工科数学分析课件 Chap3第5节 函数的一致连续

x x xx
1
2
x x
当 x x 2 时， f ( x) f ( x) .
作业
习题3.5 1(1)(2), 2, 3
若对 0, 0,x1, x2 I ,| x1 x2 | ,总有 : | f ( x1 ) f ( x2 ) | ,
则称 f在I上一致连续.
说明： 一致连续必连续，反之未必 . 一致连续是区间上整体的性质,强调有公共的 .
连 续 : 0, ( , x0 ). 一致连续 : 0, ( ).
几何意义
y
一致连续要
求函数变化
不要“太陡”
o
x'
x
x
定义5.2 （函数不一致连续定义）
0 0, 对 0, x, x I ,虽然 x x , 但
| f ( x) f ( x) | 0.
特别地,取 1 , 不一致收敛也可以定义为
n
0
0, n
N*,xn ,
xn
I,虽然 |
xn
xn
|
1 ，但 n
| f ( xn ) f ( xn) | 0 .
定理5.1
f (x)在区间I上一致连续
{
xn
},{
xn}
I
, 满足
lim(
n
xn
xn)
0, 都有
lim(
n
f ( xn )
f
( xn))
0
用这个定理来判断非一致收敛性非常便利.
f在I上不一致连续
存在I中的数列{ xn },{ xn},lnim( xn xn) 0,
例3 f ( x) 1 在(0,1)，[ , )( 0)的一致连续性.
x
解（1）令xn
1, n1
xn
1， n
xn xn
1 1 n n1
1 0(n ). n(n 1)
但 f ( xn ) f ( xn) (n 1) n 1 0.
（2）
f ( x) f ( x)
1 1 x x
类似 f ( x) cos x在R上一致连续.
例2 f ( x) x2，在0,上不一致连续.
证明
xn
Fra Baidu bibliotek
n,
xn
n
1 2n
,
xn
xn
1 2n
1. n
f ( xn )
f ( xn)
n2 (n 1 )2 2n
(2n 1 ) 1 1. 2n 2n
所以x2在0,上不一致连续.
练习 f ( x) x, x, x2在（0， ）的一致连续性. 思考 x ( 0)在(0， )的一致连续性?
但
lim(
n
f
(
xn
)
f ( xn)) 0.
例1 求证 f ( x) sin x在R上一致连续.
证明
x1 , x2 R,
sin x1 sin x2
2cos x1
2
x2 sin x1
2
x2
2 sin x1 x2 2
x1 x2
取 , 当 x1 x2 时,
总有 | sin x1 sin x2 | .
§5 函数的一致连续性
一致连续的定义
观察函数 y 1 , y sin x在x 0的变化情况. x
y
y
g(x) sin x
f (x) 1
x
o x0 x1 x2
x3
xn
x
o
x1
x2
xn
x
x0
x1
x2
x3
xn
x1
x2
xn
对相同的，不同点处所对应的不同 有无共同的？
定义5.1 （函数一致连续定义） 设f在I上有定义，