学而思高中数学4-最值问题之代数式的最值

【例1】 若0x >，则4

23x x

++的最小值是_________．

【例2】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．

【例3】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ．

典例分析

代数式的最值

【例4】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫

++ ⎪⎝⎭

≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值

为（ ）

A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

【例5】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．

【例6】 正数a 、b 满足9a b =，则1

a b

+的最小值是 ．

【例7】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．

【例8】 设0,0x y ≥≥，2

2

12

y x +=，则的最大值为 ．

【例9】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫

⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭的最小值为

【例10】 设0a b >>，那么21

()

a b a b +

-的最小值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【例11】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值

是 ．

【例12】 已知

()23

200x y x y

+=>>，，则xy 的最小值是 ．

【例13】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．

【例14】

0,0,4,a b a b >>+=求2

2

11a b a b ⎛

⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭的最小值．

【例15】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2

y xz

的最小值是 ．

【例16】 已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x = ，y = 时，xy 有最大值

为 ．

【例17】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ，此时a = ，

b = ．

【例18】 求函数2

y =

的最小值．

【例19】 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块

是梯形，记()2

s =

梯形的周长梯形的面积

，则s 的最小值是 ．

【例20】 设实数x ，y 满足2

38xy ≤≤，249x y ≤≤，则3

4x y

的最大值是 ．

【例21】 求函数

y =的最小值．

【例22】 求函数2211

()1f x x x x x

=+++

+的最小值．

【例23】 已知3x ≥，求4

y x x

=+的最小值．

【例24】 求函数2

y =

的最小值．

【例25】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3-

D ．2-

【例26】 ⑴求函数22

4

1

y x x =+

+的最小值，并求出取得最小值时的x 值．

⑵求y =的最大值．

【例27】 ⑴求函数21

1

ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．

⑵求函数3

12y x x

=--的取值范围．

【例28】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．

⑵求2

y =

的最小值．

⑶求函数2

y =的最值．

【例29】 ⑴已知54x <

，求函数1

1454y x x

=-+-的最小值． ⑵求函数3

12y x x =--的取值范围．

⑶求函数22

(2)y x x =-的最大值．

【例30】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222

()≥a b a b x y x y

+++，指出

等号成立的条件；

⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =

+

-（1

(0)2

，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．

【例31】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-+

+->和2

213()32(0)f x x x x x x

=+++->的最小

值．

【例32】 求函数42233

1

x x y x ++=+的最小值．

【例33】 函数()f x =的最大值为（ ）

A ．

25

B ．

12

C D ．1

【例34】 设函数1

()21(0)f x x x x

=+

-<，则()f x （ ） A ．有最大值

B ．有最小值

C ．是增函数

D ．是减函数

【例35】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值

为 ．