对于前面 决策所造成的某一状态而言， 余下的所有决策总构成一个最 优决策。
•分离序列问题可视为 R-1 步的多步决策过程
•采用一种分离方法(精馏) 分离4 元混合物有 5 个分离序列， 共有10 个分离子问题（10 种不同的分离器，对应于不同的 年总费用）；
8.2 分离序列综合的基本概念
• 分离序列综合问题定义： 给定进料流股的条件（组成、流率、温度、压力），系
统化地设计出能从进料中分离出所要求产品的过程，并使 总费用最小。 #
运筹学知识点
运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。
2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。
3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。
线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。
4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。
10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。
12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。
14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。
15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。
16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学教材习题答案详解
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
运筹学习题精选
运筹学习题精选第一章线性规划及单纯形法选择1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C )A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量2．约束条件为0AX的线性规划问题的可行解集b,≥=X 是………………………………………( B )A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。
A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B)A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D)A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C )A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。
A．和 B．差 C．积 D．商9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A )A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。
A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。
2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断是否→j c 0 0 0 28 1 2B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G3． 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 每公斤要用煤6吨、电4度、劳动力3个；生产B 每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
第八章线性规划
(2) 半空间 H－为凸集
集合 H − = { x p T x ≤ α } 称为 En 中的半空间，p 为 n 维列向量， α 为实数，H
－
为凸集。因为任意两点 x1 ∈ H − , x 2 ∈ H − 及实数 λ ∈ [0,1] ，有
∂f 2 ( x ) ∂f 2 ( x ) ⎤ L ⎥ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂xn ⎥ ∂f 2 ( x ) ⎥ L L ⎥ 2 ∂x2 ⎥ M M M ⎥ 2 ∂f ( x ) ⎥ L L 2 ⎥ ∂xn ⎦
为 f(x)在点 x 处的 Hessian 矩阵。 (3) 凸函数的一阶充要条件 设 S 为 En 中的非空开凸集，f(x)是定义在 S 上的可微函数，则 f(x)为凸函数 的充要条件是对任意两点 x1 ∈ S , x 2 ∈ S ，都有
1．最优化问题的一般表示（数学模型） min (or max) f(x) s.t. g(x) = B
108
其中，x∈En, B 为 m 维列向量，g 为 m 维向量函数， f(x)为目标函数，g(x)为约束函数。 线性规划定义：最优化问题数学模型中目标函数和约束函数都是变量 x 的线 性函数的，称之为线性规划问题。 线性规划是非线性规划的一种特殊形式，但在最优化理论与算法中已成为 非常重要的一个分支，在理论和算法上都很成熟，应用非常广泛。 2．标准形式 一般线性规划问题总可以写成如下形式：
8.1 凸集和凸函数
凸集和凸函数是线性规划和非线性规划( 以及整个最优化问题中) 的非常重 要的概念，可以说一般的最优化理论都是建立在其基础之上的。本节先简单介绍 凸集和凸函数概念。 1．凸集 定义：设 S 为欧氏空间 En 中的一个集合，若对 S 中的任意两点 x1 和 x2 及实 数 λ ∈ [0,1] ，都有 λx1 + (1 − λ ) x 2 ∈ S ，则称 S 为凸集。而 λx1 + (1 − λ ) x 2 称为凸组 合。 二维空间中的凸集与非凸集：
运筹学第八章_动态规划
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合 实际上是关于状态的约束条件。 □通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
（3）决策（decision）
x2
B1
C1
C2
C3
□决策集合：第k阶段当状态处于xk时决策变量uk( xk )的取值范 称为决策集合，常用Dk( xk ) 表示。
□例1中，从第2阶段的 状态B1出发，可以选择 下一阶段的C1、C2、 C3。 □即 D2( B1 ) = { C1、 C2、C3 }；
B1
C1
C2
C3
□决策集合实际上是决策的约束条件，uk( xk ) ∈ Dk( xk ) 。
6
□这是一个多阶段决策过程。 □该过程可以分为相互联系的若干阶段，每一阶段都需作出决
策，从而形成全过程的决策。
x1=1000
u1 第1年
x2=0.7u1+ 0.9(x1-u1)
u2 第2年
x3=0.7u2+ 0.9(x2-u2)
u3 第3年
x4=0.7u3+ 0.9(x3-u3)
u4 第4年
x5=0.7u4+ 0.9(x4-u4)
3
提纲
1 动态规划实例 2 动态规划的基本概念 3 动态规划的基本思想与基本原理 4 逆序解法与顺序解法
4
1 动态规划实例
学习目标：
1 明确什么是多阶段的决策问题，特别要注意没有明显 的时段背景的问题如何化归为多阶段的决策问题。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
运筹学第三版课后习题答案第7章网络计划——第十三章博弈论
第7章网络计划7.1(1)分别用节点法和箭线法绘制表7-16的项目网络图，并填写表中的紧前工序。
(2) 用箭线法绘制表7-17的项目网络图，并填写表中的紧后工序表7-16工序 A B C D E F G紧前工序－－－ A A、C －B、D、E、F紧后工序D,E G E G G G －表7-17工序 A B C D E F G H I J K L M 紧前工序- - - B B A,B B D,G C,E,F,H D,G C,E I J,K,L 紧后工序F E,D,F,G I,K H,J I,K I H,J I L M M M－【解】（1）节点图：箭线图：（2）节点图：箭线图：7.2根据项目工序明细表7-18：（1）画出网络图。
（2）计算工序的最早开始、最迟开始时间和总时差。
（3）找出关键路线和关键工序。
表7-18工序 A B C D E F G 紧前工序- A A B,C C D,E D,E 工序时间（周）9 6 12 19 6 7 8【解】(1)网络图(2)网络参数工序 A B C D E F G最早开始0 9 9 21 21 40 40最迟开始0 15 9 21 34 41 40总时差0 6 0 0 13 1 0(3)关键路线：①→②→③→④→⑤→⑥→⑦；关键工序：A、C、D、G；完工期：48周。
7.3表7-19给出了项目的工序明细表。
表7-19工序 A B C D E F G H I J K L M N 紧前工序- - - A,B B B,C E D,G E E H F,J I,K,L F,J,L 工序时间(天) 8 5 7 12 8 17 16 8 14 5 10 23 15 12 （1）绘制项目网络图。
（2）在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间。
（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。
（4）找出所有关键路线及对应的关键工序。
（5）求项目的完工期。
【解】(1)网络图（2）工序最早开始、最迟开始时间（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差 工序 tT EST EFT LST LF 总时差S 自由时差F A 8 0 8 9 17 9 0 B 5 0 5 0 5 00 C 7 0 7 7 7 0 0 D 12 8 20 17 29 9 9 E 8 5 13 5 13 0 0 F 17 7 24 7 24 0 0 G 16 13 29 13 29 0 0 H 8 29 37 29 37 0 0 I 14 13 27 33 47 20 20 J 5 13 18 19 24 6 6 K 10 37 47 37 47 0 0 L 23 24 47 24 47 0 0 M154762 47 62 0 0 N 12 47 59506233(4)关键路线及对应的关键工序关键路线有两条，第一条：①→②→⑤→⑥→⑦→○11→○12；关键工序：B,E,G ,H,K,M 第二条：①→④→⑧→⑨→○11→○12；关键工序：C,F,L,M （5）项目的完工期为62天。
运筹学第3版熊伟编著习题答案
求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品 A1000 件，1 月初仓库库存 200 件。1～
6 月份产品 A 的单件成本与售价如表 1－25 所示。
表 1－25
月份
1
2
3
4
5
6
产品成本(元/件)
300 330 320 360
360
300
销售价格(元/件)
350 340 350 420
410
340
（1）1～6 月份产品 A 各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
（2）当 1 月初库存量为零并且要求 6 月底需要库存 200 件时，模型如何变化。
【解】设 xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为 1～6 月份的生产量和销售量，则数学模型为
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max Z 300x1 350 y1 330x2 340 y2 320x3 350 y3 360x4
第1章 线性规划
1.1 工厂每月生产 A、B、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源
限量及单件产品利润如表 1－23 所示．
表1－23
产品 资源
A
B
C
资源限量
材料(kg)
1.5
1.2
4
2500
设备(台时)
3
1.6
1.2
利润(元/件)
10
14
12
1400
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是 150、260 和 120,最高月需求是 250、310 和 130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设 x1、x2、x3 分别为产品 A、B、C 的产量，则数学模型为
xj 0, j 1, 2, ,10
运筹学 李锋 庄东 华南理工大学 详细版习题答案
要 求 ：1、 应 判 断 问题是否产销平 衡 ；2、 每 次 迭 代 应 给出作业表及检验数 表，不需画出闭回 路 ；3、 应 判 断 最 优 方案是否唯一。
������4
������1 ������2 ������3
DEM
7 9 13 9
11 5 5
所有非基变量格检验数大于0，当前方案 为唯一最优方案，总运费为173。
2. 应用表上作业法求解表5-59所示的运输问题，给出各个基本可行方案和检验数表并 判断解的最优性。要求：初始基本可行方案用最小元素法给出。
������4 14 2
6 3 5
11 9
调整������3 ������2 ，调整量为1，得到：
答案表 4-3
D S
检验数表为：
������1
3 3 12
������2
9 3 25 1
������3
8 7 9 13
������4
6 10 14 6 6
SUP 6 10 7 23
������1 ������2 ������3
答案：
2
第四章 特殊类型的线性规划
解 ： 首 先 ， 需 明 确 此 问 题 为 产 销 平 衡 运 输 问 题。 最小元素法得到的初始基本可行方案：
答案表 4-11
D S
答案中应明确
������1
8
������2
15 10 7 5
������3
20
������4
运筹学教材习题答案详解
显然用料最少的方案最优。
1.4A、B两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时．可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时．
3
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
《运筹学》
第1章线性规划
第2章线性规划的对偶理论
第3章整数规划
第4章目标规划
第5章运输与指派问题
第6章网络模型
第7章网络计划
第8章动态规划
第9章排队论
第10章存储论
第11章决策论
第12章对策论
习题一
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第8章动态规划8.1 在设备负荷分配问题中，n =10，a =0.7，b =0.85，g =15，h =10，期初有设备1000台。
试利用公式(8.7)确定10期的设备最优负荷方案。
【解】由公式10()n t n tii i i g h a a g b a ---==-≤≤-∑∑得(g -h )/g (b -a )＝0.2222，a 0＋a 1＋a 2＝1+0.7＋0.49＝2.19＜2.222＜a 0+a 1＋a 2＋a 3＝2.533，n －t －1＝2，t =7，则1~6年低负荷运行，7~10年为高负荷运行。
各年年初投入设备数如下表。
年份1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设备台数 1000 850 723 614 522 444 377 264 184.8 129 8.2如图8－4，求A 到F 的最短路线及最短距离。
【解】A 到F 的最短距离为13；最短路线 A→ B2→ C3 → D2 → E2 → F 及A→C2 → D2 → E2 → F8.3求解下列非线性规划(1) 123123max 0,1,2,3j Z x x x x x x C x j =++=⎧⎪⎨≥=⎪⎩ (2) 22123123123min ,,0Z x x x x x x Cx x x =++++=⎧⎨≥⎩（3）2123123123max 2310,,0Z x x x x x x x x x =++++=⎧⎨≥⎩(4)123123max 42100,1,2,3j Z x x x x x x x j =++=⎧⎪⎨≥=⎪⎩ (5) 123123max 24100,1,2,3j Z x x x x x x x j =++≤⎧⎪⎨≥=⎪⎩（6）221123123123max 228,,0Z x x x x x x x x x x =+++++=⎧⎨≥⎩【解】（1）设s 3=x 3 , s 3+x 2=s 2，s 2+x 1=s 1=C则有 x 3= s 3 ，0≤x 2≤s 2，0≤x 1≤s 1=C 用逆推法，从后向前依次有k ＝3，333333()max()x s f s x s ===及最优解 x 3*=s 3k ＝2，22222222233222222000()max [()max [()]max (,)x s x s x s f s x f x x s x h s x ≤≤≤≤≤≤==-=由222222120,2h s x x s x ∂=-=∂则＝22222<0,h x ∂∂＝－故2212x s =为极大值点。
所以22222222111()244f s s s s =-=及最优解x 2*=s 2k =1时，1111112111221*********()max[()]max ()max (,)4x s x s x s f s x f s x s x h s x ≤≤≤≤≤≤==-=，由221111111(43)04h s s x x x ∂=-+=∂，得*1113x s =故23111111111()()12327f s s s s s =-= 已知知x 1 + x 2+ x 3 = C ，因而按计算的顺序推算，可得各阶段的最优决策和最优解如下*113x C =，311()27f C c =由s 2=s 1－x 1*=2C/3，*222211,()39x C f s C ==由s 3=s 2－x 2*=C/3，*33311,()33x C f s C ==最优解为：31111(,,);33327T X C C C z C ==【解】（2）设s 3=x 3 , s 3+x 2=s 2，s 2+x 1=s 1=C则有x 3= s 3 ，0≤x 2≤s 2，0≤x 1≤s 1=C 用逆推法，从后向前依次有k ＝3，2333333()min()x s f s x s ===及最优解 x 3*=s 3k ＝2，22222222223322222202200()min [()min [()]min (,)x s x s x s f s x f x x s x h s x ≤≤≤≤≤≤=+=+-=由2222221420,2h s x x s x ∂=-=∂则＝2222x h ∂∂=4>0,故x 2=221s 为极小值点。
因而有2*2222211(),22f s s x s ==k ＝1时，1111211111111001()min [()min (,)2x s x s f s x s x h s x ≤≤≤≤=+-=由111110h s x x ∂=-+=∂知*1111111,()2x s f s s =-=-得到最优解1(1,1/2,1/2);2T X C z C =-=-【解】(3) 设s 3=x 3 , s 3+x 2=s 2，s 2+x 1=s 1=10 则有 x 3= s 3 ，0≤x 2≤s 2，0≤x 1≤s 1=10 用逆推法，从后向前依次有k ＝3时，3323333()max()x s f s x s ===及最优解 x 3=s 3k ＝2时，222222222222200()max [3()]max (,)x s x s f s x s x h s x ≤≤≤≤=+-=222222332202h s x x s x ∂=-+==-+∂时 而222222320,2h x s x ∂=>=-+∂故不是一个极大值点。
讨论端点：当x 2=0时2222()f s s ＝, x 2= s 2时222()3f s s =如果s 2>3时, 2222()f s s =k ＝1时，111121111111100()max[2()]max (,)x s x s f s x s x h s x ≤≤≤≤=+-=11111122201h s x x s x ∂=-+==-+∂时 21122120,1h x s x ∂=>=-+∂故不是一个极大值点 同理有, x 1=0, f 1（s 1）= s 12= 100，x 1= s 1, f 1（s 1）= 2s 1= 20 (舍去) 得到最优解(0,0,10);100X z ==【解】(4)设s 3=x 3 ,2s 3+4x 2=s 2，s 2+x 1=s 1=10 则有x 3= s 3 ，0≤x 2≤s 2/4，0≤x 1≤s 1=10 用逆推法，从后向前依次有 k ＝1，333333()max()x s f s x s ===及最优解x 3*=s 3k ＝2，22222222222204041()max [(2)max (,)2x s x s f s x s x h s x ≤≤≤≤=-=由22x h ∂∂=21s 2-4x 2=0,则 x 2=81s 2222240h x ∂=-<∂,故2218x s =为极大值点。
则2222()32s f s =及最优解x 2*=s 2/8k ＝1，1111211111111001()max[()]max (,)32x s x s f s x s x h s x ≤≤≤≤=-= 22*1111111111(43)0,323h s s x x x s x ∂=-+==∂，故31111()216f s s = 得到最优解(10/3,5/6,5/3);125/27T X z ==【解】(5)按问题中变量的个数分为三个阶段s 1，s 2，s 3 ，且s 3≤10，x 1，x 2，x 3为各阶段的决策变量，各阶段指标函数相乘。
设s 1=2x 1 , s 1+4x 2=s 2，s 2+x 3=s 3≤10，则有x 1= s 1/2，0≤x 2≤s 2/4，0≤x 3≤s 3=10 用顺推法，从前向后依次有 k ＝1，111111/2()max ()2x s s f s x ===及最优化解x 1*=s 1/2 k ＝2，2222222222220/40/41()max [(4)max (,)2x s x s f s x s x h s x ≤≤≤≤=-=由22221402h s x x ∂=-=∂,则*2218x s = 222240h x ∂=-<∂,故2218x s =为极大值点。
则32221()32f s s = k ＝3，3333233333333001()max [()]max (,)32x s x s f s x s x h s x ≤≤≤≤=-= 由22*3333333311(43)0,323h s s x x x s x ∂=-+==∂ 故33331()216f s s =，由于s 3≤10，则s 3=10时取最大值，x 3＝10/3，s 2=s 3－x 3＝20/3，x 2＝5/6，s 1=s 2－4x 2＝10/3，x 1＝5/3得到最优解(5/3,5/6,10/3);125/27T X z ==【解】（6）设s 1=x 1, s 1+x 2=s 2，s 2+x 3=s 3=8k ＝1，1122111111()max(2)2x s f s x x s s ==+=+及最优化解x 1*=s 1k ＝2，222222222222222200()max [2()2()]max (,)x s x s f s x s x s x h s x ≤≤≤≤=+-+-=2222622,h x s x ∂=--∂222260h x ∂=>∂ x 2*=0时，f 2（s 2）=s 22+2s 2, x 2*= s 2时，f 2（s 2）=2s 22 故2222222()max{2,2}f s s s s =+ k ＝3，①当x 2*=0时，23333333333033033()max [()2()]max (,)x s x s f s x s x s x h s x ≤≤≤≤=+-+-= 同样得x 3*=0时，f 3（s 3）=s 32+2s 3x 3*=s 3时，f 3（s 3）=s 3 所以， f 3（s 3）= s 32+2s 3=80②当x 2*= s 2时，f 3（s 3）=330max s x ≤≤[x 3+2（s 3-x 3）2]同样得x 3*=0时，f 3（s 3）=2s 32 =128 x 3*=s 3时，f 3（s 3）=s 3 =8 所以， f 3（s 3）= 2s 32=128 最优解为(0,8,0);128X z ==8.4用动态规划求解下列线性规划问题。
12121212max 242624,0Z x x x x x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩【解】设s 2=x 2 ,s 2+2x 1=s 1≤6则有 0≤x 2=s 2≤4，0≤x 1≤s 1/2 用逆推法，从后向前依次有 222()4f s s =及最优解x 2*=s 2111111122110/20/2()max [2()]max [46]x s x s f s x f s s x ≤≤≤≤=+=-由 s 2=s 1－2x 1≤4， s 1≤6，取s 1＝6，111110/2()max [246]x s f s x ≤≤=-又1≤x 1≤2，取x 1＝1，11()18f s =最优解(1,4);18T X z ==8.5 10吨集装箱最多只能装9吨，现有3种货物供装载，每种货物的单位重量及相应单位价值如表8.24所示。