结构动力学(哈工大结构动力学)

§1.2 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构 上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分 析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐 标和时间的函数。
二.动荷载的分类
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
P(t ) P(t )
l Pl/4
l/2
EI
l/2
2l 3 11 3EI
Pl 3 1P 16 EI
2l 3 l3 (t )] 1P (t )] y(t ) 11[m y [m y P(t ) 3EI 16 EI
例3.
P(t )
l
EI
m
EI1
EI
层间侧移刚度
对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), l 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. 24 EI
P(t )
EI
m
EI1
EI
l
k
11
1
l3
1
k
EI1
EI EI
1 11 k
12EI / l 3 12EI / l 3
P(t )
(t ) m y
l
(t )] y(t ) 11[ P(t ) m y
l3 11 3EI
柔度系数
3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) m y l
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
P(t )
m
(t ) y
(t ) P(t ) m y
运动方程
P(t )
惯性力
(t ) m y
(t )] 0 P(t ) [m y
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
(t )] 11[ P(t ) m y
i ( x) ---基函数
ai ---广义坐标
3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实 际结构离散化为有限个单元的集合， 将无限自由度问题化为有限自由度 来解决。
m
三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数；
有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
1
R2 (t )
k 21
k 22
k12
y1 (t )
R1 (t )
=
1
k11
y1
k 21
k11
y2
k 22
k12
R1 P 1 m1 y1 k11 y1 k12 y2 2 k21 y1 k22 y2 R2 P2 m2 y
k2
k1
k2
1 k11 k12 y1 y P1 m1 0 2 k21 k22 y2 y P2 0 m2 k y P 刚度矩阵 m y
1
2 (t ) m2 y
y P m y
加 速 度 向 量
11

21
1
1 (t )] [ P(t ) m1 y
位移 向量 柔度矩阵 荷载向量 质量 矩阵
1 (t )] [m1 y
12
22
4l 3 11 22 243EI
§1.3 振动系统的力学模型及其分类
振动系统的基本参数：质量、阻尼、弹性。 一、离散系统、连续系统
二、线性系统、非线性系统 三、确定性系统、非确定性系统
§1.4 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体 系的动力自由度数。
单自由度体系、有限自由度体系、无限自由度体系 二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有： 集中质量法 广义坐标法 有限单元法
7l 3 12 21 486 EI
例7. P (t ) 2
m2
EI1
y2 (t )
P2 (t )
y2 (t )
2 (t ) m2 y 1 (t ) m1 y
k2 P 1 (t )
k1
y2 (t )
m1
EI1
y1 (t )
P 1 (t )
y1 (t )
第一章 绪论
§1.1 结构动力学的研究内容和任务
人类为了生产、生活的需要，需要采用天然或人工 材料建造各种各样的建筑物和构筑物（结构）。这些建 筑物在使用过程中要受到各种外界作用（荷载）。在这 些作用下，结构会产生内力、变形等（反应）。为了节 省造价、保证安全、提高寿命并有效地实现使用功能， 需要控制结构的反应，这就需要研究结构、作用、反应 的关系。
结构动力学
哈尔滨工业大学 土木工程学院 结构力学教研室 张金生 2004年7月
结构动力学
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 绪论 单自由度体系的振动分析 有限自由度体系的振动分析 实用计算方法 无限自由度体系的振动分析 动力有限元分析 分析动力学
主要参考书
《结构动力学》克劳夫 王光远等译 科学出版社 《结构动力学》赵光恒主编 水利水电出版社 《建筑结构振动计算》郭长城主编 建工出版社 《建筑结构振动计算续编》郭长城编著 建工出版社 《结构动力学》邹经湘主编 哈工大出版社 《应用分析动力学》王光远编著 科学出版社 《DYNAMICS OF STRUCTURES》Anil K.Chopra
21
1
1 y y1 11 12 P1 m1 0 ( ) 2 y y2 21 22 P2 0 m2 ) y (P m y
11 1 / k1
P(t )
(t ) m y y(t )
1
k11
l
k11
12EI / l 3 12EI / l 3
k11 24 EI / l 3
(t ) m y
(t ) k11 y(t ) P(t ) m y
24 EI y (t ) P(t ) 3 l
例4.
m
l/2 P(t )
EI1
1 y y1 11 12 P 11 12 m1 0 0 m y y 0 2 2 2 21 22 21 22
简记为
1 (t ) m1 y
(t ) m y
1
(t )] y(t ) st 11[ P(t ) W m y
st W 11
11
(t )] y(t ) 11[ P(t ) m y
l3 11 48EI
列运动方程时可不考虑重力影响
48EI (t ) 3 y (t ) P(t ) m y l
k2 P 1 (t )
k1
m1
EI1
y1 (t ) P 1 (t )
y1 (t )
y1 11[ P 1 m 1 y1 ] 12 [ P 2 m2 y2 ] y2 21[ P 1 m 1 y1 ] 22 [ P 2 m2 y2 ]
结构动力学是研究结构、动荷载、结构反应三者关 系的学科。
当前结构动力学的研究内容为:
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别 输入 （动力荷载） 输入 （动力荷载） 结构 （系统） 结构 （系统） 输出 （动力反应） 输出 （动力反应）
例6.
y1 (t )
l/3
1 (t )] 12[m2 2 (t )] y1 (t ) 11[ P(t ) m1 y y
P(t )
m1
EI
l/3
m2 y2 (t )
l/3
1 (t )] 22[m2 2 (t )] y2 (t ) 21[ P(t ) m1 y y
k11 k1 k2 k21 k2 k12 k2
k1 k 2 k 2 k k k 2 2
k22 k2
例7. P (t ) 2
m2
EI1
y2 (t )
P2 (t )
y2 (t )
2 (t ) m2 y 1 (t ) m1 y
第三类问题：荷载识别。
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法。寻找结 构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系， 即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠 性（安全、舒适）设计提供依据。
三、列运动方程例题
例1. m y(t )
EI EI
y(t )
P(t )
=1
11
P(t )
l
(t ) m y
l
l
2l 3 11 3EI 3EI my (t ) 3 y (t ) P(t ) 2l
例2.
y(t )
m y(t )
l
EI
=1
11
1P
P(t)
(t ) m y
例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点 3)
y2
y1
W=2
计轴变时W=2 W=1 不计轴变时
2)
W=2
为减少动力自由度，梁与 刚架不计轴向变形。
弹性支座不减少动力自由度
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
y2
y1
W=2
7)
EI
W=1
自由度数与质点个数无关， 但不大于质点个数的2倍。
8) 平面上的一个刚体
11)
W=1
y2

y1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3
10)
12)
m
EI
W=13 W=2
§1.4
体系的运动方程
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述 结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的 有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的 “动静法”。 m
EI EI
(t ) m y
P(t )
y(t ) m (t ) y
P(t )
y(t ) R(t )
l/2
(t ) m y
1
R1P (t )
k11
P(t )
R(t ) 0
k11 y(t ) R1P (t ) 0
P/ 2 R1P m y
k11 24 EI / l 3
EI EI
l l
k2
EI1
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
例5.
P(t )
EI
y (t ) ---P(t)引起的动位移
st
---重力引起的位移
质点的总位移为
st y(t )
Y (t ) y(t ) st
l/2
m
W
l/2
加速度为
(t ) (t ) Y y
二、刚度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
1
y
k11
ห้องสมุดไป่ตู้
k11 y(t )
(t ) k11 y(t ) P(t ) m y
3EI k11 3 刚度系数 l 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) m y l
k11 11 1
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些 几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无 限自由度系统变成一有限自由度系统。
m
2) 广义坐标法
y ( x) ai i ( x) y ( x) ai i ( x)
i 1 i 1 n

m y ( x)
i (0) i (l ) 0
11
22
[P 1 m1 y1 ]
22 1/ k1 1/ k2
21 1 / k1 12 1 / k1
1
1 / k1 1 / k1 1 / k 1 / k 1 / k 1 2 1