高中数学总复习-分类讨论思想介绍与专题训练(附详细解析)

专题复习 分类讨论思想一、填空题：例1．设集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x ||x －3|≤a }，若A B ⊇，则实数a 的取值范围是________．例2．已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧⎨--⎩=≥，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为_______例3．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值集合为________．例4．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为 ．例5．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是______．例6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________．例7．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是__________．例8．已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．例9．若函数321111()(1)3245f x a x ax x -+-+=在其定义域内有极值点，则a 的取值为 ．例10．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．例10例11．若函数f (x )＝a ＋b cos x ＋c sin x 的图象经过点(0,1)和(π2,1)两点，且x ∈[0,π2]时，|f (x )|≤2恒成立，则实数a 的取值范围是_______．例12．函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围是__________例13．设0＜b ＜1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是________ 例14．数列{}n a 的通项222ππ(cos sin )33n n n a n -=，其前n 项和为S n ，则S n ＝_________．二、解答题：例15．设A ＝{x |－2≤x ≤a }，B ＝{y |y ＝2x ＋3，且x ∈A }，C ＝{z |z ＝x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．例16．已知函数2()||f x x x a ，a ∈R ．（1）当a ≤0时，求证函数()f x 在(－∞,＋∞)上是增函数； （2）当a ＝3时，求函数()f x 在区间[0,b ](b ＞0)上的最大值．例17．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，116(,2)n n n a a a n n +-∈=+*N ≥，若数列{a n +1＋λa n }是等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：当k 为奇数时，111143k k k a a +++<；（3）求证：121111()2n n a a a +++<∈*N ．例18．已知12()|31|,()|39|(0),x xf x f x a a xR ,且112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ⎧=⎨>⎩≤.（1）当1a时,求()f x 在1x 处的切线方程；（2）当29a ≤时,设2()()f x f x 所对应的自变量取值区间的长度为l (闭区间[,]m n 的长度定义为nm )，试求l 的最大值；（3）是否存在这样的a ，使得当[2,)x ∈+∞时,2()()f x f x ?若存在,求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案例1解析：①当a ＜0时，B ＝∅，符合题意；②当a ≥0时，B ≠∅，B ＝{x|3－a ≤x ≤3＋a }，由A B ⊇得3434a a --⎧⎨+⎩≥≤，解得0≤a ≤1，综上所述a ≤1．例2解析：①a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1，则可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )＋2a ，解得a ＝－32，与a ＞0矛盾，舍去；②a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1，则－(1－a )＋2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34；所以a ＝－34．例3解析：f (x )＝kx 2－2kx ＝k (x －1)2－k ，①当k ＞0时，二次函数开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝3k ＝3，解得k ＝1； ②当k ＜0时，二次函数开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝－k ＝3，解得k ＝－3 ③当k ＝0时，显然不成立．∴综上所述{1，－3}例4解析：当双曲线焦点，在x 轴上，b a ＝34，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝916，∴e 2＝2516，∴e ＝54；当双曲线焦点在y 轴上，b a ＝43，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53．例5解析：①当a ＞0时，需x －b 恒为非负数，即a ＞0，b ≤0， ②当a ＜0时，需x －b 恒为非正数． 又∵x ∈[0，＋∞)，∴不成立．综上所述，由①②得a ＞0且b ≤0．例6解析 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32；当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝32q 2，代入上式，得32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，即1q 2＋1q －2＝0，解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)． 因为q ＝－12，所以a 1＝32×(－12)2＝6，综上可得a 1＝32或6.例7解析 分0＜a ＜1与a ＞1两种情况讨论，画出图象，由图象知a 应满足的条件是⎩⎨⎧0<a <10<2a <1⇒0＜a ＜12．例8解析：①当斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，若直线与圆相切，则2|24|21k k -++=，解得k ＝34，所以切线方程是3x －4y ＋10＝0；②当斜率不存在时，易得切线方程是x ＝2．例9解析 即f (x )＝(a －1)x 2＋ax －14＝0有解，①当a －1＝0时，满足题意；②当a －1≠0时，只需Δ＝a 2－(a －1)＞0，解得252522a ---+<<； 综上所述，a 的取值范围是252522a ---+<<或a ＝1． 例10解析：先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：S 1＝2×12×4a ×3a ＋(3a ＋4a ＋5a )×4a＝12a 2＋48；再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积： 例10 图①若AC ＝5a ，AB ＝4a ，BC ＝3a ，则四棱柱的全面积S 2＝2×4a ×3a ＋2(3a ＋4a )×2a ＝24a 2＋28；②若AC ＝4a ，AB ＝3a ，BC ＝5a ，则四棱柱的全面积S 2＝2×4a ×3a ＋2(3a ＋5a )×2a ＝24a 2＋32；③若AC ＝3a ，AB ＝5a ，BC ＝4a ，则四棱柱的全面积S 2＝2×4a ×3a ＋2(4a ＋5a )×2a＝24a 2＋36；又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a 2＋28＜12a 2＋48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜153． 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，153．例11解析：由f (0)＝a ＋b ＝1，f (π2)＝a ＋c ＝1，得b ＝c ＝1－a ，f (x )＝a ＋(1－a )(sin x ＋cos x )＝a ＋2(1－a )sin(x ＋π4)，∵ππ3ππ,sin()144424x x +∴+≤≤≤， ①当a ≤1时，1≤f (x )≤a ＋2(1－a )，∵|f (x )|≤2，∴只要a ＋2(1－a )≤2解得a ≥－2，∴－2≤a ≤1；②当a ＞1时，a ＋2(1－a )≤f (x )≤1，∴只要a ＋2(1－a )≥－2，解得a ≤4＋32, ∴1＜a ≤4＋32，综合①,②知实数a 的取值范围为[－2，4＋32]． 例12解析：①当m ＝0时，f (x )＝1－3x ，其图象与x 轴的交点为(13,0)，满足题意；②当m ＞0时，由题意得0,0302m m m >∆⎧⎪-⎨->⎪⎩≥，解得0＜m ≤1；③当m ＜0时，由题意得0,010m m<∆⎧⎪⎨<⎪⎩≥，解得m ＜0；所以m 的取值范围是m ≤1例13解析：原不等式化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]＞0，①当a ≤1时，易得不合题意； ②当a ＞1时，－b a －1＜x ＜b a ＋1，由题意0＜ba ＋1＜1，要使不等式解集中恰好有3个整数，则－3≤－ba －1＜－2，整理得2a －2＜b ≤3a －3，结合题意b ＜1＋a ，有2a －2＜1＋a ，∴a ＜3，从而有1＜a ＜3．例14解析：因为22ππ2πcos sin cos333n n n -=，所以{22ππcos sin 33n n -}是以3为周期的数列，因此，在数列求和时应分三类进行讨论：①当3()n k k ∈=*N ，时，312345632313()()()k k k k S a a a a a a a a a --+++++++++=2222222221245(32)(31)(3)(6)((3))222k k k ++-+--++-+++-+=1331185(94)2222k k k -++++==； ②当31()n k k -∈=*N 时，3133(49)2k k k k k S S a ---==；③当32()n k k -∈=*N 时，2323131(49)(31)132122236k k k k k k k S S a k -------+--====-综上所述，1(32)36(1)(13)(31)6(34)(3)6n n n k n n S n k n n n k ⎧--=-⎪⎪+-⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩=(k ∈*N )例15解 ∵y ＝2x ＋3在[－2，a ]上是增函数，∴－1≤y ≤2a ＋3，即B ＝{y |－1≤y ≤2a ＋3}．作出z ＝x 2的图象，该函数定义域右端点x ＝a 有三种不同的位置情况如下：①当－2≤a ＜0时，a 2≤z ≤4，即C ＝{z |a 2≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图1可知，则必须2a ＋3≥4，得a ≥12，这与－2≤a ＜0矛盾．②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4，即C ＝{z |0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图2可知，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3≥4，0≤a ≤2，解得12≤a ≤2；③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ＝{z |0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B ，由图3可知，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2a ＋3，a ＞2，解得2＜a ≤3；④当a ＜－2时，A ＝∅，此时B ＝C ＝∅，则C ⊆B 成立．综上所述，a 的取值范围是(－∞，－2)∪[12，3]．例16解：（1）∵a ≤0，∴x 2－a ≥0，∴f (x )＝x (x 2－a )＝x 3－ax ，f '(x )＝3x 2－a ， ∵f '(x )≥0对x ∈R 成立，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． （2）解：当a ＝3时，f (x )＝x |x 2－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 3，当－3＜x ＜3，x 3－3x ，当x ≤－3，或x ≥3．（i ）当x ＜－3，或x ＞3时，f '(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)＞0． （ii ）当－3＜x ＜3时，f '(x )＝3－3x 2＝－3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f '(x )＞0；当－3＜x ＜－1，或1＜x ＜3时，f '(x )＜0．所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－3]，[－1，1]，[3，＋∞)； f (x )的单调递减区间是[－3，－1]，[1，3]． 由区间的定义可知，b ＞0．①若0＜b ≤1时，则[0，b ]⊂[－1，1]，因此函数f (x )在[0，b ]上是增函数， ∴当x ＝b 时，f (x )有最大值f (b ) ＝3b －b 3．②若1＜b ≤3时，f (x )＝3x －x 3在[0，1]上单调递增，在[1，b ]上单调递减，因此，在x ＝1时取到极大值f (1) ＝2，并且该极大值就是函数f (x )在区间[0，b ]上的最大值． ∴当x ＝1时，f (x )有最大值2．③若b ＞3时，当x ∈[0，3]时，f (x )＝3x －x 3在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此，在x ＝1时取到极大值f (1)＝2，在x ∈[3，b ]时，f (x )＝x 3－3x 在[3，b ]上单调递增，在x ＝b 时，f (x )有最大值f (b )＝b 3－3b ．（i ）当f (1)≥f (b )，即2≥b 3－3b ，b 3－b －2b －2≤0，b (b 2－1)－2(b ＋1)≤0，(b ＋1)2(b －2)≤0，b ≤2．∴当3＜b ≤2时，在x ＝1时，f (x )取到最大值f (1)＝2． （ii ）当f (1)＜f (b )，解得b ＞2，∴当b ＞2时，f (x )在x ＝b 时，取到最大值f (b )＝b 3－3b ．综上所述，函数y ＝f (x )在区间[0，b ]上的最大值为y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧3b －b 3，0＜b ≤12，1＜b ≤2，b 3－3b ，b ＞2．例17 解：（1）∵数列{a n +1＋λa n }是等比数列，∴1111116(1)6n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a λλλλλλ+-----++++++++==1161(1)n n n n a a a a λλλ--+++⋅+=为常数，∴61λλ+=，解得2λ=或3λ-=． 当2λ=时，数列{a n +1＋2a n }是首项为15，公比为3的等比数列，则112153n n n a a -++⨯=①， 当3λ-=时，数列{a n +1－3a n }是首项为－10，公比为－2的等比数列，则113(10)(2)n n n a a -+--⨯-=②，∴①－②得：3(2)n n n a --=；（2）当k 为奇数时，1111111134[87()]114114203323233(32)(32)k k k k k k k k k k k k k k k a a ++++++++-⋅+-+-<+-⋅+-==,∴111143k k k a a +++<； （3）由（2）知k 为奇数时，11111411333k k k k k a a +++++<=， ①当n 为偶数时，212111111111(1)333232n n n a a a +++<+++-<=；②当n 为奇数时，211121211111111111111(1)333232n n n n n a a a a a a a ++++++<++++<+++-<=； ∴121111()2n n a a a +++<∈*N ． 例18解:（1）当1a =时,2()|39|x f x =-.因为当3(0,log 5)x ∈时,1()31x f x =-,2()93x f x =-, 且3log 512()()2310231025100x f x f x -=⋅-<⋅-=⋅-=, 所以当3(0,log 5)x ∈时,()31x f x =-,且31(0,log 5)∈ 由于()3ln3x f x '=,所以(1)3ln3k f '==,又(1)2f =,故所求切线方程为2(3ln3)(1)y x -=-, 即(3ln3)23ln30x y -+-= （2）因为29a <≤，所以33990log log 2a <≤，则 ① 当39log x a≥时,因为390x a ⋅-≥,310x ->， 所以由21()()(39)(31)(1)380x x x f x f x a a -=⋅---=--≤，解得38log 1x a -≤， 从而当3398log log 1x a a -≤≤时,2()()f x f x =． ② 当390log x a<≤时,因为390x a ⋅-<，310x -≥，所以由21()()(93)(31)10(1)30x x x f x f x a a -=-⋅--=-+≤，解得310log 1x a +≥， 从而当33109log log 1x a a<+≤时,2()()f x f x =， ③当0x <时，因为21()()(93)(13)8(1)30x x x f x f x a a -=-⋅--=-->, 从而2()()f x f x = 一定不成立，综上得,当且仅当33108[log ,log ]11x a a ∈+-时，2()()f x f x =，故33381042log log log [(1)]1151l a a a =-=+-+-，从而当2a =时,l 取得最大值为312log 5．（3）“当[)2,x ∈+∞时,2()()f x f x =”等价于“21()()f x f x ≤对[)2,x ∈+∞恒成立”,即“|39||31|31x x x a ⋅--=-≤(*)对[)2,x ∈+∞恒成立” ，① 当1a ≥时，39log 2a≤，则当2x ≥时,39log 39390xa a a ⋅-⋅-=≥，则(*)可化为3931x x a ⋅--≤，即813x a +≤，而当2x ≥时，8113x +>，所以1a ≤，从而1a =适合题意．② 当01a <<时,39log 2a >.⑴当39log x a >时，(*)可化为3931x x a ⋅--≤，即813x a +≤,而8113x +>，所以1a ≤，此时要求01a <<；⑵当39log x a =时，(*)可化为90311x a-=-≤,所以a R ∈，此时只要求01a <<；⑶当392log x a <≤时，(*)可化为9331x x a -⋅-≤,即1013x a -≥，而101139x -≤，所以19a ≥，此时要求119a <≤；由⑴⑵⑶，得119a <≤符合题意要求.综合①②知,满足题意的a 存在,且a 的取值范围是119a ≤≤．。