专题3 函数6-实数指数幂与幂函数

a n

个

第三章函数

第四节幂函数与指数函数

第一课时实数指数幂与幂函数

【预习】阅读《相约在高校》第41至45页.

【预习目标】熟悉实数指数幂的有关运算与幂函数的有关概念．

【导引】

1.幂的有关概念

（1）正整数指数幂：)

(

+

∈

⋅

⋅

⋅

⋅

=N

n

a

a

a

a

a n

（2）零指数幂：()0

1

0≠

=a

a

（3）负整数指数幂：=

-p

a()+

∈

≠N

p

a,0

（4）分数指数幂：=

n

m

a()1

,

,

,0>

∈

>

+

n

N

n

m

a

（5）负分数指数幂：=

-

n

m

a()1

,

,

,0>

∈

>

+

n

N

n

m

a

（6）幂的运算性质：=

⋅n

m a

a；=

n

m

a

a

；()=n m a；()=m

ab；=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛m

b

a

；()=n

n a；

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

是偶数

是奇数

n

n

a

n n

,

,

2.幂函数的定义

一般的，形如的函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

3.幂函数的图像与性质

幂函数α

x

y=在第一象限的图像：

当0

<

α时当1

0<

<α时当1

>

α时

性质：（1）当0>α时，图像一定过点 和 ，在()+∞,0上为 函数； （2）当0<α时，图像一定过点 ，在()+∞,0上为 函数，且以 为渐近线. 4.几种常见的幂函数的图像特征和性质.

函数 1-=x y

2-=x y

2

1x y =

2x y =

3x y =

图像

定义域 值域 过定点 对称性 奇偶性 单调区间

【试试看】

1.下列给出的函数中，是幂函数的是 （ ）

.A 3x y -= .B 3-=x y .C 3

2x y = .D 13-=x y 2.函数3

4

x y =的图像是（ ）

3.函数 3x y = （ ）

.A 是奇函数，且在R 上是单调增函数 .B 是奇函数，且在R 上是单调减函数 .C 是偶函数，且在R 上是单调增函数 .D 是偶函数，且在R 上是单调减函数

4.函数2-=x y 在区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,2

1上的最大值是 （ ）

.

A 4

1

.B 1- .C 4 .D 4- 5.已知一个幂函数的图像经过点)8,2(，那么此函数的解析式为 . 6.下列命题中正确的是 .

（1）当0=n 时，函数n x y =的图像是一条直线； （2）幂函数的图像都经过点()0,0和()1,1； （3）幂函数的图像不可能出现在第三象限； （4）图像不经过点()1,1-的幂函数一定不是偶函数. 7.函数9

42

--=a a x y 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数，求整数a 的值.

8.计算： （1）()5

.02

1

2001.049252+⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--

-；

（2）

()()12

33

43

11028--÷

⨯.

【本课目标】

1.理解分数指数幂的概念及实数指数幂的运算性质.

2.了解幂函数的定义和解析式.

3.了解幂函数的图像和性质，并会进行简单的应用. 【重点】实数指数幂的运算及幂函数的图像与性质． 【难点】幂函数的图像与性质. 【导学】

任务1 了解幂函数的概念和解析式. 【例1】已知函数()

1

22

2)(-++=m m x m m x f ，当m 为何值时，)(x f 是：

（1）正比例函数； （2）反比例函数； （3）二次函数； （4）幂函数.

【试金石】若函数()

3

5222

22----=a a x a a y 是幂函数，则实数=a .

任务2 了解幂函数的图像和性质，并会进行简单的应用.

【例2】比较大小：若0<α，比较α

α

α

2.0,21,2⎪⎭

⎫

⎝⎛的大小.

【试金石】若0≠α，比较α

α

α

2.0,21,2⎪⎭

⎫

⎝⎛的大小.