哈工大自动控制原理

1 s
s n (s n )2 d 2
n 1 2
1 2 (s n )2 d 2
c(t) 1-e-nt cosdt
1 2
e-nt
sin dt
1-e-nt
1 2
sin(d t
)
sin 1 2 ；cos ； arctg 1 2 ；d n 1 2
(2) 0时 c(t) 1-sin(dt 900) 1-cos(dt)
第三章 线性系统的时域分析
3.1 典型输入信号
一．阶跃函数
r(t) 0R
t 0 t 0
r(t) R
R=1时，称为单位阶跃函数，记为l(t) 。R(S)=1/S。
二．斜坡函数（匀速函数） r(t)
r(t) 0Rt
t 0 t 0
Rt
R=1时，称为单位斜坡函数。
R(S )
1 S2
三．抛物线函数（匀加速函数） r(t)
T
c(t )
1
t2
Tt
t
T 2 (1 e T
)
2
3.3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统。
微分方程的标准形式：
d 2 c(t ) dt 2
2 n
dc(t) dt
n2c(t)
n 2 r (t )
—阻尼比，n —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
G(s)= C(s)
s2 2 n s n 2 0
两根为 s1,2 n n 2 1
的取值不同,特征根不同。
（1） 0 1（欠阻尼）有一对共轭复根
s1
s1,2 n j n 1 2
n 1 2
位于平面的左半部
s2 n
（2） 1（临界阻尼）， s1,2 n ，两相等实根
s1 s2
（3） 1（过阻尼），s1,2 n n 2 1 ，两不等实根
r脉冲 (t )
d dt
r阶跃 (t)
d2 dt 2
r斜坡 (t)
d3 dt 3
r抛物线 (t)
而时间响应间的关系为：
c脉冲 (t )
d dt
c阶跃 (t)
d2 dt 2
c斜坡 (t)
d3 dt 3
c抛物线 (t)
t
c(t) 1 e T
t -
c(t) t - T Te T
c(t)
1
t
eT
t 时，
e() T , 跟踪误差为T。
四．单位抛物线响应
r(t) 1 t 2 R(s) 1
2
s3
C(s) 1 1 a1 a2 a3 a4 Ts 1 s3 s 3 s 2 s Ts 1
a1
1 Ts
1
1 s3
s3
s0
1
d1
T
a 2 ds Ts 1 s0 (Ts 1)2 s0 T
0.632
A
2.相应曲线的初始斜率为 1
T
T
dc(t) dt
t0
1 T
t
eT
t0
1 T
斜率1/T
可用此方法在单位阶跃响应曲线上确定时间常数T
二．单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数，系统的输出称为
单位脉冲响应。
R(s) L[ (t)] 1
r(t)
C(s) 1 R(s) 1
1/T
Ts 1
(3) 1时 C(s)
2 n
1
2 n
1
s2
2
nห้องสมุดไป่ตู้
s
2 n
s
(s n )2 s
1
2 n
1
s (s n )2 s n
c(t ) 1 (1 nt )e nt
(4) 1 s1,2 n n 2 1 一 对 实 根
1
2 n
s
1
如例2-1的RLC串联电路
G(s)
U2 (s) U1(s)
LCs2
1 RCs
1；n
1 ； R
LC
2
C L
如例2-3的弹簧、质量、阻尼机械系统
G(s)
ms2
1 fs k
=
m s2
1/k f
s 1
kk
n
k ； f
m
2
1 mk
一．单位阶跃响应
1.闭环极点的分布 二阶系统的特征方程为
r(t) 0Rt2
t 0 t 0
R=1/2时，称为单位抛物线函数。R(S )
1 S3
0
t t
t
四．脉冲函数
r(t)
r(t) 0A h
t 0 及t h
th
1/h
h
当h 时，则称为单位脉冲函数。r(t)
(t) 0
t 0 t 0
R(s) 1
五．正弦函数
r(t)
r(t) Asin(t - )
R(S) A
0
s2 2
t t
t
3.2 一阶系统的时域分析
一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控
制系统。
标准形式 T dc(t) c(t) r(t)
dt
传递函数 (s) C(s) 1
R(s) Ts 1
1 TS 1
一．单位阶跃响应
r(t) 1(t)； R(s) 1 s
C(s) (s)R(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
n 2
R(s) s2 2ns n2
R(s)
n2 s2 2n s n2
C(s)
等效的开环传函及方框图
G(S) n 2
R(s)
s(s 2n )
c(t)
L-1[ s2
n 2ns
n2
R(s)]
n2 s(s 2n )
C(s)
G(s)=
C(s)
n 2
R(s) s2 2ns n2
=
s2
n 2
Ts 1
c(t) L1[
1
]
1
t
eT
0.368 1 T
t
Ts 1 T
T
三．单位斜坡响应
r(t) t R(s) 1
s2
r(t)
C(s) 1 1 1 T T 2 Ts 1 s2 s2 s Ts 1
T
-t
c(t) t - T Te T
-t
T
t
e(t) r(t)- c(t) T(1- e T )
c(t
)
1
t
eT
；应用拉式反变换式：1
eat
s+a
说明:
1. 可以用时间常数T去度量系统输出量的数值
t T时, c(t) 1 e1 0.632 63.2%
t 3T时,c(t) 0.95 95%
t 4T时,c(t) 0.98 98%
可得调整时间
1
3T 0.05 ts 4T 0.02
s1 s2
（4） 0（无阻尼），s1,2s1 jn ，一对纯虚根
s2
（5）-1 0， s1,2 ns1 jn 1 2 位于右半平面
s2
2.二阶系统的单位阶跃响应
(1) 0 1时
C(s)
n2
1
s 2 2 n s n 2 s
1
s 2 n
s (s n j d )(s n j d )
1 d2 1
1 2T 2
a 3 2! ds 2 Ts 1 s0 2 (Ts 1)3
s0 T 2
a4
1 Ts 1
1 s3
Ts 1 s 1 T
T 3
C(s)
1 s3
T s2
T2 s
T3 Ts 1
c(t)
1
t2
Tt
T
2
T
2
e
t T
1
t
2
Tt
T
2 (1
e
t T
)
2
2
五．结果分析
输入信号的关系为：