高等数学：第一讲 函数的连续性

y
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2.函数在一点的连续性同极限一样，都是函数的局部性质.
3. 判别函数y=f (x)在点x0连续的步骤：
(1) y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
lim
x x0
f (x)
f
( x0 )
lim
Hale Waihona Puke Baidux x0
f (x)
f ( x0 )
= lim x x0
f ( x).
例2
讨论函数
f
(
x)
x x
1, 1,
在 x = 1 处的连续性．
x 1, x1
解 f (x)在x=1及其近旁有定义且f (1)=0,
lim f ( x) lim ( x 1) 0,
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处右连续.
定理1
函数 y f ( x)在点 x0处连续的充要条件
是函数 y f ( x)在点 x0处既左连续又右连续，即
函数的连续性
函数的连续性
1、函数y=f (x) 在点 x0处的连续性
定义1 设y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当x在
x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也
趋于零，即
lim
x0
y
lim
x0
f
(
x0
x)
f ( x0 ) 0，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f(x)的连续点．
(2)若f (x)是分段函数，则在分界点处往往要从左、右极限讨论极限、 函数值等，根据函数的点连续性定义去判断．
（3）连续的几何反映：函数的图形是一条连续不断的曲线.
谢谢
解 f (x)在x=2及其近旁有定义且f(2)=3;
lim f ( x) lim( x 1) 3;
x2
x2
lim f ( x) 3 f (2).
x2
所以，函数f (x) = x+1在x=2处连续.
2. 函数 y = f (x) 在x0处的左、右连续
定义 3 设函数y=f (x)在(x0-, x0] 有定义，
定义 2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如
果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)
，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f (x)的连续点．
说明：
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义：函数图形在x0不断开， 图像是连续不断的.
x 1
x 1
lim f ( x) lim ( x 1) 2,
x 1
x 1
lim f ( x) lim f ( x), lim f ( x)不存在.
x 1
x 1
x 1
因此函数 f (x) 在 x = 1 处不连续.
函数的连续性内容小结:
(1)f (x)在一点处连续：特殊的极限．解题三步走：一、求极限，二、 函数值，三、比较相等.