常考压轴03 规律探究问题-2020年中考数学特训营(解析版)

【十大常考压轴题特训】
特训03——规律探究问题
题量﹕20题；分值﹕每小题5分，共计100分；推荐时间﹕45分钟问题1. (2019湖北省鄂州市)
如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝
3
3
x上，若A1（1，0），
且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n＋1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）
A．22n 3 B．22n﹣1 3 C．22n﹣2 3 D．22n﹣3 3
【分析】直线y＝3
3
x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n＋1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝3，B2B3＝23，…，B n B n＋1＝2n3，再由面积公式即可求解；
【解答】∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A
n
B n A n＋1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n＋1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n＋1都是等边三角形，
∵直线y＝
3
3
x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1，
∵A1（1，0），
∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，
∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，
１
２
易得∠OB 1A 2＝90°，…，∠OB n A n ＋1＝90°， ∴B 1B 2＝3，B 2B 3＝23，…，B n B n ＋1＝2n 3，
∴S 1＝12×1×3＝32，S 2＝12×2×23＝23，…，S n ＝12×2n ﹣1×2n 3＝22n －3
3
故选：D ．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三
角形，并求出每边长是解题的关键．
问题2. (2019 湖南省娄底市)
如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的⌒
AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从(A A 为坐标原点）出发，以每秒2
3
π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点
P 的纵坐标为( )
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
【分析】先计算点P 走一个⌒
AB 的时间，得到点P 纵坐标的规律：以1，0，－1，0四个数为一个周期依次循
环，再用2019 ÷ 4＝504 …3，得出在第2019秒时点P 的纵坐标为是－1．
【解答】点运动一个⌒AB 用时为
120 π × 2180÷ 2
3
π ＝2秒错误!未找到引用源。

．
如图，作CD ⊥ AB 于D ，与⌒
AB 交于点E ．
在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠ACD ＝1
2ACB ＝60°，
∴∠CAD ＝30 ， ∴CD ＝12AC ＝1
2 ×2＝1，
∴DE ＝CE －CD ＝2－1＝1，
∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；
第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为－1；
３
第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1；
⋯，
∴点P 的纵坐标以1，0，－1，0四个数为一个周期依次循环，
∵2019 ÷ 4＝504 …3，
∴第2019秒时点P 的纵坐标为是－1．
故选：B ．
O
x
y A B
120°
2米
C
D
E F
G
H
I
【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P 纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数
为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．
问题3. (2019 山东省淄博市)
如图，△11OA B ，△122A A B ，△233A A B ，⋯是分别以1A ，2A ，3A ，⋯为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点11(C x ，1)y ，22(C x ，2)y ，33(C x ，3)y ，⋯均在反比例函数4
(0)y x x
=>的图象上．则1210y y y ++⋯+的值为( )
A ．210
B ．6
C ．42
D ．27【分析】根据点C 1的坐标，确定y 1，可求反比例函数关系式，由点C 1是等腰直角三角形的斜边中点，可以
得到OA 1的长，然后再设未知数，表示点C 2的坐标，确定y 2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，
表示点C3的坐标，确定y3,…然后再求和．
【解答】过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
其斜边的中点C1在反比例函数y＝4
x，∴C(2,2)即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
设A1D2＝a，则C2D2＝a此时C2(4＋a,a)，代入y＝4
x得：a(4＋a)＝4，
解得：a＝22－2，即：y2＝22－2，
同理：y3＝23－22，
y4＝24－23，
…
∴y1＋y2＋y3＋…＋y10＝2＋22－2＋23－22＋…＋210－29 ＝210，
故选：A．
【点评】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
问题4. (2019四川省广元市)
如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝
3
3
x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，
过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（）
４
５
A ．（
332
）100
B ．（33）100
C ．33×4199
D ．33×2395
【分析】本题需先求出OA 1
和OA 2
的长，再根据题意得出OA n ＝2n ，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后
根据三角形相似的性质即可求得S 100．
【解答】∵点A 0
的坐标是（0，1），
∴OA 0＝1， ∵点A 1在直线y ＝
3
3
x 上， ∴OA 1＝2，A 0A 1＝3， ∴OA 2＝4， ∴OA 3＝8， ∴OA 4＝16， 得出OA n ＝2n ， ∴A n A n ＋1＝2n •3，
∴OA 198＝2198
，A 198A 199＝2198
•3， ∵S 1＝12×（4﹣1）•3＝3
23，
∵A 2A 1∥A 200A 199，
∴△A 0A 1A 2∽△A 198A 199A 200， ∴S 100S 1 ＝ (2198 · 3 3
) 2
， ∴S ＝2396•32
3＝33×2395
故选：D ．
【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求
出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
６
问题5. (2019 内蒙古赤峰市)
如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； ②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A ．2
2019
B ．
122018
C ．
122019
D ．
122020
【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的一
半即可解答．
【解答】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，
第一次：余下面积S 1＝1
2,
第二次：余下面积S 2＝1
22
第三次：余下面积S 3＝1
23
，
当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为S 2019＝1
22019
， 故选：C ．
【点评】本题考查图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 问题6. (2019 黑龙江省鸡西市)
如图，四边形11OAA B 是边长为1的正方形，以对角线1OA 为边作第二个正方形122OA A B ，连接2AA ，得到△12AA A ；再以对角线2OA 为边作第三个正方形233OA A B ，连接13A A ，得到△123A A A ；再以对角线3OA 为边作第四个正方形，连接24A A ，得到△234A A A ⋯⋯记△12AA A 、△123A A A 、△234A A A 的面积分别为1S 、2S 、3S ，如此下去，则2019S = ．
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【解答】∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝1
2
×1×1＝
1
2
，
∵∠OAA1＝90°,
∴AO12＝12＋12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝1
2
×2×1＝1，
同理可求：S2＝1
2
×2×2＝2，S4＝4，
∴S n＝2n－2，
∴S2019＝22017，
故答案为：22017．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到
n
a的规律是解题的关键．
问题7. (2019黑龙江省齐齐哈尔市)
如图，直线l：y＝
3
3
x＋1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作
７
B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．
【分析】由直线l：y＝3
3
x＋1可求出与x轴交点A的坐标，与y轴交点A1的坐标，进而得到OA，OA1的长，也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．
【解答】直线l：y＝3
3
x＋1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝－ 3
∴A（－3，0）A1（0，1）
∴∠OAA1＝30°
又∵A1B1⊥l，
∴∠OA1B1＝30°，
在Rt△OA1B1中，OB1＝
3
3
•OA1＝
3
3
，
∴S1＝1
2
OA1· OB1＝
3
6
;
同理可求出：A2B1＝4
3
,B1B2＝
4
3
×
3
3
,
∴S2＝1
2
A2B1· B1B2＝
1
2
×
4
3
×(
4
3
×
3
3
)＝
3
6
×(
4
3
)2;
依次可求出：S3＝
3
6
×(
4
3
)4；S4＝
3
6
×(
4
3
)6；S5＝
3
6
×(
4
3
)8……
因此：S n＝
3
6
×(
4
3
)2n－2
故答案为：
3
6
×(
4
3
)2n－2．
【点评】考查一次函数的图象和性质、解直角三角形、三角形的面积、以及找规律归纳总结结论的能力，由于数据较繁琐、计算量交点，容易出现错误；因此在方法正确的前提下，认真正确的计算则显得尤为重要．问题8. (2019黑龙江省绥化市)
在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒
８
运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是
．
【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可．
【解答】由题意知，
A1（1
2
,
3
2
）
A2（1，0）
A3（3
2
，
3
2
）
A4（2，0）
A5（5
2
，－
3
2
）
A6（3，0）
A7（7
2
，
3
2
）
…
由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：
3
2
，0，
3
2
，0，－
3
2
这样循环，
∴A2019（2019
2
，
3
2
），
故答案为：（2019
2
，
3
2
）．
【点评】本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在．
问题9. (2019湖北省仙桃潜江天门江汉油田)
如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x
轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝
3
3
x＋
3
3
上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点
C6的坐标是．
９
【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．
【解答】∵OA1＝1，
∴OC1＝1，
∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝
3
2
，横坐标为cos60°•OC1＝
1
2
，
∴C1（1
2
，
3
2
），
∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，
∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝3，代入y＝
3
3
x＋
3
3
求得横坐标为2，
∴C2（，2，3），
C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝43，代入y＝
3
3
x＋
3
3
求得横坐标为11，
∴C3（11，43），
∴C4（23，83），
C5（47，163），
∴C6（97，323）；
故答案为（97，323）．
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．
问题10. (2019湖南省衡阳市)
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛
１０
物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4……，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．
【分析】根据二次函数性质可得出点A 1
的坐标，求得直线A 1
A 2
为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2
的坐标，即可
求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2019的坐标．
【解答】∵A 点坐标为（1，1），
∴直线OA 为y ＝x ，A 1（﹣1，1）， ∵A 1A 2∥OA ，
∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，
解⎩⎨⎧y ＝x ＋2y ＝x 2
得⎩⎨⎧x ＝－1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝2y ＝4，
∴A 2（2，4）， ∴A 3（﹣2，4）， ∵A 3A 4∥OA ，
∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，
解⎩⎨⎧y ＝x ＋6y ＝x 2
得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝4或⎩⎨⎧x ＝3
y ＝9，
∴A 4（3，9）， ∴A 5（﹣3，9） …，
∴A 2019（－1010，10102
）， 故答案为（－1010，10102）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出
变化规律是解题的关键．
问题11. (2019江苏省扬州市)
如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1＋D2E2＋…＋D2019E2019）＋5（D1F1＋D2F2＋…＋D2019F2019）＝．
【分析】∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得D1F1
AC ＝
AB－D1E1
AB
,因为AB＝5，BC＝4，则有4D1E1＋5D1F1＝20；
同理有如下规律4D2E2＋5D2F2＝20，…，4D2019E2019＋5D2019F2019＝20；【解答】∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，
∴D1F1
AC
＝
B1F
AB
,即
D1F1
AC
＝
AB－D1E1
AB
，
∵AB＝5，BC＝4，
∴4D1E1＋5D1F1＝20，
同理4D2E2＋5D2F2＝20，…，4D2019E2019＋5D2019F2019＝20，
∴4（D1E1＋D2E2＋…＋D2019E2019）＋5（D1F1＋D2F2＋…＋D2019F2019）＝20×2019＝40380；
故答案为40380．
【点评】本题考查平行线的性质，探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1＋5D1F1＝20是解题的关键．
问题12. (2019辽宁省本溪市)
如图，点B1在直线l：y＝1
2
x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右
作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）
【分析】根据点B1的横坐标为2，在直线l：y＝1
2
x上，可求出点B1的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，然后依次利用相似三角形的性质计算出C1、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案．
【解答】过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝1
2
x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，
B1D OD ＝
1
2
＝
DA1
B1 D
＝
C1D1
A1D1
＝…
∴点C1的横坐标为：2＋1
2
＋（
3
2
）0，
点C2的横坐标为：2＋1
2
＋（
3
2
）0＋（
3
2
）0×
1
4
＋（
3
2
）1＝
5
2
＋（
3
2
）0×
5
4
＋（
3
2
）1
点C3的横坐标为：2＋1
2
＋（
3
2
）0＋（
3
2
）0×
1
4
＋（
3
2
）1＋（
3
2
）1×
1
4
＋（
3
2
）2＝
5
2
＋（
3
2
）0×
5
4
＋（
3
2
）1×
5
4
＋＋（
3
2
）
2
点C 4的横坐标为：＝52＋（32）0×54＋（32）1×54＋（32）2×54＋（32）3
……
点C n 的横坐标为：＝52＋（32）0×54＋（32）1×54＋（32）2×54＋（32）3×54＋（32）4×54……＋（32）n ﹣1
＝52＋54 [（32）0＋（32）1×＋（32）2＋（32）3＋（32）4……]＋（32）n ﹣1
＝72＋⎝⎛⎭
⎫32n －1 故答案为：72＋⎝⎛⎭
⎫32n －1
【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质、在计算探索的过程中发现规律，得出一般
性的结论．
问题13. (2019 山东省德州市)
如图，点1A 、3A 、5A ⋯在反比例函数(0)k y x x =
>的图象上，
点2A 、4A 、6A ⋯⋯在反比例函数(0)k
y x x
=->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=⋯=∠=︒，且12OA =，则(n A n 为正整数）的纵坐标为 ．（用含n 的式子表示）
【分析】先证明△OA 1
E 是等边三角形，求出A 1
的坐标，作高线A 1
D 1
，再证明△A 2
EF 是等边三角形，作高
线A 2D 2，设A 2（x ，－
3x ），根据OD 2＝2＋1
x
＝x ，解方程可得等边三角形的边长和A 2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A 1、A 3、A 5…在x 轴的上方，纵坐标为正数，点A 2、A 4、A 6……在x 轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（－1）n ＋1
来解决这个问题．
【解答】过A 1
作A 1
D 1
⊥x 轴于D 1
，
∵OA 1＝2，∠OA 1A 2＝∠α＝60°，
∴△OA 1E 是等边三角形， ∴A 1（1，3）， ∴k ＝3， ∴y ＝
3x 和y ＝－3x
， 过A 2作A 2D 2⊥x 轴于D 2， ∵∠A 2EF ＝∠A 1A 2A 3＝60°， ∴△A 2EF 是等边三角形， 设A 2（x ，－
3x ），则A 2D 2＝3
x
， Rt △EA 2D 2中，∠EA 2D 2＝30°， ∴ED 2＝1
x ，
∵OD 2＝2＋1
x
＝x ，
解得：x 1＝1－2（舍），x 2＝1＋2，
∴EF ＝2x ＝22＋1＝2(2－1)
(2＋1)(2－1)＝2（2－1）＝22－2，
A 2D 2＝
3x ＝32＋1
＝3(2－1)， 即A 2的纵坐标为－3(2－1)； 过A 3作A 3D 3⊥x 轴于D 3， 同理得：△A 3FG 是等边三角形， 设A 3（x ，
3x ），则A 3D 3＝3
x
， Rt △FA 3D 3中，∠FA 3D 3＝30°， ∴FD 3＝1
x
，
∵OD 3＝2＋22－2＋1
x
＝x ，
解得：x 1＝2－3（舍），x 2＝2＋3； ∴GF ＝2x ＝2
3＋2＝2（3－2）＝23－22，
A 3D 3＝
3x ＝33＋2
＝3（3－2）， 即A 3的纵坐标为3（3－2）； …
∴A n（n为正整数）的纵坐标为：（－1）n＋13（n–n－1）；
故答案为：（－1）n＋13（n–n－1）；
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．
问题14. (2019山东省东营市)
如图，在平面直角坐标系中，函数y＝
3
3
x和y＝﹣3x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，
3
3
）
作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为．
【分析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，每四个点符号为一个周期，依此规律即可得出结论．【解答】由题意可得，
A1（1，
3
3
），A2（1，－3），A3（－3，－3），A4（－3，33），A5（9，33），A6（9，－93），…，
可得A2n＋1的横坐标为（－3）n
∵2019＝2×1009＋1，
∴点A2019的横坐标为：（－3）1009＝－31009，
故答案为：－31009．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．
问题15. (2019山东省泰安市)
在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，
正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x 轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．
【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．
【解答】由题意可得，
点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n个正方形对角线长的和是：2（OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋…＋C n﹣1A n）＝2（1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1），设S＝1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1，则2S＝2＋4＋8＋…＋2n﹣1＋2n，
则2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1＝2n－1，
∴前n个正方形对角线长的和是：2×（2n－1），
故答案为：2（2n－1），
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
问题16. (2019山东省淄博市)
如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当
1
2
CD AC
=时，
1
3
tan
4
α=；
如图2，当
1
3
CD AC
=时，
2
5
tan
12
α=；
如图3，当
1
4
CD AC
=时，
3
7
tan
24
α=；
⋯⋯
依此类推，当
1
(
1
CD AC n
n
=
+
为正整数）时，tan
n
α=．
【分析】分析探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，⋯，2n＋1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；⋯，2n＋1，
(2n＋1)2－1
2
，(2n＋1)2＋1
2
中的中间一个．
∴tanα＝
2n＋1
(2n＋1)2－1
2
＝
2n＋1
2n2＋2n
故答案为：
2n＋1
2n2＋2n
．
【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
问题17. (2019四川省广安市)
如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．
【分析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．【解答】由题意得，
A1的坐标为（1，0），
A2的坐标为（1，3），
A3的坐标为（－2，23），
A4的坐标为（－8，0），
A5的坐标为（－8，－83），
A6的坐标为（16，－163），
A7的坐标为（64，0），
…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣23，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为－2n﹣2，纵坐标为2n﹣23，
与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为－2n﹣1，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为－2n﹣2，纵坐标为－2n﹣23，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为－2n﹣23，
∵2019÷6＝336…3，
∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为－2n﹣2＝－22017，纵坐标为220173，
故答案为：（﹣22017，220173）．
【点评】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．
问题18. (2019浙江省衢州市)
如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，
顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则OB
OA
的值为．
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点F n－1，…，则顶点F2019的坐标为．
1
2
1
2
A
B C
D E
F
F 1
F 2
F 2019
x
y O
【分析】先证明△AOB ∽△BCD ，所以OB OA ＝DC
BC ，因为DC ＝1，BC ＝2所以OB OA ＝1
2；
（2）利用三角形相似与三角形全等依次求出F 1，F 2，F 3，F 4的坐标，观察求出F 2019的坐标．
【解答】【解答】解：（1）∵∠ABO ＋∠DBC ＝90 °，∠ABO ＋∠OAB ＝90 °，
∴∠DBC ＝∠OAB ， ∵∠AOB ＝∠BCD ＝90 °， ∴△AOB ∽△BCD ，
OB OA ＝DC
BC
， ∵DC ＝1，BC ＝2， ∴OB OA ＝12 故答案为1
2
．
（2）解：过C 作CM ⊥ y 轴于M ，过M 1作M 1N ⊥ x 轴，过F 作FN 1 ⊥ x 轴．
根据勾股定理易证得BD ＝22
＋12
＝ 5，CM ＝OA ＝255 ,DM ＝OB ＝AN ＝5
5
，
∴C (255
,5)
∵AF ＝3，M F ＝BC ＝2，
∴AM 1＝AF －M 1F ＝3－2＝1,
∴△BOA ≌ △ANM 1（AAS ），
∴NM 1＝OA ＝255
， ∵NM 1//FN 1
, ∴M 1N FN 1＝AM 1AF ，25
5FN 1
＝13 ∴FN 1＝
655., ∴AN 1＝355
， ∴ON 1＝OA ＋AN 1＝
255＋355 ＝555 ∴F (555,655
), 同理，
F 1(855,755)，即(1×3＋555，6＋15
5) F 2(1155,855)，即(2×3＋555，6＋25
5) F 3(1455,955)，即(3×3＋555，6＋35
5) F 4(1755,1055)，即(4×3＋555，6＋45
5) …
F 2019(2019×3＋555，6＋201955),即(60625
5，4055)， 故答案为即(60625
5，4055)． 【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
问题19. (2019 广西玉林市)
如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，一发光电子开始置于AB 边的点P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45︒，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB 边的碰撞次数是 ．
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【解答】如图，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点(6,0)，且每次循环它与AB 边的碰撞有2次，
∵2019 ÷ 6＝336 … 3，
当点P 第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点－的坐标为(6,4)
∴它与AB 边的碰撞次数是＝336 × 2＝672次
故答案为672．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
问题20. (2019 四川省攀枝花市)
正方形1112A B C A ，2223A B C A ，3334A B C A ，⋯按如图所示的方式放置，点1A ，2A ，3A ，⋯和点1B ，2B ，3B ，⋯分别在直线(0)y kx b k =+>和x 轴上．已知点1(0,1)A ，点1(1,0)B ，则5C 的坐标是 ．
【分析】由题意可知A 1纵坐标为1，A 2的纵坐标为2，A 3的纵坐标为4，A 4的纵坐标为8，⋯，即可得到C 1，
C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据图象得出C1(2,1),C2(5,2),C3(11,4)，即可得到C1，C2，C3，C4，C5…在
一条直线上，直线的解析式为y＝1
3
x＋
1
3
，把C5的纵坐标代入即可求得横坐标．
【解答】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，⋯，∵A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，
∴C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标分别为1，2，4，8，16
，⋯
∴根据图象得出C1(2,1),C2(5,2),C3(11,4)，
∴直线C1C2的解析式为y＝1
3
x＋
1
3
，
∵A5的纵坐标为16，∴C5的纵坐标为16，
把y＝16代入y＝1
3
x＋
1
3
，解得x＝47，
∴C5的坐标是(47，16)，
故答案为(47，16)．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．。