空间向量运算的坐标表示
课件1：1.3.2 空间向量运算的坐标表示
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
空间向量的运算的坐标表示
三、空间ห้องสมุดไป่ตู้量长度与夹角的坐标表示
设 = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2 ) a 根 空 向 运 的 标 示有 据 间 量 算 坐 表 , (1) | a |= a⋅ a = x + y + z ,
2 1 2 1 2 1
(2 ) cos < a, b >= (a ≠ 0, b ≠ 0)
= 2 × (−5) + 3 × (−13) + 2 × 6 = −10 − 39 + 12 = −37。
练 1 已 a = (−1 −3,2), b = (1 2,0).求: 习、 知 , , (1)2a,−5a, a + 2b,2a −b; r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a +b)。 r r 解 : (1)2a = (−2, −6, 4)，−5a = (5,15, −10)， r r r r a + 2b = (1,1, 2)， 2a − b = (−3, −8, 4)。 r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a + b) = 3。
x1x2 + y1y2 + z1z2 x + y +z ⋅ x + y +z
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
(3)a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
练 2 判 下 向 是 平 或 直 习 断 列 量 否 行 垂 r r (1 a = (1 −2,3), b = (1 ) , ,2,1)。 r r (2)a = (0, −3,3), b = (0,1 −1). , r r 1 1 2 (3)a = (−3,2,4), b = (− , , ). 2 3 3 r 3 r 3 (4)a = ( , −3,2), b = (0,1 − ). , 2 2
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
1.3.2空间向量运算的坐标表示课件
平面向量坐标运算1
---加减、数乘运算
空间向量坐标运算1
---加减、数乘运算
已知 a x1 , y1 , b x2 , y2
则
已知 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z2 ,则
a b x1 x2 , y1 y2
第一章 空间向量与立体几何
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标
掌握空间向量运算的坐标表示.（数学运算）
掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.
（数学抽象、数学运算）
掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用
公式解决问题.（逻辑推理、数学运算）
2
新课导入
类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出
（1）建系
（2）标点
（3）求向量
（4）算值
代公式：
10
1
1
点A的坐标为（1,0,0),点M的坐标为 2 ,1, 2
2
z
D1
F1
C1
E1
A1
B1
2
所以 AM 1 1 1 0 2 1 0 6
2
2
2
M
D
x A
C
O
B
8
y
例题精讲
3
1
E
1,
,1
,
D
0,
0,
0
,
F
1 0, ,1
---数量积
已知 a ( x1 , y1 , z1 )，b ( x2 , y2 , z2 ),则
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
《空间向量运算的坐标表示》知识解读
《空间向量运算的坐标表示》知识解读1、空间向量的坐标在空间直角坐标系O xyz -中,分别沿x 轴、y 轴、z 轴正方向作单位向量,,i j k ,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{,,}i j k ,这组基叫作标准正交基.根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p ,都存在唯一的三元有序实数组(,,)x y z ,使得p xi yj zk =++反之,任意给出一个三元有序实数组(,,)x y z ,,也可找到唯一的一个向量x y z =++p i j k 与之对应.这样,就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系,把三元有序实数组(,,)x y z 叫作向量p 在标准正交基{,,}i j k 下的坐标,记作(,,)x y z =p单位向量,,i j k 都叫作坐标向量.,,x y z i j k 实际上分别是向量p 在,,i j k 方向上所作的投影向量,,,x y z 分别是向量p 在,,i j k ,方向上所作投影向量的数量. 在空间直角坐标系O xyz -中,对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量OP =p ,.若点p 的坐标为(,,)x y z ,由空间向量的加法不难得出OP =x y z ++i j k (如图),于是向量OP 的坐标也是(,x y ,)z(1)标准正交基是两两互相垂直且长度为1的向量,即i i ⋅=1,0.⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=j j k k i j j k i k(2)只有在标准正交基下的分解才是空间向量的坐标,其他基下的分解不是向量的坐标.空间中任一向量的坐标是唯一的. (2)空间向量的坐标表示 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b ,则()121212,,.x x y y z z +=+++a b ()121212,,.x x y y z z -=---a b()111,,().x y z λλλλλ=∈R a 121212x x y y z z ⋅=++a b3空间向量平行和垂直的条件 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b . (1)向量平行的坐标表示212121,//(),,x x y y z z λλλλ=⎧⎪≠⇔=⇔=⎨⎪=⎩a b a 0b a当a 与三个坐标平面都不平行时,222111//x y z x y z ⇔==a b . (2)向量垂直的坐标表示12121200x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=a b a b .4空间向量长度公式的坐标表示若()111,,x y z =a ,则||===a即||=a .空间向量长度公式表示的是向量的长度,其形式与平面向量长度公式一致,它的几何意义是相应长方体的体对角线的长度. 5空间向量夹角公式的坐标表示 若()()111222,,,,,x y z x y z ==a b 则cos ,||||⋅〈〉==a ba b a b空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上增加了一个的坐标),与平面向量的坐标运算相比,空间向量的坐标运算适用范围更广,它可以解决立体几何中的相关问题.。
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
下面将详细介绍这些运算。
1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u 乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。
3. 向量的点乘向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。
4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。
通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。
点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。
需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。
空间向量及其运算的坐标表示
（3）中点坐标公式: ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
Z
x轴: 横坐标 y轴: 纵坐标 z轴: 竖坐标
坐标平面: xoy,yoz,zox
O
Y
X
3. 空间中点的直角坐标表示
在空间直角坐标系O--xyz中, 对空间任一点A,对应 一个向量OA, 于是存在唯一的有序实数组x,y,z, 使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对 应的有序实数组(x,y,z), 叫做点A在此 空间直角坐标系中的坐标, 记作 A(x,y,z), 其中x叫做点A的横坐标, y叫 做点A的纵坐标, z叫做点A的竖坐标.
共线向量定理: b 0,则a // b 存在 共面向量定理: a、b不共线，p与a,b
实数,使a b.
共面 存在实数x、y,使p xa yb
对比表1
练习一:
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1) , b (1, 0 ,1) ;
对比表4
平面向量
空间向量
平面向量基本定理：
如果e1
,
e
是同一平面内的两个不共线
2
的向量，那么对于这个平面内的任一
向量a，有且仅有一对实数x, y，使a
xe1 ye2.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为0，0，12.
由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其 x、z 轴坐标均为 0，
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如， 设向量 a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即―A→B ＝(x2－x1， y2－y1，z2－z1)．
[跟踪训练] 1．(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1，－2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出 E，F，G，H 的坐标； (2)写出向量―E→F ，―G→H 的坐标．
又 GD＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点． 故 HK＝12，CK＝18，∴DK＝78， 故 H 点坐标为0，78，12. (2)―E→F ＝―O→F －―O→E ＝12，12，－12， ―G→H ＝―O→H －―O→G ＝0，18，12.
1.3.2空间向量运算的坐标表示
故 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为 10 .
练习巩固
→
1.空间直角坐标系中，向量AB的坐标与终点 B 的坐标相同.( × )
x1 y1 z1
2.设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若 a∥b 则x ＝y ＝z .( × )
2
2
2
→
3.设 A(0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA＝(0,1，－1).( √ )
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);
(2)a⊥b⇔
a·b=0 ⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0 .
名师点析：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平
1 2 3
行的条件还可以表示为a∥b⇔
A．(1，3，2)
B．(－1，－3，2)
C．(－1，3，－2)
D．(1，－3，－2)
)
7.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是
A.1
1
B.5
3
C.5
解析 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
向量运算
加法
向量表示
a+b
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
数量积
a·b
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
空间向量运算的坐标公式
空间向量运算的坐标公式首先，我们需要明确什么是空间向量。
空间向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在空间中，我们通常使用坐标系来描述向量的位置和方向。
坐标系分为直角坐标系和斜坐标系两种。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，分别为X轴、Y轴和Z轴，构成一个三维空间。
而斜坐标系是以线段手段两个切平面之间的夹角小于90度的坐标系。
根据空间向量的定义，我们可以将向量表示为一个三元组(a,b,c)，其中a、b、c分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影长度。
例如，向量A可以表示为(Ax,Ay,Az)，向量B可以表示为(Bx,By,Bz)。
根据向量的定义，我们可以得到以下关于向量的基本性质：1.向量相等：当且仅当两个向量的对应分量相等时，它们相等。
即，向量A=向量B当且仅当Ax=Bx,Ay=By,Az=Bz。
2.向量的数量乘法：向量与一个实数相乘，其结果仍然是一个向量。
公式为：k*向量A=(k*Ax，k*Ay，k*Az)。
3.向量的加法：两个向量相加的结果是一个新的向量，其坐标分别为对应坐标的和。
公式为：向量A+向量B=(Ax+Bx，Ay+By，Az+Bz)。
4.向量的减法：两个向量相减的结果是一个新的向量，其坐标分别为对应坐标的差。
公式为：向量A-向量B=(Ax-Bx，Ay-By，Az-Bz)。
5. 向量的线性组合：对于n个向量A1, A2, ... An和n个实数k1, k2, ... kn，他们的线性组合记作k1 * A1 + k2 * A2 + ... + kn * An，其中k1, k2,..., kn为各自的系数。
线性组合的结果仍然是一个向量。
以上是关于向量的基本性质和运算规则。
在实际运算中，我们可以根据这些规则进行计算，将向量的坐标代入公式，求出运算结果的坐标。
除了基本运算外，我们还可以进行向量的点积和叉积运算。
1.向量的点积也称为内积或数量积，其结果是一个实数。
两个向量A 和B的点积公式为：A·B=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz。
空间向量及其运算的坐标表示
探•知1究识梳 在理空间直角坐标系Oxyz中, 对空间任意一点A, 或任意一个向量OA, 你能
借助几何直观确定它们的坐标( x, y, z)吗 ? 事实上,如图1.3 5,过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面, 依次交
x轴、y轴和z轴于点B, C, D, 可以证明OA
z
在x轴、y轴和z轴上的投影向量分别为
以
1 3
OA,
1 4
OC ,
1 2
OD 为单位正交基底,
建立如图所示的空间直角坐
标系Oxyz.
(1) 写出D, C, A, B四点的坐标z ;
(2) 写出向量AB, BB, AC, AC 的坐标.
D
C
A O
B
C y
A x
B 图1.3-6
•向2 量运算的坐 标表示
探究 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出 空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐 标表示是完全一致的．
例如，我们有：
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去 起点坐标．
•向2 量运算的坐 标表示
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当b 0时, a // b a b a1 b1, a2 b2,a3 b3( R);
C1
A1
E1
B1
M
DO
C y
A练习4】如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CA ＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
5 课堂小结
不属于∉
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
3.1.5空间向量运算的坐标表示课件人教新课标
a12 a22 a32 b12 b22 b32
课堂练习
1. 已知 ABCD,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). 则顶点D的坐标为 (1,-1,2) .
2. 在Rt ABC中,∠BAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2), C(x,0,1),则x= 2 .
3. 点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)，则 ABC的形 状是( C ).
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，点M分AC'
的比为1/2，N为BB'的中点，则|MN|为( A ).
A. 21a 6
B. 6 a 6
C. 15 a 6
D. 15 a 3
5.已知两点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2)，点Q在OP上 运动，求当OA•OB取得最小值时，点Q的坐标.
设a=(a1,a2),b=(b1,b2) 则a+b=(a1+b1,a2+b2)
a-b=(a1-b1,a2-b2)
λa=(λa1,λa2)
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3)
| b | b12 b22 b32
cos a,b
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意
cos<a,b>的范围[0º,180º]， 当夹角为0º或180º时，两向量平行； 当夹角为90º时，两向量垂直；
高中数学-空间向量及其运算的坐标表示
第3讲 空间向量及其运算的坐标表示知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )； (4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； (6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0； (7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则： (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)； (2)d AB ＝|AB→|＝ (a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2 .考点1 空间直角坐标系【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为( ) A ．(1-，2-，4)- B ．(1-，2-，4) C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)考点2 空间向量的坐标运算【例2-1】（钦州期末）已知(1a =，2，1)，(2b =，4-，1)，则2a b +等于( ) A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值； (3)设|c |＝3，c ∥BC→，求c .【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ； (2)2a －3b ； (3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )A.66 B ．－66C ．±66D ．±6考点3 空间两点间的距离【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为 ，||OM = ．A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(( ) A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为( ) A ．(3-，2-，1)- B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为( ) A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =--及(4,2,0)b =-则a b +等于( ) A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a x b y c z a b c xyz =-==+=则的值为 ) A ．2±B ．2-C ．2D ．06．（丰台区期末）已知(2AB =，3，1)，(4AC =，5，3)，那么向量(BC = ) A ．(2-，2-，2)- B ．(2，2，2)C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b += ．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是 ；||OM = ．11．（兴庆区校级期末）已知(2a =，3-，1)，(2b =，0，3)，(1c =，0，2)，则68a b c +-= ． 12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，则a b += ．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，若2AB a =，则点B 的坐标是 ． 14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，则||a b +=15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''=，1，5)，求点B 的坐标．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2) （1）求向量AB AC 与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，求：()a b c -+、68a b c +-． （Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a 同向，且．1.（襄阳期中）已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b +，a b -，c 下的坐标为( )A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,)22D ．51(,,1)222. （安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标； (2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．。
第一章 空间向量运算的坐标表示
问题 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公 式吗？
提示 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， P—1→P2＝O→P2－O→P1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|P—1→P2|＝
—→ —→ P1P2·P1P2
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明 因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相
互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.
则 C(0,0,0)，A(
2， 2，0)，B(0， 2，0)，D(
2，0,0)，E(0,0,1)，F
22，
22，1.
所以C→F＝
x1－6＝3， 所以y1＋4＝－2，
z1－5＝5，
x1＝9， 解得y1＝－6，
z1＝10，
所以点C的坐标为(9，－6,10).
②求C→A·B→C； 解 因为C→A＝(－7,1，－7)，B→C＝(3，－2,5)， 所以C→A·B→C＝－21－2－35＝－58.
③若点 P 在 AC 上，且A→P＝12P→C，求点 P 的坐标.
且GH∥BD1，
所以m－－112＝－n1＝－112， 解得 m＝1，n＝12. 所以点 H 的坐标为1，12，0，
所以点H为线段AB的中点.
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直 的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的 充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐 标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
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第二章
空间向量与立体几何
学习导航
学习目标
重点难点
重点：空间向量的运算的坐标表示．
难点：利用坐标运算求空间向量的长度和夹角．
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
空间坐标系包括原点O, x 轴, y 轴, z 轴. 记作：空间直角坐标系O-xyz. 右手系 z
空间直角坐标系共有八个卦限
差 ． 的 ______
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
2.数量积及空间向量长度与夹角的坐标表示 (1)数量积的坐标表示 设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝ ( x
2
， y
2
， z
2
x) ＋y则 z2 b ＝ 1 x2 1 y2 ＋ ， az1·
___________________． 和 空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积之_____．
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
(2)空间向量的长度与夹角的坐标表示
2 2 ① |a|＝ a· a＝ x2 ＋ y ＋ z ； 1 1 1
② cos〈 a， b〉 ＝ x1 x2＋ y1 y2＋ z1 z2
2 2 2 x1＋ y1 ＋ z1 2 2 2 x2 ＋ y2＋ z2
(a≠ 0， b≠ 0)；
栏目 导引
空间向量与立体几何
想一想 → 把向量AB ＝ (x， y， z)平移后，其坐标如何变 化？
→ 提示：向量AB 的坐标不变．
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
2. 已知空间中两点 A(1，1，1)，B(－ 1，0，4)， → 则向量AB 的坐标为 ( A． (2， 0，－ 3) C． (0， 1， 5)
空间向量与立体几何
(5)(a＋b)· (a－b)＝(2，－2，2)· (2，0，－ 6) ＝－8. 【点评】 键． 牢记运算法则是正确计算的关
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
向量平行、垂直的坐标表示
例2 已知空间三点 A(－ 1， 1， 3)， B(0， 2，
→ → 3)， C(－ 2， 1， 5)，设 a＝AB ， b＝AC . → (1)若 |c|＝ 3，且 c∥BC ，求 c； (2)若 ka＋b 与 ka－ 2b 互相垂直，求 k 的值．
③ a⊥ b⇔ x1 x2＋ y1 y2＋ z1 z2 ＝ 0.
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
做一做 4.已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a
与b (
A．垂直
)
B．不垂直也不平行 D．平行且反向
C．平行且同向 解析：选A.
a· b＝(1，－5，6)· (0，6，5)
＝－5×6＋5×6＝0.∴a⊥b.
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
做一做
3. 设 a ＝ (1， y ，－ 2)， b ＝ ( － 2，－ 4 ， z ) ， 若a∥b，则y＝________，z＝________．
y －2 1 解析： ＝ ＝ ， －2 －4 z ∴ y＝ 2， z＝ 4.
答案：2 4
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
4)＝(2，－2，2)． (2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4) ＝(2，0，－6)． (3)a· b＝(2，－1，－2)· (0，－1，4)＝－7.
(4)2a· (－b)＝2(2，－1，－2)· [ －(0，－1，
4)] ＝(4，－2，－4)· (0，1，－4) ＝14.
栏目 导引
第二章
(3)空间向量的坐标表示 设 O 是空间直角坐标系的原点， A(x1 ， y1， z1 )， B(x2 ， y2， z2)， → 根据向量的坐标表示，可知OA＝(x1，y1，z1)， → OB＝ (x2， y空间向量与立体几何
→ → → 所以AB ＝OB－OA＝ (x2，y2，z2 )－ (x1，y1，z1 ) ＝ (x2－ x1， y2－ y1， z2－ z1 )． 即空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标
解析：选 B. → AB ＝ (－ 1，0，4)－ (1，1，1)＝ (－ 2，－ 1，3)．
) B． (－ 2，－ 1， 3) D． (－ 2，－ 1， 5)
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
(2)空间向量平行的坐标表示 若 a＝(x1， y1， z1 )， b＝ (x2， y2， z2 )，则 ①若 b≠ 0，则 a∥ b⇔ a＝ λb⇔ x1 ＝λ x2， y1 ＝λ y2， z1＝λ z2 (λ∈ R)． x1 y1 z1 ②若 x2， y2， z2 都不为 0， 则 a∥ b⇔ ＝ ＝ . x2 y2 z2
第二章
空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究
空间向量的坐标运算
例1 已知a＝(2，－1，－2)，
b＝(0，－1，4)，求
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a· b；(4)2a· (－b)；
(5)(a＋b)· (a－b)．
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
【解】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，
O
x
y
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
新知初探思维启动
1.向量加减法和数乘的坐标表示 (1)加减法和数乘的坐标表示 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) ，a－b＝ ①a＋b＝_______________________ (x1－x2，y1－y2，z1－z2) ___________________________ ； ②λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)．
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
5.设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)， 则〈a，b〉＝________．
解析： a· b＝ 1＋ 2＝ 3， |a|＝ 2， |b|＝ 3， 3 2 ∴ cos〈 a， b〉＝ ＝ ， 2× 3 2 π 〈 a， b〉＝ . 4 π 答案： 4
栏目 导引
栏目 导引
第二章
空间向量与立体几何
用文字叙述为： ①空间两个向量和(差)的坐标等于它们
对应坐标的和(差) __________________________ ；
实数与 ②实数与空间向量数乘的坐标等于 _________ 向量对应坐标 ____________________ 的乘积．
栏目 导引
第二章