切线和切线性质定理

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(完整)圆切线证明的方法

切线证明法切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线．理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。

关于圆的切线的各种定理

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l⊥O A，点 A 在⊙O 上∴直线l 是⊙O 的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA 是⊙O 的半径，直线l 切⊙O 于点 A∴l⊥O A（切线性质定理）推论 1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA 、PB 分别切⊙O 于A、B 两点∴PA=PB ，∠APO= ∠BPO （切线长定理）证明：连结OA 、OB∵直线PA 、PB 分别切⊙ O 于A、B 两点∴OA ⊥AP 、OB ⊥PB∴∠OAP= ∠OBP=90 °弦切角（即图中 ∠ ACD) 等于它所夹的弧弧的读数的一半等于完整，图中没有连结 1/2 所夹的弧的圆心角 OC] ( 弧 AC) 对的圆周角等于所夹的 [注，由于网上找得的图不是很几何语言： ∵∠ ACD 所夹的是弧 AC∴∠ ACD= ∠ABC=1/2 ∠ COA=1/2 弧 AC 的度数 ( 弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言： ∵∠ 1 所夹的是弧 MN ， ∠ 2 所夹的是 PQ ，弧 MN = 弧 PQ∴∠ 1= ∠ 2证明：作 AD ⊥EC∵∠ ADC=90 °∴∠ ACD+ ∠ CAD=90 °在△OPA 和△OPB 中：∠OAP= ∠OBPOP=OPOA=OB=r∴△OPA ≌△OPB （ HL ）∴PA=PB ，∠APO= ∠BPO弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1））顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；（2））角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3））角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。

24.2.2(4)---切线的性质定理(1条切线)

24.2.2(4)---切线的性质定理一．【知识要点】1.切线的性质定理：连切点得垂直;2.知切线连切点，过圆心作弦的垂线得矩形.二．【经典例题】1.如图,△ABC内接于圆☉O,CT切☉O于点C,∠ABC=100°,∠BCT=40°,则∠AOB=_______.2.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M、N 两点．若点M的坐标是(2，－1)，则点N的坐标是( )A．(2，－4) B．(2，－4.5)C．(2，－5) D．(2，－5.5)3.如图,△ABC为⊙O的内接于三角形,过A作⊙O的切线PA,若∠C=35°,求∠PAB的度数.4.如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°.O是AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于点D与点E.点F是⊙O与AB的一个交点，连结DF并延长交CB的延长线于点G，则CG＝________.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接BE 。

（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）求证：△PCF 是等腰三角形；（3）若∠BEC=30°,求证：以BC 、BE 、AC 为边的三角形是直角三角形。

的O 外一点，切O 于点A ，是O 的弦，AB 连接PB ，则PB=______________.7.如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是_________.8.如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 与⊙O 相切于点T ，过A 点作AC ⊥PQ 于C 点，交⊙O 于D 点. (1) 求证:AT 平分∠BAC;(2) 若2,AD TC ==求⊙O 的半径.9.已知AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 切线，BE ⊥CD 于C. (1)如图1，若CD=4，BE=6，求⊙O 的半径; (2)如图2，若CE=2，BE=6，求CD 的长; (3)如图3，若CE=1，CD=2，求BD 的长.10.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD交⊙O 于E ，若10,AB BC ==求AE 的长.11.如图，点O 是△ABC 的边AB 上的一点，以OB 为半径的⊙O 交BC 于D ，过点D 的切线交AC 于E,且DE ⊥AC.（1）求证：AB=AC.（2）若EC=1，AB=10，DC=OB ，求⊙O 的半径。

初中数学切线的性质和判定

图29－3
线的性质和判定
解析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．

24.2.2.3圆的切线及切线长定理

切线长定理的拓展
A
D
OHຫໍສະໝຸດ CPB（1）写出图中所有的垂直关系（2）图中有哪些线段相等(除半径外)、弧相等？
o．
．
o．
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
． o
A B B
． o
A
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
外接圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O与 BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝ 13厘米,求AF、BD、CE的长。
A E F B D O C
小结：
（1）切线长定理。（2）连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线。
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
关键是作辅助 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 线~ 根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又又OA=OB，OP=OP，有什么关系？
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
⌒
P
A
O
P
B
• 切线长定理：
•
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
复习：
切线的判定：
切线的性质：
问题：
过平面内的一点作圆的切线，可以作出几条切线？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P

切线的判定方法三种

切线的判定方法三种
三种判定方法：
1、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

2、和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

九年级数学切线的概念判定性质

且AD:DC=2:1.已知∠C=450, A
∠ADB=600.求AB是
D
△BCD的外接圆的切线.
B O
C
6.如图,在△ABC
B
中,∠C=900,⊙O切
AB于D,切BC于E,
D
切AC于F,求∠EDF E O
的度数.
CF A
7.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O 于B,⊙O的弦AD//OC.
⑴求证:DC是⊙O的切线;
⑴若BC=√3,CD=1,求⊙O的半径; A
⑵若取BE的中点F,连DF.
求证:DF是⊙O的切线.
DO
⑶过点D作DG⊥BC于
M
G,OE与DG交于M,试 C
EGF B
判断DM与GM是否相等,并说明理由.
；门口地垫
sub95rvs
那么辛苦。这还能打贼，不简单呢！”“这么说，那贼没有得手吧！”“哪里啊！那贼不但抢走了老梁头家积攒下来的所有银子，而且他老俩口都伤得很重呢，老婆子到现在还没有醒过来。听说送这兄妹三个回来的两个酒店伙计也被打了呢。”“这贼可真够可恨的。唉，这老梁头俩口子，本来就够可怜的了。”“唉，这就叫‘屋漏偏遭连阴雨’啊，他们的命太苦嘞！”“我说，这兄妹仨每天都在老梁头家的小饭店吃早点呢，今儿个可不现成了。你看，这都快到酒店的饭点儿了，他们还睡不醒。”“你现在就去做点儿简单的带菜面汤吧。再等一等，如果他们还不醒，就叫一叫吧，不能误了酒店的事情。唉，这兄妹仨……”耿正听到这里，心里涌上了一阵感激之情，眼眶里就有些发热了。心想：人与人之间的差距怎么就这么大呢？那个残忍的窃贼，这俩善良的老人……又回想昨儿晚上在“盛元酒店”里发生的一切，耿正的心里感慨万千……妹妹那慷慨无畏的言词和如泣如述的演唱……想着想着，耳边似乎又听到了一阵阵雷鸣般的掌声和欢呼声……妹妹一个女娃儿家的，多不容易，也多有才情啊……妹妹还说了，都是被逼出来的……哼，那帮恶人，居然把我们逼得没有了退路！一会儿，又想到通情达理的酒店老板、仗义的老者、还有善良的客人门……看来这世上还是好人多啊！再细细看着还在身边酣睡的弟弟，耿正的眼泪不由地噗噜噜落下来……爹啊，你还活着吗？你在哪里啊？你要是在我们的身边，我们就不会遭遇昨儿晚上那个几乎就过不去了的坎儿啊！爹啊，如果你还活着，就一定记着，咱们是要到景德镇的啊！我们已经来了，而且可以立足了，你可一定要来这里找我们啊！爹啊，在那场突如其来的可怕洪水中，你还有可能逃生吗？如果你已经不在人世了，你被卷到了哪里？可有人为你收尸？作为你的长子，我连你的尸骨也找不到……将来回去了可怎么向娘交代哇！耿正的眼泪犹如决堤的洪水，噎得他有些喘不上气来……忽然听到套间里妹妹似乎在起床下地，耿正赶快用力咬住嘴唇强忍悲痛，擦干眼泪轻轻翻过身去装睡。听到妹妹轻轻地拉开门，又轻轻地从外面拉上。听声音是去茅房了。身后弟弟睡醒了，轻轻推一推他，小声说：“哥哥，醒醒！”耿正赶快眨眨眼，调节一下面部肌肉，慢慢地转身睡正了伸着懒腰说：“哥醒了有一会儿了，怕弄醒你呢，才没敢动啊！”耿直奇怪地问： “那你就不怕我们起晚了耽误事儿？”耿正说：“你忘记了吗？咱们今儿个不用去酒店演唱了！”耿直怔了一下，高兴地说： “是啊，我怎么忘记了呢！太好了，我们再也不用去酒店演唱了！”耿正转过身来看着弟弟那高兴的样子，说：“这么高兴啊！你不是很喜欢说唱吗？”耿直认真地说：“哥哥，我是很喜欢说唱呢，但

关于圆的切线的各种定理

它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．弦切角定理弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ∴∠1=∠2证明：作AD⊥EC∵∠ADC=90°∴∠ACD+∠CAD=90°∵ED与⊙O切于点C∴OC⊥ED∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD∵OC=OA=r∴∠OCA=∠OAC∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD又∵∠ACD=90°-∠CAD∴∠ACDC=1/2∠COA∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

24.2.2切线的判定、性质和切线长定理

例2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB 于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD A ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
D O E
B
C
例1与例2的证法有何不同?
D O A E A C O B
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
3.切线长和切线长定理。 4.三角形的内切圆，三角形的内心
作业： 1.《书本》P101 第4、5、6题 2.《优化设计》P52~53
切线的判定和切线长定理
观察与思考
问题2：砂轮转动时，火花问题1：下雨天，转动的雨伞是沿着砂轮的什么方向上的水滴是顺着伞的什么方飞出去的? 向飞出去的?
想一想过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
A
O
B
如图，P是 ⊙O外一点， PA，PB是 ⊙O的两条切线，我们 P 把线段PA， PB叫做点P 到⊙O的切线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
A 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I。

切线定理

切线定理切线的判定和性质切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（1）证明一条直线是圆的切线时：直线与圆有交点时，连接交点与圆心，证垂直；直线与圆“无”交点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于半径。

（2）已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心的辅助线。

三角形的内切圆1.三角形内切圆的作法如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？2.三角形内切圆的相关概念与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

例1 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

例2 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

例3 直线BC与半径为r的相交，且点O到直线BC的距离为5，求r的取值范围。

例4 一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈。

圆心经过的距离是多少？例5 PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点，若∠APB=400，求∠ACB的读数。

例6 点O是∠DPC的角平分线上的一点，⊙O与PD相切于A，求证：PC与⊙O相切。

例7 如图，⊙O是△ABC的内切圆，已知∠A=700，求∠BOC的度数。

例8 如图PA、PB分别切圆O于A、B，并与过切点E切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，△PCD的周长是。

1下面说法正确的是（）A.与三角形两边相切的圆一定是三角形的内切圆B.经过三角形的三个顶点的圆一定是三角形的内切圆C.任意一个三角形都有且只有一个内切圆D.任意一个三角形都有无数个内切圆2.如图，△ABC的内切圆的半径为2cm，三边的切点分别为D、E、F，△ABC的周长为10cm，那么S△ABC= cm2。

切线的性质

（1）若∠CPA=30°，求PC的长。（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交
AC于点M。∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，求∠ CMP的大小。
C
M
A
●
O
B
P
一定垂直
.O
L A
⊙O与直线L相切于A点，则半径OA 与切线L有怎样的位置关系？为什么？垂直
反证法：假设直线l与⊙O相切，
O
OA与直线L不垂直
切线的性质定理:
TA
l
圆的切线垂直于过切点的半径
几何语言：如图， ∵ l 与⊙O相切于点A
∴ OA⊥ l
探索切线性质
C
一条直线满足
②垂直于切线
●O
①过圆心
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。
3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
O AT B
这个命题的题设与结论分别是什么？
OT是半径 OT⊥AB于T
∴直线AB是切线
将上页思考中的问题反过来,如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?
●
例1：AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD 的形状,并说明理由.
A
D
C
O
B
例2:AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O 于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,求证： ∠ADE=90°.
例3：两个同心圆中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，判断CD与小圆的位置关系，并说明理由。

切线的判定与性质课件

学习目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点）
切线的判定与性质
1
导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线的判定与性质
19
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，C
O
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
则PA与☉O的位置关系是相切 .
A
D C
P
O
PA O
B
第2题
第3题
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，
则∠ADP的度数为（ C ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
切线的判定与性质
23
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
切线的判定与性质
O
C
B
8
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点， ⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．

与切线有关的定理

与切线有关的定理
1.【切线性质定理】“二推一”(直线过圆心、过切点、垂直于切线)
①切线垂直于经过切点的半径
②过圆心垂直于切线的直线必经过切点
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
2.【切线判定定理】
①定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
②过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线有点连半径
③和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线无点作垂线
（1）求证：；
（2）若，求的长．
4.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线．
5.如图，在中，，平分交于点，点在边上且．
（1）判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长．
6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
15．已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若，则BD的长为（）
A． B． C． D．
16．如图，是的直径，是的切线，点在上，，则的长为（）
A． B． C． D．
17.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．
解答题
1.已知：如图，为的直径，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：．
2.如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．
（1）∠E=度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；

切线与切线的性质定理PPT教学课件

●O
●O
相交
相切
相离
直线和圆有哪几种位置关系? 有三种位置关系:
直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线
叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.
想一想P114 5
直线与圆的位置关系量化揭驶密的向彼胜岸利
如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系?
r ●O ┐d
相交
r ●O
１、岩石的可溶性：最主要的可溶性岩石是碳酸盐
类岩石，如石灰岩、白云岩２、岩石的透水性岩石空隙和裂隙的发育程度
３、水的溶蚀力：水中所含的二氧化碳、有机酸和无机酸的数量（正相关）
４、水的流动性：（地表水和地下水的流动性有取决于大气降水、地面坡度以及岩石裂隙的类型与连通性。）
喀斯特作用的进行主要取决于岩石的可溶性和岩石的透水性
假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于
CD,垂足为M,
B
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离
小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相
交.这与已知条件“直线与⊙O相
●O
切”相矛盾.
所以AB与CD垂直.
C
AM D
老师期望:
你能看明白(或掌握)用反证法说理的过程.
议一议 P11610
切线的性质定理
圈层相互作用案例分析 —剖析桂林“山水”的成因
1.喀斯特名称的来源和发展
喀斯特：原南斯拉夫西北部的一个石灰岩高原的名称，那里发育着各种奇特的地貌。
19世纪末：欧洲学者借用该地名来称呼石灰岩地区的地貌水文现象和景观。
现在：喀斯特成为世界各国通用的专门术语。
2.喀斯特地貌
1、是一种独特的地貌类型 2、喀斯特作用的本质：含有二氧化碳的