电磁场与电磁波习题答案

第二章

2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。

解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷q 1及

q 2的力应该大小相等，方向相反，即q q q q F F ''=2

1

。那么，

由

122

2

022

1

01244r r r q q r q q =⇒'=

'πεπε，同时考虑到d r r =+21，求得

d r d r 3

2 ,3121==

可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距d 3

1

。

2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：

)

0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。

解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，32=r ，23=r 。

利用点电荷的场强公式r e E 2

04r q πε=

，其中r e 为点电

荷q 指向场点P 的单位矢量。那么，

1q 在P 点的场强大小为0

2

1

011814πεπε=

=

r q E ，方向为

()z y

r e e

e +-

=2

11。

2q 在P 点的场强大小为0

2

2

022121

4πεπε=

=r q E ，方向为()z y x

r e e e

e ++-

=3

12。

3q 在P 点的场强大小为0

2

3

033414πεπε=

=r q E ，方向为

y r e e -=3

则P 点的合成电场强度为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 03

21πε

2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。 解 令点电荷q -位于坐标原点，r 为点电荷q -至场点P 的距离。再令点电荷q +位于+z 坐标轴上，1r 为点电荷q +至场点P 的距离。两个点电荷相距为l ，场点P 的坐标为（r,θ,

）。

根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

311304r r

q r r

E πε 考虑到r >> l ，1r e = e r ，θcos 1l r r -=，那么上式变为

r r

r r r r r r q

r r r r q e e E ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121102122210))((44πεπε

式中 ()

2

122

2

1221

1cos 211cos 2-

--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=-+=θθ

r l

r l r rl l r r

以

r

l

为变量，并将2

1

22

cos 21-

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+θr l r l 在零点作泰勒展开。由于r l <<，略去高阶项后，得

θθcos 1cos 1121

1r

l r r l r r +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-

利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为

θr e e E 30

302

04sin 2cos 1cos 14r ql r ql r r l r q πεθπεθθπε+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-=

2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-⨯C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。试求：①P 点的电位；②将电量为6102-⨯C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。

解 根据叠加原理，P 点的合成电位为

()V 105.24260⨯=⨯

=r

q πεϕ

因此，将电量为C 1026-⨯的点电荷由无限远处缓慢地移到

P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ϕ

2-5 通过电位计算有限长线电荷 的电场强度。

习题图2-4

解 建立圆柱坐标系。 令先电 荷沿z 轴放置，由于结构以z 轴对称，场强与φ无关。为了简单起见，令场点位于yz 平面。 设线电荷的长度为L ，密度为

l ρ，线电荷的中点位于坐标原

点，场点P 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛z r ,2,π。

利用电位叠加原理，求得场点

P 的电位为

⎰

-=22

d 4L L l

r l περϕ 式中()220r l z r +-=

。故

()2

2

2

2

22

2202222ln 4 ln 4r L z L z r L z L z r l z l z l

L L

l

+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+++=

⎥

⎦⎤

⎢

⎣⎡+-+--

=-περπερϕ

因ϕ-∇=E ，可知电场强度的z 分量为

2

22

2

02222ln 4r L z L z r L z L z z

z E l z +⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+++∂∂-=∂∂-

=περϕ

y

习题图2-5