2019高中数学《等比数列》PPT课件

等比数列的通项公式 ：an=a1qn-1
在等比数列{an}中 ，首项为a1 ，公比为q，那 么数列中的各项能不能用a1和q来表示 ？
a2=a1q a3=a2q= a1q2
a4=a3q = a1q3
……………………
a10= a1q9
猜想：an= a1qn-1 当n=1时，上式也成立
a2 : a1 = q a3 : a2 = q a4 : a3 = q
2n 3n 6n
是
( 1)n 2
( 1)n 3
(1)n 6
是
结论：如果an bn是项数相同的等
比数列，那么an bn也是等比数列．
证明：设数列an的公比为p，bn 的公比为
q，那么数列an bn 的第n项与第n+1项分
别 与为a1ba11(ppnq1)n．b1qn1 与 a1pn b1qn ，即 a1b1(pq)n1
1 , 1 , 1 , 1 , ; 24 8
1
从第2项起,每一项与它前一项的比等于--
2
它们有什么共同特点 ?
特点 : 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数.
1.等比数列定义:
记忆
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同 一个常数,那么,这个数列就叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q 不等于0）。
因为
a b n1 n1 a b1 1(pq)n pq,
an bn
a b1 1 (pq)n1
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq
为公比的等比数列．
特别地，如果是a n 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 c a n 也是等比数列．
探究
对于例４中的等比数列 a n 与bn ，数
练习 ：
（1） 已知 a1=2 ，q=2 ，求a10
（2） 已知 a10=2-10 ，a1= 1 ，求q 2
（3） 已知 a1=2 ，q= 2 ，an=210 ，求 n
（4）已知 a10=310 ，q= 1 ， 求a1 31
答案：（1)a10=_1_0_2_4__ (2)q=__2___ (3)n=_1_8____ (4)a1=_3_19___
是 列

an bn

也一定是等比数列吗？
知识拓展
一、通项公式的推广
an am qnm
二、等比数列的性质
1、若m, n, p, q N ,且m n p q,
则a m a n a p aq
2、an
.an1
...a2
.a1仍
为等比数
列
其
公
比
为1 q
ac b2
1.定义
2.公比(差)
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等比数列
an1 q an
q不可以是0,
等差数列
an1 an d
d可以是0
3.等比(差) 中项
等比中项
G ab
等差中项
2A a b
4.通项公式 an a1qn1 an a1 (n 1)d
an amqnm an am (n m)d
……
a a n-1 : n-2 = q an : an-1 = q
这（n－1）个式子迭乘
an : a1 = qn-1
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3
……
a a q 由此得到 n = 1 n-1
等比数列的通项公式 ：
an = a1 qn-1
2、等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列：
②通项公式： an = a1 qn-1
及推导
二、引观入察新课数：列
5, 25, 125 ,625, ……
从第2项起,每一项与它前一项的比等于5.
1 , 1 , 1 , 1 , ; 3 9 27
从第2项起,每一项与它前一项的比等于1/3
2, 4, 8, 16, ……,
从第2项起,每一项与它前一项的比等于2
（1）1，±3， 9
（2）-1， ±2 ，-4
（3）-12，±6 ，-3
（4）1，±1 ，1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，
那么G叫做a与b的等比中项。
G ab 即G2 ab
分类：
q>1 0<q<1 q=1
q<0
a1>0 递增 递减 常数列 a1<0 递减 递增 常数列
3、a1.an a2 .an1 a3 .an2 ...
4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。
三、判断等比数列的方法
定义法:
an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0） a中n 项法:
an1 an1 an2 ( 0) 三个数a,b,c成等比数列
是
（2） 2 ，2 ，2 ，2 ，…… ；
是
（3） 0 ，0 ，0 ，0 ，…… ；
不是
（4） 2 ，3 ，9 ，27 ，……；
不是
思考： 1 等比数列中的项能否为零 ？
2 等比数列的公比能否为零 ？ 3 常数列一定是等比数列吗 ？
注：对定义的认识
1.等比数列的首项不为0, 即a1≠0。 2.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 3.公比不为0，即q≠0。
等比数列
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d
用什么方法如推出的呢？图像怎样？
要点扫描：
本节课主要学习
①等比数列的定义：“从第2项起， 后项与前一项比为常数”。
数学语言：an : an-1 = q
(q是常数且不为0,n≥2，n∈N*）
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？ 如果是,a必须满足什么条件？
(1) a＝0; 它只是等差数列。 (2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
判断以下数列是不是等比数列：
（1） 1 ，3 ，9 ，27 ，…… ；
5.性质 (若m+n=p+q)
am
an

ap

aq
am an ap aq
作业： P53
1,2,5/8。
练习册
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，则：
12=a1q2 18=a1q3
所以 a1=16/3
q=3/2
a2=8
答：这个数列的第1项与第2项分别为16/3 与8。
变式练习 ：如果已知等比数列{an}中的a3=8 ，
a5=32， 求 a1与q。
例1 某农科小组培育水稻新品种，如果第一代 得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各 代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种 子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子 多少粒（保留两个有效数字）？
解 ：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍
所以，逐代的种子数组成一个等比数列，记为{an}， 其中 a1=120 ，q=120 所以 a5=a1q4=120×1204≈2.5×1010 答 ：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒。