结构力学-第十四章 结构动力学2

(
x)dx
2
0l q(x)Y (x)dx
0l m[Y (x)]2 dxmiYi2 9
例12 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2
2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与 第一振型相近
2
120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。 作 法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。
该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。 集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。
例15 试用集中质量法求简支梁自振频率。
m
l
精确解
: 1
9.87 l2
计算公式中得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可 能组合，确实获得了最小的ω2值。
所选的a1，a2，…，an使ω2 获得最小值的条件是
2 0, (i 1,2,, n)
ai
这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式
等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往
m2
可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。
Psint
k2
m1
设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定
k1
P k2 Y2
，再确定
m2
k2
2
吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。
6
例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生 的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN， 问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)
※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件： （铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）
尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。
2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型
相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似 的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高
越准。
12
例14 用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解：悬臂梁的位移边界条件为：
Y=0 Y’=0 （在左端）
设：Y a11 a22 a1x2 a2 x3
m EI
x l
只取第一项 1 x2 1 2
l
代入： kij 0 EIi jdx,
代入频 率方程：
[k] 2[m] 0
称体系在反对称荷载作用下时，只
Y1
D1 D0
,
Y2
D2 D0
不会趋有于当无荷穷载大频，率不与发反生对共称振主，振型的自 共振区振只频有率一相个等。时才发生共振。
4
荷载幅值产生的静位移和静内力 yst1= yst2=P/k 层间剪力: Qst1= P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值
yst2=P/k θ2mY2
根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动 能T 和应变能U 之和应等于常数。 ※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动 能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间 （变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒
EI , m
2
39.84 l2
EI , m
3
88.83 l2
EI m
16
m
l
ml
ml
ml
4
2
4
l/3
l/3
ml ml
E(xI )]2
精dx
确
(mx)]2 d解1x0
例13 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。
h0
解：
截面惯性矩：
I
1
h0
x
3
12 l
单位长度的质量： m h0 x
l
x l
设位移形状函数： Y (x)a(1 x )2 l
满足边界条件：Y (l) 0,Y (l) 0
2 5Eh02 , 1.581h0 E
2l 4
l2
与精确解
1.534h0 l2
E
相比误差为3%
2 0l EI[Y (x)]2 dx
0l m[Y (x)]2 dx
Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲 线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某 种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当 于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。 11
频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形
式。曲率小，拐点少。
4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为
Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，
即
U
1 2
0l
q(
x)Y
k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 ,
Y1
P
k2
D0
2m2
Y2
Pk2 D0
D0 (k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22
k12=－k2
m2
Psint k2
m1
当 k2 m2 2 , Y1 0 , D0 k22 , Y2 P k2
k1
这说明在右图结构上，适当加以m2、k2系统
l
mij 0 mi jdx
k11 4EIl,
m11
ml 5
5
4EIl 2
ml5 5
0 2
20EI ml4
,
1
1 4.472
l2
EI m
其精确解：
1
3.516 l2
EI m
与精确解相比，误差为27%。
14
例14 用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
解： Y a11 a22 a1x2 a2 x3
k
P
yst1
θ2mY1
Y1 P
k
(1
1mk 2
2 12 )(1
2
2 2
)
1
Y2 P
k
(1
2
1 12 )(1
) 2
2 2
2
Q1
1
2m k
(1
2
)
k
层间动剪力:
Q1 P 2m(Y1 Y2 )
P(1
2m k
(
1
2
))
由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。
5
例15-9：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2
2 2
)
0.618 1.618 0.618 1.618
Y1 P
k
1mk 2
(1 2 12 )(1
) 2
2 2
1
Y1
3.0 P
k
2.0
1.0
k
0
m
3.0
-1.0
-2.0
-3.0
Y2 P
k
(1
2
1 12 )(1
2
2 2
)
2
Y2
3.0 P
k
2.0
1.0
k
0
m
3.0
-1.0
两个质点的
-2.0
位移动力系
数不同。
-3.0
当 0.618 k m 1 和 1.618 k m 2时,Y1和Y2 趋于无穷大。 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。
3
也有例外情况
如图示对称结构在对称荷载作用下。
k11 k22 , k12 k21
l/3
与ω2相应的振型是
Psinθt m
l/3
Psinθt m
l/3
Y12 k12
Y1
D1 D0
P1(k
22
D0
22mm22)
D0
Yk212P2DD02
PP2 (kk211 2m1) k21P1
D0 D0
D0 k1 k2 2m1 k2 2m2 k22
m2
Psint k2
m1 k1
当m1=m2=m，k1=k2=k
DYPYPY101k2k1122PDDk11(101(k1k212kD22222P0111222m2kmmk13221Dm22212)2mm)(1k0kk1(12222DY2k2km1202212222m2P)2DDD)P22k02k012PP22DDk1m2m11mm2P2DP1222mk1D0k2(2(k22m021211222(4m21m(1kk22222m(m(112P211242)11122422()m)k(k13(122132mk1kkPPm1222)222222222)22))2mmkk222k)1222
D k11 2m1
k21
k12
k22 2m2
0
如果荷载频率θ与任一个自振频率
ω1、 ω2重合，则D0=0, 当D1、D2
不全为零时，则出现共振现象
1
例：质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2
解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：
k11=k1+k2 , k21=－k2 , k22=k2 , k12=－k2
Y22 k11 22m
=－1
k
22
2 2
m
k11
2 2
m
k12
k21
当θ=ω2 ，D0=0 ，也有：
对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自
D1 P1 k22 2m2 k12P2 振频 P频率率与k22相反等对22时称m才主k发振12P生型共 的0振自；振当频荷率载相 D2 P2 k11 2m1 k21P1 等 P时不k11会发22生m 共k振21P。同0 理可知：对
定律得：
Umax=Tmax
ω
※求Umax ，Tmax 位移幅值 设： y(x,t) Y (x)sin(t )
v y. Y (x) cos(t )
U如TUmm梁aaxx上12120l还1212m0l0l有EE(2xII集)[0lYvm中2d((x2x质xx2y))]Y量2122d2m(xdxi，x2)dcxo12s2s(※Yiin为求t22集频(中)0率lt0lm质m[Y0l(量Ex)()0lIxmYE[)Yi2]处I2([xd(Y的)xxd)位x](2x移d)mx]幅2iYd值i2x8。
(k11 2m1)Y1 k12Y2 P1
y2 (t) Y2 sint
Y1=D1/D0
k21Y1 (k22 2m2 )Y2 P2 Y2=D2/D0
D0
k11
2m1
kห้องสมุดไป่ตู้1
k12
k22 2m2
D1 P1 k22 2m2 k12P2 D2 P2 k11 2m1 k21P1
P2(t) y1(t)
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附 加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y (x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率
2
5
2
ml4
EI ml4
4 6
2 ml4
6
6
2
EI ml4
12
0
求得最 初两个 频率近 似值：
6 EI 7 EI
1
3.533 l2
EI m
2
34.81 l2
EI m
（0.48%）
（58%） 说15 明
2、集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代 替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效 的集中质量法。
取两项
1 x2 12; 2 x3 2 6x
精确解：m1
3.516 EI l 2
EI m
xl2
22.03 l2
EI m
l
代入： kij 0 EIi jdx,
l
mij 0 mi jdx
说求代明2得：入故)R1k频第a)i由jy，二率le于i频g方mφh率—i1程j、：不Rφ：[i准t2kz均法。]近所似得6于4结EE第果IIl一仍l2振然1型6偏2E，E高I由I，ll2它3其们原, 组因合[同m的瑞]第利二法 振mm。65型ll 65自然mm很76ll差76 ，
§14-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动
m1 y..1 k11 y1 k12 y2
..
m2 y2 k21 y1 k22 y2
P01(t) P02 (t)
如 P1(t) P1sint P2 (t) P2 sint
y2(t) P1(t)
在平稳阶段，各质点也作简谐振动： y1(t) Y1 sint
解：1）
g
st
9.81 0.01
31.3
1
s
2n
60
2 300
60
31.4
1
s
频率比在共振区之内应设置吸振器。
2）由
k2
P Y2
弹簧刚度系数为：
k2
1000 0.01
1105
N/m
m2
k2
2
110 5 31.42
=102 kg
Psinθt k2 m2
7
§14-10 计算频率的近似法
1、能量法求第一频率——Rayleigh法
Y (x) q x(l 3 2lx 2 x3 ) 24EI
2
0l qY( 0l mY 2
x)dx (x)dx
q m
x
2l 5 120EI
q 24EI
2
31 630
l
9
9.87 l2
EI m
3）假设 Y (x)asin
第一振型的精确解。
l
2
4EIa2 2l3
4EI
ma2l 2
ml4
29.0l80lE62m9I6[[YY