初中数学-与勾股定理相关的计算技巧

与勾股定理相关的计算技巧

一、知识回顾

（1）勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.

（2）勾股数：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.常见的勾股数有3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15；9、40、41.

注：等腰直角三角形三边比例1：1：2；含30°直角三角形三边比例：1：3：2.

二、典题精练

【直角使用勾股定理，利用勾股数和比例计算】

1、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝1，BC ＝3，则AB ＝__________.

2、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝4，BC ＝16，则AB ＝__________.

3、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15，BC ＝12，则AC ＝__________.

【方程思想】 1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，AD 为平分∠BAC ，交BC 于D ，则线段BD 的长为__________.

2、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝7，BC ＝8，则△ABC 的面积为__________.

【面积法求高，避免方程】 1、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，AD ⊥BC 于D ，则AD 、CD 的长分别为__________、__________.

D C

B A

C

B A

D C

B A

2、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，BD ⊥AC 于D ，则BD 的长为__________.

【解三角形，利用特殊角作高构建直角三角形】 1、（锐角＋两边）已知∠A ＝60°，AB ＝6，AC ＝9，求BC 的长．

2、（钝角＋两边）已知∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，求BC 的长．

3、（两特殊角＋一边）已知∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝1，求AB 、AC ．

4、（隐藏两特殊角＋一边）如图，△ABC 中，∠A ＝75°，∠C ＝45°，且AC ＝26，则BC 的长为__________.

D

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

【网格画图】

1、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．

（1）画一个格点ABC

AB=，BC=，CA（在图中画出）；

∆：使5

（2）求出（1）中ABC

∆的面积．

2、图①、图②均是66

⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．

（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN=．

（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．

3、（三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形（每个小正方形的边长为1)，请在如图所示的正方形网格中：

①

②直接写出三角形的面积．

③．