4 第4讲 数列求和

第4讲 数列求和

1．基本数列求和方法 (1)等差数列求和公式：S n ＝

n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）

2

d ． (2)等比数列求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.

2．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）

2；

(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n ． 3．数列求和的常用方法 (1)倒序相加法

如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (2)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． (3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (4)分组转化法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法

一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ≥2时，1n 2－1＝1n －1－1n ＋1

.( )

(2)利用倒序相加法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( ) (3)若S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，当a ≠0，且a ≠1时，求S n 的值可用错位相减法求得．( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －

1·n ，则S 17＝( ) A ．9 B ．8 C ．17

D ．16

解析：选 A.S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.

(教材习题改编)数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 017

2 018，则项数n 为( )

A ．2 016

B ．2 017

C ．2 018

D ．2 019

解析：选B.a n ＝

1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

，

S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 017

2 018

，所以n ＝2 017.

已知数列：112，214，31

8，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________． 解析：设所求的前n 项和为S n ，则

S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋12＋14＋…＋12n ＝n （n ＋1）2＋1－1

2n .

答案：n （n ＋1）2＋1－1

2

n

已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n ＝n ·2n ，则S n ＝________． 解析：S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 所以2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋

1，②

①－②得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋

1＝

2×（1－2n ）1－2

－n ×2n ＋

1，

所以S n ＝(n －1)2n ＋

1＋2. 答案：(n －1)2n ＋

1＋2

分组转化法求和

[典例引领]

(2018·合肥市第一次教学质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

【解】 (1)因为{a n }为等差数列，

所以⎩⎨⎧S 4

＝4a 1

＋4×3

2d ＝24S 7

＝7a 1

＋7×62d ＝63

⇒⎩

⎪⎨⎪⎧a 1

＝3

d ＝2⇒a n

＝2n ＋1.

(2)因为b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋

1＋(－1)n ·(2n ＋1)＝2×4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)， 所以

T n ＝2×(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n ·(2n ＋1)]＝

8（4n －1）

3

＋G n . 当n ＝2k (k ∈N *)时，G n ＝2×n

2＝n ，

所以T n ＝8（4n －1）

3＋n ；

当n ＝2k －1(k ∈N *)时，

G n ＝2×n －1

2－(2n ＋1)＝－n －2，

所以T n ＝8（4n －1）

3

－n －2，

所以T n

＝⎩⎨⎧8（4n －1）

3

＋n （n ＝2k ，k ∈N *）8（4n

－1）

3－n －2（n ＝2k －1，k ∈N *

）

.

分组转化法求和的常见类型

(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；

(2)通项公式为a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，

c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可

采用分组转化法求和．

[通关练习]

1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －n ，前n 项和为S n ，则S n ＝________． 解析：S n ＝21＋22＋…＋2n －(1＋2＋…＋n ) ＝2（1－2n ）1－2－n （1＋n ）2＝2n ＋1－n 2＋n ＋4

2.

答案：2

n ＋1

－n 2＋n ＋4

2

2．(2018·福建福州八中第六次质检)在等比数列{a n }中，公比q ≠1，等差数列{b n }满足b 1＝a 1＝3，b 4＝a 2，b 13＝a 3.

(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2)记c n ＝(－1)n b n ＋a n ，求数列{c n }的前2n 项和S 2n .