线性规划问题及其数学模型

1.2 图解法
例1是二维空间（平面）线性规划问题， 可用作图法直观地来表述它的求解。 因存在 x1 , x2 0 必须在直角坐标的第1象限内作图， 求解。
图1-2
m ax z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 2 4x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0
xk
(3) 若存在取值无约束的变量xk,可令, ' " ' " 其中 。 x x x ,x 0
k k
k k
例4 将下述线性规划问题化为标准型
m in z x1 2 x2 3x3 x1 x2 x3 7 x x x 3 1 2 3 3 x x x 5 1 2 3 x1 , x2 0; x3为无约束
处理的步骤：
(1) 用x4-x5替换x3，其中x4，x5≥0； (2) 在第一个约束不等式≤号的左端加入松 弛变量x6； (3) 在第二个约束不等式≥号的左端减去剩 余变量x7； (4) 令z′= -z，把求min z 改为求max z′，即 可得到该问题的标准型
例4的标准型
max z ' x1 2 x2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7 7 x1 x2 ( x4 x5 ) x6 x7 2 x1 x2 ( x4 x5 ) 5 3 x1 x2 2( x4 x) x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0
运筹学
（第二版）
刁在筠等 编
第1章 线性规划与 单纯形法
第1节 线性规划问题 及其数学模型
高等教育出版社
二. 线性规划与目标规划
第1章 线性规划与单纯形法 第2章 对偶理论与灵敏度分析 第3章 运输问题 第4章 目标规划
第1章 线性规划与单纯形法
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题的几何意义 单纯形法 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 应用举例
建模型之前的分析和计算
设： 第一化工厂每天处理工业污水量为x1万立方米， 第二化工厂每天处理工业污水量为x2万立方米
( 2 x1 ) 2 经第2工厂前的水质要求： 500 1000 经第2工厂后的水质要求： [ 0.8( 2 x1 ) ( 1.4 x2 )] 2 700 1000
1.1 问题的提出 从一个简化的生产计划安排问题开始
例1
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种 产品，已知生产单位产品所需的设备台时 及 A 、 B 两种原材料的消耗，如表 1-1 所示。
资源 产品
设
备
原材料 A 原材料 B
Ⅰ 1 4 0
Ⅱ 2 0 4
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利 最多?
T
决策变量向量： X x1 , x2 , , xn
如何变换为标准型：
(1) 若要求目标函数实现最小化，即min z=CX。这 时只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化， 即令z′= -z，于是得到max z′= -CX。这就同标准 型的目标函数的形式一致了。 (2) 约束方程为不等式。这里有两种情况：一种是 约束方程为“≤”不等式，则可在“≤”不等式的 左端加入非负松弛变量，把原“ ≤ ”不等式变为 等式；另一种是约束方程为“ ≥ ”不等式，则可 在“≥”不等式的左端减去一个非负剩余变量 (也 可称松弛变量 ) ，把不等式约束条件变为等式约 束条件。下面举例说明。
第1节 线性规划问题及其数学模型
• • • • 1.1 1.2 1.3 1.4 问题的提出 图解法 线性规划问题的标准形式 线性规划问题的解的概念
第1节 线性规划问题及其数学模型
线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理论 上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。特别是 在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的 线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。 从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交 通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发 挥作用。它已是现代科学管理的重要手段之一。解线性 规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法 。
它们的对应关系可用表格表示：
决策变量
活
1 2
x1 a11 a21
x2 a12 a22
xn a1n a2 n
资源
b1 b2 bm
动 m
价值系数
am1 am 2 amn c1 c2 cn
线性规划的一般模型形式
目标函数 m ax(m in)z c1 x1 c2 x2 cn xn 约束条件 a11 x1 a12 x2 a1n xn ( , ) b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( , ) b2 ( 1.2 ) ( 1.3 ) am1 x1 am 2 x2 am xn ( , ) bm x1 , x2 , , xn 0 ( 1.1 )
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14
目标函数
max z 2 x1 3x2
2 z x2 x1 3 3 表示一簇平行线
可能出现的种情况
（1）无穷多最优解(多重最优解)，见图1-4 （2）无界解，见图1-5-1 （3）无可行解，见图1-5-2
图1-4
无穷多最优解(多重最优解)
满足约束条件(1-5)，(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到 最大值的可行解称为最优解。
B 0 B是系数矩阵A中的m m阶非奇异子矩阵
称B为线性规划问题的基。 a11 a12 a1m a21 a22 a2 m B P , P , P 1 2 m a a a mm m1 m 2 Pj( j 1,2 , m )为基向量， x j( j 1,2 , m )为基变量。
(2)要有各种资源和使用有关资源的技术数据 ，创造新价值的数据；
aij ; c j ( i 1,m; j 1,n )
共同的特征（继续）
(3) 存在可以量化的约束条件，这些约束条 件可以用一组线性等式或线性不等式来表 示; (4) 要有一个达到目标的要求，它可用决策 变量的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化 或最小化。
例3 将例1的数学模型化为标准型。
例1的数学模型,加松驰变量后 m ax z 2 x1 3x2 m ax z 2 x1 3x2 x3 x4 x5
8 x1 2 x2 x3 x1 2 x2 8 4x 4 x x4 16 16 1 1 4 x x 12 4 x 12 2 5 2 x , x 0 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 , x 0
图1-1
续例2
• 第一 化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污 水 2 万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4 万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到 第二化工厂以前，有 20% 可自然净化。根据环保要 求，河流中工业污水的含量应不大于 0.2%。这两个 工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处 理工业污水的成本是1000元/万立方米。 • 第二 化工厂处理工业污水的成本是 800 元 / 万立方 米。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应 处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污 水费用最小。
该问题的可行域为空集，即无可行解，
图1-5-2 不存在可行域
x1 1.5x2 8
增加的约束条件
1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数： max z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 约束条件： a x a x a x b m1 1 m2 2 mn n n x1 , x2 , , xn 0
目标函数 max z=2x1+4x2
图1-5-1 无界解
m ax z x1 x2 2 x1 x 4 x1 x2 2 x ,x o 1 2
无可行解
当存在矛盾的约束条件时，为无可行域。 如果在例1的数学模型中增加一个约束条件:
x1 1.5x2 8
如何安排生产，使利润 最大,这是目标。
数学模型
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x 12 2 x1 , x2 0
例2. 简化的环境保护问题 靠近某河流有两个化工厂(见 图1-1)，流经第一化工厂的河流 流量为每天500万立方米，在两 个工厂之间有一条流量为每天 200万立方米的支流。
用矩阵表示为：
'' M1 :目标函数： m ax z CX
AX b 约束条件： X 0 a11 系数矩阵： A a m1 P 1 ,P 2 , P n ; 0 b1 零向量： 0 ；资源向量： b 0 b m a1n amn
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
设 x1 , x2分别表示计划生产 I, II产品的数量， 称它们为决策变量。
生产x1 , x2的数量多少，受资源拥 有量的限制, 这是约束条件。即 x1 2 x2 8;4 x1 16;4 x2 12
生产的产品不能是负值 ,即x1 , x2 0