高一数学月考试题及答案
2023-2024学年河南省高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,0,3B =-，则()R A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}0,1C ．{}1,0,3-D ．{}1,3-【正确答案】D【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A ，再由集合的补集和交集运算可求得答案.【详解】因为{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，所以{R |0A x x =<ð或}2x >，又{}1,0,3B =-，所以(){}1,3R A B ⋂=-ð，故选：D ．2．已知函数()f x =()()3y f x f x =+-的定义域是（）A ．[-5，4]B ．[-2，7]C ．[-2，1]D ．[1，4]【正确答案】D【分析】由函数解析式可得2820x x +-≥，解不等式可得24x -≤≤，再由24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩即可求解.【详解】由()f x =2820x x +-≥，解得24x -≤≤，所以函数()()3y f x f x =+-的定义域满足24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得14x ≤≤，所以函数的定义域为[1，4].故选：D 3．不等式3112x x-≥-的解集是（）A ．3{|2}4x x ≤≤B ．3{|2}4x x ≤<C ．{>2x x 或3}4x ≤D ．3{|}4x x ≥【正确答案】B【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为()()432020x x x ⎧--⎨-≠⎩，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【详解】解：不等式3112x x --可转化为31102x x ---，即4302x x --，即4302x x --，所以不等式等价于()()432020x x x ⎧--⎨-≠⎩，解得：324x <，所以原不等式的解集是3{|2}4x x <．故选：B ．4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N+，使n ≥2x+1”的否定形式是（）A ．∀x ∈R ，∃n ∈N+，有n<2x+1B ．∀x ∈R ，∀n ∈N+，有n<2x+1C ．∃x ∈R ，∃n ∈N+，使n<2x+1D ．∃x ∈R ，∀n ∈N+，使n<2x+1【正确答案】D【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的∀→∃、∃→∀，然后把结论否定，即可确定答案【详解】条件中的∀→∃、∃→∀，把结论否定∴“∀x ∈R ，∃n ∈N+，使n ≥2x+1”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N+，使n<2x+1”故选：D本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的∀→∃、∃→∀且否定原结论5．已知12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则32a b -的取值范围是（）A ．3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】令32()()a b m a b n a b -=-++求,m n ，再利用不等式的性质求32a b -的取值范围.【详解】令32()()()()a b m a b n a b m n a n m b -=-++=++-，∴32m n n m +=⎧⎨-=-⎩，即51,22m n ==，∴55()5,121()222a b a b ≤-≤≤+≤，故73272a b ≤-≤.故选：D6．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】首先过点C 作CD AB ⊥于点D ，由ABC 中，90ACB ∠= ，30A ∠= ，可求得B ∠的度数与AD 的长度，再分别从当012AD ≤≤与当1216x <≤时，去分析求解即可求得y 与x 之间的函数关系式，进一步选出图象.【详解】过点C 作CD AB ⊥于点D ，因为90ACB ∠= ，30A ∠= ，16AB =，所以60B ∠= ，142BD BC ==，12AD AB BD =-=.如图1，当012AD ≤≤时，AP x =，tan 30PQ AP x =⋅ ，所以21236y x x x ==，如图2：当1216x <≤时，16BP AB AP x =-=-，所以)tan 6016PQ BP x =⋅=-，所以)211622y x x x =-=-+，故选：D此题考查了动点问题，注意掌握含30 直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题.7．已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（）A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+C ．()()211xf x x x =≠-+D ．()()211xf x x x =-≠-+【正确答案】A 【分析】令11x t x -=+，则11tx t-=+，代入已知解析式可得()f t 的表达式，再将t 换成x 即可求解.【详解】令11x t x -=+，则11tx t-=+，所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，所以()()2211xf x x x=≠-+，故选：A.8．已知0x >，0y >，且2121x y+=+，若2231x y m m +>--恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1m ≤-或4m ≥B ．4m ≤-或m 1≥C ．14-<<mD ．41m -<<【正确答案】C 由2121x y +=+得121y x=+，利用基本不等式求出2x y +的最小值，再将不等式恒成立转化为最值，解不等式可得结果.【详解】由2121x y +=+得212(1)y x x y ++=+，所以12x xy +=，所以121y x=+，所以121x y x x +=++13≥=，当且仅当1,1x y ==时，等号成立，所以()min 23x y +=，所以2231x y m m +>--恒成立，可化为2331m m >--，即2340m m --<，解得14-<<m .故选：C结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；二、多选题9．有以下判断，其中是正确判断的有（）.A ．()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数B ．函数()22122x f x x =+++的最小值为2C ．函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个D ．若()1f x x x =--，则112f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】CD【分析】根据函数的定义域可判断A 的正误，根据基本不等式可判断B 的正误，根据函数的定义可判断C 的正误，根据函数解析式计算对应的函数值可判断D 的正误.【详解】对于A ，()xf x x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，而()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ，两个函数的定义域不同，故两者不是同一函数.对于B ，由基本不等式可得()221222f x x x =++≥+，但221x +=无解，故前者等号不成立，故()2f x >，故B 错误.对于C ，由函数定义可得函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个，故C 正确.对于D ，()1012f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：CD.10．下面命题正确的是（）A ．“3x >”是“5x >"的必要不充分条件B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件C ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件D ．设,R x y ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件【正确答案】ABC【分析】利用充分条件，必要条件的定义逐项判断作答.【详解】对于A ，3x >不能推出5x >，而5x >，必有3x >，“3x >”是“5x >"的必要不充分条件，A 正确；对于B ，若0ac <，一元二次方程20ax bx c ++=判别式240b ac ∆=->，方程有二根12,x x ，120cx x a=<，即12,x x 一正一负，反之，一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根12,x x ，则120cx x a=<，有0ac <，所以“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件，B 正确；对于C ，当1x ≠时，若3x =，有2430x x -+=，当2430x x -+≠时，1x ≠且3x ≠，因此“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，,R x y ∈，若4x y +≥，取1,4x y ==，显然“2x ≥且2y ≥”不成立，而2x ≥且2y ≥，必有4x y +≥，设,R x y ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的必要不充分条件，D 不正确.故选：ABC11．函数()1,Q0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）A ．函数()D x 的值域为[]0,1B ．若()01D x =，则()011D x +=C ．若()()120D x D x -=，则12x x -∈Q D ．x ∃∈R ，(1D x =【正确答案】BD【分析】求得函数()D x 的值域判断选项A ；推理证明判断选项B ；举反例否定选项C ；举例证明x ∃∈R ，(1D x =.判断选项D.【详解】选项A ：函数()D x 的值域为{}0,1.判断错误；选项B ：若()01D x =，则0Q x ∈，01Q x +∈，则()011D x +=.判断正确；选项C ：()()2ππ000D D -=-=，但2ππ=πQ -∉.判断错误；选项D ：当x =时，((()01D x D D ===.则x ∃∈R ，(1D x =.判断正确.故选：BD12．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A ．224a b -≤B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【正确答案】ABD【分析】根据集合{}20,0x x ax b a ++=>子集的个数列方程，求得,a b 的关系式，对A ，利用二次函数性质可判断；对B ，利用基本不等式可判断；对CD ，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，所以2240,4a b a b ∆=-==，由于0a >，所以0b >.A ，()22224244a b b b b -=-=--+≤，当2,b a ==时等号成立，故A 正确.B ，21144a b b b +=+≥=，当且仅当114,,2b b a b ===时等号成立，故B 正确.C ，不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，120x x b =-<，故C 错误.D ，不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则1212,x x a x x b c +=-=-，则()()22212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==，4c ∴=，故D 正确，故选：ABD三、填空题13．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,求()1f f -=⎡⎤⎣⎦________.【正确答案】5【分析】先求()1f -，再根据()1f -值代入对应解析式得()1.f f ⎡⎤-⎣⎦【详解】因为()()1212,f -=-⨯-=所以()[]1241 5.f f f ⎡⎤-==+=⎣⎦求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.14．已知正实数a 、b 满足131a b+=，则()()12a b ++的最小值是___________.【正确答案】13+13+【分析】由已知可得出3ba b =-且3b >，化简代数式()()12a b ++，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为正实数a 、b 满足131a b +=，则03b a b =>-，由0b >可得3b >，所以，()()()()()()32312122222333b b a b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫++=++=++=++⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()()()33515222313131333b b b b b -+=++=-++≥+=+--当且仅当62b =时，等号成立.因此，()()12a b ++的最小值是13+.故答案为.13+15．对于[]1,1a ∈-，()2210x a x a +-+->恒成立的x 取值________.【正确答案】()(),02,-∞+∞ 【分析】设()()()2221121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+关于a 的一次函数，只需()()1010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩即可求解.【详解】令()()()2221121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+，因为对于[]11a ∈-，，不等式()2210x a x a +-+->恒成立，所以()()1010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩即220320x x x x ⎧->⎨-+>⎩解得：0x <或2x >.故答案为.()()02-∞⋃+∞，，方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.16．若函数2()2f x x x =+，()2(0)g x ax a =+>，对于1x ∀∈[]1,2-，[]21,2x ∃∈-，使12()()g x f x =，则a 的取值范围是_____________.【正确答案】(]0,3【分析】由题意可知函数()g x 在区间[]1,2-的值域是函数()f x 在区间[]1,2-的值域的子集，转化为子集问题求a 的取值范围.【详解】()()20g x ax a =+>在定义域上是单调递增函数，所以函数在区间[]1,2-的值域是[]2,22a a -+函数()22f x x x =+在区间[]1,2-是单调递增函数，所以函数()f x 的值域是[]1,8-，由题意可知[][]2,221,8a a -+⊆-，所以21228a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得.3a ≤故答案为.(]0,3本题考查双变量等式中任意，存在问题求参数的取值范围，重点考查函数的值域，转化与化归的思想，属于中档题型.四、解答题17．已知{|13}A x x =-<≤，{|13}B x m x m =≤<+（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）(1,4)A B =-U ；（2）()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ．（1）利用集合的并集定义代入计算即可;（2）求出集合R A ð，利用集合包含关系，分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列出关于m 的不等式，求解可得答案.【详解】（1）当1m =时，{|14}B x x =≤<，则{|14}A B x x ⋃=-<<即(1,4)A B =-U ．（2）{|1R A x x =≤-ð或}(]()3,13,x >=-∞-⋃+∞，由R B A ⊆ð，可分以下两种情况：①当B =∅时，13m m ≥+，解得：12m ≤-②当B ≠∅时，利用数轴表示集合，如图由图可知13131m m m <+⎧⎨+≤-⎩或133m m m <+⎧⎨>⎩，解得3m >；综上所述，实数m 的取值范围是：12m ≤-或3m >，即()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.18．（1）已知a b c <<，且0a b c ++=，证明：a a a c b c<--．（2213a a a a ---(3)a ≥【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；(2)a 3a -<1a -2a -，对不等式两边同时平方后只需证明()3a a -<()()12a a --.【详解】证明：（1）由a b c <<，且0a b c ++=，所以0a <，且0,a cbc -<-<所以()()0a c b c -->，所以()()a c a c b c -<--()()b c a c b c ---，即1b c -<1a c -；所以a b c ->a a c -，即a a c -<a b c-．（2213a a a a ---，(3)a ≥a 3a -<1-a 2a -，即证(3)(3)(1)(2)2(1)(2)a a a a a a a a +-+--+-+--()3a a -<()()12a a --即证(3)(1)(2)a a a a -<--；即证02<，显然成立；213a a a a ---19．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．【正确答案】(1)a ＝﹣1，b ＝2(2)见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；（2）当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0，即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-；当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.20．（1）求函数()3f x x 在区间[]2,4上的值域.（2）已知二次函数2()1(R)f x x mx m m =-+-∈.函数在区间[]1,1-上的最小值记为()g m ，求()g m 的值域；【正确答案】（1）12,4⎤-⎦；（2）(]0-∞，【分析】(1)t =，可得函数()22()36318g t t tt t =--=+-，讨论其值域即可求解；(2)分类讨论二次函数的对称轴与给定区间[]1,1-的关系，分别表示出函数的最小值，表示为分段函数形式，作出图象即可求解.【详解】(1)函数()3f x x =，t =，则26x t =-∵[]2,4x ∈2t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318g t t t t t =--=+-其对称轴16t =-，2t ≤≤时()g t 单调递增，∴()(2)g g t g ≤≤，12()4g t -≤≤-，故得()f x的值域为12,4⎤--⎦.（2）2()1f x x mx m =-+-，二次函数对称轴为2m x =，开口向上①若12m <-，即2m <-，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以最小值()(1)2g m f m =-=.②若112m -≤≤，即22m -≤≤，此时当2m x =时，函数()f x 最小，最小值2()124m m g m f m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.③若12m >，即m>2，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以最小值()(1)0g m f ==.综上22,2()1,2240,2m m m g m m m m <-⎧⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪>⎪⎩，作出分段函数的图像如下，所以当2m <-时，()(,4);g m ∈-∞-当22m -≤≤时，[]4,0;g(m)∈-当m>2时，()0g m =，综上知()g m 的值域为(]0.，-∞21．今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()2101001000,040100007018450,40x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元【分析】（1）根据已知条件求得分段函数()W x 的解析式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得()W x 的最大值以及此时的产量.【详解】（1）当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）若040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元；若40x ≥，()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=即100x =时，()max 8000W x =万元.答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.22．已知()11282,0,11f x f x x x x x ⎛⎫+=+-≠≠ ⎪-⎝⎭，(1)求()f x 的解析式；(2)已知()()()22,22g x mx mx g x x f x m =--<-+在()1,3上有解，求m 的取值范围．【正确答案】(1)1()2f x x=+，0,1x x ≠≠；(2)3m <.【分析】（1）根据给定条件，用11,1x x x--依次替换x ，再消元求解作答.（2）由（1）结合已知，变形不等式，分离参数构造函数，求出函数在()1,3的最大值作答.【详解】（1）0,1x x ≠≠，11()2()821f x f x x x +=+--，用11x-替换x 得：11()2912()1x f f x x x x -+=-+--，则有1114()4()8222(9)1011x f x f x x x x x x x --=+---+=-+---，用1x x-替换x 得：1112()2()82(1)711x f f x x x x x x x -+=+--=++--，于是得99()18f x x =+，则1()2f x x=+，所以()f x 的解析式为1()2f x x=+，0,1x x ≠≠.（2）(1,3)x ∈，2221()()22(2)22g x x f x m mx mx x m x-<-+⇔--+<-+，即22(2)22m x x x x -+<++，于是得22222x x m x x ++<-+，令2222(),132x x h x x x x ++=<<-+，依题意，(1,3)x ∈，()m h x <有解，当(1,3)x ∈时，222223()22323()22222222[()][()]23333x x x x h x x x x x x x -++-==+=+-+-+-+--++322316219(2333x x =+≤+-++-，当且仅当1629233x x -=-，即2x =时取等号，因此当2x =时，max ()(2)3h x h ==，则3m <，所以m 的取值范围是3m <．。
数学高一月考试题及答案
数学高一月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2+3x-5，则f(-2)的值为：A. 3B. -3C. -1D. 12. 在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，该圆的半径为：A. 2B. 4C. 5D. 64. 若sinθ=1/3，且θ为第一象限角，则cosθ的值为：A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. 2√6/35. 函数y=x^3-3x+2在x=1处的导数为：B. 1C. 2D. 36. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，那么a_5的值为：A. 162B. 486C. 729D. 9728. 若直线y=2x+1与圆x^2+y^2=25相切，则该直线与x轴的交点坐标为：A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)9. 函数f(x)=x^2-2x+3的最小值为：A. 2B. 1C. 0D. -110. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 6)，则向量a与向量b的夹角A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点为x_0，则f'(x_0)的值为________。
2. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_4的值为________。
3. 圆心在原点，半径为5的圆的方程为________。
4. 若sinα=3/5，且α为第二象限角，则cosα的值为________。
5. 函数y=|x-2|+|x+3|的最小值为________。
广西壮族自治区贵百河武鸣高中2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学(含解析)
2024级“贵百河—武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A . B.C .D .2.已知命题，则是（ ）A .B .C .D .3.已知集合，则“”是“集合M 仅有1个真子集”的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（）A .3B .0C .1D .25.给出下列结论：①两个实数a ，b 之间，有且只有a ﹥b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种；②若，则a ﹥b ；③若，；④已知，则.其中正确结论的个数为（ ）A .1B .2C .3D .4x123230{32}A x x =-<<{05}B x x =<<{35}x x -<<{02}x x <<{30}x x -<≤{3025}x x x -<≤≤<或2:1,1p x x ∀<->p ⌝21,1x x ∃≤-≤21,1x x ∃<-≤21,1x x ∀<->21,1x x ∀≥->{}()210R M x ax x a =-+=∈14a =)(x f y ＝)(x g y ＝()1f g ⎡⎤⎣⎦1>ab0a b >>0a bc d d c >>⇒>0ab >11a b a b>⇔<()f x6.已知函数的定义域是，则的定义域为（）A .B .C .D .7．已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .8.已知正实数a ，b ，记，则M 的最小值为（）AB .2C .1D .二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题含答案
2024年09月高一数学月考试题（答案在最后）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，则U M =ðA.U B.{}1,3,5 C.{}2,4,6 D.{}3,5,6【答案】D 【解析】【详解】试题分析：因为{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，所以，{}3,5,6U M =ð故选D.考点：集合的运算.2.已知集合A={x|x (x+4)=0}，则下列结论正确的是（）A.0∈AB.-4∉A C .4∈AD.2∈A【答案】A 【解析】【分析】首先求出集合A ，即可判断元素与集合的关系；【详解】解：∵A={x|x (x+4)=0}={0，-4}，∴0∈A.故选：A【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题.3.设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（）.A.N n ∀∈，22n n >B.N n ∀∈，22n n ≤C.n ∃∈N ，22n n >D.n ∃∈N ，22nn ≤【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.【详解】因为命题:p n N ∃∈，22n n >，所以p ⌝为N n ∀∈，22n n ≤.故选：B.4.已知集合M={-1，0，1，2}和N={0，1，2，3}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示的集合是（）A.{0}B.{0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2，3}【答案】C 【解析】【分析】利用交集的定义求解.【详解】由题图可知：阴影部分对应的集合为M ∩N={0，1，2}，故选：C .【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.5.下列函数中与函数y x =是同一函数的是（）A.2y =B.2n m n=C.y =D.u =【答案】D 【解析】【分析】根据同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数y x =的定义域为R ，对于A 中，因为函数2y =的定义域为[0,)+∞，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，所以A 不符合题意；对于B 中，因为函数2n m n=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，所以B 不符合题意；对于C 中，由函数y x ==的定义域为[0,)+∞，所以两函数对应关系都不相同，不是同一函数，所以C 不符合题意；对于D 中，因为u v ==的定义域为[0,)+∞，则两函数的定义域和对应关系都相同，所以两函数是同一函数，所以D 符合题意.故选：D.6.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合平行四边形与正方形的定义，利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”，但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”，故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.7.设R x ∈，则“2430x x -+<”是“220x x +->”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出两个不等式对应的解集，根据解集的关系，结合充分与必要条件的概念判断即可．【详解】设{}{}{}2430(1)(3)0||13|A x x x x x x x x -+<-=-=<=<<{}{}{}2(1)(2)012|20||B x x x x x x x x x =+->==-+>><-或∴x A x B ∈⇒∈，但x B ∈推不出x A∈∴“2430x x -+<”是“220x x +->”的充分而不必要条件．故选：A ．8.命题∃x ∈R,x +1＜0的否定是A.∃x ∈R,x +1≥0 B.∀x ∈R,x +1≥0C.∃x ∈R,x +1＞0． D.∀x ∈R,x +1＞0【答案】B 【解析】【分析】根据存在性命题的否定写结果.【详解】∵∃x ∈R,x +1＜0∴∀x ∈R,x +1≥0故选：B二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.下列说法正确的是（）A.QB.若A B A B ⋃=⋂，则A B =C.若A B B = ，则B A ⊆D.若,a A a B ∈∈，则∈ a A B【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，由集合间的关系以及集合的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.是无理数，Q 为有理数集，故A 错误；若A B A B ⋃=⋂，则必有A B =，故B 正确；若A B B = ，则有B A ⊆，故C 正确；如果有一个元素既属于集合A 又属于集合B ，则这个元素一定属于A B ⋂，故D 正确；故选：BCD10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（）A.0a < B.0c >C.20cx bx a ++<的解集为11x x nm ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.20cx bx a ++<的解集为1x x n ⎧<⎨⎩或1x m ⎫>⎬⎭【答案】AD 【解析】【分析】由题可得,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，利用韦达定理表示出,b c ，即可求解不等式.【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，所以,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，故A 正确，则b m n a c mn a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(),b m n a c mna =-+=，因为0m >，则0n >，所以0c mna =<，故B 错误；不等式20cx bx a ++<化为()20mnax m n ax a -++<，即()210mnx m n x -++>，即()()110mx nx -->，因为0m n <<，所以11m n >，则不等式的解集为1x x n ⎧<⎨⎩或1x m ⎫>⎬⎭，故C 错误，D 正确.故选：AD.11.已知,0,260x y x y xy >++-=，则（）A.xy 的最大值为B.2x y +的最小值为4C.x y +的最小值为3-D.22(2)(1)x y +++的最小值为16【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，对不等式变形为26x y xy +=-，利用基本不等式得到6xy -≥，求出xy 的最大值；B 选项，将不等式变形为()62xy x y =-+，利用基本不等式得到()()22628x y x y +-+≤，求出2x y +的最小值；C 选项，对不等式变形为()()16y x x y +=-+，利用()()2114y x y x +++≤求解x y +的最小值；D 选项，不等式变形为()()218x y ++=，利用基本不等式求出和的最小值.【详解】由260x y xy ++-=得：26x y xy +=-，因为,0x y >，所以260x y xy +=->，所以06xy <<，由基本不等式可得：2x y +≥当且仅当2x y =时，等号成立，此时6xy -≥，解得：18xy ≥或2xy ≤，因为6xy <，所以18xy ≥舍去，故xy 的最大值为2，A 错误；由260x y xy ++-=得：()62xy x y =-+，因为,0x y >，所以()620x y -+>，所以026x y <+<，由基本不等式可得：()2224x y xy +≤，当且仅当2x y =时等号成立，即()()22628x y x y +-+≤，解得：24x y +≥或212x y +≤-，因为026x y <+<，所以212x y +≤-舍去，故2x y +的最小值为4，B 正确；由260x y xy ++-=变形为()16x y y x +++=，则()()16y x x y +=-+，由基本不等式得：()()2114y x y x +++≤，当且仅当1y x =+时等号成立，此时()()2164y x x y ++-+≤，令()0x y t t +=>，则由()2164t t +-≤，解得：3t -≥或3t -≤（舍去）所以x y +的最小值为3-，C 正确；由260x y xy ++-=可得：()()218x y ++=，从而22(2)(1)2(2)(1)2816x y x y +++≥++=⨯=当且仅当21x y +=+时，即2x =-，1y =-等号成立，故22(2)(1)x y +++最小值为16.故选：BCD ，12.已知有限集{}()12,,,2,n A a a a n n =⋅⋅⋅≥∈N ，如果A 中元素()1,2,3,,i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，就称A 为“完美集”下列结论中正确的有（）A.集合{11---不是“完美集”B.若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，则1a 、2a 至少有一个大于2C.2n =的“完美集”个数无限D.若*i a ∈N ，则“完美集”A 有且只有一个，且3n =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定A 错误，B 和C 正确；设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，得到121n a a a n -⋅⋅⋅<，分2n =和3n =，两种情况分类讨论，可判定D 正确.【详解】对于A 中，((112-+-+=-，(112--+=-，集合{11--+是“完美集”，所以A 错误；对于B 中，若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，设12120a a a a t +=⋅=>，根据根和系数的关系1a 和2a 相当于20x tx t -+=的两根，由240t t ∆=->，解得4t >或0t <（舍去），所以124a a ⋅>，所以1a 、2a 至少有一个大于2，所以B 正确；对于C 中，由B 知，一元二次方程20x tx t -+=，当t 取不同的值时，12,a a 的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以所以C 正确；对于D 中，不妨设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，由1212n n n a a a a a a na ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+<，得121n a a a n -⋅⋅⋅<，当2n =时，即有12a <，所以11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“完美集”；当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“完美集”A 只有一个，为{}1,2,3．当4n ≥时，由()1211231n a a a n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即有()1231n n >⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，事实上，()()()()221231123222n n n n n n n n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-≥--=-+=--+>，矛盾，所以当4n ≥时不存在完美集A ，所以D 正确．故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设()1+,>0=0,=0π,<0x x x f x x x x⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则(π)f -的值为__________．【答案】-1【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】π(π)==1πf ---.故答案为：−114.命题“0x ∃∈R ，2007210x x -+≤”的否定是_____________．【答案】x ∀∈R ，27210x x -+>【解析】【分析】由存在性命题的否定可直接得到结果.【详解】由存在性命题的否定可得原命题的否定为：x ∀∈R ，27210x x -+>.故答案为：x ∀∈R ，27210x x -+>.15.若2x >，则2242x x y x -+=-的最小值为__________．【答案】6【解析】【分析】化简22442222x x y x x x -+==-++--，然后利用基本不等式求解即可【详解】因为2x >，所以()()22222424422222x x x x y x x x x -+-+-+===-++---26≥=，当且仅当422x x -=-即=4x 时，取等号，故2242x x y x -+=-的最小值为6，故答案为：616.不等式32x x-<的解集为_______【答案】{|1x x <-或}03x <<【解析】【分析】将不等式化为2230--<x x x，则(1)(3)0x x x +-<，再根据高次不等式得解法即可得解.【详解】解：由32x x-<，得2230--<x x x，即(1)(3)0x x x +-<，解得1x <-或03x <<，所以原不等式的解集为{|1x x <-或}03x <<．故答案为：{|1x x <-或}03x <<.四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知{}{},,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C ⊆⊆==求A ．【答案】{}2或φ【解析】【分析】,A B A C ⊆⊆，则A B C ⊆ ，可得集合A ．【详解】{}{}1,2,3,5,0,2,4,8B C ==，则{}2B C ⋂=，则{}2A =或A φ=．18.已知全集为R ，集合{}2=12+200P x x x -≤，集合{}=<>2+1(>0)M x x a x a a 或．（1）若x P ∈是x M ∈成立的充分不必要条件，求的取值范围；（2）若()R P M =∅ ð，求的取值范围．【答案】（1）10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得，集合P 是集合M 的真子集，由此即可求解；（2）先求出R M ð，再求出满足()R P M =∅ ð时的取值范围即可．【小问1详解】因为x P ∈是x M ∈成立的充分不必要条件，所以集合P 是集合M 的真子集，因为{}{}2=12+200=210P x x x x x -≤≤≤，集合{}=<>2+1(>0)M x x a x a a 或，所以10a <或221a >+，解得102a <<或10a >，故的取值范围为10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】因为集合{}=<>2+1(>0)M x x a x a a 或，所以{}R =2+1(>0)M x a x a a ≤≤ð，又因为()R P M =∅ ð，所以10a >或212a +<，解得102a <<或10a >，故的取值范围为10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．19.（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．【答案】（1）9；（2）43．【解析】【分析】（1）由于10x ->，则()114141511x x x x ++=-++--，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于01x <<，变形得()()()1433433x x x x -=⋅⋅-，然后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为1x >，所以10x ->，所以()11414155911x x x x ++=-++≥+=--，当且仅当()1411x x -=-，即32x =时取等号，所以1411x x ++-的最小值为9．（2）因为01x <<，所以()()()2113434433433323x x x x x x +-⎛⎫-=⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当343x x =-，即23x =时取等号，故()43x x -的最大值为43．20.科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润()p x （单位：万元）与投入的月研发经费x （1540x ≤≤，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，()2189010p x x x =-+-；当投入月研发经费高于36万元时，()0.454p x x =+．对于企业而言，研发利润率()100%p x y x =⨯，是优化企业管理的重要依据之一，y 越大，研发利润率越高，反之越小．（1）求该企业生产此设备的研发利润率y 的最大值以及相应月研发经费x 的值；（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x 的取值范围．【答案】（1）200%，30（2）{}|2536x x ≤≤【解析】【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论；（2）由（1）得到190810 1.9x x--+≥，结合一元二次不等式的解法，即可求得x 的范围，得到答案.【小问1详解】解：由题意知，当1536x ≤≤时，2189019010810x x y x x x -+-==--+82≤-=，当且仅当19010x x =，即30x =时取等号；当3640x <≤时，0.454540.4x y x x +==+，540.4y x =+ 在(]36,40上单调递减，540.4 1.936y ∴<+=.又2 1.9> ，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.【小问2详解】由（1）可知，此时月研发经费1536x ≤≤，于是，令190810 1.9y x x=--+≥，整理得2619000x x -+≤，解得：2536x ≤≤．因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是{}|2536x x ≤≤．21.求函数1(0)y x x x=+<的最值.【答案】最大值为−2，没有最小值【解析】【分析】由基本不等式求解即可【详解】0x <Q 10,0x x∴->->，12x x ⎛⎫∴-+-≥= ⎪⎝⎭(当1x =-取到等号)，112x x x x ⎛⎫∴+=---≤- ⎪⎝⎭，故函数1(0)y x x x=+<的最大值为2-，没有最小值.22.已知p s px m x =++．若a ，b 均为正数，且0c d >>>，则当d x c ≤≤时，(0)b ax x x +>的最大值为b ad d +与b ac c +中的较大者．（1）若=4p ，J0，522x ≤≤，求3s x -的最小值；（2）若2217t x m x =+++，对任意m ∈R 和任意12x ≤≤，都有2212s t +≥恒成立，求实数P 的取值范围．【答案】（1）4；（2）4p ≤或5p ≥.【解析】【分析】（1）把=4p ，J0代入，利用均值不等式直接求解作答.（2）根据给定条件，变形给定的不等式，结合一元二次不等式恒成立列式，再分离参数求解最值作答.【小问1详解】当=4p ，J0时，44s x x =+，而522x ≤≤，则443=4+3=+s x x x x x x --≥，当且仅当4x x=，即=2x 时取等号，所以3s x -在=2x 处取得最小值4．【小问2详解】当p s px m x =++，2217t x m x =+++时，2222221()(7)p s t px m x m x x +=++++++，则有2222222221122()()2(7)(7)1122p p s t m px m px m x x x x x x +=+++++++++--+22222221122[()(7)]()(712)p p m px x m px x x x x x =++++++++-++，因对任意m ∈R ，都有2212s t +≥，即22102s t -+≥恒成立，因此恒有2222222111Δ=4[(++7)+(+)]8[(++7)+(+)]02p p x px x px x x x x --≤成立，整理得：2221(71p x px x x ++--≥，即有22171p x px x x ++--≥或22171p x px x x++--≤-，又12x ≤≤，于是得22161x x p x x ++≤+或22181x x p x x++≥+恒成立，令1(12)u x x x =+≤≤，有522u ≤≤，则2216441x x u u x x ++=+≥+，当且仅当2u =，即=1x 时取等号，221861x x u u x x++=++，而522≤≤，当2u =时，65u u +=，当52u =时，64910u u +=，当且仅当2u =，即=1x 时，22181x x x x +++取最大值5，所以实数P 的取值范围为4p ≤或5p ≥.。
甘肃省庆阳第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案解析)
甘肃省庆阳第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}N 4U x x *=∈≤，{}1,2A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3,4C ．{}3,4D ．{}2,3,42．命题“R x ∃∈，21x <”的否定是（）A ．R x ∀∈，21x ≥B ．R x ∀∈，21x <C ．x R ∃∈，21x ≥D ．R x ∃∈，21x >3．如图，已知矩形U 表示全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A ．()U AB ⋃ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U B A⋂ðD ．()U A B⋂ð4．已知集合{}|11A x x =-<<，{}2|20B x x x =--<，则（）A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A B=D ．A B =∅5．已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D ．1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭6．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合{}{}1,1,2,41,2,4,16M N =-=，，给出下列四个对应法则：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②④7．关于x 的方程220++=x x a 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1时，则a 的取值范围为（）A ．1a <-B ．18a <C ．1a <-或18a <D ．1a <-或18a ≤8．已知0x >，0y >，且30x y xy +-=，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．][(),34,-∞-⋃+∞B ．()4,3-C ．()3,4-D ．][(),43,-∞-+∞ 二、多选题9．下列命题是真命题的为（）A ．若0a b c d >>>>，则ab cd >B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0ab <10．下列说法正确的是（）A ．至少有一个实数x ，使210x +=B ．“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C ．命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D ．“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件11．设正实数,x y 满足21x y +=，则（）A ．xy 的最大值是18B ．112x y+的最小值为4C ．224x y +最小值为12D ．212x y x+最小值为2三、填空题12．若集合{}1,1A =-，{}2B x mx ==，且B A ⊆，则实数m 的值是.13．若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}13x x -<<，则a b -=．14．当,m n ∈Z 时，定义运算⊗:当,0m n >时，m n m n Ä=+；当,0m n <时，m n m n Ä=×；当0,0m n ><或0,0m n <>时，||m n m n ⊗=⋅；当0m =时，m n n ⊗=；当0n =时，m n m ⊗=．在此定义下，若集合{(,)4}A m n m n =⊗=∣，则A 中元素的个数为．四、解答题15．已知集合{}220,{2,0}A xx ax a B =-+==-∣．(1)若1a =，求A B ;(2)若A B ⋂中只有一个元素，求a 的取值集合．16．（1）已知0ab ≠，求证：1a b +=是33220a b ab a b ++-=-的充要条件.（2）已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--17．求下列关于x 的不等式的解集：(1)4101x +≤-；(2)()222R ax x ax a ≥-∈-18．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，设广告牌的高为cm x ，宽为cm y .(1)试用x 表示y ，并求x 的取值范围；(2)用x 表示广告牌的面积S ；(3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积S 最小？19．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立.(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p，q一真一假，求实数m的取值范围.参考答案：题号12345678910答案D ADADCABBCDBD题号11答案ABC1．D【分析】由集合的补集，并集运算求解即可.【详解】由题意可知{}1,2,3,4U =，所以{}3,4U A =ð，所以(){}2,3,4U A B ⋃=ð，故选：D 2．A【分析】运用特称命题的否定知识，否定结论，特称变全称即可.【详解】运用特称命题的否定知识,命题“R x ∃∈，21x <”的否定是“R x ∀∈，21x ≥”.故选：A.3．D【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，则x A ∉且x B ∈，即U x A ∈ð且x B ∈，所以，阴影部分可表示为()U A ðB ⋂.故选：D.4．A【分析】求出集合B ，可确定两个集合之间的关系.【详解】因为220x x --<⇒()()210x x -+<⇒12x -<<，所以{}|12B x x =-<<.所以A B ⊆.故选：A 5．D【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D 6．C【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可．【详解】对应关系若能构成从M 到N 的函数，须满足：对M 中的任意一个数，通过对应关系在N 中都有唯一的数与之对应，对于①，1y x=，当2x =时，12y N =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110y N =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当1x =-时，1y N =∈，当2x =时，2y N =∈，当4x =时，4y N =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =±时，1y N =∈，当2x =时，4y N =∈，当4x =时，16y N =∈，故④满足题意．故选：C.7．A【分析】根据方程根的个数以及根的分布情况解不等式即可求得结果.【详解】根据方程220++=x x a 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，可知2Δ1801120a a =->⎧⎨++<⎩，解得1a <-.故选：A 8．B【分析】将问题转化为2min (3)x y m m +>+，利用“1”的代换以及基本不等式求解min (3)x y +，从而得到212m m +<，求解不等式，即可得到答案．【详解】因为不等式23x y m m +>+恒成立，则2min (3)x y m m +>+，因为0x >，0y >，由30x y xy +-=可得311x y+=，所以3193(3)()62612y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当9y xx y=，即6x =，2y =时取等号，故min (3)12x y +=，所以212m m +<，即2120m m +-<，解得43m -<<，则实数m 的取值范围是(4,3)-．故选：B ．9．BCD【分析】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确.【详解】对于A 项，取2a =，1b =，3c =-，4d =-，则2ab =，12cd =，所以ab cd <，故A 选项错误；对于B 选项，若22ac bc >，有20c >，则a b >，B 选项正确；对于C 选项，若0a b >>，则220a b >>，则2211a b <，又因为0c <，由不等式的性质可得22c c a b >，所以C 选项正确；对于D 选项，若a b >且11a b >，则110a b b a ab--=<，所以，0ab <，D 选项正确．故选：BCD ．10．BD【分析】由在实数范围内，20x >可得A 错误；举反例可得必要性不成立，可得B 正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误；由集合A 中只有一个元素可得0a =或14，再由必要性可得D 正确；【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误；对于B ，若0a b >>，则11a b<，充分性成立，若11a b<，如1,2a b =-=-，此时0a b >>，必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ，由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，1x =-；当0a ≠时，可得11404a a D =-=Þ=，所以必要性成立，故D 正确；故选：BD.11．ABC【分析】直接利用基本不等式即可求解A ，利用乘“1”法即可求解B ，利用完全平方式的性质即可求解C ，将“1”代换，即可由基本不等式求解D.【详解】对于A，21x y +=≥18xy ≤，当且仅当212x y x y+=⎧⎨=⎩，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B，41112()(2)212222y xx y x y x y x y+=++=++≥+，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，22214(2)4142x y x y xy xy +=+-=-≥，当且仅当14x =，12y =时等号成立，C 正确；对于D，21221132222x x x x y x y x y x y y +=+=+≥+++，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故D 错误．故选：ABC ．12．2±或0【分析】分B =∅、{}1B =-和{}1B =分别计算即可.【详解】当B =∅时，0m =，符合题意；当{}1B =-时，2m =-；当{}1B =时，2m =，综上，m 的值为2±或0.故答案为：2±或0.13．-2【分析】将不等式解集问题转化为一元二次方程的两根问题，结合韦达定理求出24,33a b =-=，得到答案.【详解】由题意得：-1,3为方程220ax bx ++=的两根，故213,13b a a -+=--⨯=，解得：24,33a b =-=，故24233a b --=-=-.故答案为：-214．14【分析】根据定义运算⊗，分成五类情况分别列举符合条件的元素，合并即得集合A .【详解】①当,0m n >时，4m n m n ⊗=+=，所以1,3m n =⎧⎨=⎩或3,1m n =⎧⎨=⎩或2,2,m n =⎧⎨=⎩；②当,0m n <时，4m n m n ⊗=⋅=，所以1,4m n =-⎧⎨=-⎩或4,1m n =-⎧⎨=-⎩或2,2,m n =-⎧⎨=-⎩；③当0,0m n ><或0,0m n <>时，4m n m n ⊗=⋅=，所以1,4m n =-⎧⎨=⎩或4,1m n =⎧⎨=-⎩或1,4m n =⎧⎨=-⎩或4,1m n =-⎧⎨=⎩或2,2m n =⎧⎨=-⎩或2,2,m n =-⎧⎨=⎩；④当0m =时，4m n n ⊗==；⑤当0n =时，4m n m ⊗==．所以()()()()()()()()(){1,3,3,1,2,2,1,4,4,1,1,4,4,1,1,4,4,1A =--------，()()()()()2,2,2,2,2,2,0,4,4,0}----，共14个元素．故答案为：14.15．(1){}2,0A B =- (2){}1,0-【分析】（1）求出A =∅，根据并集概念求出答案；（2）分0A B ∈∩和2A B -∈ 两种情况，得到答案.【详解】（1）1a =时，{}220A x x x =-+=，因为Δ1870=-=-<，所以方程220x x -+=无实数根，所以A =∅．故{}2,0A B =- ．（2）当0A B ∈∩时，20a =，得0a =，此时{}{}0,0A A B == ；当2A B -∈ 时，4220a a ++=，得1a =-，此时{}{}2,1,2A A B =-=- ．故a 的取值集合为{}1,0-．16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）证明充要条件，可先证明充分性再证必要性；（2）利用作差法证明即可.【详解】（1）证明：∵3322()()a b a b a ab b +=+-+∴332222(1)()a a b ab a b b a ab b ++--=+--+.充分性证明即1a b +=⇒33220a b ab a b ++-=-.∵1a b +=，即10a b +-=，∴222233(1)()0a a b ab a b a b ab b +-++-+-=-=，充分性得证；必要性证明即33220a b ab a b ++-=-⇒1a b +=.又∵0ab ≠∴222213024a ab b a b b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∵33220a b ab a b ++-=-，∴22(1)()0a b a ab b +--+=，∴10a b +-=，即1a b +=，必要性得证.故1a b +=是33220a b ab a b ++-=-的充要条件.（2）证明：()()()()()()()()e b d a c e b a c d e e a c b d a c b d a c b d ----+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=------，∵0a b >>，0c d <<，0e <，∴0,0,0,0a c b d b a c d ->->-<-<，∴()()0b a c d -+-<，∴()()()()0e b a c d a c b d -+-⎡⎤⎣⎦>--，即0e e a c b d ->--故e e a c b d>--.17．(1){|31}x x -≤<(2)答案见解析【分析】（1）根据分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：由不等式4101x +≤-，可得301x x +≤-，解得31x -≤<，即不等式4101x +≤-的解集为{|31}x x -≤<.（2）解：由不等式222ax x ax -≥-，可得化为2(2)20ax a x +--≥，若0a =，不等式可化为220x --≥，解得1x ≤-，即解集为{|1}x x -≤；若0a ≠，不等式可化为2(1)(0a x x a+-≥当0a >时，不等式即为2(1)(0x x a +-≥，解得1x ≤-或2x a≥，即不等式的解集为{|1x x ≤-或2}x a≥；当0a <时，不等式即为2(1)(0x x a+-≤，①当21a->时，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-，解集为2{|1}x x a ≤≤-；②当21a-=时，即2a =-时，解得1x =-，解集为{|1}x x =-；③当当21a -<时，即2a <-时，解得21x a -≤≤，解集为2{|1}x x a -≤≤综上，当0a >时，不等式的解集为{|1x x ≤-或2}x a≥；当0a =，不等式的解集为{|1}x x -≤；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{|1}x x =-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.18．(1)1800025,2020y x x =+>-(2)1800025,2020x S x x x =+>-(3)140cm【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可；（2）矩形面积公式写函数表达式；（3）运用换元，结合基本不等式解题即可.【详解】（1）每栏的高和宽分别为()()120cm,25cm 2x y --，其中20,25x y >>两栏面积之和为：()25220180002y x --⋅=，整理得，1800025(20)20y x x =+>-.（2）18000180002525,202020x S xy x x x x x ⎛⎫==+=+> ⎪--⎝⎭；（3）令()20,0,t x t ∞=-∈+，则36000014400251850025185000S t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭；1850024500≥+=∴当120t =时，S 取最小值为24500，此时140x =；答：当广告牌的高取140cm 时，可使广告的面积S 最小.19．(1)[1,3](2)(1)(23],,∞-⋃【分析】（1）p 为真命题时，任意[0,1]x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）化简命题q ，由（1）结合条件列不等式即可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为p 为真命题，所以对任意[0,1]x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，所以()2min 234x m m -≥-，其中[0,1]x ∈，所以234m m -≥-，解得13m ≤≤，所以m 的取值范围[1,3]；（2）若q 为真命题，即存在[1,1]x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，则()2min 210x x m -+-≤，其中[1,1]x ∈-，而()2min212x x m m -+-=-+，所以20m -+≤，故2m ≤；因为,p q 一真一假，所以p 为真命题，q 为假命题或p 为假命题q 为真命题，若p 为真命题，q 为假命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；若p 为假命题，q 为真命题，则12m m <⎧⎨≤⎩或32m m >⎧⎨≤⎩，所以1m <.综上，1m <或23m <≤，所以m 的取值范围为(1)(23],,∞-⋃.。
2023-2024学年吉林省吉林市吉林高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年吉林省吉林市吉林高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（）A ．0∈∅B ．πQ∈C ．∅⊆∅D ．A ⋃∅=∅【正确答案】C【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，以及空集的定义，逐项分析判断即可．【详解】对于A ：0∉∅，选项A 错误；对于B ：π是无理数，πQ ∉，选项B 错误；对于C ：∅是它本身的子集，即∅⊆∅，选项C 正确；对于D ：仅当A 为空集时，A ⋃∅=∅成立，否则不成立，选项D 错误．故选：C ．2．设集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则A B = （）A ．1{|0}2x x <≤B ．1{|3}2x x ≤<C ．{|34}x x <≤D ．{|04}x x <≤【正确答案】B【分析】利用交集定义直接求解．【详解】因为集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则1{|3}2A B x x ⋂=≤<.故选：B ．3．已知{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，则满足条件的集合A 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由条件分析集合A 的元素的特征，确定满足条件的结合A 即可.【详解】因为{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以{}1,2A =或{}1,2,3或{}1,2,4或{}1,2,5或{}1,2,3,4或{}1,2,3,5或{}1,2,4,5或{}1,2,3,4,5，即满足条件的集合A 的个数为8，故选：D ．4．设x ∈R ，则“01x <<”成立是“1x <”成立的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可．【详解】由01x <<成立可推出1x <成立，所以“01x <<”成立是“1x <”成立充分条件当0x =时，1x <，但{}01x x x ∉<<，即由1x <成立不能推出01x <<成立，所以“01x <<”成立不是“1x <”成立必要条件所以01x <<成立是1x <成立的充分不必要条件，故选：A ．5．已知a b >，则下列不等关系中一定成立的是（）A ．2ab b <B ．22a b >C ．11a b<D ．33a b >【正确答案】D【分析】举反例可判断ABC ，利用函数3y x =在R 上单调递增，可判断D ．【详解】对于A 选项，取2a =，1b =，满足a b >，但是221ab b =>=，故A 错误，对于BC 选项，取1a =，2b =-，满足a b >，但是2214a b =<=，11112a b =>=-，故BC 错误，对于D 选项，因为函数3y x =在R 上单调递增，所以由a b >可得33a b >，故D 正确，故选：D ．6．若不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，则实数a 的取值范围为（）A ．12a <<B ．1a <或2a >C ．12a ≤≤D ．1a ≤或2a ≥【正确答案】A【分析】由题意可知232a a <-，从而求出a 的取值范围即可．【详解】 不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，232a a ∴<-，解得12a <<，即实数a 的取值范围为(1,2)．故选：A ．7．已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．5B ．143C ．92D ．9【正确答案】D【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【详解】因为正数,x y 满足1x y +=，则14144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即13x =，23y =时取等号,故选：D ．8．已知命题236:1,1x x p x a x ++∃>-<+，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．5a >B ．6a >C ．5a ≤D ．6a ≤【正确答案】C【分析】由题意可知236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，问题转化为只需2min 36()1x x a x ++≤+，然后利用基本不等式求出最小值，进而可以求解．【详解】若命题p 是假命题，则236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，即2361x x a x ++≤+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，只需2min 36()1x x a x ++≤+，又2236(1)1441115111x x x x x x x x ++++++==+++≥=+++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取得最小值为5，所以5a ≤，故选：C ．二、多选题9．已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B = ，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B = ，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB10．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则2a a<C ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+D ．()221222a b a b ++≥--【正确答案】BCD【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A ，当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ，2a a <等价于()10a a -<，又01a <<，故成立，故B 正确；对于C ，因为0a b >>且0c >，所以b c ba c a+>+等价于ab ac ab bc +>+，即()0a b c ->，成立，故C 正确；对于D ，()221222a b a b ++≥--等价于()()22120a b -++≥，成立，故D 正确.故选：BCD.11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤-或}4x ≥，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>【正确答案】AC【分析】由题知二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上且3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，再依次分析各选项即可．【详解】解：关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为][(),34,-∞-⋃+∞，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；方程20ax bx c ++=的两根为3-、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩．对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知12b ac a=-⎧⎨=-⎩所以220120cx bx a ax ax a -+<⇔-++<2112104x x x ⇔-->⇔<-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确．故选：AC ．12．[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足不等式[][]25140x x --≤的x 的值可以为（）A ． 2.5-B ．3C ．7.5D ．8【正确答案】BC【分析】由一元二次不等式得[]27x -≤≤【详解】解：因为[][][]()[]()2514720x x x x --=-+≤，所以[]27x -≤≤，所以28x -≤<．所以x 的值可以为[)2,8-内的任何实数.故选：BC三、填空题13．不等式210-+≥x kx 的解集为R ，则实数k 的取值集合为__．【正确答案】[]22-,【分析】根据二次不等式的解法即得.【详解】因为不等式210-+≥x kx 的解集为R ，所以240k ∆=-≤，所以22k -≤≤，即实数k 的取值集合为[]22-,.故答案为.[]22-,14．已知102x <<，函数(12)y x x =-的最大值是__．【正确答案】18##0.125【分析】由基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得()221212(12)24x x x x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，由此即可求出函数(12)y x x =-的最大值．【详解】 102x <<，∴()()()2212111122122228x x x x x x +-⎡⎤-=⋅-≤⋅=⎢⎥⎣⎦,当且仅当212x x =-时，即14x =时等号成立，因此，函数(12)y x x =-的最大值为18.故答案为:18.15．若实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，则3x y +的取值范围为__．【正确答案】(2,5)【分析】将3x y +表示成关于()x y +和()x y -的表达式进行求解即可.【详解】由不等式的性质求解即可．解：32()()+=++-x y x y x y ，因为实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，所以()()225x y x y <++-<，即3x y +的取值范围为(2,5)．故(2,5)．四、双空题16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设0a >，0b >，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b__的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+，该图形可以完美证明三者的大小关系为__．【正确答案】DE22ab a ba b +≤≤+【分析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．【详解】由题意得：2a bOD +=，CD =，由于CD OC ⊥，CE OD ⊥，所以ΔΔOCD CED ∽，则OD CDCD ED=a bED +=，解得2abED a b=+，利用直角三角形的边的关系，所以OD CD DE >>．当O 和C 重合时，OD CD DE ==，所以22ab a ba b +≤≤+．故DE；22ab a ba b +≤≤+五、解答题17．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}0,1B =，{}1,2C =.(1)求B C ⋃；(2)求()A B C ð.【正确答案】(1){0,1,2}(2){2,1,0,2}--【分析】（1）利用并集的概念即可求解；（2）利用交集及补集的运算即可求解.【详解】（1）{}0,1B = ，{}1,2C =，{0,1,2}B C ∴= （2）∵{}0,1B =，{}1,2C =，∴{1}B C = ，又{}2,1,0,1,2A =--故(){2,1,0,2}A B C =-- ð．18．已知集合U 为全体实数集,{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-．(1)若3a =,求()U M N ðI ;(2)若M N N ⋂=,求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}46x x ≤<(2)1a <或5a ≥【分析】(1)利用集合的交、补运算即可求解．(2)讨论N =∅或N ≠∅,根据集合的包含关系列不等式即可求解．【详解】（1）解:由题知{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-,所以{}16U M x x =-<<ð,当3a =时,{}48N x x =≤≤,所以(){}46U M N x x ⋂=≤<ð;（2）由题知M N N ⋂=,即N M ⊂,①当N =∅时,即131a a +>-,解得:1a <;②当N ≠∅,即1a ≥时,因为N M ⊂,所以311a -≤-或16a +≥,解得:0a ≤(舍)或5a ≥,综上:1a <或5a ≥.19．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为24000m 矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国所有城市品牌中含金量最高､创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m 的草坪，南北边缘都留有5m 的空地栽植花木.(1)设占用空地的面积为S （单位：2m ），矩形休闲广场东西距离为x （单位：m ，0x >），试用x 表示为S 的函数；(2)当x 为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.【正确答案】(1)()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭(2)休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m 【分析】(1)根据面积公示列关系式即可.(2)代入第一问求出的解析式结合基本不等式求最值即可即可.【详解】（1）因为广场面积须为24000m ，所以矩形广场的南北距离为4000m x，所以()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）由（1）知16000404010404040408004840S x x =++≥+=+=，当且仅当x =40时，等号成立.答：当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m .20．集合A ={}|()(3)0,0x x a x a a --<>，B =2|01x x x -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭.（1）若1a =，求()R A C B I ；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若命题p 的充分不必要条件是命题q ，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）[)()2,3R A C B =I （2）213a ≤≤【分析】（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），可得∁R B ＝（﹣∞，1]∪[2，+∞）．即可得出A ∩（∁R B ）．（2）由a ＞0，可得A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．根据q 是p 的充分不必要条件，即可得出B ⊊A ．【详解】解：（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），(][)=,12,R C B -∞+∞U ∴[)()2,3R A C B =I ；（2）∵a ＞0，∴A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．∵q 是p 的充分不必要条件，∴B ⊊A ．由B ⊆A 得132a a ≤⎧⎨≥⎩，解得213a ≤≤，又a ＝1及23a =符合题意．∴213a ≤≤．本题考查了集合的交并补运算、不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .【正确答案】证明见解析.【分析】根据已知对不等式左边的式子进行变形，结合基本不等式进行证明即可.【详解】证明：(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )，(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立.本题考查了基本不等式的应用，考查了推理论证能力.22．已知关于x 的不等式()2110ax a x a R ++<∈-，．（1）若不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求a ；（2）当a R ∈时，解此不等式．【正确答案】（1）2（2）0a =时，(1,)x ∈+∞，01a <<时，1(1,x a∈，1a =时，不等式的解集为空集，1a >时，1(,1)x a∈，a<0时，1(,(1,)x a ∈-∞+∞ .【分析】（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a 的方程组，解得a ；（2）不等式化为(1)(1)0ax x --<，讨论a 的取值，从而求得不等式的解集。
2024年沪教版高一数学上册月考试卷含答案
2024年沪教版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设直线l1：2x-my-1=0，l2：（m-1）x-y+1=0．若l1∥l2，则m的值为（）A. 2B. -1C. 2或-1D. 1或-22、若某班有4个小组各从3处风景点中选一处进行旅游观光，则不同选择方案的种数为（）A. 4种B. 24种C. 64种D. 81种3、设O为坐标原点，若向量的夹角与的夹角相等；则实数λ的值为（）A.B.C.D.4、过点P（3，0）作一直线，它夹在两条直线l1：2x-y-3=0，l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分；该直线的方程是（）A. 4x-y-6=0B. 3x+2y-7=0C. 5x-y-15=0D. 5x+y-15=05、【题文】已知（），其中为虚数单位，则（）A.B. 1C. 2D. 36、【题文】等差数列{a n}中，已知则为（）A. 13B. 14C. 15D. 167、设则是的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8、函数f(x)=xlnx(x>1)单调递减区间是()A. (1,+∞)B. (1,e2)C. (e,+∞)D. (1,e)评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、若直线（1+k）x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则k=____．10、已知x＞0，y＞0，4x+9y=1，则+的最小值为____．11、用数字1，3组成四位数，且数字1，3至少都出现一次，这样的四位数共有____个．12、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是____．（结果用分数表示）13、已知正方形ABCD的坐标分别是（-1，0），（0，1），（1，0），（0，-1），动点M满足：则MA+MC=____．14、【题文】在实数范围内，不等式的解集为__________15、【题文】若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是_______．16、设z=x+y，其中x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为____17、已知A（1，1）、B（-2，3），直线y=ax-1与线段AB相交，则实数a的范围是 ______ ．评卷人得分三、解答题(共5题，共10分)18、已知数列{a n}中，其中a1=1，且当n≥2，a n=，求通项公式a n．19、已知a、b、c分别为一个三角形的三边长，求证：++＜2．20、已知tan=2；求。
2023-2024学年黑龙江哈尔滨高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江哈尔滨高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，下列式子错误的是（）A ．1A ∈B ．{1}A-∈C ．A∅⊆D ．{}1,1A-⊆【正确答案】B【分析】求出集合A ，即可依次判断.对A ：利用元素与集合关系判断；对B ：“∈”表示元素与集合之间的关系；对C ：∅是任何集合的子集；对D ：判断{}1,1-与A 是否为包含关系.【详解】{}2{|10}1,1A x x =-==- ，{}{}1,1,,1,1A A A A ∴∈-⊆∅⊆-⊆.{}1-与A 是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故B 错误.故选：B2．设全集U =R ，若集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，{}21B x x =->，则集合A B = （）A ．{}1,0-B ．{}4,5C ．{}1,0,4,5-D ．{}2【正确答案】C【分析】计算绝对值不等式求出集合B ，进而求出交集.【详解】21x ->，解得：3x >或1x <，所以集合{3B x x =>或}1x <，所以{}1,0,4,5A B ⋂=-.故选：C.3．已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （）A ．-1B ．-3或-1C ．3D ．-3【正确答案】D【分析】根据集合的定义即可求解.【详解】由题意，243a a +=- ①或23a -=- ②，由①得，1a =-，或3a =-，由②1a =-；当1a =-时，243,23a a a +=--=-，不符合集合描述规则，舍去，3a =-；故选：D.4．下列结论正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则11a b>C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则22a b >【正确答案】C【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A;若a b >，0c ≤时，则ac bc ≤，故A 错；对于B;若取1,0a b ==，则1b无意义，故B 错；对于C ；根据不等式的可加性可知：若a b >，则a c b c +>+，故C 正确；对于D;若取1,2a b ==-，但22a b <,故D 错；故选：C5．已知函数()2,12,1x x f x x x +<-⎧=⎨-+≥-⎩，则92f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．52-B ．12-C ．52D ．132【正确答案】B【分析】根据分段函数的定义域分别代入求值.【详解】由题意可得：9952222f ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭∴955122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.6．下列各组函数表示同一函数的是（）A ．()f x()2g x =B ．()1f x =，()0g x x=C ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，()g t t=D ．()1f x x =+，()211x g x x -=-【正确答案】C【分析】根据函数定义域与函数解析式是否相同，可得答案.【详解】对于A ，由函数()f x =(),-∞+∞，且函数()2g x =的定义域为[)0,∞+，则不是同一函数，故A 错误；对于B ，由函数()1f x =的定义域为(),-∞+∞，且函数()0g x x =的定义域为{}0x x ≠，则不是同一函数，故B 错误；对于C ，由函数(),0,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩的定义域为(),-∞+∞，且()g t t =的定义域为(),-∞+∞，则是同一函数，故C 正确；对于D ，由函数()1f x x =+的定义域为(),-∞+∞，且函数()211x g x x -=-的定义域为{}1x x ≠，则不是同一函数，故D 错误.故选：C.7．已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f xg x x +=+的定义域（）A ．(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U B ．[)(]8,22,1---U C ．()(],22,3-∞-- D ．9,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【正确答案】A【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()g x 的定义域.【详解】因为函数()y f x =的定义域为[]8,1-，对于函数()()212f xg x x +=+，则有821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解得922x -≤<-或20x -<≤.因此，函数()g x 的定义域为(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U .故选：A.8．命题“2R,(2)2(2)40x a x a x ∃∈-+--≥”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．{2|a a <-或2}a ≥B ．{}22a a -<<C ．{}22a a -<≤D ．{}2a a <【正确答案】C【分析】先得出2R,(2)2(2)40x a x a x ∀∈-+--<为真命题，再分2a =与2a ≠两种情况，得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】由题意得：2R,(2)2(2)40x a x a x ∀∈-+--<为真命题，当2a =时，4<0-，满足要求，当2a ≠时，要满足()()()220Δ424240a a a -<⎧⎪⎨=---⨯-<⎪⎩，解得：22a -<<，综上：实数a 的取值范围是{}22a a -<≤故选：C二、多选题9．下列各图中，可能是函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】ACD【分析】利用函数的概念选出正确答案.【详解】B 选项，0x >时每一个x 的值都有两个y 值与之对应，不是函数图象，B 错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．故选：ACD ．10．若p ：511xx -≤+，则p 成立的一个充分不必要条件是（）A ．12x -≤≤B ．21x -<≤-C ．25x <<D ．25x ≤≤【正确答案】CD【分析】解出不等式，然后根据条件p 成立的一个充分不必要条件，转化为子集关系，即可得到结果.【详解】()()4210542101110x x x xx x x ⎧-+≤--≤⇒≤⇒⎨+++≠⎩，解得1x <-或2x ≥又 ()()[)2,5,12,⊆-∞-⋃+∞[]()[)2,5,12,⊆-∞-⋃+∞则p 成立的一个充分不必要条件是()2,5和[]2,5故选:CD.11．下列说法正确的是（）A ．命题:1p x ∀>，215x +>的否定为01x ∃>，0215x +≤B ．“0x >且0y >”是“2x yy x+≥”的充要条件C ．y =2D ．已知54x <，则14245x x -+-的最大值为1【正确答案】AD【分析】利用全称量词命题的否定可判断A 选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；根据基本不等式取等号的条件可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，命题:1p x ∀>，215x +>的否定为“01x ∃>，0215x +≤”，A 对；对于B 选项，令0y t x =≠，由12t t +≥可得()210t t-≥，所以，0t >，即0y x >，而000x yy x >⎧>⇔⎨>⎩或00x y <⎧⎨<⎩，故“0x >且0y >”是“2x yy x+≥”的充分不必要条件，B 错；对于C 选项，2y =，取等号的条件是=231x +=，而此式不成立，所以取不到最小值2，故C 错；对于D 选项，当54x <时，450x -<，则()()11142453354454554x x x x x x ⎡⎤-+=-++=--+⎢⎥---⎣⎦31≤-=，当且仅当1x =时，等号成立，故当54x <时，14245x x -+-的最大值为1，D 对.故选：AD.12．已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值可能为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】BCD【分析】分别将各选项代入集合A ，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案.【详解】选项A ：当1a =-时，213--≤，143--≤，故(2,1),(1,4)A A ∈-∈，A 错误；选项B ：当0a =时，13-≤，(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，B 正确；选项C ：当1a =时，213-≤，1(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，C 正确；选项D ：当2a =时，2213⨯-≤，21(4)3⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，D 正确.故BCD.三、填空题13．已知函数()21252f x x x +=++，求函数()f x 的解析式为______．【正确答案】()221f x x x =+-【分析】换元法求函数的解析式.【详解】因为()2212422(1)(1)1f x x x x x x +=+++=+++-，所以()221f x x x =+-，故答案为:()221f x x x =+-.14．已知函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如图的曲线ABC ，其中()1,3A ，()2,1B ，()3,2C ，则()()2f g 的值为______.【正确答案】2先根据函数()g x 的图象可判断出()2g 的值，再根据表格中函数()f x 的取值得出()()2f g .【详解】由函数()g x 的图象可知()21g =，所以()()()212f g f ==.故答案为.2本题考查函数的表示方法，考查列表法与图像法的运用，属于基础题.15．已知集合{}0M x x a =-=，{}10N x ax =-=，若M N N ⋂=，则实数a 的值为___________.【正确答案】0或1±【分析】讨论0a =与0a ≠时两种情况求解即可.【详解】{}{}0M x x a a =-==，当0a =时，{}10N x ax =-=为∅，满足M N N ⋂=；当0a ≠时，{}110N x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，若M N N ⋂=则1a a =，即21a =，解得1a =±.综上所述，0a =或1a =±故0或1±16．已知函数()[]f x x x =-，[1,2)x ∈-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例[ 3.05]4-=-，[2.1]2=．则函数()f x 的值域是___________．【正确答案】[0,1)【分析】根据题意，分别求出10x -≤<，01x ≤<，12x ≤<时的[]x ，作出图象，直接可得到()f x 的值域.【详解】当10x -≤<时，[]1x =-，所以()1f x x =+，当01x ≤<时，[]0x =，所以()f x x =，当12x ≤<时，[]1x =，所以()1f x x =-，综上1,10(),011,12x x f x x x x x +-≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-≤<⎩;()f x 图象如图所示:函数()f x 的值域是[0,1).故答案为.[)0,1四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}221,20|}|3{A x x B x x x =-≤<=--<．(1)求A B ⋃；(2)如图阴影部分所表示的集合M 可以是（把正确答案序号填到横线处），并求图中阴影部分表示的集合M ；．①()U B A ⋂ð②()U B A ⋃ð③()U A B ∩ð④()U A B ⋃ð【正确答案】(1){|23}x x -≤<(2)③;{|21}x x -≤≤-【分析】（1）根据集合的并集运算求解；（2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合M 为()U A B ∩ð，再根据集合的交集与补集求解即可.【详解】（1）因为{}{}2|230|13B x x x x x =--<=-<<，2{}1|,A x x =-≤<所以{|3}2,A B x x ⋃=-≤<（2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合M 为③：()U A B ∩ð，{|1U B x x =≤-ð或3}x ≥，所以(){|}21U A B x x =-≤≤-∩ð.18．求解下列各题：(1)求2340)2x x y x x++=>（的最小值；(2)已知0,0x y >>且191x y+=，求x y +的最小值.【正确答案】(1)72；(2)16.【分析】（1）根据分式的运算性质，结合基本不等式进行求解即可；（2）利用基本不等式进行求解即可.【详解】（1）234140,322x x x y x x x ++⎛⎫>==++ ⎪⎝⎭173)22≥=，当且仅当4x x =即2x =时取等号，此时取得最小值72；（2）190,0,1x y x y >>+= ，199()101061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当9y x x y =，又191x y+=，即412x y ==，时，上式取等号.故当412x y ==，时，min ()16x y +=.19．已知集合{}2120A x x px =+-=∣，{}20B x x qx r =++=∣，且A B ≠，若{3}A B ⋂=-，{3,4}A B ⋃=-.(1)求集合A 、B ；(2)求p ，q ，r .【正确答案】(1){}{}3,4,3A B =-=-；(2)1,6,9p q r =-==.【分析】（1）根据集合交集的性质和并集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）因为{3}A B ⋂=-，{3,4}A B ⋃=-，所以有3A -∈且3B -∈，4A ∈或4B ∈，当3A -∈且3B -∈且4A ∈时，此时3412-⨯=-，因为A B ≠，所以{}{}3,4,3A B =-=-；当3A -∈且3B -∈且4B ∈时，因为A B ≠，所以{}{}3,3,4A B =-=-，因为3(3)912-⨯-=≠-，所以{}3A =-不存在，综上所述：{}{}3,4,3A B =-=-（2）由（1）可知：{}{}3,4,3A B =-=-，所以有341p p -+=-⇒=-，3(3)6q q -+-=-⇒=，3(3)9r r -⨯-=⇒=，即1,6,9p q r =-==.20．已知函数()f x 的解析式()35,05,0128,1x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩．(1)若()2f a =，求a 的值；(2)画出()f x 的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）．【正确答案】(1)1-或3(2)(],6-∞【分析】(1)根据分段函数的解析式分类讨论求解；(2)根据图象求解值域.【详解】（1）若0,()352a f a a ≤=+=解得1a =-，若01,()52a f a a <≤=+=解得3a =-（舍），若1,()282a f a a >=-+=解得3a =，综上a 的值1-或3.（2）作图如下，由图可得，当1x =时，函数有最大值为6，所以值域为(],6-∞.21．某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成10%)=，售出商品数量就增加85x 成，要求售价不能低于成本价．（1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式()y f x =，并写出定义域；（2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x 的取值范围．【正确答案】（1）()20(10)(508)y f x x x ==-+，定义域为[]0,2x ∈；（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据营业额=售价⨯售出商品数量，列出解析式，再利用售价不能低于成本价，列出不等式，求出x 的取值范围；（2）根据题意，列出不等式，求解即可．【详解】解：（1）依题意，8100(1)100(1)1050x y x =-⨯+；又售价不能低于成本价，所以100(1)80010x --，解得02x ．所以()20(10)(508)y f x x x ==-+，定义域为[]0,2x ∈．（2）由题意得20(10)(508)10260x x -+，化简得：2830130x x -+，解得11324x ．又因为02x 所以122x x ∴的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．本题考查利用函数知识解决应用题及解不等式的有关知识．如何建模是解决这类问题的关键，属于基础题．22．已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈.(1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值；(2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【正确答案】(1)5a =-，25b =-；(2)答案见解析．【分析】（1）由不等式的解集得相应方程的根，由韦达定理列方程组求解；（2）先根据0,0,0a a a <=>分类讨论，在0a >时，再根据两根的大小分类讨论得结论．【详解】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->，当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当a<0时，不等式化为3(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为.3,1a当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >；当0<<3a 时，31a >，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当a<0时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a>.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，不等式的解集为3{|x x a <或1}x >；。
2024年粤教沪科版高一数学下册月考试卷含答案
2024年粤教沪科版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏一、选择题(共5题，共10分)1、在等比数列{a n}中，已知a1=1，q=2，则第5项至第10项的和为（）A. 63B. 992C. 1008D. 10232、下列表述正确的是（）A. ∅={0}B. ∅⊆{0}C. ∅⊇{0}D. ∅∈{0}3、关于统计数据的分析；有以下结论：①一组数不可能有两个众数．②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后；方差没有变化；③调查观众观看某部电影的感受时；从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的观众进行调查，属于分层抽样．④一组数据的方差一定是正数．其中错误的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. .44、已知|a|≠|b|，m=那么m；n之间的大小关系为（）A. m＞nB. m＜nC. m=nD. m≤n5、【题文】的展开式中，的系数为（）A. 224B. 240C. 288D. 320评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时f（x）=（）1-x；则。
①2是函数f（x）的周期；②函数f（x）在（1；2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；③函数f（x）的最大值是1；最小值是0；④当x∈（3，4）时，f（x）=（）x-3．其中所有正确命题的序号是____．7、已知4x=5y=10，则+=____．8、若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x-t|}关于x=2015对称，则t=____．9、经过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2．类比上述性质，可以得到椭圆+=1类似的性质为____．10、已知对于任意实数α，我们有正弦恒等式，也有余弦恒等式，类比以上结论对于使正切有意义的α，我们推理得关于正切恒等式为____．11、已知关于x的不等式|x-2|-|x-5|-k＞0的解集为R，则实数k的范围是 ____．12、数式1+ 中省略号“ ”代表无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t= 用类似方法可得=____．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)13、在平面直角坐标系中，用阴影部分表示集合：{α|30°+k•360°≤α≤60°+k•360°，k∈z}．14、利用三角函数线；求满足下列条件的角α的集合．（1）tanα=-1（0≤α≤2π）；（2）sinα≥-（0≤α≤2π）．15、某中学高一（2）班甲；乙两名同学自入高中以来每场数学考试成绩情况如下：甲同学得分：95；81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110；乙同学得分：83；86，93，99，88，103，98，114，98，79，101，107．画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．16、写出输入一个数x，求分段函数的函数值的程序框图．17、如图，半径为2的⊙O切直线MN于点P，射线PK从PN出发，绕P点逆时针旋转到PM，旋转过程中PK交⊙O于点Q，若∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f（x），那么f（x）的图象大致是：____．18、作出下列函数的图象。
高一数学月考题题答案及评分细则
太原五中2023—2024学年度第二学期阶段性检测数学试题参考答案及评分标准第9题选对一个选项得2分，选对两个选项得4分，全部选对得6分，有错选得0分；第10题和11题选对一个选项得3分，全部选对得6分，有错选得0分.三、填空题12.-2 13．132 14.()2312++，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分)解：(1)当x =32时，a ⃗ =(2,32)，因为b ⃗ =(1,2)，所以a ⃗ ⋅b⃗ =5， ………………………………2分 |b⃗ |=√ 5， ………………………………2分 所以a 在b ⃗ 上的投影向量的模为|a ⃗ ⋅b ⃗ ||b ⃗|=√ 12+22=√ 5． ………………………………2分 (2)因为向量a ⃗ =(2,x)，b ⃗ =(1,2)且a ⃗ //b ⃗ ，所以2×2=1×x ，解得x =4， ………………………………2分 即a =(2,4)，c ⃗ =(1,3)，所以a⃗ ⋅c ⃗ =14， ………………………………1分 |a ⃗ |=2√ 5， ………………………………1分 |c ⃗ |=√ 10， ………………………………1分所以cos〈a⃗,c⃗ 〉=a⃗⋅c⃗|a⃗|×|c⃗|=√ 22+42×√ 12+32=7√ 210．所以a与c夹角的余弦值为7√ 210．………………………………2分16.(本小题15分)解：依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由已知条件可得，直角梯形的高BC=CD−AB=√ 3=圆锥的底面圆半径=圆柱的底面圆半径，圆柱的高为2√ 3，圆锥的高为√ 3，母线长为√ 6，………………………………3分(1)其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积=2π×√ 3×2√ 3+12×2π×√ 3×√ 6+π(√ 3)2=12π+3√ 2π+3π=(15+3√ 2)π．………………………………6分(2)其体积V=圆柱体积−圆锥体积=π(√ 3)2×2√ 3−13×π(√ 3)2×√ 3=6√ 3π−√ 3π=5√ 3π．………………………………6分17.(本小题15分)解：(1)由a→⊥b→，得a→⋅b→=(cosC+cosB)(cosC−cosB)+sinA(sinC−sinA)=0，……2分化简得sin2B−sin2C=sin2A−sinAsinC由正弦定理，得b2−c2=a2−ac，即a2+c2−b2=ac，所以cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12.…………4分因为0<B<π，所以B=π3.…………2分(2)由(Ⅰ)知B=π3，又由b=√ 21，b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=21，①…………2分由a+c=9，得(a+c)2=a2+c2+2ac=81，②．由①②得，ac=20，…………3分所以S=12acsinB=5√ 3．…………2分18.(本小题17分)证明：(1)∵ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，又AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴AB//面PCD ， …………2分 ∵面PAB ∩面PCD =l ，AB ⊂面PAB ∴l//AB ． …………2分(2)取PA 中点M ，连接BM ，EM ，则EM = //12AD ，又∵BF = //12AD ，∴EM = //BF ，∴四边形BFEM 为平行四边形，∴EF//BM ，∵EF ⊄面PAB ，BM ⊂面PAB ，∴EF//面PAB ． …………6分 (3)存在G ，使FG//面ABE ，PG GD=3. …………2分取AD 中点N ，连接FN ，NG ，则FN//AB ，FN ⊄面ABE ，AB ⊂面ABE ，∴FN//面ABE ，又∵FG//面ABE ，FN⋂FG =F ，FN ，FG ⊂面FNG ， ∴面FNG//面ABE ，且面PAD⋂面ABE =AE ，面PAD⋂面FNG =NG ， ∴AE//NG ，又∵N 为AD 中点，∴G 为ED 中点， ∴EG =GD ，又PE =ED ，∴PG GD=3. …………5分19.(本小题17分) 解：(1)在△ABO 中，由余弦定理得AB 2=OA 2+OB 2−2OA ⋅OB ⋅cosα=1+4−2×1×2×12=3，即AB =√ 3，…………2分于是四边形OACB的周长为OA+OB+2AB=3+2√ 3；…………1分(2)因为OB⋅AC+OA⋅BC≥AB⋅OC，且△ABC为等边三角形，OB=1，OA=2，…………2分所以OB+OA≥OC，所以OC≤3，即OC的最大值为3，…………1分取等号时∠OBC+∠OAC=180°，所以cos∠OBC+cos∠OAC=0，不妨设AB=x，则x2+1−92x +x2+4−94x=0，解得x=√ 7，…………2分所以cos∠AOC=9+4−72×2×3=12，所以∠AOC=60°；…………2分(3)在△ABO中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cosα=5−4cosα，所以AB=√ 5−4cosα，0<α<π，…………2分于是四边形OACB的面积为S=S△AOB +S△ABC=12OA⋅OB⋅sinα+√ 34AB2=sinα+√ 34(5−4cosα)=sinα−√ 3cosα+5√ 34=2sin(α−π3)+5√ 34，…………3分当α−π3=π2，即α=5π6时，四边形OACB的面积取得最大值为2+5√ 34．所以，当B满足∠AOB=5π6时，四边形OACB的面积最大，最大值为2+5√ 34．…………2分。
2024学年河南省顶级名校高一上学期12月月考数学试题及答案
高一12月月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B = （ ）A.{}2,3B.{}1,2,3 C.()1,+∞ D.()2,32.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（ ）A.1213-B.513-C.1213D.1253.函数()2log 27f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()5,64.()tan 420-︒的值为（）A. C.5.“11x<”是“1x >”的（ ）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要6.已知3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.45±B.45C.45-D.357.若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[)5,+∞ B.()5,+∞ C.(],5-∞ D.(),5-∞8.设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A.(],1-∞ B.()1,+∞ C.[)1,+∞ D.(),1-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列结论中，正确的有（）A.()sin sin x x π-=B.()tan tan x x π+=-C.3cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10.若0x y >>，则下列结论正确的是（ ）A.33xy> B.33x y> C.1122log log x y> D.11x y>11.若a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+12.函数()21,321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩则下列结论正确的是（ ）A.当0a =时，函数()f x 的单调增区间为()0,1B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P ︒︒位于第______象限.14.函数23x y a+=-（0a >，且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 的坐标是______.15.设25abm ==，且211a b+=，则m =______.16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r 为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）化简求值：（1）23log 3log 4lg2lg5⋅--；（2）27sin cos tan cos 6336ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.（本小题满分12分）已知()()()3cos tan 2021sin 223sin sin 2f ππαπαααππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）化简()fα；（2）若α是第四象限角，且20211cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数()241f x ax x =--.（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；（2）若()f x 在区间()1,1-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围。
湖北省武汉市2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
武汉高一年级第一次月考（数学）（答案在最后）第Ⅰ卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}43A x x =∈-≤≤Z ，{}13B x x =∈+<N ，则A B = （）A.{}0,1 B.{}0,1,2 C.{}1,2 D.{}1【答案】A 【解析】【分析】化简集合，根据交集运算求解.【详解】根据题意，得{}{}=4,3,2,1,0,1,2,30,1A B ----=,，所以{}0,1A B = ，故选：A.2.设{}{}2712|0,0|2A x x x B x ax =-+==-=，若A B B = ，求实数a 组成的集合的子集个数有（）A.2B.3C.4D.8【答案】D 【解析】【分析】先解方程得集合A ，再根据A B B = 得B A ⊆，根据包含关系求实数a ，根据子集的定义确定实数a 的取值组成的集合的子集的个数.【详解】{}{}271203,4|A x x x =-+==因为A B B = ，所以B A ⊆，因此B =∅或{}3B =或{}4B =，当B =∅时，=0a ，当{}3B =时，23a =，当{}4B =时，12a =，实数a 的取值组成的集合为210,,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，其子集有∅，{}0，23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，20,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭，10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，21,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，210,,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭，共8个，故选：D ．3.下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“2,10x R x ∀∈+<”是全称量词命题；③命题“2,210x R x x ∃∈++≤”的否定为“2,210x R x x ∀∈++≤”；④命题“a b >是22ac bc >的必要条件”是真命题；A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“2R 10x x ∀∈+<，”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题2:R,210p x x x ∃∈++≤，则2:R,210p x x x ⌝∀∈++>，故③错误；对于④：22ac bc >可以推出a b >，所以a b >是22ac bc >的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C4.“0m >”是“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由命题“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”，利用二次函数的性质，求得实数m 的取值范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，命题“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”可得命题“x ∀∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题”当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】理解全称命题与存在性命题的含义时求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，把存在性命题为假命题转化为全称命题为真命题，结合二次函数的性质求得参数的取值范围，再根据充分、必要条件的判定方法，进行判定.5.已知()f x =+，则函数(1)()1f xg x x +=-的定义域是（）A.[2,1)(1,2]-⋃B.[0,1)(1,4]U C.[0,1)(1,2]⋃ D.[1,1)(1,3]-⋃【答案】A 【解析】【分析】先求出()f x 的定义域,结合分式函数分母不为零求出()g x 的定义域.【详解】()f x = ,10330x x x +≥⎧∴∴≤≤⎨-≥⎩，-1,()f x ∴的定义域为[]1,3x ∈-.又(1)()1f x g x x +=- ，1132210x x x -≤+≤⎧∴∴-≤≤⎨-≠⎩，且1x ≠.(1)()1f xg x x +∴=-的定义域是[2,1)(1,2]-⋃.故选：A6.已知0a >，0b >，且12111a b+=++，那么a b +的最小值为（）A.1-B.2C.1+ D.4【答案】C 【解析】【分析】由题意可得()1211211a b a b a b ⎛⎫+=++++-⎪++⎝⎭，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为0a >，0b >，12111a b+=++，则()1211211211a b a b a b a b ⎛⎫+=+++-=++++- ++⎝⎭()2113211a b b a ++=++-++()21111111a b ba ++=++≥+=+++.当且仅当()2111112111a b b a a b⎧++=⎪⎪++⎨⎪+=⎪++⎩即2a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等.故选：C .7.若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（）A.{14}mm -≤≤∣ B.{0mm <∣或3}m >C .{41}mm -<<∣ D.{1mm <-∣或4}m >【答案】D 【解析】【分析】首先不等式转化为2min34y m m x ⎛⎫->+⎪⎝⎭，再利用基本不等式求最值，即可求解.【详解】若不等式234y x m m +<-有解，则2min 34y m m x ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭，因为141x y +=，0,0x y >>，所以144224444y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当44x y y x =，即4y x =时，等号成立，4y x +的最小值为4，所以234m m ->，解得：4m >或1m <-，所以实数m 的取值范围是{1m m <-或4}m >.故选：D8.已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为（）A.[2,5]B.[2,)+∞C.[2,6]D.(,5]-∞【答案】A 【解析】【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a 的不等式组，解不等式组得到a 的取值范围.【详解】当2x >时，3666126x a a a x +-≥=-，当且仅当6x =时，等号成立，即当2x >时，函数()f x 的最小值为126a -；当2x ≤时，2()22f x x ax =--，要使得函数()f x 的最小值为(2)f ，则满足2,(2)24126,a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩解得25a ≤≤．故选：A ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列函数在区间(2,)+∞上单调递增的是（）A.1y x x=+B.1y x x =-C.14y x=- D.y =【答案】AB 【解析】【分析】求函数的单调区间，首先要确定函数的定义域，若存在定义域之外的元素，则不符合条件；对其他选项可根据特殊函数的单调性得出.【详解】由“对勾”函数的单调性可知，函数1y x x=+在(2,)+∞单调递增，A 正确；由y x =在(2,)+∞单调递增，1y x =在(2,)+∞单调递减，知1y x x=-在(2,)+∞单调递增，B 正确；函数14y x=-在4x =处无定义，因此不可能在(2,)+∞单调递增，C 错误；函数y =的定义域为(,1][3,)-∞⋃+∞，因此在(2,3)上没有定义，故不可能在(2,)+∞单调递增，D 错误.故选:AB.10.已知函数()221f x x x =++在区间[],6a a +上的最小值为9，则a 可能的取值为（）A.2B.1C.12D.10-【答案】AD 【解析】【分析】根据二次函数的对称轴和开口方向进行分类讨论，即可求解.【详解】因为函数()221f x x x =++的对称轴为=1x -，开口向上，又因为函数()221f x x x =++在区间[],6a a +上的最小值为9，当16a a ≤-≤+，即71a -≤≤-时，函数()221f x x x =++的最小值为min ()(1)0f x f =-=与题干不符，所以此时不成立；当1a >-时，函数()221f x x x =++在区间[],6a a +上单调递增，所以2min ()()219f x f a a a ==++=，解得：2a =或4a =-，因为1a >-，所以2a =；当61a +<-，也即7a <-时，函数()221f x x x =++在区间[],6a a +上单调递减，所以2min ()(6)14499f x f a a a =+=++=，解得：10a =-或4a =-，因为7a <-，所以10a =-；综上：实数a 可能的取值2或10-，故选：AD .11.若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.228a b +≤B.114ab ≤ C.≤ D.111a b+≤【答案】C 【解析】【分析】利用重要不等式的合理变形可得()()2222a b a b +≥+，即可知A 错误；由基本不等式和不等式性质即可计算B 错误；由()22a b +≥即可求得C 正确；根据不等式中“1”的妙用即可得出111a b+≥，即D 错误.【详解】对于A ，由222a b ab +≥可得()()2222222a bab ab a b +≥++=+，又4a b +=，所以()()222216a ba b +≥+=，即228a b +≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故A 错误；对于B ，由4a b +=可得4a b +=≥，即04<≤ab ，所以114ab ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，即B 错误；对于C ，由a b +≥可得()22a b a b +≥++=，所以可得28≥+，即≤，当且仅当2a b ==时等号成立，即C 正确；对于D ，易知()11111111121444a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即111a b +≥；当且仅当2a b ==时等号成立，可得D 错误；故选：C12.公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段AB 为直径作半圆ADB ，CD AB ⊥，垂足为C ，以AB 的中点O 为圆心，OC 为半径再作半圆，过O 作OE OD ⊥，交半圆于E ，连接ED ，设BC a =，,(0)AC b a b =<<，则下列不等式一定正确的是（）．A.2a b+< B.2a b+<C.b >D.2a b+>【答案】AD 【解析】【分析】先结合图象，利用垂直关系和相似关系得到大圆半径2a b R +=，小圆半径2b ar -=，AD =，BD ==，再通过线段大小判断选项正误即可.【详解】因为AB 是圆O 的直径，则90ADB DAB DBA ∠=︒=∠+∠，因为CD AB ⊥，则=90ACD ∠︒，所以90DAB ADC ∠+∠=︒，故DBA ADC ∠=∠，易有ADC DBC ，故AC DCCD BC=，即2CD AC BC ab =⋅=，大圆半径2a b R +=，小圆半径22a b b ar a +-=-=，90ACD ∠=︒ ，222AC CD AD ∴+=，故AD ==，同理BD ==.选项A 中，，显然当0a b <<时AOD ∠是钝角，在AD 上可截取DM DO =，故OD AD <，即大圆半径R OD AD =<，故2a b+<，正确；选项B 中，当60BOD ∠=︒时，大圆半径R OD OB BD ===，有2a b+=选项C 中，Rt BCD △中，BD =，而AC b =，因为,AC BD 大小关系无法确定，故错误；选项D 中，大圆半径2a b R OD +==，小圆半径2b ar OC -==，=OD >2a b+>，故正确.故选：AD.【点睛】本题解题关键在于将选项中出现的数式均与图中线段长度对应相等，才能通过线段的长短比较反馈到数式的大小关系，突破难点.第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合{}1,2A =-，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为_____.【答案】10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a 值，即可求解【详解】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，B ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素1=-时，解得2a =，当,A B 集合有公共元素2=时，解得12a =，故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭14.一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比.若在距离车站10km 处建立仓库，则1y 与2y 分别为4万元和16万元.则当两项费用之和最小时x =______（单位：km ）.【答案】5【解析】【分析】由已知可设：11k y x=，22y k x =，根据题意求出1k 、2k 的值，再利用基本不等式可求出12y y +的最小值及其对应的x 值，即可得出结论.【详解】由已知可设：11k y x=，22y k x =，且这两个函数图象分别过点()10,4、()10,16，得110440k =⨯=，2168105k ==，从而140y x=，()2805xy x =>，故12408165x y y x +=+≥=，当且仅当4085x x =时，即5x =时等号成立.因此，当5x =时，两项费用之和最小.故答案为：5.15.函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，若对于任意正实数,x y ，恒有()()()f xy f x f y =+，且()31f =，则不等式()()82f x f x +-<的解集是_______.【答案】()8,9【解析】【分析】根据抽象函数的关系将不等式进行转化，利用赋值法将不等式进行转化结合函数单调性即可得到结论．【详解】()()()f xy f x f y =+ ，(3)f 1=，22(3)(3)(3)(33)(9)f f f f f ∴==+=⨯=，则不等式()(8)2f x f x +-<等价为(8)[](9)f x x f <-，函数()f x 在定义域(0,)+∞上为增函数，∴不等式等价为080(8)9x x x x >⎧⎪->⎨⎪-<⎩，即0819x x x >⎧⎪>⎨⎪-<<⎩，解得89x <<，∴不等式的解集为(8,9)，故答案为：()8,9.16.已知1:123x p --≤，22:210q x x m -+-≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______.【答案】(][),99,-∞-⋃+∞【解析】【分析】先分别求出命题p 和命题q 为真命题时表示的集合，即可求出p ⌝和q ⌝表示的集合，根据必要不充分条件所表示的集合间关系即可求出.【详解】对于命题p ，由1123x --≤可解出210x -≤≤，则p ⌝表示的集合为{2x x <-或}10x >，设为A ，对于命题q ，22210x x m -+-≤，则()()110x m x m 轾轾---+£臌臌，设q ⌝表示的集合为B ， p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，B∴A ，当0m >时，()()110x m x m 轾轾---+£臌臌的解集为{}11x m x m -≤≤+，则{1B x x m =<-或}1x m >+，12110m m -≤-⎧∴⎨+≥⎩，解得9m ≥；当0m =时，{}1B x x =≠，不满足题意；当0m <时，()()110x m x m 轾轾---+£臌臌的解集为{}11x m x m +≤≤-，则{1B x x m =<+或}1x m >-，12110m m +≤-⎧∴⎨-≥⎩，解得9m ≤-，综上，m 的取值范围是(][),99,-∞-⋃+∞.故答案为：(][),99,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查命题间关系的集合表示，以及根据集合关系求参数范围，属于中档题.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{0A x x =<或{}2},32x B x a x a >=≤≤-.（1）若A B = R ，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆R ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(],0-∞（2）12a ≥【解析】【分析】（1）根据集合的并集运算即可列不等式求解，（2）根据包含关系列不等式求解.【小问1详解】因为{0A x x =<或{}2},32,,x B x a x a A B >=≤≤-⋃=R 所以320322a a a a -≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得0a ≤，所以实数a 的取值范围是(],0-∞.【小问2详解】{0A x x =<或{}2},02x A x x >=≤≤R ð，由B A ⊆R ð得当B =∅时，32-<a a ，解得1a >；当B ≠∅时，32a a -≥，即1a ≤，要使B A ⊆，则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得112a ≤≤.综上，12a ≥.18.已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >（1b >）.（1）求a ，b 的值；（2）当0x >，0y >，且满足1a b x y +=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1a =，2b =（2）[]3,2-【解析】【分析】（1）方法一：根据不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，由1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，由1和b 是方程2320ax x -+>的两个实数根且0a >，将1代入2320ax x -+=求解.（2）易得121x y+=，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【小问1详解】解：方法一：因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩方法二：因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+>的两个实数根且0a >，由1是2320ax x -+=的根，有3201a a -+=⇒=，将1a =代入2320ax x -+>，得23201x x x -+>→<或2x >，∴2b =；【小问2详解】由（1）知12a b =⎧⎨=⎩，于是有121x y +=，故()12422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++>+ ⎪⎝⎭，当且仅当24x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，依题意有()2min 22x y k k +≥++，即282k k ≥++，得26032k k k +-≤→-≤≤，所以k 的取值范围为[]3,2-.19.已知函数()212f x x x =+．（1）试判断函数()f x 在区间(]0,1上的单调性，并用函数单调性定义证明；（2）若(]0,1x ∃∈，使()2f x m <+成立，求实数m 的范围．【答案】（1）单调递减；证明见解析（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）运用定义法结合函数单调性即可；（2）将能成立问题转化为最值问题，结合单调性求解最值.【小问1详解】()212f x x x=+在区间(]0,1上单调递减,证明如下：设1201x x <<≤，则()()()()2212121212222212121122x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+-=-- ⎪⎝⎭()()12121222221212121122x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵1201x x <<≤，∴120x x -<，21211x x >，21211x x >，∴2212121120x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，∴()()120f x f x ->所以，()212f x x x =+在区间(]0,1上单调递减．【小问2详解】由（1）可知()f x 在(]0,1上单调递减，所以，当1x =时，()f x 取得最小值，即()min ()13f x f ==，又(]0,1x ∃∈，使()2f x m <+成立，∴只需min ()2f x m <+成立，即32m <+，解得1m <．故实数m 的范围为()1,+∞．20.已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）确定函数()f x 的解析式并判断()f x 在()1,1-上的单调性（不必证明）;（2）解不等式()()10f x f x -+<.【答案】（1）()21x f x x=+，在(1,1)-上单调递增（2）1(0,)2【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，以及代入条件，即可求解，并判断函数的单调性；（3）根据函数是奇函数，以及函数的单调性，即可求解不等式.【小问1详解】由题意可得()001225f f ⎧=⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩所以()21x f x x =+，经检验满足()()f x f x -=-，设1211x x -<<<，()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以120x x -<，1210x x ->，221210,10x x +>+>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间()1,1-单调递增；【小问2详解】(1)()0f x f x -+< ，(1)()()f x f x f x ∴-<-=-，()f x 是定义在(1,1)-上的增函数，∴111111x x x x -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，得102x <<，所以不等式的解集为1(0,)2.21.2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产x 千件该产品，需另投入成本()F x 万元，且()210100,060810090121980,60x x x F x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完．（1）求出全年的利润()G x 万元关于年产量x 千件的函数关系式；（2）试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()2108006200,060810015780,60x x x G x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元【解析】【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润()G x 万元关于年产量x 千件的函数关系式；（2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元.【小问1详解】当060x <<时，()()22900101006200108006200G x x x x x x =-+-=-+-，当60x ≥时，()8100810090090121980620015780G x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2108006200,060810015780,60x x x G x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．【小问2详解】若060x <<，则()()210409800G x x =--+，当40x =时，()max 9800G x =；若60x ≥，()8100157801578015600G x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当8100x x=，即90x =时，等号成立，此时()max 15600G x =．因为156009800>，所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元．22.在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答此题.①()()()f x y f x f y +=+，()24f =.当0x >时，()0f x >;②()()()2f x y f x f y +=+-，()15f =.当0x >时，()2f x >;③()()()f x y f x f y +=⋅，()22f =.且x ∀∈R ，()0f x >;当0x >时，()1f x >.问题;对任意,x y ∈R ，()f x 均满足___________.（填序号）（1）判断并证明()f x 的单调性;（2）求不等式()148f a +≤的解集.注;如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）增函数（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据单调性的定义法，证明单调性即可；（2）根据单调性，列出相应的不等式，解不等式方程可得答案.【小问1详解】若选①：设12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，则210x x ->，所以21()0f x x ->.由()()()f x y f x f y +=+得()()()f x y f x f y +-=，所以，2121()()()0f x f x f x x -=->，所以，21()()f x f x >，所以()f x 在(,)-∞+∞上是增函数;若选②：设12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <.则210x x ->，所以21()2f x x ->.由()()()2+=+-f x y f x f y 得()()()2f x y f x f y +-=-，所以2121()()()20f x f x f x x -=-->，所以21()()f x f x >，所以f （x ）在(,)-∞+∞上是增函数;若选③：设12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，则210x x ->，所以21()1f x x ->.由()()()f x y f x f y +=⋅得()()()f x y f y f x +=，2211()()1()f x f x x f x =->，又1()0>f x ，所以2()f x >1()f x ，所以函数()f x 为R 上的增函数;【小问2详解】若选①：由(2)4f =得(4)(2)(2)8f f f =+=，所以，(14)8f a +≤可化为(14)(4)f a f +≤，根据()f x 的单调性，得144a +≤，解得34a ≤，所以不等式(14)8f a +≤的解集为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.若选②：令1x y ==，则(2)2(1)28f f =-=，所以(14)8f a +≤可化为(14)(2)f a f +≤，根据()f x 的单调性，得142a +≤，解得14a ≤，所以不等式(14)8f a +≤的解集为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.若选③：由(2)2f =得(4)(2)(2)4f f f =⋅=，(6)(4)(2)8f f f =⋅=，所以(14)8f a +≤可化为(14)(6)f a f +≤，根据()f x 的单调性，得146a +≤，解得54a ≤，所以不等式(14)8f a +≤的解集为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
2023-2024学年河南省新乡市高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省新乡市高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（）A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 2C ．y ＝x 3D ．1y x=-【正确答案】C【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.【详解】y ＝x ＋1是非奇非偶函数，y ＝－x 2是偶函数，y ＝x 3由幂函数的性质，是定义在R 上的奇函数，且为单调递增，1y x=-在在定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，不是定义域上的单调增函数，故选：C此题考查函数奇偶性单调性的判断，要求对奇偶性和单调性的判断方式熟练掌握，是简单题目.2．已知函数()()()2212(3)x x f x x f x ⎧≥+⎪=⎨<+⎪⎩，则()()13f f -=（）A ．7B ．12C ．18D ．27【正确答案】A【分析】先求出f （1）＝f （4）＝42+1＝17，f （3）＝32+1＝10，由此能求出f （1）﹣f （3）的值．【详解】∵函数f （x ）()()()21232x x f x x ⎧+≥⎪=⎨+⎪⎩＜，∴f （1）＝f （4）＝42+1＝17，f （3）＝32+1＝10，∴f （1）﹣f （3）＝17﹣10＝7．故选A ．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3．已知函数()21,0,21,0,x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩已知()3f a =，则实数a 的值为A ．2-或1B ．2-或2C ．1D ．2-或2或1【正确答案】A【分析】可分别讨论当0x ≤时，213x -=，解出满足条件的x 的值．当0x >时，213x +=，解出满足条件的x 的值．【详解】当0x ≤时，213x -=，即2x =-；当0x >时，213x +=，即1x =；故选A此题考查分段函数值求参数，分别求出每个区间满足条件的x 范围即可，属于简单题目．4．下列各项中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A ．()f x x =，()g x =B ．()f x x =，()2g x =C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()1f x x =-，()()()1111x x g x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩【正确答案】D【分析】根据函数的定义域与解析式逐项判断即可.【详解】对于A ，()g x x =，与()f x 的解析式不同，故A 错误；对于B ，()2g x =的定义域为{}0x x ≥，()f x 的定义域为R ，故B 错误；对于C ，()2x g x x=的定义域为{}0x x ≠，()f x 的定义域为R ，故C 错误；对于D ，()()()11111x x f x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-<⎪⎩，且()f x 与()g x 的定义域都为R ，故()f x 与()g x 表示同一函数，故D 正确.故选:D.5．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为()A ．B ．C．D．【正确答案】D【详解】试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．已知函数()f x 为(1,1)-上的奇函数且单调递增，若(21)(1)0f x f x -+-+>，则x 的值范围是（）A ．(1,1)-B ．（0,1）C ．[1,)+∞D ．[1,)-+∞【正确答案】B根据函数定义域以及函数单调性奇偶性，求解不等式即可.【详解】由题意，()f x 为(1,1)-上的奇函数且在(1,1)-单调递增，故(21)(1)0(21)(1)f x f x f x f x -+-+>⇔->-，1211,111,211,x x x x -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩解得01x <<.故选：B.本题考查利用函数奇偶性和单调性求解不等式，属基础题.7．不等式(4)3x x -<的解集为（）A ．{|1x x <或3}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|13}x x <<D ．{|04}x x <<【正确答案】A【分析】将不等式化为(1)(3)0x x -->，可解得结果.【详解】不等式(4)3x x -<化简为：2430x x -+>，所以(1)(3)0x x -->解得：1x <或3x >.故选：A.本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.8．若0a b >>,下列不等式成立的是A ．1b a<B ．2a ab <C ．22a b <D ．11a b>【正确答案】A【详解】由不等式的性质，若0a b >>，则：1ba<，2a ab >，22a b >，11a b<.本题选择A 选项.9．已知0,0x y >>，若3xy =，则x y +的最小值为（）A ．3B ．2C ．D ．1【正确答案】C【分析】直接利用基本不等式求最小值．【详解】由于0,0x y >>，3xy =，所以x y +≥=x y ==立.所以x y +的最小值为故选：C ．本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值时的三个条件：一正二定三相等，务必满足．10．关于x 的不等式()()21100ax a x a -++><的解集为（）A ．11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．1x x a ⎧>⎨⎩或}1x <C ．1x x a ⎧<⎨⎩或}1x >D ．11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【正确答案】A根据二次不等式的求解方法求解即可.【详解】不等式()()21100ax a x a -++><可化为()()110ax x -->，则11x a<<.故选：A.本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单.11．若不等式210x tx -+<对一切()1,2x ∈恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．2t <B ．52t >C ．1t ≥D ．52t ≥【正确答案】D首先分离参数可得1t x x >+，然后结合对勾函数的性质求得152x x +<，从而可确定t 的取值范围．【详解】因为不等式210x tx -+<对一切()1,2x ∈恒成立，所以211x t x x x+>=+在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数1y x x=+在区间(1,2)上单调递增，且当2x =时，15222y =+=，所以152x x +<故实数t 的取值范围是52t ．故选：D ．方法点睛：一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式的符号即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.12．若,,a b c R ∈且a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A ．ac bc >B ．2()0a b c ->C ．11a b＜D ．22a b-<-【正确答案】D【分析】根据不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，若0c ≤，则不等式不成立；对于B ，若0c =，则不等式不成立；对于C ，若,a b 均为负值，则不等式不成立；对于D ，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；故选：D本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.13．设集合{1,2,4}A =，{1,2,3}B =，则A B ⋃=A ．{3,4}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}【正确答案】D 由并集的计算求解即可【详解】由题{}1,2,3,4A B ⋃=故选D本题考查集合的简单运算，并集的定义，是基础题14．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=ð（）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【正确答案】A【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =- ð.故选：A.本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.15．命题“x ∀∈R ，0ax b +≤”的否定是（）A ．x ∃∈R ，0ax b +≤B ．x ∃∈R ，0ax b +>C ．x ∀∈R ，0ax b +≥D ．x ∀∈R ，0ax b +>【正确答案】B【分析】根据全称量词的命题为存在量词命题直接写出即可.【详解】全称量词的命题为存在量词命题，所以命题“x ∀∈R ，0ax b +≤”的否定是“x ∃∈R ，0ax b +>”.故选:B.16．已知集合是M {x |x N}=∈，则()A ．0M ∈B ．πM∈C MD ．1M∉【正确答案】A【分析】根据自然数的定义，得到结果.【详解】集合{}0,1,2,3,M =⋅⋅⋅0M∴∈本题正确选项：A本题考查自然数的定义、元素与集合的关系，属于基础题.17．已知集合{}1,2,4A =，集合(),{|},,B x y x A y A x y =∈∈＞，则集合B 中元素的个数是（）A ．6B ．5C ．4D ．3【分析】根据题意求出()()(){}2,1,4,1,4,2B =，即可求出结果.【详解】集合{}1,2,4A =，集合(),{|},,B x y x A y A x y =∈∈>，∴()()(){}2,1,4,1,4,2B =，∴集合B 中元素的个数是3个.故选：D.18．已知集合{}12A x x =≤≤，集合{}B x x a =≥．若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <B ．1a ≤C ．2a >D ．2a ≥【正确答案】B【分析】A B B ⋃=转化为A B ⊆，从而可求实数a 的取值范围.【详解】因为A B B ⋃=，所以A B ⊆.因为{}12A x x =≤≤，{}B x x a =≥，所以1a ≤.故选:B.19．已知集合{}2210A x ax x =++=，若集合A 为单元素集，则a 的取值为（）A ．1B ．1-C ．0或1D ．1-或0或1【正确答案】C【分析】根据集合A 为单元素集，可得方程2210ax x ++=只有一个实根，对a 分类讨论即可求解.【详解】若集合A 为单元素集，则方程2210ax x ++=只有一个实根.当0a =,可得12x =-，满足题意；当0a ≠时，440a ∆=-=,解得1a =.故a 的取值是0或1.故选:C.20．已知函数()532f x ax bx =++，若()27f =，则()2f -=（）A ．-7B ．-3C ．3D ．7【分析】利用奇函数的性质即得.【详解】设()()532g x f x ax bx =-=+，则()()53g x ax bx g x -=--=-，即()()22f x f x -=--+，故()()2243f f -=-+=-．故选：B二、解答题21．已知集合{}02A x x =<<，{}1B x x a =<<-（1）若3a =-，求()R A B ⋃ð；（2）若A B B = ，求a 的取值范围.【正确答案】（1）{2x x <或3x ≥}；（2）[)2-+∞，.（1）3a =-时，先计算B R ð，再进行并集运算即可；（2）先利用交集结果判断B A ⊆，再讨论B 是否空集使其满足子集关系，列式计算即得结果.【详解】（1）因为3a =-，所以{}13B x x =<<，=B R ð{1x x ≤或3x ≥}，故()=⋃R A B ð{2x x <或3x ≥}；（2）因为A B B = ，所以B A ⊆.若B =∅，则1a -≤，解得1a ≥-；若B ≠∅，则12a a ->⎧⎨-≤⎩，解得21a -≤<-.综上所述，a 的取值范围为[)2-+∞，.易错点睛：已知B A ⊆求参数范围时，需讨论集合B 是否是空集，因为空集是任意集合的子集，直接满足B A ⊆.22．已知0a >，0b >且2a b +=.（1）求ab 的最大值；（2）求28a b+的最小值.【正确答案】（1）1；（2）9.（1）利用基本不等式求得ab 的最大值.（2）利用基本不等式求得28a b+的最小值.【详解】（1）依题意222122a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，所以ab 的最大值为1.（2）()281281281022b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1110108922⎛≥+=+= ⎝.当且仅当2824,,33b a a b a b ===时等号成立，所以28a b+的最小值为9.本小题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.23．已知()221xf x x =+.（1）判断()f x 在[-1，1]的单调性，并用定义加以证明；（2）求函数()f x 在[-1，1]的最值.【正确答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最大值()11f =，最小值()11f -=-.【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）由（1）根据函数的单调性即可解答.【详解】解：（1）函数()f x 在[]1,1-上单调递增；证明：设任意的[]12,1,1x x ∈-且12x x <，()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-++++()()()()122122122111x x x x xx --=++[]12,1,1x x ∈- 且12x x <，1211x x ∴-≤⋅<，210x x ->()()120f x f x ∴-<故函数()f x 在[]1,1-上单调递增；（2）由（1）知()f x 在[]1,1-上单调递增；所以()()2max 211111f x f ⨯===+()()()()2min 211111f x f ⨯-=-+-==-本题考查函数的单调性的证明，函数的最值，属于基础题.24．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()223f x x x =+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()121f m f m +<-，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩；（2）{0mm <∣或2}m >.【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）根据偶函数的性质，结合二次函数()223f x x x =+-在0x ≥时的单调性进行求解即可.【详解】（1）当0x <时，()22()()2()323f x f x x x x x =-=-+⋅--=--，所以2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩；（2）当0x ≥时，()2223(1)4f x x x x =+-=+-，因此当0x ≥时，该函数单调递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，该函数单调递增，所以由()()()()121121121f m f m f m f m m m +<-⇒+<-⇒+<-，因此222(1)(21)202m m m m m +<-⇒->⇒>或0m <，所以实数m 的取值范围是{0m m <∣或2}m >.。
高一数学月考试题及答案
高一数学月考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(x))等于A. x^2 + 2x + 1B. 2x^2 - 3x + 2C. 2x^2 + 1D. x^2 - 3x + 33. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，a_4=10，则公差d等于A. 2B. 3C. 4D. 54. 函数y=x^2-2x+3的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 55. 圆x^2 + y^2 = 25的圆心坐标是B. (5, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)6. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是A. 11B. 13C. 14D. 157. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}8. 若sin(α) = 3/5，且α为第一象限角，则cos(α)等于A. 4/5B. -4/5C. 3/5D. -3/59. 函数y=ln(x)的定义域是A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)10. 抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是A. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=2x-3与x轴的交点坐标为______。
2. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=75，则a_3=______。
3. 已知一个圆的半径为5，圆心到直线x-y+5=0的距离为3，则该圆与直线的位置关系是______。
4. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为______。
5. 集合{a, b, c}与集合{a, d, e}的并集为______。
高一上学期第一次月考数学测试卷带答案
高一上学期第一次月考数学测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 （共6小题）1．若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭和1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 2．设0a >43a a ） A ．16aB ．15aC ．14aD ．13a3．已知1a <233(1)a a -=（ ） A ．－1B ．1C ．21a -D ．12a -4．已知,R x y ∈，则“x y <”是“20242024x y <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时()22xaf x =+，则()1f =（ ） A ．2 B ．4C ．2-D ．4-6．已知3log 2a =，1215b ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<二．多选题（共3小题） 7．下列计算正确的是（ ）A ．1130.0113-= B ．()()2350a a a => C ．()2024202444ππ--D ()360a a a a a =>8．已知14a a -+=，则（ ）A ．11226a a -+= B ．2214a a -+= C ．3352a a -+= D ．123a a --=9．已知9115log log 276a a -=-，则a =（ ） A ．181B 3C ．33D ．81三．填空题（共3小题） 10．求值：211log 338lg1002+++= .11．已知23a =，2log 5b =则15log 8= （用a 、b 表示） 12．若实数1a b >>，且5log log 2a b b a +=，则2ab= .参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C DBCACCDABCBD103a b +1一．选择题（共6小题） 1．C【详解】因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，故21331133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b < 又13y x =在(0,+∞)上为增函数，故11332133⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b >，故c b a >>.故选：C. 2．D11414443333a a a a a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭．故选：D3．B【详解】因为1a <323(1)111a a a a a a -=-+=-+=，故选：B 4．C【详解】因为指数函数2024x y =的定义域为R ，且在定义域上单调递增 所以当x y <时，20242024x y <成立；当20242024x y <，x y <成立； 所以“x y <”是“20242024x y <”的充要条件，故选：C. 5．A【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-故当0x ≤时()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A6．C【详解】因为331log 2log 32a =>=，1211525b ⎛⎫== ⎪⎝<⎭所以a b >，而112411525b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13125c ⎛⎫= ⎪⎝⎭故我们构造指数函数1()25xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到1()4b f =和1()3c f =，由指数函数性质得()f x 在R 上单调递减因为1143<，所以c b <，综上可得c b a <<，故C 正确.二．多选题（共3小题） 7.CD【详解】对A 1111330.0131030-=+=故A 错误；对B ，()()2360a a a =>故B 错误； 对C ，()2024202444ππ-=-故C 正确；对D ()111362360a a a a a a ++==>故D 正确.故选：CD.8．ABC【详解】A ：因为21112224a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，所以11226a a -+=，显然11220a a -+>，所以11226a a -+=故正确；B ：因为()2221216214a a a a --+=+-=-=，故正确；C ：因为()()33122141352a a a a a a ---+=+-+=⨯=，故正确；D ：因为21112224a a a a --⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，所以211222a a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以11222a a --=11111222223a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫-=+-=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：ABC.9．BD【详解】设3log a t =，则913log ,log 272a a t t ==，所以原式253t t =-=-，即225120t t --=解得123,42t t =-=，所以31323log ,log 42a t a t ==-==，所以3233a -=81a =. 故选：BD三．填空题（共3小题） 10．10【详解】解：()22111+log 3log 332338+lg100+2=2+lg10+22=2+2+23=10⨯⨯； 故答案为：10.11．3a b +/3b a+ 【详解】因为23a =，则2log 3a =，又因为2log 5b =，所以215222log 833log 8log 15log 3log 5a b===++.故答案为：3+a b. 12．1【详解】因为1a b >>，所以0log 1a b <<，由15log log log log 2a b a a b a b b +=+=解得1log 2a b =或log 2a b =（舍去），所以12a b =，即2a b =，所以21a b =，故答案为：1。
北京市和平街2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
和平街高一数学月考试题（2024.10）（答案在最后）（考试时间：90分钟，满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、单选题（每小题4分，共40分）1.设集合{}0,1,2,3A =，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A.{}1,0,1,2,3- B.{}1,2 C.{}0,1,2,3 D.{}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】根据集合交集运算求解即可.【详解】{}0,1,2,3A B ⋂=,故选：C.2.已知命题20001:,04∃∈-+≤p x x x R ，则命题p 的否定为（）A.20001,04∃∈-+>x x x R B.20001,04∃∈-+<x x x R C.21,04∀∈-+≤x x x R D.21,04x x x ∀∈-+>R 【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.【详解】20001:,04∃∈-+≤p x x x R ，则命题p 的否定为21,04x x x ∀∈-+>R .故选：D.3.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}3,5B =，则下列结论正确的是（）A.B A ⊆B.{}1,5U A =ðC.{}3A B =D.{}2,4,5A B = 【答案】B 【解析】【分析】利用集合的包含关系可判断A 选项的正误，利用集合的基本运算可判断BCD 选项的正误.【详解】已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}3,5B =.对于A 选项，B A ⊄，A 选项错误；对于B 选项，{}1,5U A =ð，B 选项正确；对于C 选项，{}2,3,4,5A B ⋃=，C 选项错误；对于D 选项，{}3A B ⋂=，D 选项错误.故选：B.4.设集合{}2{,},0,A x y B x ==，若A B =，则2x y +等于（）A.0B.1C.2D.－1【答案】C 【解析】【分析】根据元素的确定性可得0x =或0y =，再利用元素的互异性可确定0y =，1x =，从而可得正确的选项.【详解】由A B =，得0x =或0y =.当0x =时，20x =，不满足集合中元素的互异性，舍去；当0y =时，2x x =，则0x =或1x =，由上知0x =不合适，故0y =，1x =，则22x y +=.故选：C.【点睛】本题考查集合相等的性质以及集合元素的确定性和互异性，一般地，我们利用确定性求值，利用互异性取舍，本题属于基础题.5.已知0x >，则2x x+的最小值为（）A.B.2C.D.4【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为0x >，则2x x +≥=2x x =，即x ==”，所以2x x+的最小值为.故选：C6.若a ，b 是任意实数，且a b >，则（）A.22a b >B.1b a< C.1a b -> D.0a b ->【答案】D 【解析】【分析】利用不等式性质一一判定选项即可.【详解】若2201a b a b =>=-⇒<，故A 错误；若1221ba b a=->=-⇒=>，故B 错误；若011a b a b =>=-⇒-=，故C 错误；显然0a b a b b b >⇔->-=，故D 正确.故选：D7.不等式2230x x --<的解集为（）A.()1,3- B.()3,1-C.(1)(3)∞∞--⋃+，， D.(3)(1)∞∞--⋃+，，【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】不等式2230x x --<，即()()130x x +-<，解得13x -<<，所以不等式2230x x --<的解集为()1,3-.故选：A8.“02x <<”是“13x -<<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】02x <<时，一定有13x -<<，满足充分性，但13x -<<时，如 2.5x =，不满足02x <<，即不满足必要性，“02x <<”是“13x -<<”的为充分不必要条件．故选：A ．9.已知集合{}0,A a =，{}230,Z B b b b b =-<∈，A B ≠∅ ，则实数a 的值为（）A.1B.2C.1或2D.2或3【答案】C 【解析】【分析】首先解一元二次不等式即可求出集合B ，再根据A B ≠∅ 求出a 的值.【详解】由230b b -<，即()30b b -<，解得03b <<，所以{}{}{}230,Z 03,Z 1,2B b b b b b b b =-<∈=<<∈=，又{}0,A a =且A B ≠∅ ，所以1a =或2a =.故选：C.10.设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ，…，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且12360n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.10B.11C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】根据题设描述只需保证各集合中n A X M m =-（*N n ∈）尽量小，结合已知及集合的性质有n 最大时123(1)...2n A A A A n n X X X X -++++=，进而分析n 的取值.【详解】由题设1A ，2A ，3A ，…，n A 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，要使n 最大，则各集合中n A X M m =-（*N n ∈）尽量小，所以集合1A ，2A ，3A ，…，n A 的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以，不妨设1230,1,2,...,1n A A A A X X X X n ====-，有123(1)...2n A A A A n n X X X X -++++=，当11n =时，123...5560n A A A A X X X X ++++=<，当12n =时，123...6660n A A A A X X X X ++++=>，只需在11n =时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故n 的最大值为11.故选：B【点睛】关键点点睛：注意n 最大则各集合中n A X M m =-（*N n ∈）尽量小，并求出该情况下特征值之和关于n 的公式，再分析其最大取值.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共25分）．11.已知函数()43f x x =+，则()3f =__________.【答案】15【解析】【分析】代值求解可得.【详解】()43f x x =+Q ，(3)43315f ∴=⨯+=.故答案为：15.12.设x 、y 满足10x y +=，且x 、y 都是正数，则xy 的最大值为________．【答案】25【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由于x 、y 都是正数，故2252x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当5x y ==时等号成立，故xy 的最大值为25，故答案为：2513.满足{}{}11,2,3A ⊆⊆的集合A 的个数为____________个.【答案】4【解析】【分析】根据子集的定义即可得到集合A 的个数；【详解】 {}{}11,2,3A ⊆⊆，∴{}1A =或{}1,2或{}1,3或{}1,2,3，故答案为：4.【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.14.已知集合{}{}21,2,3,2,A B a a a ==+．若{}2A B = ，则a =____________．【答案】2-【解析】【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可.【详解】当22a =时，1a =，此时{}2,2B =，不满足集合中元素的互异性，所以1a =（舍）；当22a a +=时，可得2,1a a =-=（舍），此时，{}4,2B =-，满足条件，所以2a =-．故答案为：2-15.函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则不等式20ax bx c ++<的解集是__________，不等式0ax bcx a+<+的解集是__________.【答案】①.{}|12x x <<②.1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据图像求出a ，b ，c 之间的关系，再解不等式0ax bcx a++＜即可.【详解】由函数图像知，20ax bx c ++<的解集为{}|12x x <<；从而0,420,a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩且0a >，解得3b a =-且2(0)=>c a a ，所以不等式0ax bcx a +<+等价于3021x x -<+，等价于()()3210x x -+＜，解得132x -<<；故答案为：{}|12x x <<；1|3.2⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭x x三、解答题（六小题，共85分）16.已知集合{}2|430A x x x =-+<，集合{}|2B x x =>．（1）化简集合A 并求A B ⋂，A B ．（2）若全集U R =，求()U B A ⋂ð．【答案】（1）{}|23A B x x =<< ，{}|1A B x x =>U ；（2）{}|3x x ≥﹒【解析】【分析】(1)解二次不等式得集合A ，利用交并运算的定义求解即可；(2)先求补集U A ð，进而求交集即可．【小问1详解】{}2|430A x x x =-+<{}|13x x =<<，∴{}|23A B x x =<< ，{}|1A B x x =>U ．【小问2详解】∵{|1U A x x =≤ð或3}x ≥，∴(){}|3U B A x x ⋂=≥ð．17.完成如下三个小题并写出必要过程（1）设()()23M x x =++，()()14N x x =++，比较,M N 的大小．（2）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（3）已知R x ∈，设()1A x x =-；2B x =-，比较A 与B 的大小．【答案】（1）M N >（2）证明见解析（3）A B>【解析】【分析】（1）由作差法得到−=+2+3−+1+4=2+5+6−2+5+4=2>0，即可比较；（2）由c d <则c d ->-，由同向不等式的可加性可得a c b d ->-；（3）由作差法得到−=2−2+2=−12+1>0，即可比较.【小问1详解】因为−=+2+3−+1+4=2+5+6−2+5+4=2>0，M N ∴>.【小问2详解】因为,a b c d ><，所以c d ->-，由同向不等式的可加性可得a c b d ->-.【小问3详解】因为R x ∈，()1A x x =-，2B x =-，所以−=2−2+2=−12+1>0，所以A B >.18.已知集合{}45A x x =-<<，{}36B x x =-<<，{}|121,R C x m x m m =-≤≤+∈.（1）求A B ，A B ⋂；（2）若()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}46A B x x ⋃=-<<，{}35A B x x ⋂=-<<（2）2m <-或22m -<<.【解析】【分析】（1）根据集合的交并运算求得A B ，A B ⋂；（2）根据C 是否为空集进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】{}45A x x =-<<，{}36B x x =-<<，∴{}46A B x x ⋃=-<<，{}35A B x x ⋂=-<<.【小问2详解】{}35A B x x ⋂=-<<，当C =∅时，121m m ->+，∴2m <-．当C ≠∅时，213215m m m ≥-⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，∴22m -<<．综上所述，2m <-或22m -<<.19.函数()243f x mx mx =++（1）若1m =，求()0f x ≤的解集；（2）当()0f x >恒成立时，求m 的取值范围；（3）若方程()0f x =有两个实数根12,x x ，且22121230x x x x +->，求m 的取值范围【答案】（1）[]3,1--（2）30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）1516m >或0m <【解析】【分析】（1）把1m =代入，结合二次不等式的求解方法可得答案；（2）讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案；（3）利用韦达定理及限制条件可得答案.【小问1详解】当1m =时，原不等式等价于2430x x ++≤，解得31x -≤≤-，所以()0f x ≤的解集为[]3,1--.【小问2详解】当0m =时，()30f x =>恒成立；当0m >时，()0f x >恒成立，则有216120m m -<，解得304m <<，当0m <时，()0f x >显然不恒成立.综上，m 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】()0f x =有两个实数根，所以0m ≠，216120m m ∆=-≥，解得34m ≥或0m <，121234,x x x x m+=-=，因为22121230x x x x +->，所以()2121250x x x x +->，15160m ->解得1516m >或0m <，综上可得1516m >或0m <.20.设一个矩形长为x ，宽为y ．（1）当点(),P x y 位于直线4y x =-+上时，求该矩形面积的最大值．（2）当点(),P x y 位于曲线81212y x x ⎛⎫=> ⎪-⎝⎭上时，求该矩形周长的最小值．（3）当该矩形的面积比周长多5时，求该矩形面积的取值范围．【答案】（1）4（2）9（3）[)25,+∞【解析】【分析】（1）表达出矩形面积24S xy x x ==-+，配方后求出最大值；（2）表达出矩形周长16221l x x =+-，变形后，利用基本不等式求出最小值；（3）由题意得到225xy x y --=，由基本不等式得到50xy --≥，求出答案.【小问1详解】该矩形面积为()22424S xy x x x ==-+=--+，04x <<，故当2x =时，S 取得最大值，最大值为4；【小问2详解】该矩形周长()16162222112121l x y x x x x =+=+=-++--，因为12x >，所以16210,021x x ->>-，由基本不等式得()162111921l x x =-++≥+=-，当且仅当162121x x -=-，即52x =时，等号成立，故该矩形周长的最小值为9；【小问3详解】由题意得225xy x y --=，即52xy x y -=+，因为0,0x y >>，由基本不等式得x y +≥52xy -≥，即50xy --≥5≥1≤-（舍去），故25xy ≥，该矩形面积的取值范围为[)25,∞+.21.设集合*A ⊆N ．定义：和集合{},,B x y x y A x y =+∈≠，积集合{},,C x y x y B x y =⋅∈≠，分别用,,A B C 表示集合,,A B C 中元素的个数．（1）若{}1,2,3,4A =，求集合C ；（2）若5A =，求B 的所有可能的值组成的集合；（3）若4A =，求证：9C ≥．【答案】（1）{}12,15,18,20,21,24,28,30,35,42C =（2）{}7,8,9,10（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义直接求解B ,C ;（2）令12345a a a a a <<<<，由和集合得到数的大小关系，再讨论大小关系分类求解；（3）记A 集合为{}1234,,,a a a a ，且1234a a a a <<<，由和集合得到数的大小关系，求出B 有两种可能，当6B =得9C ≥，由5B =及数的大小关系分别讨论7C ≠和8C ≠，讨论五种情况即可求解.【小问1详解】（1）由{}1,2,3,4A =，则{}3,4,5,6,7B =，{}12,15,18,20,21,24,28,30,35,42C =．【小问2详解】当5A =，不妨记A 集合为{}12345,,,,a a a a a ，且令12345a a a a a <<<<，则必有12132324343545a a a a a a a a a a a a a a +<+<+<+<+<+<+，和中剩下的141525,,a a a a a a +++满足141525a a a a a a +<+<+，并且13142535,a a a a a a a a +<++<+，下列有四种可能：一是142315242534,,a a a a a a a a a a a a +=++=++=+，则7B =；二是14a a +与2315,a a a a ++与2425,a a a a ++与34a a +三对数有两对相等，另一对不相等，则8B =；三是14a a +与2315,a a a a ++与2425,a a a a ++与34a a +三对数有一对相等，其它两对不相等，则9B =；四是14a a +与2315,a a a a ++与2425,a a a a ++与34a a +三对数全不相等，则10B =；综上述，B 的所有可能的值组成的集合为{}7,8,9,10.【小问3详解】当4A =，不妨记A 集合为{}1234,,,a a a a ，且1234a a a a <<<，则必有1213232434a a a a a a a a a a +<+<+<+<+，和中剩下的元素为14a a +，满足131424a a a a a a +<+<+，所以B 有两种可能，当1423a a a a +≠+，6B =；当1423a a a a +=+，5B =；ⅰ）当6B =，不妨记这6个元素为123456,,,,,b b b b b b ，且让123456b b b b b b <<<<<，则必有121323243435454656b b b b b b b b b b b b b b b b b b <<<<<<<<，所以9C ≥；ⅱ）当5B =，1423a a a a +=+，不妨记112b a a =+，213b a a =+，323b a a =+，424b a a =+，534b a a =+，则12345b b b b b <<<<，则必有12132324343545b b b b b b b b b b b b b b <<<<<<，积中剩下的141525,,b b b b b b 满足141525b b b b b b <<，则7C ≥，下面先证明7C ≠．假设7C =，由1314242535b b b b b b b b b b <<<<，则142315242534,,b b b b b b b b b b b b ===，即535242131424,,b b b b b b b b b b b b ===，所以35241234b b b b b b b b ===，令21b q b =，由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则431111b b q b q b q +=+，所以431q q q +=+，则1q =，与事实不符，所以7C ≠．下面再证明8C ≠．由上述分析知：要使8C =，积中剩下的141525,,b b b b b b 满足141525b b b b b b <<，必有两对积与12132324343545,,,,,,b b b b b b b b b b b b b b 七对中的两对相等，有如下五种情况：一是23142415b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，则可推得524134b b b b b b ==，令其比值为t ，则1t >，于是5421,b tb b tb ==，由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则1414b tb tb b +=+，则()()1410t b b --=，显然无解，故此情况不能；二是23143415b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，则可推得35241314,b b b b b b b b ==，令3524121314,b b b b t t b b b b ====，显然211t t >>，由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则124114b t b t b b +=+，所以()()241111t b t b -=-，而显然()()241111t b t b ->-，故此情况不可能；三是23143425b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，则可推得354123b b b b b b ==，令其比值为t ，则1t >，由152432b b b b b +=+=，又2315b b b =，则15b b +=，这与15b b +>矛盾，故此情况不可能；四是23153425b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，可推得524132b b b b b b ==，令其比值为t ，则1t >，于是53b tb =，21b tb =，2421b tb t b ==，2314a a a a +=+，于是由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则2131132b tb tb t b b +=+=，所以132b b t =-，代入得211122b tb t b t+=-，推得()()222t t t +-=，所以32220t t t --+=，所以()()2120t t --=，有1t >，所以t =，这与21b t b =是有理数相矛盾，所以此情况不能；五是24153425b b b b b b b b =⎧⎨=⎩，可推得532142b b b b b b ==，令其比值为t ，则1t >，于是5421,b tb b tb ==，由15241234b b b b a a a a +=+=+++，则1414b tb tb b +=+，则()()1410t b b --=，显然无解，故此情况不可能．所以8C ≠．综上，所以9C ≥．【点睛】关键点点睛:本题考查集合新定义，关键是对集合元素数的大小关系进行讨论，推出矛盾证明第三问.。
河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)
河南省名校联考2024-2025学年上期高一第一次月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.下列关系式正确的是A.3∈QB.—1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R2.关于命题q:∀a<b,|a|≤|b|,下列结论正确的是A. q是存在量词命题，是真命题B. q是存在量词命题，是假命题C. q是全称量词命题，是假命题D. q是全称量词命题，是真命题3.已知集合A={x∈Z|3x―1∈Z},则用列举法表示A=A.{—2,0,2,4}B.{—2,0,1,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}4.已知a>0,b>0,c>0,则“a+b>c”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正数a，b满足1a +2b=1,则a+2b的最小值为A.9B.6C.4D.36.已知集合A={(x,y)|y=x²+ ax+1},B={(x,y)|y=2x-3},C=A∩B,若C恰有1|真子集，则实数a=A.2B.6C.2或6D.—2或67.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为A.25元B.20元C.15元D.10元【高一数学第1页(共4页)】 ·A18.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有A.5名B.4名C.3名D.2名二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组对象能构成集合的有A.郑州大学 2024 级大一新生B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员C.体型庞大的海洋生物D.唐宋八大家10.已知a>b>0,则使得a+ca >b+cb成立的充分条件可以是A. c=-2B. c=-1C. c=1D. c=211.已知二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则A. a+b>0B. abc>0C.13a+b+2c>0D.不等式bx²―ax―c>0的解集为{x|-2<x<1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a=10―6,b=6―2,则a ▲ b.(填“◯”或“<”)13.已知a∈R,b∈R,集合{,则(a―b)³=.14.已知m<n<0,则8nm+n ―2mm―n的最大值为▲ .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U=R,集合A={x|-2<x<3},B={x|a-1<x<2a}.(1)若a=2,求A∪B,C∪B;(2)若B⊆A,求a 的取值范围.【高一数学第2页(共4页)】 A116.(15分)给出下列两个结论：①关于x的方程.x²+mx―m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2,使(m+1)x―3=0.(1)若结论①正确，求m 的取值范围；(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围.17.(15分)已知正数a,b,c 满足 abc=1.(1)若c=1,求2a +3b的最小值；(2)求a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值.A11918.(17分)已知a∈R,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3.(1)当a=1时,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点，求x31+x32;(2)求关于x的不等式y≥1的解集.19.(17分)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a-b=b-c，则称A 为“等差集”.(1)若集合A=1,3,5,9,B⊆A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；(2)若集合.A=1,m,m²―1是“等差集”，求m的值；(3)已知正整数n≥3,证明:{x,x²,x³,…,x"}不是“等差集”.【高一数学第4 页(共4 页)】 A1·数学参考答案1. D 3₃∉Q,-1∉N,N ⊆Z,Q ⊆R2. C 由-2<1,|-2|>|1|,知q 是假命题,且q 是全称量词命题.3. A 因为3=1×3=(--1)×(-3),所以A={-2,0,2,4}.4. B 取a=5,b=3,c=1,满足a+b>c,此时b+c<a,a,b,c 不可以构成三角形的三条边.由a,b,c 可以构成三角形的三条边,得a+b>c.故“a+b>c”是“a,b,c 可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.5. A 因为 1a +2b =1,所以 a +2b =(1a +2b)(a +2b )=5+2b a+2a b.又a>0,b>0,所以 2ba + 2ab ≥22b a⋅2ab =4,当且仅当a=b=3时，等号成立，故a+2b 的最小值为9.6. D 因为C 恰有1个真子集，所以C 中只有1个元素.联立方程组 {y =x 2+ax +1,y =2x ―3,整理得 x ²+(a ―2)x +4=0,则 (a ―2)²―16=0,解得a=-2或6.7. D 设每株多肉植物的售价降低x(x∈N)元，则这种多肉植物每天的总销售额为(30-x)(25+5x)元.由(30-x)(25+5x)≥1 250,得5≤x≤20,故每株这种多肉植物的最低售价为30-20=10元.8. B 如图，由题可知 {a +b +9m +x ―20,a +c +m +z ―21,b +c +m +s ―21,a +b +c +1>22,a +b +z ―12,x +9z +z =24,则 3m=63-2(a+b+c)-(x+y+z)=15,则m=5,从而3个兴趣小组都没参加的学生有45-(a+b+c)-(x+y+z)-m=4名.9. ABD 由题可知，A ，B ，D 中的对象具有确定性，可以构成集合，C 中的对象不具有确定性，不能构成集合.10. AB 由a +c a>b +c b,得 a +c a ―b +cb=b (a +c )―a (b +c )ab=c (b ―a )ab>0.因为a>b>0,所以c<0.11. BCD 由图可知a>0,二次函数 y =ax ²+bx +c 的图象与x 轴相交于(--1,0),(2,0)两点，则 {a ―b +c =0,4a +2b +c =0,整理得 {b =―a ,c =―2a ,则 a+b=0, abc>0,A 不正确,B 正确. 由【高一数学·参考答案 第 1页(共4 页)】 ·A1·{4a―2b+c>0,9a+3b+c>0,得13a+b+2c>0,C正确.因为{b=―a,c=―2a,所以bx²―ax―c=―ax²―ax+2a>0,即x²+x―2<0,,解得-2<x<1,D正确.12.<a―b=10+2―26,因为( 10+2)2=12+45,(26)2=24,45<12(所以(10+2)2<(26)2,则10+2<26,从而a<b.13.8 由a+b,a,2=a²,2,0,得a=0或a=a².若a=0,则a²=0,，不符合集合元素的互异性.若a=a²,则a=0(舍去)或a=1,所以a+b=0,即b=-1,从而((a―b)³=8.14.―18nm+n ―2mm―n―4(m+n)―4(m―n)m+n―(m+n)+(m―n)m―n=3―[4(m―n) m+n +m+nm―n].因为m<n<0,所以4(m―n)m+n >0,m+nm―n>0,则4(m―n)m+n+m+nm―n≥24(m―n)m+n⋅m+nm―n=4，当且仅当m=3n时，等号成立，故的最大值为-（1）由a=2,得B={x|1<x<4}, ... 1分 (1)则或x≥4}. ... 3分 (3)因为A={x|-2<x<3},所以A∪B={x|-2<x<4}................................................5分（2）若B=∅,则a-1≥2a,解得a≤-1,满足B⊆A (7)若B≠∅,则由B⊆A,得分 (9)解得 (11)综上所述，a的取值范围为 (13)16.解:（1）由结论①正确,得分 (3)解得-6<m<2 (5)故当结论①正确时，m的取值范围为{m|-6<m<2}....................................6分（2）若m=-1,则原方程转化为-3=0,恒不成立. ... 7分 (7)若m≠-1,则由（m+1）x-3=0,得分 (8)从而解得 (10)当结论①正确，结论②不正确时， (12)当结论②正确,结论①不正确时,m≥2 (14)综上所述，当结论①，②中恰有一个正确时，m的取值范围为或m≥2}..........15 17.解分 (1)则 (4)当且仅当时，等号成立，故的最小值为₆ (6)（2）因为, (8)当且仅当a=b=c=1时,等号成立,... 9分 (9)所以分 (10) (12)当且仅当 ac+ bc=2时,等号成立,此时a=b=c=1, ... 14分 (14)所以的最小值为8………………………………………………………………………………15分18.解:(1)当a=1时,y=x²+5x+5.由题可知x₁,x₂;是方程x²+5x+5=0的两个实数根， (2)由{x21+5x1+5=0, x22+5x2+5=0,得{x 31=―5x21―5x1,x32=―5x22―5x2, 4分则x i+x32=―5(x21+x22)―5(x1+x2)=―5[(x1+x2)2―2x1x2]+25=―75+25=―50.6分(2)由y≥1,得ax²+(3a+2)x+2a+2≥0.当a=0时，不等式整理为………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7分当a≠0时,令ax²+(3a+2)x+2a+2=(x+1)( ax+2a+2)=0,得x=---1或x=...............................................................................................................9分当a>0时,则原不等式的解集为或3x≥-1} (11)当--2<a<0时,―1<―2a+2a,则原不等式的解集为{x|―1≤x≤―2a+2a};当a=-2时,则原不等式的解集为{-1}；...............................................................15分当a<-2时,则原不等式的解集为 (17)【高一数学·参考答案第3页(共4页)】 ·A1·…13分1,3,5或1,5,9,………………………………………………………………………… (1)故满足条件的B可能是{1,3,5},{1,5,9},{1,3,5,9}...........................................4分（2）解:由A 是“等差集”,得, ... 5 分 (5)且m≥2,则 (6)（舍去）或m=2 (8)当m=2时,A={1,2,3}是“等差集”,故m=2 (9)（3）证明:假设{x,x²,x³, (10)则存在1≤i<j<k≤n,其中i,j,k∈N*,使得 (11)即则分 (12)因为1≤i<j<k≤n,所以k-i>j-i,从而k-i≥j-i+1,... 13分 (13)则2xʲ⁻ⁱ=1+xᵏ⁻ⁱ≥1+xʲ⁻ⁱ⁺¹, ……………………14分则分 (15)因为x≥2，所以从而2-x>0,即x<2, (16)不是“等差集” (17)【高一数学·参考答案第 4 页(共4页)】。
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第一学期10月检测考试
高一年级数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上.
一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1. 已知{}{}|24,|3A x x B x x =-<<=>，则A B =（ ）
A. {}|24x x -<<
B. {}|3x x >
C. {}|34x x <<
D. {}|23x x -<<
2.设集合A 和集合B 都是自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n n +，则在映射f 下，B 中的元素20是A 中哪个元素对应过来的（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
3.满足关系{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 的个数 （ ）
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
4.方程260x px -+=的解集为M,方程260x x q +-=的解集为N,且M ∩N={2},那么p q +等于（ ）
A.21
B.8
C.6
D.7
5. 在下列四组函数中,()()f x g x 与表示同一函数的是 ( )A. ()()211,1
x f x x g x x -=-=+ B. ()()()01,1f x g x x ==+ C. ()()2,f x x g x x == D. 4)(,22)(2-=-⋅+=x x g x x x f
6. 函数123
()f x x x =--的定义域是（ ） A. [)23, B.()3,+∞ C.[)()233,,+∞ D.()()233,,+∞
7. 设0abc >,二次函数2()f x ax bx c =++的图象可能是
8.设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a =+=++-且{2}M N =,则a 值是( )
A.1或-2
B. 0或1
C.0或-2
D. 0或1或-2
9. 设全集，
，则下列结论正确的是 A. B. C. D.
10. 已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．[0,2]
C ．(－∞，2]
D ．[1,2]
11. 若()f x 是偶函数，且对任意x 1，x 2∈),0(+∞ (x 1≠x 2)，都有f ?x 2?－f ?x 1?x 2－x 1
<0，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．)43()32()21(f f f >->
B ．)3
2()43()21(f f f >-> C ．)32()21()43(f f f >-> D ．)21()32()43(f f f >>-
12.已知函数,1()(32)2,1
a x f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，在（—∞，+∞）上为增函数，则实数a 的取
值范围是( )
A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)
13. 已知集合{(,)|2},{(,)|4},A x y x y N x y x y M N =+==-==则_____________.
14. 已知3()4f x ax bx =+-，其中b a ,为常数，若4)3(=-f ，则)3(f =___________.
15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-323)2()(x x x f x f x ，则()=-2f .
16．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x
--<的解集为___________.
三．解答题（本题共6个题，共70分.要求写出必要的文字说明和解题过程.）
17．(本题满分10分)
已知全集U R =，集合A=}023{2>+-x x x ，集合B=}13{≥-<x x x 或,
求A ∪B ，A C U ，()U C A B .
18．(本题满分12分) 设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B A =， 求实数a 的取值范围.
19．（本题满分12分）
若函数)(x f 是定义在[-1，1]上的减函数，且0)12()1(<---a f a f ,求实数a 的取值范围.
20. （本题满分12分） 已知函数2()(0)1
ax f x a a x =≠-为常数且， 定义域为（-1，1） 证明:(1)函数f (x)是奇函数；
(2)若1,a = 试判断并证明f (x)在（-1，1） 上的单调性.
21．（本题满分12分）
已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x <时2()21f x x x =++.
（I ）求函数()f x 的表达式；
（II ）请画出函数()f x 的图象；
（Ⅲ）写出函数()f x 的单调区间.
22．（本题满分12分）
若二次函数满足(1)()2(0)1f x f x x f +-==且.
(1) 求()f x 的解析式；
(2) 若在区间[-1,1]上不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.
高一年级数学参考答案
一、 CCDA CCDC BDAC
二．13. {}(3,1)- 14.-12 15．
116
16.(1,0)(0,1)- 三．解答题
17．解：A={}21|}023{2><=>+-x x x x x x 或， 分2
∴A ∪B=R ， 分4 A C U =}21{≤≤x x ， 分6
B A ⋂={}23|>-<x x x 或 8分 )(B A
C U ⋂={}23|≤≤-x x 10分
18．解：A={}4,0-，B B A =⋂ A B ⊆∴
1o
当B=ϕ时，0<∆ ∴[]0)1(4)1(222
<--+a a 1-<∴a ---------------------------------------3分 2o
当B={}0时，由韦达定理 22(1)0010
a a -+=+⎧⎨-=⎩ 得a= -1----------------------------------------------6分 3o
当B={}4-时，由韦达定理 ⎩⎨⎧=--=+-0
18)1(22a a 得到a 无解-------------------------------------------9分 4o
当B={}4,0-时，由韦达定理 ⎩
⎨⎧=--=+-014)1(22a a 得到a=1 综上所述a 1-≤或者a=1---------------------------------------------------------12分
19．解：因为0)12()1(<---a f a f
所以)12()1(-<-a f a f ………………………………1分
又因为)(x f 是定义在[-1,1]上的减函数………………………………2分
所以有⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤-->-11211111
21a a a a ……………………………………8分 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<≤≤≤≤321
020a a a ……………………………………………………11分 所以3
20<≤a 即满足条件的a 的取值范围为3
20<≤a ……………………………………12分 21.解：设20,0,()21x x f x x x >-<∴-=-+则
又()f x 是定义在R 上的奇函数,故()()f x f x ∴-=-
所以2
()21,(0)f x x x x =-+->
当0x =时,(0)0f = 所以()f x =2221,00,021,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩
………………………………6分
图象………………………10分
递增区间是(1,0),(0,1)-
递减区间是
12分
22. 解：（1)0(≠+a c ，则c x b x a x f ++++=+)1()1()1(2 )0(=f 2分
又x f ( 即ax 2
⎩⎨⎧=+=∴0
22b a a 解得1,1-==b a …………………………4分
1)(2+-=∴x x x f …………………………6分
（2）不等式()f x >2x+m 化为m x x >+-132
在区间[-1,1]上不等式()f x >2x+m 恒成立 ∴在区间[-1,1]上不等式m x x >+-132恒成立………………………8分
只需min 2)13(+-<x x m
在区间[-1,1]上，函数4
5)23(1322--=+-=x x x y 是减函数 ∴ 1)13(min 2-=+-x x ………………………10分 所以，1-<m .………………………12分。