直线与二次曲线的位置关系
双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系)
例2. 直线 y=kx+1与双曲线3x2- y2 =1相交于A、B两点． 且以AB为直径的圆经过坐标原点，求该圆的面积. 解： y kx 1
2 2 3 k x 2kx 2 0 2 2 3 x y 1
设 A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) ，则由以AB为直径的圆经过坐标原点，
2
x1 x2
2
4 x1 x2
2 2 1 k 2 k
2 2k 1 k 2 4 2 2 1 k 1 k
2
1 k
2 2
依题意得 2
4
2 2 1 k 2 k
1 k
2 2
6 3
2 1 － 3 k ≠0， Δ＝361－k2>0，
6 2k 3 xA＋xB＝1－3k2<0，解得 3 <k<1. xAxB＝ －9 2>0， 1－3k
3 ∴当 3 <k<1 时，l 与双曲线左支有两个交点．
(3)由(2)得：xA＋xB＝
6 2k ， 1－3k2
∴yA＋yB＝(kxA＋ 2)＋(kxB＋ 2) ＝k(xA＋xB)＋2 2＝ 2 2 . 1－3k2
x2 y2 解析：(1)设双曲线 C 的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． 由已知得：a＝ 3，c＝2，再由 a2＋b2＝c2， x2 2 得 b ＝1，∴双曲线 C 的方程为 3 －y ＝1.
2
(2)设 A(xA，yA)、B(xB，yB)， x2 2 将 y＝kx＋ 2代入 3 －y ＝1， 得，(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0. 由题意知
a＝2， c 2 解析： (1)由题意得 ＝ ， a 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c ， 解得 b＝ 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1. y＝kx－1， 2 2 (2)由x y ＋ 2 ＝1 4 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
直线与双曲线的位置关系 课件
Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在．
『规律总结』 中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二) 可以用点差法和中点坐标公式求解．
已知双曲线 3x2－y2＝3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45°，与双 曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的 长.
3，或
2 k>
3
3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲
线无公共点．
综上所述，当－2 3 3<k<－1，或－1<k<1，或
2 1<k<
3 3时，直线与双曲线有
两个公共点；当 k＝±1，或 k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当
k<－2 3
3，或
2 k>
3
3时，直线与双曲线没有公共点．
『规律总结』 1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点，∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)．
已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实 数 k 的取值范围.
(1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
[思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方 程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．
课例直线与双曲线的位置关系
两个公共点 %求 (的取值范围 " ’" "& 且两根之和 ) 并两根之积 0 "& & 1
’ ’
2 !& % 1
学生 -! 如果直线 #%(!)$ 与双曲线 ! )# %* 的右支有 两个公共点 %求 (的取值范围 " ’" "& 且两根之和 ) 并两根之积 0 "& & 1 2 "& % 1
线只有一个公共点的直线有几条 ( 与该点的位置有何 关系 ( ’ 多媒体展示% 引导学生经过讨论 % 逐步填写下面 的表格 &
!"
组有一解 %此时 (% # $ %共有四个取值 " 教师 ! 非常 好 ) 说 明同学 们从代 数方程的 角度认 真理解了直 线与双曲线的位置关 系的判断方法 " 从几 何角度是否 也有判断方法呢 ( ’ 多媒体演示 % 引导学生 讨论 & 学生 !判断直线是否与双曲线的渐近线平行 " 教师 !探究 ’ 可以变式探讨 % 同学们打开思 维 %大胆 尝试 " ’学生自主深入地 探究 %相互交流 * 总结 % 老师适时 给予点拨 %使学生体验成功的喜悦 " & 学生 $! 如果直线 #%(!)$ 与双曲线 ! )# %* 没有公共 点 %求 ( 的取值范围 " ’ 相离!" ! & & 学生 ’! 如果直线 #%(!)$ 与双曲线 ! )# %* 有两个公 共点 %求 ( 的取值范围 " ’ 两个交点的相交 !" " &+ 学生 .! 如果直线#%( !)/与双曲线! )# %* 的两支各有 一个公共点%求( 的取值范围 " ’"" &且两根之积
高中数学 知识讲解 直线与双曲线的位置关系理
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b -=>>22221(0,0)y x a b a b -=>>标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±(0,)a ±轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b离心率 (1)ce e a=> 渐近线方程x ab y ±= a y x b =±要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
高二数学 2.3 第3课时第3课时 直线与双曲线的位置关系
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
2．弦长公式 斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)、B(x2， y2)，则|AB|＝ 1＋k2__|_x_1－__x_2_| __ ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k12|y1－y2|＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
第二章 2.3 第3课时
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1．直线y＝13(x－72)与双曲线x92－y2＝1交点个数是(
)
A．0
B．1
C．2 [答案] B
D．4
[解析] 直线与渐近线平行，
∴有一个交点．
第二章 2.3 第3课时
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b a
时，直线l与双曲线的渐近线
____平__行____，直线与双曲线C相交于____一__点____．
第二章 2.3 第3课时
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(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有____两__个____公共点，此时称直线与 双曲线__相__交______； Δ＝0⇒直线与双曲线有___一__个_____公共点，此时称直线 与双曲线__相__切______； Δ<0⇒直线与双曲线__没__有______公共点，此时称直线与双 曲线____相__离____．
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：1.直线与双曲线相交
今天我们研究直线与双曲线相交，即直线与双曲线有一个或两个交点。
直线方程与双曲线方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程或一元一次方程，则（1）一元一次方程情形，直线与双曲线有一个交点等价于直线与双曲线的渐近线平行；（2）一元二次方程情形，直线与双曲线有一个有两个交点等价于直线与双曲线方程联立后方程有两个不同的解，其判别式大于0。
先看例题：例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6相交，求k 的取值范围。
解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝， （1）直线与双曲线有两个公共点，即：()()222101641100k k k ⎧-≠⎪⎨∆=--⨯->⎪⎩， 解得1515(1)(1,1)(1,33k ∈--⋃-⋃ （2）直线与双曲线有一个公共点，21=0k -，解得1k =± 综上有151533k -<< 整理： 设直线l :y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a bk ±=，且0m ≠时，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；（2）若0222≠-k a b 即a bk ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点。
注意：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支。
再看一个例题，加深印象例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ()A.⎛ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝，∴()()222121210164110000k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得13k -<<-，正确答案D.总结：1.直线与双曲线相交，即直线与双曲线有一个或两个交点。
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
专题54直线与双曲线(课件)-2024年中职数学对口升学考试专题复习精讲课件_42057202
即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且
仅有一个公共点．
4－3k2＜0， ③1－k2≠0，
即 k＜－23 3，或 k＞23 3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无
公共点．
专题54——直线与双曲线的关系 综上所述， 当－2 3 3＜k＜－1，或－1＜k＜1，或 1＜k＜2 3 3时，直线与双曲线有两个公共点； 当 k＝±1，或 k＝±2 3 3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 当 k＜－23 3，或 k＞2 3 3时，直线与双曲线没有公共点．
1
x2
12x 24 0
则 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 (12)2 4 24 4 6
故 AB 4 6
专题54——直线与双曲线的关系
【题型一 】 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2
2k2－3k222－1k22k－2＋2 8
＝ 1＋k2 16k2k－2＋212＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝± 22，故这样的直线有 3 条．
专题54——直线与双曲线的关系
2.过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于 A，B 两
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．
专题54——直线与双曲线的关系
当直线 l 的斜率存在时，其方程为 y＝k(x－ 3)，
y＝k x－ 3 ， 由x2－y22＝1，
直线与双曲线的位置关系教案
直线与双曲线的位置关系 xx 中学 教者xxx教学目标:1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。
2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。
3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。
教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。
教学难点: 学生解题综合能力的培养。
教学时数: 两课时教学方法: 启发式教学过程:一、课题导入回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中 得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。
二、讲授新课通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位 置关系：相离:没有公共点。
相切:有一个公共点。
相交:有两个公共点。
通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐 近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。
练习：判断直线x y 21=与双曲线322=-y x 的位置关系。
例：已知直线l :1+=kx y ,双曲线422=-y x 。
问k 取何值时，直线与双曲线相交、相切、相离？分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。
解：结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程联立，消去x （或y ）后得到一个方程。
若方程的二次项系数不 为零，则方程为一元二次方程。
此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲 线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双 曲线相离。
若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。
此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个 公共点。
得由⎩⎨⎧=-+=4122y x k x y 052122=---kx x k ）（。
是它们只有一个公共点直线与双曲线相交，但平行与双曲线的渐近线时，直线，即：当,101)1(2l k k ±==-时，即当101:)2(2±≠≠-k k 2016)1(20)2(222+-=-+=∆k k k ()个公共点。
冲刺高考数学直线与二次曲线的位置关系
冲刺高考数学直线与二次曲线的位置关系在高考数学中，直线与二次曲线的位置关系一直是一个重点和难点。
理解并掌握这部分内容，对于我们在高考中取得优异成绩至关重要。
首先，我们来了解一下什么是直线和二次曲线。
直线，大家都不陌生，用一般式可以表示为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（其中 A、B 不同时为0）。
而二次曲线呢，常见的有圆、椭圆、双曲线和抛物线。
比如圆的标准方程是（x a)²＋（y b)²＝ r²，椭圆的标准方程有两种形式：焦点在 x 轴上时是 x²/a²＋ y²/b²＝ 1（a ＞ b ＞ 0），焦点在 y 轴上时是y²/a²＋ x²/b²＝ 1（a ＞ b ＞ 0）。
双曲线的标准方程也有两种：焦点在x 轴上时是 x²/a² y²/b²＝ 1，焦点在 y 轴上时是 y²/a² x²/b²＝ 1。
抛物线则有多种形式，比如 y²＝ 2px（p ＞ 0）表示开口向右的抛物线。
那么直线与这些二次曲线的位置关系究竟如何判断呢？这就需要用到一些数学方法和技巧。
对于直线与圆的位置关系，我们通常可以通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
如果 d ＞ r，直线与圆相离；如果 d＝ r，直线与圆相切；如果 d ＜ r，直线与圆相交。
举个例子，如果圆的方程是（x 2)²＋（y 3)²＝ 4，直线方程是 2x ＋ y 5 ＝ 0，那么圆心坐标是（2, 3)，半径 r ＝ 2。
根据点到直线的距离公式，可以算出圆心到直线的距离 d ＝｜2×2 ＋ 3 5| ／√（2²＋ 1²) ＝ 2 ／√5。
因为 2 ／√5 ＜ 2，所以直线与圆相交。
接下来看看直线与椭圆的位置关系。
《直线与双曲线的位置关系》教学设计
《直线与双曲线的位置关系》教学设计教学设计的基本理念根据诱思探究学科教学论，改变教师的“满堂教”为学生的“满堂学”，让“教堂”变为“学堂”。
在本节课教学中充分安排回忆、尝试、讨论、发言、实物演示，让学生参与到数学知识的探索、发现过程中去，体验知识的形成过程。
本着这个原则，结合具体的教学内容，本节教学采用诱思探究式的教学方法。
理论探究采用老师创设问题情境，学生自主探究、分组讨论的方法；反馈练习采用学生独立思考，教师讲评的方法。
另外，多媒体手段的引入能直观地加深印象，实物投影仪给了交流的平台，提升了教学效益。
一、学情分析学生个性活泼，积极性高，思维逐渐由形象思维向抽象思维转化，但形象思维仍占主导地位，同时学生思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等水平仍有待提升。
直线与双曲线的位置关系是在已经对直线与椭圆的位置关系有了初步的理解和了解的基础上而实行的，但很多学生考虑问题往往不够全面，所以在创设问题情境以后，应让学生充分思考、讨论，而很多学生受传统教学的影响，习惯于听老师的分析，自己不主动探索，学习比较被动，往往老师分析的头头是道，学生也频频点头，但时间一长，就都忘了。
应充分调动学生的积极性，让学生在老师的引导下，贯穿“体验为红线，思维为主攻”，以诱达思、诱思交融，自主、探究、合作得出结论，实现学生的主体地位，让学生真正成为学习的主人。
二、教材分析1.教材背景新教学大纲对“直线与圆锥曲线的位置关系”这部分教材的要求是：掌握其简单应用。
主要考查：直线与圆锥曲线公共点个数问题，相交时的弦长，弦中点或相关轨迹问题，三角形面积问题，存有性问题，与向量综合等问题，因为本部分内容一直是高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，所以应给以充足的重视，而用坐标法研究几何问题，是数学中的一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。
为此，从解析几何的本质出发，用代数的方法来研究，体现分类讨论的数学思想，又体现数形结合的数学思想，是一节很重要但又有一定深度的课。
知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b-=>>22221(0,0)y x a b a b-=>>要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP=12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12+，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
直线与二次曲线位置关系的判定
直线与二次曲线位置关系的判定
两条直线的位置关系：平行、相交。
两种。
分析过程如下：在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行、相交。
在空间中两条直线的位置关系有三种：平行、相交、异面。
假定两直线不平行，那么就必定相交。
这样，这两条不平行的直线就与第三条相截的直线构成一个三角形。
其中的一个同位角就成了三角形的外角。
因为三角形的外角等同于与它不相连的两个内角的和，即为：其中的一个同位角等同于另一个同位角和不相连的内角的和。
所以，其中的一个同位角不等同于另一个同位角。
也就是两直线不平行同位角不成正比，反之必定设立。
平行线的性质：
1、平行于同一直线的直线互相平行；
2、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
3、两平行直线被第三条直线所封盖，内错角成正比；
4、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。