数理方程总结完整版

n a n a n x t Bn sin t ) cos l l l n 1 2 2 n n 2 此方程的特征函数和特征值分别为：X ( x) cos x, = = 2 , n 0,1, 2,3...
则
u ( x, t ) A0 B0t ( An cos
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1

a 2 ( n1/2 )2 2 t l2

a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
n 1
n n2 2 2 X ( x) Fra Baidu biblioteksin x, = = 2 , n 1, 2,3... l l
(n ) a
2
l
t Dn sin
(n ) a
2
(n )
2
l
t )sin
l
x
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 此方程的特征函数和特征值分别为：X ( x) sin x, = 2 = , n 1,2,3... 2 l l
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1

l
l
最后再补充一点知识，就是有关四类方程的特征函数和特征值， 有可能会考到填空题，大家注意一下。还有就是这四类方程都是 最基本的，考试时的大题不会考到，太简单了，但是解题时会用 到，特别是“左一右一”方程解的形式一定要记住，考试时可以不 再解了，直接写出结果。
2.热传导方程（方程是齐次的）的基本解：

此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
①“左一右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 2u u 2 , 0 x l , t 0, 2 a 2 x t u | x 0 0, u | x l 0, t 0,
则
n a n a n u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t )sin x l l l n 1
u | s f 2. n
这种形式的边界条件称为第二类边界条件。三是在边界S上给 出了未知函数u及其沿S的外法向的方向导数某种线性组合 的值，即
u u | s f 3 n
这种形式的边界条件称为第三类边界条件。一般的，第三类的边 界条件很少见，考试也很少考，因为用此类边界条件不能求出具 体的值，比如书中§2.2节中例题。此例题的左边的一个边界条件 第一类的，而右边的边界条件是第三类的，有的老师干脆称为这 种方程是“左一右三”的，类似有“左一右一”的，“左一右二” 的，“左 二右一”的，“左二右二”的，等等。
①：“左一右一”齐次边界条件的齐次方程： 2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 x t u | x 0 0, u | x l 0, t 0,
则u(x,t)= Cne
n 1

a 2n 2 2 t 2 l
n sin x l
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1

则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
数理方程总结
第一章：一些典型方程和定解条件的推导
本章没有什么重要的内容，就是一个引子，主要掌握
以下两个知识点： 1：初始条件与边界条件——初始条件是用以说明初 始状态的条件，边界条件是用以说明边界上约束情况 的条件。 2：边界条件的分类——一是在边界S上直接给出了未 知函数u的数值，即u|s=f1，这种形式的边界条件称为 第一类边界条件。二是在边界S上给出了未知函数u沿 S外法线方向的方向导数,即
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：