集成光学第三章 矩形(三维)光波导
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x 2
2Ex y 2
nx2k02 n2yk02 n12k02 2
Ex 0
nx2
n32 n12
n52
xa a xa x a
n2y nn1222 n42
yb b y b y b
差别仅存在于4个阴影角区域，而在马卡梯里近似下， 角区是忽略不计的。
马卡梯里近似解法
13
➢ 采用分离变量法，假设 Ex x, y X xY y ，代入上
Hx
1
i0
Ez y
1
i0
y
1
i
Ex x
1
0
2Ex xy
Hy
2Ex
2Ex x 2
Hz
1
i0
E x y
Ez
1
i
E x x
马卡梯里近似解法
11
Hy
1
0
2Ex
2Ex x2
Hz
1
i0
E x y
代入下面的方程
H z y
i
Hy
i Ex
整理后得到
E
x mn
得到
r E 0
➢ 考虑 E y 0 ，得到
x
r
Ex
z
r
Ez
0
➢ 考虑波导折射率沿z方向不变，且 i ，得到
z
x
r Ex
ir Ez
0
即
Ez
1
ir
x
r
E
x
1
i
r
r
x
Ex
1
i
E x x
1
i
E x x
马卡梯里近似解法
10
➢ 电、磁场分量 H x、H y 、Hz 、Ez 与电场分量Ex的关系
0，
z
i
，电场和磁
Ez y
i0 H x
i Ex
Ez x
i0H y
Ex y
i0 H z
H z y
i
Hy
i Ex
i Hx
H z x
0
H y x
H x y
i Ez
➢ 将磁场用电场表示
Hx
1
i0
Ez y
Hy
1
i0
i
Ex
Ez x
Hz
1
i0
E x y
马卡梯里近似解法
9
➢ 利用麦克斯韦方程组中电场的散度方程 D 0 可以
6
➢ 在矩形波导中，严格的TE模和TM模不存在，但是有 两类模式能够近似地满足波动方程和边界条件：
•
第一类为
E
x m
n
模（m
和
n分别表示沿x和y方向场强的极
大值数目，取大于等于1的整数）
✓ 电矢量近似指向x方向，它的主要（占优势的）电磁 场分量为 Ex 和 H y ，纵向分量 Ez 和 Hz 较小，而 E y 和 Hx更小，可近似认为 E y 0 。
➢ 常见的几种矩形波导横截面结构如下图所示
凸条型
掩埋型
脊型
载条型
矩形光波导的概念
3
➢ 矩形波导的结构多种多样，限制媒质的折射率不必在 所有区域中都一样，折射率小于波导区折射率的许多 材料都可以同时用来作为限制媒质包围波导，因此波 导中的模式通常不是严格对称的；
➢ 对于这种一般情形，波动方程的严格解析解是极其复 杂的，至今尚未得出；
集成光学第三章 矩形（三维）光波导
矩形光波导的概念
2
➢ 平板光波导中，光沿z方向传播，波导对光在x方向进 行限制，但是在y方向没有限制，通常也称为二维光 波导。
➢ 许多应用中，为了避免光在y方向的发散，要求光沿z 方向传播，波导在x、y两个方向对光进行限制，这样 的光波导称为条状波导，由于这类波导中的光场能量 基本上集中于矩形横截面内，故常统称为矩形波导。
模波动方程
2Ex x 2
2Ex y2
n2k02 2
Ex 0
方程中n为折射率，n ，r k02 。 20 0
马卡梯里近似解法
12
➢ 马卡梯里近似，相当于把本征值方程的求解化为近似 地用分离变量法求解两个独立的三层平板波导方程。
➢ 矩形波导的波动方程（亥姆霍兹方程）可以近似地写 成如下形式
2Ex
•
第二类为
E
y mn
模（m
和
n
分别表示沿x和y方向场强的极
大值数目）
✓ 电矢量近似指向y方向，它的主要（占优势的）电磁 场分量为 E y 和 H x ，纵向分量 Ez 和 Hz 较小，而 Ex 和 H y更小，可近似认为 H y 0 。
马卡梯里近似解法
7
➢
对于
E
x mn
模和
E
y mn
模，需要从以下六个电场和磁场的分
区域②、③、④、⑤以及
b 图中的阴影区域⑥、⑦、
③ n3
⑧、⑨所环绕，n1 ni 。
b • 波导区宽度（x方向）和
厚度（y方向）分别为 2a
⑦
和 2b，坐标取 a x a和
b y b a
马卡梯里近似解法
5
➢ 对于上述理论模型，严格的解法应该在9个区域内分 别列出场函数解，然后利用所有界面上的边界条件求 出相应导模的传播常数 及所对应的场函数，这是十 分困难的数学问题。
述改写后的波动方程可以得到两个独立的波动方程
沿x方向的平板波导
d2X dx2
nx2 k02
2 x
X 0
沿y方向的平板波导
d 2Y dy2
n
2 y
k02
2 y
Y 0
2
2 x
2 y
n12k02
➢ 至此，矩形波导的分析（包括本征值 和场分布等） 可以通过沿x方向和沿y方向的两个平板波导的分析得 出结论。
➢ 马卡梯里近似解法的思路：如果离截止点比较远，则 光能量高度集中在波导区，透入到②、③、④、⑤四 个区域的光能很少，而阴影角区⑥、⑦、⑧、⑨中的 光能可以忽略不计。
➢ 利用上述合理而又巧妙的假设，可以很容易用解三层 平板光波导的方法和已有结果来求解矩形波导的传播 常数 和模场分布。
马卡梯里近似解法
马卡梯里近似解法
14
➢ 由于 X x 是 Ex x, y 沿x方向的分布函数，沿x方向偏
振，所以对于x方向的平板波导，相当于TM模
n5 ⑤
a
y
x
n1
①
③ n3
a
TM模的波动方程及分量关系
2
Hy
x 2
x
n2k02 2
Hy x 0
Ex
x
Hy
x
Ez
x
1
i
H y
x
x
X x 相当于Ex x，所以满足
量关系出发进行分析和讨论
E i0 H
H i E
Ez y
E y z
i0 H x
E x z
Ez x
i0 H y
E y x
E x y
i0 H z
H z y
H y z
i Ex
H x z
H z x
i Ey
H y x
H x y
i Ez
马卡梯里近似解法
8
E
x mn
模分析
➢
在横截面内沿x方向偏振，E y 场分量关系简化为
➢ 目前，除了数值计算方法以外，最常用的两种分析矩 形光波导的方法是：
• 马卡梯里（Marcatili）近似解法；
• 有效折射率法。
马卡梯里近似解法
4
➢ 对于凸条型、掩埋型等矩形波导，可采用下图所示的
理论模型
y
⑨
n2
②
n5 ⑤
n1
①
⑧
④
n4
a
x
• 波导区①（折射率 n1）被
⑥
折射率为 ni i 2,3,4,5 的
d 2 X x dx2
nx2 k02
2 x
X x 0
马卡梯里近似解法
2Ex y 2
nx2k02 n2yk02 n12k02 2
Ex 0
nx2
n32 n12
n52
xa a xa x a
n2y nn1222 n42
yb b y b y b
差别仅存在于4个阴影角区域，而在马卡梯里近似下， 角区是忽略不计的。
马卡梯里近似解法
13
➢ 采用分离变量法，假设 Ex x, y X xY y ，代入上
Hx
1
i0
Ez y
1
i0
y
1
i
Ex x
1
0
2Ex xy
Hy
2Ex
2Ex x 2
Hz
1
i0
E x y
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1
i
E x x
马卡梯里近似解法
11
Hy
1
0
2Ex
2Ex x2
Hz
1
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E x y
代入下面的方程
H z y
i
Hy
i Ex
整理后得到
E
x mn
得到
r E 0
➢ 考虑 E y 0 ，得到
x
r
Ex
z
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0
➢ 考虑波导折射率沿z方向不变，且 i ，得到
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即
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1
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1
i
E x x
1
i
E x x
马卡梯里近似解法
10
➢ 电、磁场分量 H x、H y 、Hz 、Ez 与电场分量Ex的关系
0，
z
i
，电场和磁
Ez y
i0 H x
i Ex
Ez x
i0H y
Ex y
i0 H z
H z y
i
Hy
i Ex
i Hx
H z x
0
H y x
H x y
i Ez
➢ 将磁场用电场表示
Hx
1
i0
Ez y
Hy
1
i0
i
Ex
Ez x
Hz
1
i0
E x y
马卡梯里近似解法
9
➢ 利用麦克斯韦方程组中电场的散度方程 D 0 可以
6
➢ 在矩形波导中，严格的TE模和TM模不存在，但是有 两类模式能够近似地满足波动方程和边界条件：
•
第一类为
E
x m
n
模（m
和
n分别表示沿x和y方向场强的极
大值数目，取大于等于1的整数）
✓ 电矢量近似指向x方向，它的主要（占优势的）电磁 场分量为 Ex 和 H y ，纵向分量 Ez 和 Hz 较小，而 E y 和 Hx更小，可近似认为 E y 0 。
➢ 常见的几种矩形波导横截面结构如下图所示
凸条型
掩埋型
脊型
载条型
矩形光波导的概念
3
➢ 矩形波导的结构多种多样，限制媒质的折射率不必在 所有区域中都一样，折射率小于波导区折射率的许多 材料都可以同时用来作为限制媒质包围波导，因此波 导中的模式通常不是严格对称的；
➢ 对于这种一般情形，波动方程的严格解析解是极其复 杂的，至今尚未得出；
集成光学第三章 矩形（三维）光波导
矩形光波导的概念
2
➢ 平板光波导中，光沿z方向传播，波导对光在x方向进 行限制，但是在y方向没有限制，通常也称为二维光 波导。
➢ 许多应用中，为了避免光在y方向的发散，要求光沿z 方向传播，波导在x、y两个方向对光进行限制，这样 的光波导称为条状波导，由于这类波导中的光场能量 基本上集中于矩形横截面内，故常统称为矩形波导。
模波动方程
2Ex x 2
2Ex y2
n2k02 2
Ex 0
方程中n为折射率，n ，r k02 。 20 0
马卡梯里近似解法
12
➢ 马卡梯里近似，相当于把本征值方程的求解化为近似 地用分离变量法求解两个独立的三层平板波导方程。
➢ 矩形波导的波动方程（亥姆霍兹方程）可以近似地写 成如下形式
2Ex
•
第二类为
E
y mn
模（m
和
n
分别表示沿x和y方向场强的极
大值数目）
✓ 电矢量近似指向y方向，它的主要（占优势的）电磁 场分量为 E y 和 H x ，纵向分量 Ez 和 Hz 较小，而 Ex 和 H y更小，可近似认为 H y 0 。
马卡梯里近似解法
7
➢
对于
E
x mn
模和
E
y mn
模，需要从以下六个电场和磁场的分
区域②、③、④、⑤以及
b 图中的阴影区域⑥、⑦、
③ n3
⑧、⑨所环绕，n1 ni 。
b • 波导区宽度（x方向）和
厚度（y方向）分别为 2a
⑦
和 2b，坐标取 a x a和
b y b a
马卡梯里近似解法
5
➢ 对于上述理论模型，严格的解法应该在9个区域内分 别列出场函数解，然后利用所有界面上的边界条件求 出相应导模的传播常数 及所对应的场函数，这是十 分困难的数学问题。
述改写后的波动方程可以得到两个独立的波动方程
沿x方向的平板波导
d2X dx2
nx2 k02
2 x
X 0
沿y方向的平板波导
d 2Y dy2
n
2 y
k02
2 y
Y 0
2
2 x
2 y
n12k02
➢ 至此，矩形波导的分析（包括本征值 和场分布等） 可以通过沿x方向和沿y方向的两个平板波导的分析得 出结论。
➢ 马卡梯里近似解法的思路：如果离截止点比较远，则 光能量高度集中在波导区，透入到②、③、④、⑤四 个区域的光能很少，而阴影角区⑥、⑦、⑧、⑨中的 光能可以忽略不计。
➢ 利用上述合理而又巧妙的假设，可以很容易用解三层 平板光波导的方法和已有结果来求解矩形波导的传播 常数 和模场分布。
马卡梯里近似解法
马卡梯里近似解法
14
➢ 由于 X x 是 Ex x, y 沿x方向的分布函数，沿x方向偏
振，所以对于x方向的平板波导，相当于TM模
n5 ⑤
a
y
x
n1
①
③ n3
a
TM模的波动方程及分量关系
2
Hy
x 2
x
n2k02 2
Hy x 0
Ex
x
Hy
x
Ez
x
1
i
H y
x
x
X x 相当于Ex x，所以满足
量关系出发进行分析和讨论
E i0 H
H i E
Ez y
E y z
i0 H x
E x z
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E y x
E x y
i0 H z
H z y
H y z
i Ex
H x z
H z x
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H y x
H x y
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马卡梯里近似解法
8
E
x mn
模分析
➢
在横截面内沿x方向偏振，E y 场分量关系简化为
➢ 目前，除了数值计算方法以外，最常用的两种分析矩 形光波导的方法是：
• 马卡梯里（Marcatili）近似解法；
• 有效折射率法。
马卡梯里近似解法
4
➢ 对于凸条型、掩埋型等矩形波导，可采用下图所示的
理论模型
y
⑨
n2
②
n5 ⑤
n1
①
⑧
④
n4
a
x
• 波导区①（折射率 n1）被
⑥
折射率为 ni i 2,3,4,5 的
d 2 X x dx2
nx2 k02
2 x
X x 0
马卡梯里近似解法