工科数学分析课件 Chap3第5节 函数的一致连续
函数的连续性共28页PPT资料
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
2020/4/2
函数与极限
1
定义 2
设函数
f
(
x)
在U
(
x 0
)
内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x0 时的极限存在,且等于它在
点 x 0 处的函数值 f ( x0 ),即
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点 x 0处不连续.
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函数与极限
5
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
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函数与极限
9
2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x x0
0
0
义则称点 x0为函数 f ( x)的可去间断点 .
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续.
" "定义 :
0, 0, 使当 x x 时, 0
恒有 f ( x) f ( x0 ) .
2020/4/2
函数的一致连续概念和康托尔定理
第5讲 函数一致连续概念和康托尔定理【点评】函数的“一致连续性”(或“均匀连续性”)是初学者学习微积分的难点。
在一元函数微积分中，讲函数的一致连续概念和康托尔定理是为了证明闭区间上连续函数的可积性。
除数学专业外，其它专业用的微积分教科书中，很少有教科书讲到这些内容，因为这些教科书中都是让学生记住“闭区间上连续函数是可积的”这个结论，而没有给出这个结论的证明。
读者已经知道，函数)(x f 在点0x 是连续的，用“δε-”的话说，就是满足条件：“任意给定正数ε，都有正数0(,)x δδε=，使当||x δ∆≤时，00()()f x x f x ε+∆-≤” 这里的),(0εδδx =(*)不仅与ε有关，而且一般说与点0x 也有关。
例如函数)0(1)(+∞<<=x xx f (见右图) 它在每一点),0(0+∞∈x 都是连续的。
事实上，不妨认为02x x ≥，则||211)()(0200000x x x xx x x x x x f x f -≤-=-=- 因此，对于任意给定的正数ε，只要取正数⎭⎬⎫⎩⎨⎧=εδ2,2min 20xx ，则当0||x x δ-≤时，就有εεδ=⋅≤<-≤-222||2)()(220200200x x x x x x x f x f可见，对于给定的正数ε，0x 越靠近原点O ，能使000()()()f x f x x x x εδδ-≤-≤≤+成立的正数),(0x εδδ=就应当越小；而且不可能有一个与),0(0+∞∈x 无关的正数)(εδδ=，对所有的),0(0+∞∈x 都能成立000()()()f x f x x x x εδδ-≤-≤≤+这就是说，满足连续条件的那个正数),(0x εδδ=，关于所有的),0(0+∞∈x 的“步调”是不一致的，或者说函数()1f x x =在区间),0(+∞内的连续性是不均匀的．．．．。
函数在区间上的“一致连续性”是近代微积分中的重要概念之一，也是初学者学习微积分的难点之一。
函数一致连续性及其应用
1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f . 令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀， 都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。
函数的一致连续性及其应用
函数的一致连续性及其应用本文以函数的连续性为基础，一致连续性的定义为出发点，重点深入分析函数的一致连续性.教材一般只给出定义来判断函数是否一致连续，这对一些函数来说是比较复杂且难以解决的.因此本文主要对一元函数在各种区间上讨论函数的一致连续性的判断条件和方法，以及一些性质和应用，能够在教材的基础上更加全面地了解函数的一致连续性.1.2预备知识为了便于理解,现将本文涉及的一些相关定义和定理罗列如下.定义1.2.1[1]设函数在某上有定义，若，（1-1）则称函数在点连续，若函数在区间上的每一点都连续，则称在上连续.定义1.2.2[2]若函数在区间上有定义，称（1-2）为在区间上的连续模.定义1.3.1[1]设为定义在区间上的函数.若对任给的，存在，使得对任何，只要，就有，（1-3）则称函数在区间上一致连续.注：函数在区间上一致连续表明无论两点，在中处于什么位置，只要它们的距离小于，而这只与有关，就可以使.这个定义是教材中最常用的定义，根据定义还能扩展推理得到更多判断函数一致连续的条件和方法，这些本文后面会逐渐说明.由此，还可以得到函数在区间不一致连续的定义：，对，存在，使得当时，有.（1-4）引理1.2.1[3]有限区间上的一致连续函数必有界.引理1.2.2[1]设区间的右端点为，区间的左端点也为，若分别在和上一致连续，则在上也一致连续.2函数一致连续性的判断条件（1）引理2.1[1]函数在上一致连续的充要条件为：对任何数列，若，（2-1）则.（2-2）类似用归结原则来判断函数的连续性，这里通过数列来判断函数的一致连续性，但是直接用来证明函数的一致连续可能会很麻烦，因为这要验证任意的数列，因此一般用来证明函数的不一致连续比较方便，而这又与数列有关，可适用于含有三角函数和幂函数的函数.例2.1证明函数在上不一致连续.证：令，（2-3）则.（2-4）但是，（2-5）在上不一致连续.例2.2判断函数在上的一致连续性.解：令，（2-6）则.（2-7）而，（2-8）在上的不一致连续.从这两个简单的例子可以知道应用（1）中的结论是非常方便快捷的，如果用定义来判断函数的一致连续性还需要进行推理化简得到定义的形式，甚至有时候根本无法化简.由此可知定义无法满足解决函数一致连续性的需求，还需总结更多的判断函数一致连续性的条件和方法.（2）函数在上一致连续的充要条件为【2】：.证：若在上一致连续，则对当时，有，所以，（2-9）从而当时，有，（2-10）所以.（2-11）若，则对，有，（2-12）所以，（2-13）因此当时，有，（2-14）在上一致连续.这里可以通过连续模的极限来判断函数的一致连续性,其实也是从定义出发，观察函数的图像的陡峭程度来进行描述，但是这个往往用得比较少.（1）和（2）适用于函数所在定义域的所有区间，而在一些特殊区间还要进行如下讨论.（3）一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续【1】.这个定理也叫康托尔定理，其实从函数一致连续的定义可以知道如果一个函数在区间上一致连续，那么它肯定在上连续.这个定理直接就将闭区间上的函数的连续性和一致连续性联系起来，说明了只有在闭区间上的连续函数才必定一致连续.但是如果不在闭区间上时，那么通过分析这个定理可以知道要判断在有限开区间上的函数是否一致连续，还需要分析函数在区间端点连续性.所以可以得到以下结论：（4）函数在上一致连续的充要条件为：在上连续，存在且有限.证：在上一致连续，在上连续，且对，当时，有.当时，由柯西收敛准则知存在且有限.同理当时，知存在且有限.构造函数（2-15）则在上连续，根据（3）中一致连续定理知在上一致连续，在上也一致连续，在上一致连续.例2.3证明在上一致连续.证：由在上连续，知，（2-16）在上一致连续.这些只是在函数一致连续性有限区间上的讨论，还可以类似进一步在无限区间中展开讨论.（5）若函数在上连续，，存在且有限，则函数在上一致连续.但是反之是不成立的，比如在上是一致连续的，但是是不存在的.所以在无限区间上的时候要注意这个问题.通过以上讨论,也可以用类似方法判断连续函数在，，，，，上的一致连续性,具体内容不再一一重复.总之，（3）-（5）判断函数一致连续性的条件是函数在区间上连续并且在区间端点的极限要存在，都应用到了函数的连续性，这也说明了一致连续和连续有着非常密切的关系.从而根据（3）-（5）还能得到以下结论：（6）若函数在区间上单调有界且连续，则在上一致连续.证明：由在区间上单调有界，则对，存在，而且连续，根据（3）-（5）的结论可知在上一致连续.2.4判断是否一致，是否连续？解：对，有，（2-17）在上连续，又因为，（2-18）在上一致连续.3函数一致连续性的判断方法3.1函数一致连续性在一般区间的判断方法（1）定义法.一般根据函数一致连续性的定义都能判断一个函数是否一致连续，很多证明方法都是从定义出发的，这也是最常用的方法，而根据函数一致连续性的定义，还能将其扩展得到以下结论：若函数在区间上满足利普希茨条件：.（3-1）其中是是常数，则在上一致连续.证：对则当时，有，（3-2）所以在上一致连续．由证明过程可知函数化成利普希茨条件的形式其实是对函数一致连续性定义的直接应用，这将定义具体化，提供了解题思路.例3.1设，证明在上一致连续．证：对，有.取，那么根据（1）就知在上一致连续.（2）导函数有界法.根据导函数有界，可以间接地得到（1）中的结论.有时候一个函数太复杂，有时候无法将题目直接化简成（1）中利普希茨条件的形式，也就是说用定义无法简单地证明这个函数一致连续.这时可以从导函数入手.当导函数比较简单时，只要知道这个函数的导函数有界，就能判断这个函数是否一致连续.也就得到以下结论：若函数在区间上可导，且在上有界，则在上一致连续.证明：因为在上有界，所以，使，（3-3）又因为在可导，由拉格朗日中值定理，知对，有，（3-4）所以.（3-5）所以根据（1）可知在一致连续．3.2函数一致连续性的比较判别法（1）定理3.2.1【4】函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.这个方法是通过构造一个函数，通过两个函数的比较以及所构造的函数是否一致连续来判断原函数是否一致连续.它比较灵活，表面看好像大多函数都能通过这个方法判断一致连续性，特别是一些复杂的函数，但是前提是要知道所构造函数的一致连续性并且两个函数比较之后的极限要存在，而通常基本初等函数的一致连续性是比较好判断的.因此如果题目中的函数含有基本初等函数，则可以考虑这种方法.函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）函数，若，，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.例3.2.1证明函数在上一致连续.证明：令，（3-6）则，（3-7）取,则有.（3-8）在上一致连续，在上一致连续.3.3函数一致连续性的比值判别法（1）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3）,其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.证明：根据洛必达法则,知，（3-9）设在上一致连续，则对当时，有，（3-10）因为，（3-11）所以对，使，（3-12）由柯西微分中值定理知，，使，（3-12）所以，（3-13）所以对，有，（3-14）从而有，（3-15）所以，（3-16），有，（3-17）因此，在上一致连续.在上连续，在上一致连续.在上一致连续.同理还可证明若在上一致连续，则在上一致连续.如果一个函数是无穷大量并且可导，那么可以通过构造一个已知一致连续性的无穷大量的可导的函数，通过两个导函数的比值关系，其实也是这两个函数的比值，将两者的一致连续性联系起来，这样就能判断了，这与比较判别法类似，都是构造函数，只是条件不一样.由（1）知函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（5）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（6）设函数，且函数满足1），；2）可导，且；3），其中是非零常数，则函数具有相同的一致连续性.3.3确定上的函数是否一致和连续？解：在上不一致连续.令，（3-18）则.（3-19）又因为在上连续，且，（3-20）而在上不一致连续，在上不一致连续.无论是在有限区间还是无限区间，比较判别法和比值判别方法都可以适用.4函数一致连续性的性质函数的连续性满足四则运算，一致连续性也如此.（1）若函数在上一致连续，则在上一致连续.证明：在上一致连续，对，当时，有，（4-1）又在上一致连续，当时，有，（4-2）故对，取，则对，当时，有，在上一致连续.（2）若函数在上一致连续，则，在上一致连续.（3）若函数在上一致连续且有界，则在上一致连续.（4）若函数在上一致连续，函数在上一致连续且，则在上一致连续.例4.1设函数在上一致连续，证明在上也一致连续.证：在上一致连续，令，则在上连续，在上一致连续.又在上有界，在上一致连续，在上一致连续.因此在上一致连续.5两种函数的一致连续性5.1周期函数的一致连续性如果函数的周期为，在上有定义且连续，则函数在上一致连续.证：在上连续，在上连续.根据一致连续性定理知在上一致连续，对，当时，有.令，当时，存在正整数，使，（5-1）,（5-2）所以.（5-3）故在上一致连续.这个针对周期函数的一致连续性，将连续和一致连续的关系连在一起.有些函数是周期函数，如三角函数等，但是如果直接用定义或者其他方法来证明它是一致连续的，有时候很难化简得到结果或是无从下手，此时就可以通过连续性来判断一致连续性，从而得到结论．例5.1.1证明函数在上一致连续．证：是以为周期的周期函数，并且在上连续，根据周期性知在上连续，因此在上一致连续．例5.1.2证明在上一致连续.证：因为，（5-4）的周期为，即是周期函数.由上题知，（5-5）在上连续，所以在上连续，故在上一致连续.5.2幂函数的一致连续性（1）函数在上是一致连续的.证：当时，根据例4.1的证明过程知在上一致连续；当时，知，（5-6）根据一致连续性的定义，对当时，有，（5-7）所以在上一致连续.（2）对任意的，函数在上一致连续,在上不一致连续，也就是在上不一致连续.证明：在上连续，在上一致连续.,当时，根据拉格朗日中值定理知，存在介于之间，使，（5-8），使，（5-9）所以，（5-10）则有.（5-11）在上不一致连续，在上不一致连续.例2.2中可以直接用（2）的结论来说明在上是不一致连续的.。
函数的一致连续性
例4.
f ( x) 1 在(0,1)上不一致连续. x
解：
令sn
1 n
1 , tn
1， n
sn
tn
1 n
1 n1
1 n(n 1)
1. n
但 f (sn ) f (tn ) (n 1) n 1 0 .
例⒌ f ( x) 1 在 ,上一致连续.( 0)
x
证明： s,t ,.
f
(s)
f (t)
11 st
t
s st
1
2
st
当s t 2时， f (s) f (t) .
几何解释
y
o x'
x
x
例6. 设f在I上满足Lipschitz条件： L 0,
x1, x2 I , 有 f ( x1 ) f ( x2 ) L x1 x2 ,
求证：f在I上一致连续.
x2 sin x1
2
x2
2 sin x1 x2 2
x1 x2
取 ,
当 x1 x2 时, 总有| sin x1 sin x2 | .
f ( x) cos x在R上一致连续.
例2. f ( x) x在[0,)上一致连续
证明：| f ( x1 ) f ( x2 ) |
x1
x2
2.
f在I上不一致连续
0 0,n N * ,都有sn , tn I ,
满足 | sn
tn
|
1， n
但是
|
f (sn )
f (tn ) | 0 .
二、例题
例1. 求证 f ( x) sin x在R上一致连续.
证明： x1 , x2 R,
sin x1 sin x2
证明函数连续,一致连续
证明函数连续,一致连续证明函数连续、一致连续是数学分析中的重要课题。
函数的连续性是指在函数定义域内，函数在某一点处连续。
函数的一致连续性是指在函数定义域内，函数在任意两点之间的变化都可以被控制在一定的范围内。
在证明函数连续和一致连续的过程中，我们需要运用极限、序列、Cauchy列、介值定理、等等方法。
首先，我们来证明函数的连续性。
设函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上连续，则对于任意$epsilon>0$，存在$delta>0$，当$|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<epsilon$。
这意味着在函数定义域内，函数在某一点处的取值可以无限接近于该点的函数值。
我们可以用极限的概念来证明函数的连续性，即证明$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。
若极限存在，则函数在该点连续。
接下来，我们来证明函数的一致连续性。
设函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上一致连续，则对于任意$epsilon>0$，存在$delta>0$，当$|x-y|<delta$时，有$|f(x)-f(y)|<epsilon$。
这意味着在函数定义域内，函数在任意两点之间的变化都可以被控制在一定的范围内。
我们可以用Cauchy列的概念来证明函数的一致连续性，即证明在函数定义域内，若对于任意$epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n,m>N$时，有$|f(x_n)-f(x_m)|<epsilon$，则函数在该定义域上一致连续。
在证明函数的连续和一致连续过程中，我们还需要用到介值定理。
介值定理是指如果函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上连续且$f(a)<y<f(b)$，则在$(a,b)$中必有一点$x_0$，使得$f(x_0)=y$。
介值定理的应用可以帮助我们证明函数的连续和一致连续。
总之，函数连续、一致连续是数学分析中的基本概念，对于深入理解分析学的基本思想和方法具有重要意义。
《一致连续性定理》课件
定理内容
定义：什么是一致连续性？ 一致连续性是指对于函数，无论在哪个位置，只要自变量之间的距离足够小，函数值的变动也会足够小。 定理表述 一致连续性定理表述了当函数在一个闭区间上连续时，函数在此区间上具有一致连续性的条件。 证明思路 我们将通过分析函数的导数或利用极限定定理的应用 一致连续性定理在微积分、数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用，可 用于证明极限存在性、函数的收敛性等。 实例分析 我们将通过一些实际例子展示一致连续性定理的具体应用，以加深对该概念 的理解。
总结
重要性再强调 一致连续性定理在数学分析中扮演着重要的角色，为我们提供了判断函数连续性的有力工具。 要点回顾 - 一致连续性是函数在整个定义域上的连续性表现。 - 一致连续性定理为判断函数连续性提供了便捷方法。 - 一致连续性定理的应用广泛，能解决实际问题中的连续性要求。
《一致连续性定理》PPT课件
欢迎来到我们的《一致连续性定理》PPT课件！在本次课件中，我们将深入介 绍一致连续性及其重要性，并探讨其应用和实例分析。让我们开始吧！
一致连续性是什么？
一致连续性是数学中的一个重要概念，指的是函数在整个定义域上的连续性 表现
一致连续性定理的重要性
一致连续性定理为我们提供了一种判断函数连续性的便捷方法，广泛应用于 数学分析和实际问题求解中。
数学分析-第三讲-连续与一致连续
第三讲 连续与一致连续一、 知识结构1、 函数连续的概念和定义函数连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，并且函数)(x f 的图象是连续不断的，我们称函数)(x f 在区间I 上连续.(1) 函数)(x f 在点0x 连续的相关定义定义1 设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，如果)()(lim 00x f x f x x =→，则我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00x f x f x x =→.^定义1′设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连续.定义 2 设函数)(x f 定义在);(δ0x U +内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-≤00x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00x f x f x x =+→.定义 3 设函数)(x f 定义在);(δ0x U -内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-≤x x 00时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点左连续. 记作)()(lim 0_x f x f x x =→.(2) 函数)(x f 在区间I 上连续定义1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，则我们称函数在区间),(b a 内连续.定义1′固定),(0b a x ∈, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间),(b a 内连续.定义 2 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续, 则我们称函数)(x f 在区间],(b a 连续.定义 3 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间),[b a 连续.^定义 4 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续、点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间],[b a 上连续.2、 函数一致连续的概念和定义函数一致连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，函数)(x f 的图象是连续不断的，并且函数)(x f 的图象没有铅直的渐进线，我们称函数)(x f 在区间I 上一致连续.例如，函数xx f 1=)(在区间),(10内连续，但不一致连续. 定义1对),(0b a x ∈∀, 0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间),(b a 内一致连续.定义1′设函数)(x f y =在区间()b a ,上有定义，x x ''',是区间()b a ,内的任意一点, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f ,则我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续.说明: 对给定的0>ε, 由于区间()b a ,内的点对x x ''',有无穷多个, 所以对每一对x x ''',均存在一个δ, 进而有无穷多个δ, 无穷多个δ中有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续. 无穷多个δ中没有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上不一致连续.定理 1 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则函数)(x f 在闭区间],[b a 上一致连续.)说明: 如果函数)(x f 在开区间()b a ,内连续，则函数)(x f 在开区间()b a ,内不一定一致连续.3、 函数)(x f 的间断点（不连续点）定义1 如果)()(lim 00x f x f x x ≠→，我们称函数在点0x 间断.(1) 第一类间断点定义2 如果极限)(lim x f x x 0→存在，但不等于)(0x f ，我们称点0x 为函数的可去间断点.定义2 如果极限)(lim x f x x +→0与)(lim x f x x -→0都存在但不相等，我们称点0x 为函数的跳跃间断点.可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点. (2) 第二类间断点&非第一类间断点称为第二类间断点，即)(lim x f x x 0→不存在，或)(lim x f x x +→0不存在，或)(lim x f x x -→0不存在，具体情况如下：①∞=→)(lim 0x f x x ；②∞=→)(lim 0x f x x 趋向于两个以上的数；③∞=+→)(lim 0x f x x ；④)(lim x f x x +→0趋向于两个以上的数；⑤∞=-→)(lim 0x f x x ；⑥)(lim x f x x -→0趋向于两个以上的数.例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=为无理数时，当为有理数时，，当x x x D 01)(定义域()+∞∞-,上的任意一点为第二类间断点. 因为⎩⎨⎧=→为无理数时当为有理数时当x x x D x x ,0,,1)(lim 0,所以)(lim 0x D x x →不存在. 再例如,对函数x 1sin,00=x 是函数的第二类间断点. 因为x x x 10sinlim +→不存在(x x sin lim +∞→不存在前面已证).连续和一致连续的概念与定义可推广到多元函数上. 二、解证题方法 1、连续例1 (天津大学2006年)证明: 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+--=42142424322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续(用δε-语言证明).证明因为)(624212424322+-=--+--x x x x x x , 对0>∀ε, 存在{}118,min εδ=, 当δ<-4x 时, 有ε≤-≤+-=--+--184624212424322x x x x x x x )(,所以函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+--=42142424322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续.?例2(天津大学2005年)证明:函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,,,sin )(0π在n x =处连续(用δε-语言证明).证明 因为0==→ππn x nx sin sin lim , R x ∈, 所以, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-n x 时，有επ<-0x sin . 又因x x f πsin )(≤, R x ∈, 所以ε<-0)(x f . 故函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,,,sin )(0π在n x =处连续.例3 (复旦大学2002年)证明函数xx f 1=)(在区间],(10上不一致连续. 证明 取nx n 1=,11+=n y n , ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为,)()(1=-=-nn nn n n y x x y y f x f 所以, 存在10=ε,对所有0>δ,当δ<-n n y x 时, 有,)()(1≥-=-nn n n n n y x x y y f x f 故函数x x f 1=)(在区间],(10上不一致连续.证法 2 取nx n 1=,11+=n y n , ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为0=-∞→n n n y x lim ,而1=-∞→)()(lim nn n y f x f ,所以函数xx f 1=)(在区间],(10上不一致连续.例4(中北大学2005年)证明函数xx x x f 112sin )(++=在区间),(10内不一致连续, 在],[21与),[+∞2上均一致连续.证明 取πn x n 21=,221ππ+=n y n , ,,,321=n ,则),(,10∈n n y x .因为0=-∞→n n n y x lim ,而224228=++++=-∞→∞→ππππn n y f x f n n n n lim )()(lim ,所以函数xx x x f 112sin )(++=在区间),(10上不一致连续.由于函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[21上连续, 所以函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[21上一致连续.》由于函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[12+A 上连续, 所以函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[12+A (2>A )上一致连续.因为0112=++=+∞→+∞→xx x x f x x sin lim )(lim ,对2>A ,当A x x >''',时,有ε<''-')()(x f x f . 进而函数xx x x f 112sin )(++=在区间),[+∞A (2>A )上一致连续.例5 (北京工业大学2005年)设)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数，试证明{})(),(max )(x g x f x F =为区间()b a ,上的连续函数.证明 因为{}[])()()()()(),(max )(x g x f x g x f x g x f x F -++==21， 所以只要证明)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数即可.对()b a x ,∈∀0,由于)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数, 所以,对>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,ε<-)()(0x g x g .又因ε20000<-+-≤---)()()()()()()()(x g x g x f x f x g x f x g x f ,所以)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数.例6(江苏大学2006年)设函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,其值域为[])(),(b f a f ,证明)(x f 在],[b a 上连续.证明 因为函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,所以函数)(x f 在],[b a 上任意一点的极限都存在.;如果函数)(x f 在],[b a 上不连续,则函数)(x f 在],[b a 上存在间断点0x ,如果a x =0,则00>-+)()(a f a f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(0+a f a f 上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果b x =0,则00<--)()(b f b f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(b f b f 0-上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果()b a x ,∈0，则不等式0000<--)()(x f x f 及0000>-+)()(x f x f 至少有一个成立,不妨设0000<--)()(x f x f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(000x f x f -上的值, 这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 故函数)(x f 在],[b a 上连续.例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程)()()(y f x f y x f =+的惟一不恒为零的连续函数是指数函数()+∞∞-∈=,,)(x a x f x,其中01>=)(f a .分析:要说明函数)(x f 是指数函数xa ,应证明①0>)(x f ;②[]cx f cx f )()(=,其中c 是实数;③01>=)(f a .证明首先证明①>)(x f .因为222222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x f x f x x f x f )(,又因为0000≠==-⋅)()()()()(x f x f f x f x f (因为)(x f 在()+∞∞-,上不恒为零,所以存在()+∞∞-∈,0x ,使00≠)(x f ).所以0≠)(x f ,进而0>)(x f .其次证明[]cx f cx f )()(=,其中c 是实数.a) 当0=c 时, 由)()()(0000f x f x f =≠得10=)(f 得10=)(f . b)当nc =,n为正整数时,[]nn nx f x f x f x x f nx f )()()()(==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= .c)当nmc =,m n ,为正整数时, |mm m n x f n x f n x f n x n x f x n m f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,又因为nn n n x f n x f n x f n x n x f x n n f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,所以[]n x f n x f 1)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛.进而()[]n mx f x n m f =⎪⎭⎫ ⎝⎛. d)当nmc -=,m n ,为正整数时, ()[][]n m nm nm nm x f x f x f f x f x n m f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-)()()()(10, e) 当c 为无理数时,有有理数列{}n c ,使得c c n n =∞→lim .因函数)(x f 连续,所以[][][]c c c n n n x f x f x f x c f cx f n n n )(lim )()(lim )(lim )(====∞→∞→∞→. 最后证明01>=)(f a .因为0>)(x f ,所以01>=)(f a .…例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调函数，定义)()(0+=x f x g .证明函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.分析：不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.要证明函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续，只要证明对任意一点R x ∈0，0>∀ε，∃0>δ，当δ≤-≤00x x 时，有ε<-≤)()(00x g x g . 证明 不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.设0x 是区间()+∞∞-=,R 上的任意一点, 因为)0()(00+=x f x g ,即()00)(lim )0(0x g x f x f x x ==++→,所以,对0>∀ε，∃0>δ，当δ≤-≤00x x 时，有εδ<-+)()(00x g x f ,即εδε<-+<-)()(00x g x f .εδδ<-+=-+)()()()(0000x g x f x g x f ,又因函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数, 所以)()()(δ+≤+=00x f x f x g ,故ε<-)()(0x g x g .又因函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数,所以())()()(x g x f x f x g =+≤+=0000,进而ε<-)()(0x g x g .所以函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.例9(中北大学2005年)设函数()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=<-=,0,41ln 1,0,6,0,arcsin arctan )(23x x x ax x e x x xx ax x f ax 问:(1)a 为何值时,)(x f 在0=x 处连续;(2) a 为何值时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.解 (1) 因为()()212203030113lim arcsin lim arcsin arctan lim -→→→--=-=----xax x x ax x x ax x x x)()()()a xa xx ax xx ax x x x 616lim16lim13lim2320232023220-=--=--=--=-→-→-→---,41lim 41ln 1lim 2020x x ax x e x x ax x e ax x ax x ⋅--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++→→ 42212lim 212lim 2200+=+=-+=++→→a e a x a x ae ax x ax x ,所以,当64262=+=-a a 时,即1-=a 时,函数)(x f 在0=x 处连续.(2)当66422≠-=+a a 时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.即2-=a 时,0=x 是)(x f 的可去间断点.例10设函数()2222220,(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩,试讨论(,)f x y 在点()0,0的连续性、偏导数存在性、可微性. 解 （1）连续性 因为()()()()()22,0,0,0,0lim(,)lim sin 0(0,0)x y x y f x y x y f →→⎡⎤=+==⎢⎢⎣，所以(,)f x y 在点()0,0连续.（（2）偏导数存在性 因为()()()()()xxx xf x f y x y x ∆∆∆=∆-∆+→∆∆→∆∆1sinlim )0,0(0,0lim20,0,0,0,()()01sin lim0,0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆∆=→∆∆x x y x ，()()()()()yyy yf y f y x y x ∆∆∆=∆-∆+→∆∆→∆∆1sinlim )0,0(0,0lim20,0,0,0,()()01sin lim0,0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆∆=→∆∆y y y x ，所以)0,0(x f 与)0,0(y f 均存在，且都等于零. （3）可微性 因为]ρρdff -∆→0lim()()[]()()[]ρρdy f dx f f y x f y x 0,00,00,00,0lim+--∆+∆+=→()()ρρ001sin lim22220+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+∆∆+∆→y x y x 01sin lim 1sin lim 0220=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆→→ρρρρρy x ，所以()f df o ρ∆-=，进而函数(,)f x y 在点()0,0可微. 练习[1] (电子科技大学2005年)设函数)(x f 定义在()b a ,上,()b a c ,∈,又设)(x H 和)(x G 分别在),[],,(b c c a 上连续且在),(c a 和()b c ,内是)(x f 的原函数.令⎩⎨⎧<≤+<<=bx c C x G c x a x H x F ,)(,),()(0,其中选择0C 使)(x F 在c x =处连续,就下列情况,回答)(x F 是否是)(x f 在()b a ,上的原函数.(1))(x f 在c x =处连续;`(2) c x =是)(x f 的第一类间断点; (3) c x =是)(x f 的第二类间断点.解(1)当)(x f 在cx =处连续时,因为)()(lim )(lim )()(lim)(c f x f x F cx c F x F c F c x c x c x =='=--='→→→,所以)(x F 是)(x f 在()b a ,上的原函数.(2)因为 c x =是)(x f 的第一类间断点,且)(x F 在c x =处连续, 所以)()(lim )(lim c f x f x f cx cx ≠==+→→或)(lim )(lim x f x f cx cx =+→→≠.当)()(lim )(lim c f x f x f cx c x ≠==+→→时,由)(lim )(lim )()(lim )(x f x F c x c F x F c F c x c x c x +++→→→+='=--='得,)()(lim )(c f x f c F cx ≠='+→+,所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.当)(lim )(lim x f x f cx c x =+→→≠时, )(c f 不存在,即)()(c f c F ≠'.所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.(3)不能判断.例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=--.,,,sin sin )(0001121x x xnx x nx x f n n 当21,=n 时,0=x 是)(x f 的第二类间断点,取⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,,,,sin )(0001x x xx x F n当2=n 时,)(sin lim )()(lim )(00100000f xx x F x F F x x ===--='→→,故)(x F 是)(x f 在()b a ,上的原函数.当1=n 时,)(sin lim )()(lim)(00100000f xx F x F F x x =≠=--='→→,故)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.[2] (电子科技大学2003年,江苏大学2004年)证明区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.证明 不妨设函数)(x f 是单调增函数,并且设()b a x ,∈0是函数)(x f 的间断点.因为())()(lim 0000x f x f x f x x ≤=--→,())()(lim 0000x f x f x f x x ≥=++→,并且函数在0x 不连续,所以不等式())(000x f x f ≤-,())(000x f x f ≥+至少有一个取>或<号,所以0x 是跳跃间断点,即区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.[3](上海交通大学2003年,深圳大学2006年)定义函数如下:。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它反映了函数在定义域内的整体的性质和变化情况。
本文将从一致连续性的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、一致连续性的定义一致连续性是一种特殊的连续性，它描述了在任意给定的公差范围内，函数值与自变量之间的变化情况。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<ε，则称函数f在区间I上是一致连续的。
二、一致连续性的性质1.一致连续函数的一致连续区间如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数ε和负数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<max{ε, -ε}。
因此，一致连续函数的定义域内存在一个一致连续区间。
2.一致连续函数的性质一致连续函数具有以下性质：(1) 如果函数f在区间I上是一致连续的，则f在I上也是连续的。
这是因为当x从左侧逼近于某个点x₀时，一致连续性保证了f(x)与f(x₀)之间的差的绝对值小于任意给定的正数ε。
(2) 如果两个函数f和g在区间I上是一致连续的，那么它们的和、差、积也在这个区间上是一致连续的。
这个性质可以由绝对值不等式的性质得到。
(3) 如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数M和负数m，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有max{f(x₁), f(x₂)}<M和min{f(x₁), f(x₂)}>m。
这个性质说明了函数值的变化范围可以被任意给定的上下界所限制。
三、一致连续性的应用1.微分方程的解的性质一致连续性在微分方程的求解中有着重要的应用。
例如，如果微分方程描述的是一个物理系统在一组时间段上的状态变化，那么解的一致连续性就保证了系统状态的平滑变化，避免了突变和跳跃。
2.函数的逼近和级数求和一致连续性也是函数逼近和级数求和中的一个重要概念。
函数一致连续性的判别(Word)
函数一致连续性的判别一.函数一致连续性的定义1.函数一致连续性的概念定义：设函数)(x f 在区间I 有定义，若δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 有,)()(21ε<-x f x f 称函数)(x f 在I 上一致连续。
例1.证明：函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。
证 ：,0>∀ε由于'''')''()(x x a x f x f -=-，取δ=aε，则对任何),(,'''+∞-∞∈x x ，只要δ<-'''x x ，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。
例2. 证明：函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续；在区间(]1,0上非一致连续。
证 ： （1）,0>∀ε由于'''2'''''''''''111)''()(x x a xx x x x x x f x f -≤-=-=-，取εδ2a =，则对任意[],1,,'''a x x ∈当δ<-'''x x 时，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∃>∀>=∃δδε10,0210n ，取11'+=n x ，(]1,01'',11'∈=+=n x n x ，虽然有 ,1)1(11112'''δ<<+<-+=-nn n n n x x 但211)1()(0'''=>=-+<-εn n x x f ，故函数xx f 1)(=在区间(]1,0上非一致连续。
函数的一致连续性
一致连续的几何解释 —— 正弦函数的一致连续性
1.0 0.5
O
12 3 4 56
-0.5
-1.0
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的几何解释
定理（康托尔） 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上一致连续.
聚点原理 任何有界数列均存在收敛的子数列，即若数列
满足
（其中M>0为常数），则 存在收敛的子数
函数在一点连续的定义及几何意义
函数 在 连续的
定义：
，
当
时，恒有2.来自注：通常 与 和 有关，
所以记为
.
第21讲 函数的一致连续性——问题引入
问题：是否存在一个在连续区间上 都适用的 ?
第21讲 函数的一致连续性——问题引入
一致连续的定义 一致连续的几何解释 一致连续性定理
第21讲 函数的一致连续性——主要内容
列
.
例3 若函数
在开区间 内连续，则
在 内
一致连续的充要条件是
与
存在.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续性定理
定义 设
为定义在区间 上的函数，如果对任给的正数 ，
总存在正数
，使得对任意
，只要
，
就有
，
则称函数
在区间 上一致连续.
“函数
在区间 上一致连续”定义的简洁形式：
，当
且
时，有
.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的定义
例1 证明函数
在区间
上一致连续.
性质（一致连续与连续的关系）若函数
一致连续，则 在 内连续.
在区间 内
例2 证明函数
在区间 内不一致连续.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的定义
一致连续的几何意义幻灯片课件
取xn ' 21n,xn "2n11,0，只要n充分大，无论 怎样小，
2
有|xn ' xn "|
xn 与xn 可以非常靠近
然 |f ( x n ' 而 ) f ( x n " ) | |s2 i n n 1 2 ) ( s2 n in |连续。
2 . 函数 f(x)=x2在下列区间中是否为一致连续。
康托定理(Cantor) 若f(x)在[a，b]上连续，则 f(x)在
[a，b] 上一致连续。
证明：反证法 假设f(x)在[a，b]上不一致连续，即：对某一 0> 0，
对一切 nn 1(n1,2,),
虽然x n 存 ,x n [a 在 ,b ]满 , 两 |x '足 n x 点 " n |n 1,
a) （-l，l），l是一正数； b) 在（－∞，+∞）上。
解a) 0,从主要不等式出发
f ( x ' ) f ( x " ) |x ' x " |x ' | x " | 2 l |x ' x " |
当 |x'x"|时 , |f(x')f(x " )|
2l
∴ f(x)在（-l，l）上一致连续。
xk n x0.
|f(xk " n)f(xk 'n)|0,
二边取极限，有 | f(x0)- f(x0)| ≥ 0 ，矛盾！
∴ f(x)在[a，b]上一致连续。
举例：
1. 证明 f(x)=sin(/x) 在（0，1）上连续有界的，但非一致连 续。 证：命题的前一部分是显然的。现证它并不一致连续。
函数的一致连续性
在区间X上一致连续 注3:f(x)在区间 上一致连续，区间 ⊂X,则f(x)在区间 在区间 上一致连续，区间E⊂ 则 在区间 E上一致连续 上一致连续. 上一致连续
数学分析选讲
多媒体教学课件
函数f(x)=x2在区间 在区间[0,b]上一致连续，其中 是一 上一致连续， 例1 函数 上一致连续 其中b是一 个正常数,而在区间 上非一致连续. 个正常数 而在区间[0,+∞)上非一致连续 而在区间 ∞ 上非一致连续 证明：对任意ε 对任意x 证明：对任意ε>0 ,对任意 ′,x″∈[0,b] ,由于 对任意 由于
因此
| f ( xn ) − f ( xm ) |< ε
是基本列,由柯西准则 收敛.由归结原则 故{f(xn)}是基本列 由柯西准则 是基本列 由柯西准则,{f(xn)}收敛 由归结原则 收敛 由归结原则, f(a+0)存在且有限 同理可证 存在且有限.同理可证 存在且有限. 存在且有限 同理可证f(b-0)存在且有限 存在且有限
f ( a + 0), f ( b − 0)
存在且有限. 存在且有限 证明：[充分性 设 充分性]设 证明： 充分性
x=a f (a + 0), F ( x ) = f ( x ), a< x<b f (b − 0), x=b
数学分析选讲
多媒体教学课件
在闭区间[a,b]上连续 从而一致连续 因此 上连续,从而一致连续 因此F(x)在开区 则F(x)在闭区间 在闭区间 上连续 从而一致连续.因此 在开区 上一致连续， 在开区间(a,b)上一致连续 上一致连续. 间(a,b)上一致连续，即f(x)在开区间 上一致连续 在开区间 上一致连续 [必要性 即f(x)在开区间 必要性] 在开区间(a,b)上一致连续 则对任意 上一致连续,则对任意 必要性 在开区间 上一致连续 ε>0,存在δ>0,对任意 ′,x″∈(a,b ),当|x′-x″ |< δ时,有 存在δ 对任意 对任意x 存在 当 有
函数的一致连续性
§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ∀>∃>,使得当12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确).命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续0ε⇔∃>和{},{}n n x y X ⊂,使得lim()0n n n x y →∞-=,并且()()n n f x f y - ,n ε*≥∀∈.证: “⇒”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε∃>,n *∀∈,n x ∃,n y X ∈满足1n n x y n -<和()(),n n f x f y n ε*-≥∀∈.这说明右边成立. “⇐”.假定0ε∃>和{}n x ,{}n y X ⊂,使得l i m ()0n n n x y →∞-=,并且()(),n n f x f y n ε*-≥∀∈.这时,0δ∀>,,,N N N N x y X x y δ∃∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<.再取n *∈使得0,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y -0δ≤时,()()f x f y -11(())(())n k k k f x y x f x y x n n=-≤+--+-∑n ε< M =.□命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续⇔存在有限单侧极限()f a +和()f b -.证:“⇒”.若f 是(,)a b 上的一致连续函数,即0,0εδ∀>∃>,使得当,(,),2x y a b x y δ∈-<时成立()()f x f y ε-<,则当,(,)x y a b ∈,0 x a <-,0y a δδ<<-<时有()()f x f y ε-<.根据函数单侧极限的Cauchy 收敛原理,便知存在有限右极限()f a +.同理,存在有限左极限()f b -.“⇐”. (反证法)假定存在有限单侧极限()f a +和()f b -,但连续函数f 不一致连续.由命题1,0ε∃>和{},{}(,)n n x y a b ⊂,使得l i m ()0n n n x y →∞-=,并且()()n n f x f y -,n ε*≥∀∈.取{}n x 的收敛一个子列{}n k x ,则(1),n n k k x y a →+；(2),n n k k x y b →-；(3)0,n n k k x y x → (,)a b ∈三者必居其一.这样,便有0lim ()()n n k k n f x f y →∞=- 0ε≥>,得到矛盾.□例1 设Y X ∅≠⊂⊂.(1) 若f 是X 上的连续函数,则f 也是Y 上的连续函数；(2) 若f 是X 上的一致连续函数,则f 也是Y 上的一致连续函数.(3) 若,f g 都是X 上的一致连续函数,则f g ±也是X 上的一致连续函数.(4) 若,f g 都是一致连续函数,g f 有意义,则g f 也是一致连续函数.例2 当常数(0,1]μ∈时,幂函数x μ是[1,)+∞上的一致连续函数. 证: 121x x ∀≤<,有不等式1111112222(1)(1)x x x x x x x x μμμμ---=-≤-=-,即 2121x x x x μμ-≤-.故 0ε∀>,令0δε=>,则当12,[1,)x x ∈+∞,12x x δ-<时总成立1212x x x x μμδε-≤-<=.□例3 (连续但不一致连续的函数) 当常数(1,)μ∈+∞时,幂函数x μ不是[1,)+∞上的一致连续函数(这说明两个一致连续函数的积可能不是一致连续函数).证: 1x y ∀≤<,有不等式 11()y x x y x x y x μμμμμ---≥-=-.n *∀∈,令 11,n n x n y n n μ-==+,则 11lim()lim 0n n n n y x n μ-→∞→∞-==, n n y x μμ- 1()n n n x y x μ-≥-1111n nμμ--==.由命题1便知x μ不是[1,)+∞上的一致连续函数.□例4 (连续但不一致连续的函数) 1sin x不是(0,1)上的一致连续函数. 证: 由命题3.□例 5 10,xσ∀>是[,)σ+∞上的一致连续函数,但却不是(0,)+∞上的一致连续函数.证: 12x x σ∀≤<,有不等式21212121211x x x x x x x x σ---=≤.故0ε∀>,令20δσε=>,则当12,[,)x x σ∈+∞,12x x δ-<时总成立1211x x -212x x σ-≤ε<. 这说明1x 是[,)σ+∞上的一致连续函数. 由命题2或命题3知1x不是(0,)+∞上的一致连续函数.□练习题2.9(109P ) 1,2,3.问题2.9(109P ) 2.§2.10 有限闭区间上连续函数的性质定理 2.22(一致连续性) 若f 是有限闭区间[,]a b 上的连续函数,则f 必在[,]a b 上一致连续.证:(利用有限闭区间的列紧性反证) 假定连续函数f 不一致连续,即0ε∃>和{}n x ,{}n y ⊂[,]a b ,使得 lim()0n n n x y →∞-=,并且()()n n f x f y - ε≥,n ∀*∈.取{}n x 的一个子列{}n k x 收敛于0[,]x a b ∈,则{}n k y 也收敛于0[,]x a b ∈,从而0lim ()()0n n k k n f x f y ε→∞=-≥>,得到矛盾.□定理2.23和2.24 (最大值和最小值的可达性) 若f 是有限闭区间[,]a b 上的连续函数,则必00,[,]x y a b ∃∈,使得0()min ()a x b f x f x ≤≤=, 0()m ()a x bf y ax f x ≤≤=. 作为推论,f 在[,]a b 上有界.证:(利用有限闭区间的列紧性)仅证最小值的可达性.令inf ([,])m f a b ∞=∈,由§1.9的命题2知,{()}([,])n f x f a b ∃⊂使得lim ()n n f x m →∞=.取{}n x 一个子列{}n k x 收敛于0[,]x a b ∈,便有0l i m ()()n k n m f x f x →∞==,即0()min ()a x bf x f x ≤≤=.□ 定理2.25和2.26 (介值定理和零值定理) 若f 是有限闭区间[,]a b 上的连续函数,()()f a f b ≠,则∀介于()()f a f b 和之间的实数γ,必c ∃∈(,)a b 使得()f c γ=.作为推论,若()()0f a f b <,则必c ∃∈(,)a b 使得()0f c =.证: (利用区间的连通性) 记{[,]:()}A x a b f x γ=∈<,{[,]:B x a b =∈ ()f x }γ≥,则A ≠∅,B ≠∅,,[,]A B A B a b =∅=.由[,]a b 的连通性,或者可取{}n x A ⊂收敛于c B ∈,此时()lim ()n n f c f x γγ→∞≤=≤；或者可取{}n y B ⊂收敛于1c A ∈,此时1()lim ()n n f c f y γγ→∞>=≥(该情形不会出现).因而()f c γ=,c ∈(,)a b .□推论 若f 是区间I 上的连续函数,则()f I 也是区间. 证:(利用区间的连通性),(),l L f I l L ∀∈<,要证(,)()l L f I ⊂. 取,a b I ∈满足()f a l =,()f b L =,并不妨设a b <.(,)l L γ∀∈,c ∃∈(,)a b 使得()f c γ=.这说明()f I γ∈,从而(,)()l L f I ⊂.□例1 任何实系数奇次多项式必有实根.证: 设()p x 是实系数奇次多项式(首系数为1), 则lim (),x p x →+∞=+∞ lim ()x p x →-∞=-∞.故当0A >充分大时,有()0,()0f A f A >-<,从而(,)c A A ∃∈-使得()0p c =.□例2(115P ,8)设([0,1])f C ∈,(0)(1)f f =.求证n *∀∈,n x ∃∈1[0,1]n- 使得1()()n n f x f x n =+. 证: 考虑1[0,1]n -上的函数1()()()x f x f x n ϕ=-+.由于01()()n nϕϕ+ 101121()()()()()()()0n n n f f f f f f n n n n n n nϕ--++=-+-++-=, 故或者()0,01k k n nϕ=∀≤≤-,或者1212,,01k k k k n ∃≤<≤-,使得12()()0k k n n ϕϕ<.由零值定理便知n x ∃∈1[0,1]n-使得()0n x ϕ=.□练习题2.10(114P ) 2,4,5,7,9,10,11.问题2.10(114P ) 2,4.§2.11 函数的上极限和下极限本节内容与数列的上极限和下极限的概念及相关结论完全一样. 定义2.22 设f 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点,那么 00{:{}\{},lim ,lim ()}n n n n n E l x X x x x f x l ∞→∞→∞=∈∃⊂==≠∅使得. 记 0limsup ()sup x x f x E →= 和 0liminf ()inf x xf x E →=,分别称为当0x x →时f 的上极限和下极限；或称为f 在0x 处的上极限和下极限.类似地,能定义当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时f 的上极限和下极限.注记2.22' X 上的单变量函数f 在X 的极限点0x 处的上极限和下极限一定存在,其值与f 在0x 处是否有定义无关,只与f 在0x 的去心邻域00{:0}X x X x x δ∈<-<上的定义有关.这里,0δ是固定的正数. 注记2.22'' 设f 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点.0δ∀>,记0()sup{():,0}f x x X x x ψδδ=∈<-<,0()inf{():,0}f x x X x x ϕδδ=∈<-<,则()ψδ在(0,)+∞上递增, ()ϕδ在(0,)+∞上递减(注意()ψδ和()ϕδ可能不是函数).故存在广义右极限0lim ()δψδ→+和0lim ()δϕδ→+.这两个广义右极限就是当0x x →时f 的上极限和下极限.当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时的情形类似. 定理2.27 设f 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点,{E l =∈:∞00{}\{},lim ,lim ()}n n n n n x X x x x f x l →∞→∞∃⊂==使得. 则β∞∈是当0x x →时f 的上极限(或下极限)的充要条件是(1) E β∈；(2) (),0y y ββδ∀><∃>或,使得当0,0x X x x δ∈<-<时成立 ()f x y <(或()f x y >).当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时的情形类似. 推论 设条件如同定理2.27,则sup max ,inf min E E E E ==. 定理2.28 设,f g 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点,则有(1) 00liminf ()limsup ()x x x x f x f x →→≤； (2) 000lim ()liminf ()limsup ()x x x x x x f x a f x f x a ∞→→→=∈⇔==； (3) 当00,0x X x x δ∈<-<时成立()()f x g x ≤⇒0000liminf ()liminf (),limsup ()limsup ()x x x x x x x x f x g x f x g x →→→→≤≤. 当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时的情形类似. 补充定义 设f 是X 上的单变量函数,0x X ∈是X 的极限点.若00limsup ()()x x f x f x →≤,则称f 在0x 处上半连续；若00liminf ()()x x f x f x →≥,则称f 在0x 处下半连续.命题 设f 是X 上的单变量函数,0x X ∈是X 的极限点.那么f 在0x 处连续⇔f 在0x 处既上半连续又下半连续.例(115P ,问题3)设f 是[,)a +∞上有界的连续函数,求证0λ∀>,{}n x ∃ [,),lim n n a x →∞⊂+∞=+∞,满足 lim(()())0n n n f x f x λ→∞+-=. 证: 记limsup(()())x f x f x L λ→+∞+-=,liminf (()())x f x f x l λ→+∞+-=,则,l L ∈.(1) 当0l =或0L =时,结论显然成立.(2) 当0l L <<时,{},{}[,)n n y z a ∃⊂+∞,lim n n y →∞=+∞,lim n n z →∞=+∞,使得()()0n n f y f y λ+-<,()()0,n n f z f z n λ*+->∀∈.利用零值定理,可取(,)n n n x y z ∈使得()()0n n f x f x λ+-=.显然{}n x 满足要求.(3) 0l >或0L <这两种情形不会出现.(反证法)假定0l >成立,则N *∃∈,使得当x N λ≥时成立()()2l f x f x λ+->.故当n N >时成立1()()[()()]()2n k N l f n f N f k f k n N λλλλλλ-=+-=+->-∑.这与f 有界相矛盾.同理,能证0L <不成立.□练习题2.11(118P ) 1,2,3.。
函数的连续性PPT教学课件
输导组织 ， 输导有机物
机械组 织，增 加茎的 强度
木质部
外树皮
内树皮 （靠里是韧皮部）
一、双子叶植物茎的结构
4、研究形成层
双子叶植物茎的形成层处在
部和 木质 部之间，它是由几层很
薄 韧的皮细胞组成，这里的细胞能
分裂增生，属于
组织。
形成层细胞的细胞壁很薄，在
此处容易把木质部和韧皮部剥
离开来。 分生
外树皮 保护作用
树皮 双
内树皮
运输有机物 输导 筛管 组织
子 叶
（靠里是韧皮部）
韧皮纤 增加茎的强度 机械
植 物
维 组织
茎 的
形成层 细胞能分裂增生 分生组织
结
构
导管 输导水和无机盐 输导组织
木质部
木纤维 增加茎的强度 机械组织
2、单子叶植物茎的结构（了解）
木质部： 导管 结 构
构成维管束，分散 在薄壁细胞中
内树皮
（靠里是韧皮部）
内树皮 （靠里是韧皮部）
木质部
一、双子叶植物茎的结构
2、研究木质部
木质部就是我们通常所
说的木材，木质部由
和
组导成管。
木纤维
木质部
外树皮
内树皮 （靠里是韧皮部）
思考：导管有什么作用？属于什么组织？
实验：把带叶的新鲜植物枝条插入红墨水中，待红墨水上升到 茎中后取出，把茎横切一小片，仔细观察。
2.6函数的连续性
高二备课组
函数在点x=x0处连续的图象特征：这个函数的图象在 x=x0没有中断。 例1、观察下面的图象，根据图象判断函数在点x=x0 处是否连续。
注：一些简单函数的连续性，可以通过图象直接观察。 如初等函数（一次函数，二次函数，反比例函数，指 对数函数）在定义域内的每一点上均连续。
一致连续极限定义
一致连续函数的极限定义连续函数的极限定义形式是我们熟悉的，一致连续函数却很少出现极限定义形式。
还是先看看这两者的区别。
先看定义：函数()f x 在I 上连续：22200:|||()()|x I x I x x f x f x εδδε∀∈∀>∃>∀∈-<→-< 函数()f x 在I 上一致连续：22200,:|||()()|x x I x x f x f x εδδε∀>∃>∀∈-<→-< 令2x x h -=，则，两个定义可以表示为：函数()f x 在I 上连续：00:|||()()|x I h h f x h f x εδδε∀∈∀>∃>∀<→+-< 函数()f x 在I 上一致连续：00:|||()()|x I h h f x h f x εδδε∀>∃>∀∈∀<→+-< 从δ在定义中的位置可知：连续函数的δ随x 变化，一致连续函数则不。
用关于0h →的极限方式来表达：函数()f x 在I 上连续：0:lim(()())0h x I f x h f x →∀∈+-= 函数()f x 在I 上一致连续：0lim(()())0,h f x h f x x I →+-=∀∈ 这看不出两者有什么不同，但前者h 与x 有关，后者则无关。
后者可用二重极限表示：00lim(()())0x x h f x h f x →→+-= 问题是，后一个极限中0x 在什么范围？我们指出：0x I ∈，即I 的闭包。
于是函数()f x 在I 上一致连续：000:lim(()())0x x h x I f x h f x →→∀∈+-= 这样，一致连续函数也和连续函数一样，有了极限定义形式。
我们将为此作出等价证明。
我们称不属于I 的聚点为I 的外聚点，如果I 端点含∞，∞也算外聚点。
连续函数和一致连续函数的本质区别发生在外聚点上。
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但
lim(
n
f
(
xn
)
f ( xn)) 0.
例1 求证 f ( x) sin x在R上一致连续.
证明
x1 , x2 R,
sin x1 sin x2
2cos x1
2
x2 sin x1
2
x2
2 sin x1 x2 2
x1 x2
取 , 当 x1 x2 时,
总有 | sin x1 sin x2 | .
xn
|
1 ，但 n
| f ( xn ) f ( xn) | 0 .
定理5.1
f (x)在区间I上一致连续
{
xn
},{
xn}
I
, 满足
lim(
n
xn
xn)
0, 都有
lim(
n
f ( xn )
f
( xn))
0
用这个定理来判断非一致收敛性非常便利.
f在I上不一致连续
存在I中的数列{ xn },{ xn},lnim( xn xn) 0,
例3 f ( x) 1 在(0,1)，[ , )( 0)的一致连续性.
x
解（1）令xn
1, n1
xn
1， n
xn xn
1 1 n n1
1 0(n ). n(n 1)
但 f ( xn ) f ( xn) (n 1) n 1 0.
（2）
f ( x) f ( x)
1 1 x x
x x xx
1
2
x x
当 x x 2 时， f ( x) f ( x) .
作业
习题3.5 1(1)(2), 2, 3
若对 0, 0,x1, x2 I ,| x1 x2 | ,总有 : | f ( x1 ) f ( x2 ) | ,
则称 f在I上一致连续.
说明： 一致连续必连续，反之未必 . 一致连续是区间上整体的性质,强调有公共的 .
连 续 : 0, ( , x0 ). 一致连续 : 0, ( ).
几何意义
y
一致连续要
求函数变化
不要“太陡”
o
x'
x
x
定义5.2 （函数不一致连续定义）
0 0, 对 0, x, x I ,虽然 x x , 但
| f ( x) f ( x) | 0.
特别地,取 1 , 不一致收敛也可以定义为
n
0
0, n
N*,xn ,
xn
I,虽然 |
xn
类似 f ( x) cos x在R上一致连续.
例2 f ( x) x2，在0,上不一致连续.
证明
xn
n,
xn
n
1 2n
,
xn
xn
1 2n
1. n
f ( xn )
f ( xn)
n2 (n 1 )2 2n
(2n 1 ) 1 1. 2n 2n
所以x2在0,上不一致连续.
练习 f ( x) x, x, x2在（0， ）的一致连续性. 思考 x ( 0)在(0， )的一致连续性?
§5 函数的一致连续性
一致连续的定义
观察函数 y 1 , y sin x在x 0的变化情况. x
y
y
g(x) sin x
f (x) 1
x
o x0 x1 x2
x3
xn
x
o
x1
x2
xn
x
x0
x1
x2
x3
xn
x1
x2
xn
对相同的，不同点处所对应的不同 有无共同的？
定义5.1 （函数一致连续定义） 设f在I上有定义，