2015届高考数学(理)一轮讲义：第16讲 直线与圆经典精讲 精品讲义

直线与圆经典精讲

主讲教师：王春辉 北京数学特级教师

引入

从一道题谈起：已知点P 到两定点)0,1(-M 、)0,1(N 距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．

重难点突破

题一：若直线

1x y a b

+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）． A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b

+≥ 金题精讲

题一：对于圆:

1C 221x y +=，圆:2C 222(3)(4)x y r -+-=， （1）若4r

=，两个圆的公切线方程是 ． （2）若5r

=，两个圆的公共弦方程是 ． （3）若6r

=，两个圆的公切线方程是 ． （4）若3r

=，则两圆方程相减所得的直线为 ；它表示的是 的轨迹．

题二：矩形A B C D 的两条对角线相交于点(20)M ，

，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．

（I ）求AD 边所在直线的方程；

（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；

（III ）若动圆P 过点(20)N -，

，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．

题三：如图，已知定圆:C 4)3(22=-+y x ，定直线:m 360x y ++=，过)0,1(-A 的一条动直线l 与直线相交于N ,与圆C 相交于Q P ,两点，M 是PQ 中点．

（Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ；

（Ⅱ）当PQ =l 的方程；

（Ⅲ）设t =

AM AN ⋅,试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由.

引入

题一：1y x =-或1y x =-+

重难点突破

题一：D

金题精讲

题一：（1）内公切线：68100x y +-=，外公切线：1x =-和74(1)243

y x =+-；（2）6810x y +-=；（3）68100x y ++=；（4）68170x y +-=，到两个圆切线长相等的点

题二：（I ）320x y ++=；（II ）22(2)8x y

-+=；（III ）22

1(22x y x -=≤ 详解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，

所以AD 边所在直线的方程为320x y ++=．

（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩

，解得点A 的坐标为(02)-，， 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，

．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．

又AM ==

从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．

（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，

所以PM PN =+

PM PN -=

故点P 的轨迹是以M N ，

为焦点，实轴长为

因为实半轴长a =2c =

．所以虚半轴长b ==

从而动圆P

的圆心的轨迹方程为22

1(22

x y x -=≤． 题三：（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）1-=x

或0434=+-y x ；（Ⅲ）t 是定值，且5t =-. 详解：（Ⅰ）由已知31-=m

k ,故3=l k ,所以直线l 的方程为)1(3+=x y . 将圆心C )3,0(代入方程易知l 过圆心C .

(Ⅱ) 当直线l 与x 轴垂直时,易知1-=x

符合题意； 当直线与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,由于32=PQ ， 所以.1=CM 由113

2=++-=k k CM ,解得34=

k . 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x .

(Ⅲ)当l 与x 轴垂直时,易得)3,1(-M ,)3

5,1(--N ,又)0,1(-A 则(0,3),AM = 5(0,)3AN =-,故5-=⋅. 即5t =-.

当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,代入圆的方程得

056)62()1(2222=+-+-++k k x k k x k . 则,1322221k k k x x x M ++-=+=2213)1(k k k x k y M M ++=+=, 即)13,13(2222k

k k k k k M ++++-, AM =)13,113(222k k k k k ++++.又由⎩⎨⎧=+++=,

063),1(y x x k y 得)315,3163(k k k k N +-+--,

则55(,)1313k k k

AN --=++. 故=t 222221555(3)5(13)(1)5(1)(13)(1)(13)(13)(1)

k k k k k k k k k k k k AM AN ---+-++=+==-++++++⋅. 综上，t 的值为定值，且5t =-.