状态估计算法说明

配电网状态估计的作用是充分利用量测数据，辅以历史负荷数据，利用数据的冗余性，通过一定方法计算出全网状态，剔除不良数据，补足不足量测，提高量测数据的一致性和精度，为其他配网高级应用软件提供全面可靠的数据。

该三相状态估计算法是通过对传统的输电系统的状态估计算法进行改进得到，主要采用加权最小二乘算法。

由于量测数据都有一定误差，该算法对量测做了部分简化假定： 1）随机量测噪声的均值为0；
2）量测误差平方的期望值服从标准差为σ的正态分布； 3）不同量测之间互不相关。

在给定系统网络接线、支路参数和量测系统的条件下，设系统状态变量的个数为n ，量测量的个数为m ，则反映量测量与系统状态变量之间关系的非线性量测方程可写为
(4-1)
式中，
为量测量向量（简称量测向量），，其中，为系统的第i 个量测量，；
为状态变量向量（简称状态向量），，其中，为系统的第i 个状
态变量，；
为非线性量测函数，描述了量测向量与状态向量之间的关系；
为量测误差向量，，其中，为第i 个量测量的量测误差。

基本加权最小二乘状态估计法是以计算得到的状态变量的估计值所对应的量测估计值和量测值之差的加权平方和最小为目标准则的估计方法。

它是许多状态估计算法的基础方法。

给定量测向量z 和量测方程式，可建立基于加权最小二乘法的系统状态估计的目标函数
(4-2)
式中，为量测权重矩阵，，其中，为第i 个量测量的权值。

假定量测误差向量服从高斯分布，则，，其中，R 为量测误差协
方差矩阵。

由于通常可假定各个量测误差之间相互独立，因而
(4-3)
()x =+z h v z 12[,,...,]T
m z z z =z i z 1,...i m =x 12[,,...]T
n x x x =x i x 1,...i n =()h x z x v 12[,,...]T m v v v =v i v ()(())(())T J =--x z h x W z h x W 12[,,...]T
m w w w =W i w i z v ()=0E v ()=T
E R vv 2
12
2
2m R σσσ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
式中，为第i 个量测量的量测误差方差，i=1,2,…,m 。

一般可取量测权重矩阵＝，即
(4-4)
从而，式（4-2）可以写为
(4-5)
对目标函数求最小值，即可以求解出系统状态的估计量。

为求取，将式（4-5）所示目标函数对求偏导，令其为零，
(4-6)
可得
(4-7)
式中，为量测函数的雅可比矩阵，其阶数为。

(4-8)
利用泰勒级数将非线性量测函数在系统运行状态点x 0附近展开，忽略二阶及以上的高阶项，仅保留常数项和一次项，可得到线性化方程
(4-9)
对公式（4-7）和公式（4-9）联立，可得迭代方程组的形式为
(4-10)
(4-11)
其中，称之为增益矩阵；、分别为第k 次和第k+1
2
i σW 1
R -212
2
211
1m W σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
-1()(())(())T J =--x z h x R z h x min ()x
J x x ∧
x ∧
x ()
0J x x
∂=∂1()[()]0--=H x R z h x ()H x m n ⨯1111
2
2221
211
2()()()()
()()()()()()()n n m m n h h h x
x x h h h x x x h h h x x x ∂∂∂⎡⎤
⎢⎥
∂∂∂⎢
⎥
∂∂∂⎢⎥
∂⎢
⎥∂∂∂==⎢⎥∂⎢⎥
⎢
⎥
∂∂∂⎢⎥
⎢⎥∂∂∂⎣⎦
x x x x x x h x H x x
x x x 00()()()≈+∆h x h x H x x ()1()()1()()()[()]k k T k k x G x H x R z h x --∆=-(1)()()k k k x x x +=+∆()
()
1
()
()()()k T
k k G x H x R H x -=()k x (1)k x +
次迭代得到的状态变量。

最后，对公式（4-10）和公式（4-11）利用牛顿法等迭代求解，直到满足收敛判据，就
可得到系统状态的估计值。

假设5节点三相系统，
本三相状态估计算法，将每个节点的三相均视为独立的节点。

平衡节点ABC 三相相角依次为0，-120，120度，幅值均为1。

则该系统共有5×3=15个。

节点1号ABC 三相节点等效至独立节点编号为1，2，3，节点1号ABC 三相节点等效至独立节点编号为4，5，6，以此类推。

此后，该系统类似单相系统状态估计方法。

算法如下：
状态变量：所有节点的电压幅值和相角。

x T =[θ2θ3…θN V 2V 3…V N ]
量测量：为所有节点的电压幅值、有功功率、无功功率以及线路的有功功率和无功功率。

m T =[V 2V 3…V N P 1P 2…P N Q 2Q 3…Q N P 12P 23…P N−1,N Q 12Q 23…Q N−1,N ] 潮流方程：
P i =V i V j (G ij cos θij +B ij sin θij )jϵN
Q i =V i V j (G ij sin θij −B ij cos θij )jϵN
P ij =V i 2g ij −V i V j (g ij cos θij +b ij sin θij ) Q ij =−V i 2b ij −V i V j (g ij sin θij −b ij cos θij )
雅可比矩阵为：
x
H=
ðV mag
ðP inj
ðθ
ðP inj
ðV ðQ inj
ðθ
ðQ inj
ðV ðP flowðP flow
ðQ flowðQ flow
雅可比矩阵元素：
ðV i
i
=1
ðV i
j
=0
ðV i
i
=0
ðV i
j
=0
ðP i
i =V i V j −G ij sinθij+B ij cosθij−V i2B ij N
j=1
ðP i
ðθj
=V i V j G ij sinθij−B ij cosθij
ðP i ðV i =V j G ij cosθij+B ij sinθij+V i N
j=1
G ii
ðP i
j
=V i G ij cosθij+B ij sinθij
ðQ i
i =V i V j G ij cosθij+B ij sinθij−V i2G ii N
j=1
ðQ i
ðθj
=V i V j −G ij cosθij−B ij sinθij
ðQ i
i =V j G ij sinθij−B ij cosθij−V i N
j=1
B ii
ðQ i
j =V i G ij sin θij −B ij cos θij ðP ij
i
=V i V j G ij sin θij −B ij cos θij ðP ij
ðθj
=−V i V j G ij sin θij −B ij cos θij ðP ij
i
=−V j G ij cos θij +B ij sin θij +2G ij V i ðP ij
ðV j =−V j G ij cos θij +B ij sin θij ðQ ij
ðθi
=−V i V j G ij cos θij +B ij sin θij ðQ ij
ðθj
=V i V j G ij cos θij +B ij sin θij ðQ ij
ðV i
=−V j G ij sin θij −B ij cos θij −2B ij V i ðQ ij
ðV j
=−V j G ij sin θij −B ij cos θij 按雅克矩阵摆放格式得雅可比矩阵，得增益矩阵为：，根
据潮流方程及初始状态量值求得h (1)(x)，该矩阵维数等于量测量个数；根据式△
x =G(x (1))-1×H (1)T ×R -1×h (1)(x)求得修正量，判断迭代条件，若为非，则更新修正
状态量值，并重新计算雅可比矩阵，增益矩阵然后继续迭代。

该算法流程图为：
()()1()
()()()k T k k G x H x R H x -=。