《221二次函数的图像和性质》导学案
二次函数的图像和性质导学案
二次函数的图像和性质导学案【学习目标】1、经历探索二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象作法和性质的过程；2、能够理解函数y= y=a(x-h)2与y=ax 2的图象的关系，知道a 、h 对二次函数的图象的影响；3、能正确说出函数y=a(x-h)2的图象的性质.【课前导学】：叙述二次函数y=ax 2+k(a ≠0)的图象和性质。
【课堂导学】自主学习：二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象作法和性质：画出函数2y x = y=(x+3)2的图象 （1） 列表：2y x = y=(x+3)2的图象；【交流互动】：（1）函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象有什么关系？ （2）函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象的形状相同吗?（3）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x 2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（4）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3、结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小. 4、观察右图,思考并回答下列问题:①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?【课堂小结】二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象和性质： 【巩固练习】1、二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 。
它是由二次函数y=2x 2向____平移______个单位得到。
22二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 导学案 人教版九年级数学上册
九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质》导学案1、理解二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，并学会运用，能求出对称轴、顶点坐标2、理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系3、能用待定系数法求二次函数的解析式，有三种解析式的类型：一般式，顶点式和交点式，能根据题目的需要选择适当的解析式类型。
重点：运用二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质求出对称轴、顶点坐标；会用待定系数法求二次函数的解析式。
难点：理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系，并结合函数的图象与性质进行分析题意。
1、二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（1）图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的。
（2）性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而；x＞﹣时，y随x的增大而；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而；x＞﹣时，y随x的增大而；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的．2、抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a＞0时，抛物线开口；当a＜0时，抛物线开口；a还可以决定开口大小，a越大开口就。
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点。
初三数学二次函数的图像和性质导学案
()02≠++=a c bx ax y 二次函数的图像与性质学案【情境导入】公园里有个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下．如图是其中一条抛物线3422++−=x x y ，求此抛物线的最高点B 的坐标．【复习旧知】y a(x h)2k (a 0)y ＝a(x －h)2＋k a >0 a<0 开口方向 向 向 顶点坐标 （ ， ） （ ， ） 对称轴直线x= 直线x= 增减性当x 时， y 随着x 的增大而减小； 当x 时， y 随着x 的增大而增大． 当x 时， y 随着x 的增大而减小； 当x 时， y 随着x 的增大而增大．最值x= 时,y 最小值=x= 时,y 最大值=抛物线y ＝a(x －h)2＋k (a ≠0)的图象可由y=ax 2的图象通过上下和左右平移得到. 抛物线y = ( x + 3 )2 - 2的开口 ；顶点坐标为 ，对称轴是 ； 当x 时，y 随着x 的增大而减小；当x 时，y 随着x 的增大而增大．xyBCA【巩固训练】【动手操作】画3422+−=x x y 的函数图象；跟踪训练 ： 54)1(2−−−=x x y ；x…… y ……263)2(2+−=x x y【合作探索】对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？由此可知，抛物线()02≠++=a c bx ax y【当堂训练】3221)1(2+−=x x y13122)2(2+−−=x x y【巩固提高】1.若二次函数52++=bx x y 配方后为()k x y +−=22,则k 、b 的值分别为（ ）A.0，5B.0，1C.-4，5D.-4，1 2.求3422+−=x x y 当21≤≤−x 时的最值．【课后练习】1．二次函数x x y 22−−=的对称轴是 ． 抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是_______；抛物线y ＝2x 2－2x －52的开口_______，对称轴是_______；抛物线y ＝－2x 2－4x ＋8的开口_______，顶点坐标是_______； 抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋4的对称轴是_______；二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝_______．2.二次函数1222−−=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． 3.抛物线642−−=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．4．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(−，则a = ．c = ．5.求2422−+=x x y 的最值，对称轴及顶点．6. 抛物线4)2(2++−=x m x y 与x 轴不相交，求m 的范围？。
二次函数的图像和性质导学案
课题:二次函数的图像和性质导学案一、学习目标：1、会作函数y=ax²和y=ax²+c的图象，并能比较它们的异同；理解a、c对二次函数图象的影响。
能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；了解抛物线y=ax²上下平移规律。
2、经历探索二次函数y=ax²+c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法。
二、重点：作出函数y=ax²和y=ax²+c的图象，比较它们的异同，了解性质。
难点：函数y=a x+c²的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律。
三、学法指导：侧重学生思、探、究的自主学习，运用类比的学习方法。
四、学习过程：（一）自主完成：1、作二次函数y＝2x2的图象。
并思考二次函数y＝2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?体会并归纳二次项系数a对二次函数图像的影响归纳结论：2、研究y=ax2和y＝ax2+c图象之间的关系（1）在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象。
并比较它们的性质。
（二）、小组内合作：（同学们积极探索，合作交流，其他学生纠正补充，教师规范学生的语言表达）（1）、解决自学中存在的问题并做好记录。
（2）、比较y=ax²和y=ax²+c的图象有什么异同。
（3）、讨论抛物线y=x²+1、y=x²、y=x²-1有哪些相同点和不同点？（4）、以小组为单位归纳抛物线y=ax²+c的性质和抛物线y=ax²上下平移的规律。
（5）、解析式中的a、c对图象有什么影响。
（三）、归纳总结：1、类比函数y=ax²图象的性质，总结抛物线y=ax²+c的性质，总结时从以下几点方面进行总结：（1）对称轴（2）顶点坐标（3）开口方向（4）开口大小（5）增减性（6）最高（低）点2、从平移方向和单位两方面总结抛物线y=x²+1与抛物线y=x²-1是由抛物线y=x²通过怎样平移得到的。
数学九年级上册《二次函数的图象与性质》导学案
数学九年级上册《二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质》导学案设计人：审核人：【学习目标】知识与技能：掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质。
掌握抛物线y＝a(x －h)2的平移方法。
过程与方法：经历探索二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质的过程，体会数形结合思想。
情感态度价值观：在初步建立二次函数解析式与图象之间的联系中，体会数学的内在美。
【学习重点】二次函数y＝a（x-h）2的图象和性质，并要会灵活应用；【学习难点】二次函数y＝a (x－h)2的性质的综合应用。
【学习方法】自主学习，合作探究。
自学阅读课本7—8页，完成下列问题。
画出二次函数y＝－12(x＋1)2，y=－12(x－1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性。
自学成果展示①抛物线y＝－12(x＋1)2，y＝－12x2，y＝－12(x－1)2的形状大小____________。
②把抛物线y＝－12x2向平移____个单位，就得到抛物线y＝－12(x＋1)2；把抛物线y＝－12x2向平移____个单位，就得到抛物线y＝－12(x-1)2。
我的疑惑研学2关于对称，开口大小；3、对于抛物线y＝a（x-h）2与y=ax2的图象，形状，位置；当h>0时，抛物线y＝a（x-h）2的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到；当h<0时，抛物线y＝a（x-h）2的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。
1、自学部分独立完成，小组内讨论，总结结论。
2、研学部分先独立完成，再逐题讨论，一一口头展示。
检学1、抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________。
2、把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________。
把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为。
3、课本第8页练习。
课时作业1、若点A（2，-1）在抛物线y=a(x+1)2上，则a的值是。
§22.1.3.3二次函数的图象和性质 导学案
- 1 -今天有进步，如果天天坚持这样，你一定是最棒的！1．会画二次函数的顶点式()k h x a y +-=2的图象； 2．掌握二次函数()k h x a y +-=2的性质； 一、课前准备1.将二次函数2-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线2y x =-的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、新课导学在右面做出1-)1(21-2+=x y 的图象： 观察：1. 抛物线1-)1(21-2+=x y 开口向 ； 顶点坐标是 ；对称轴是直线 。
2. 抛物线1-)1(21-2+=x y 和221-x y =的形状 ，位置 。
（填“相同”或“不同”）3. 抛物线1-)1(21-2+=x y 是由221-x y =如何平移得到的？答： 。
三、巩固拓展归纳：（一）抛物线2()+y a x h k =-的特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线2()+y a x h k =-与2y ax =形状 ，位置不同，2()+y a x h k =-是由2y ax =平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）平移前后的两条抛物线a 值 。
今天有进步，如果天天坚持这样，你一定是最棒的！ - 2 - 1.二次函数2)1(22+-=x y 的图象可由22x y =的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 2.抛物线()21653y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。
3.填表：4.函数()2231y x =--的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴向 平移 个单位得到。
22.1.2二次函数的图像和性质(教案)
最后，我意识到在课堂上，对于学生的疑问和困惑，我需要更加耐心和细致地进行解答。有时候，一个简单的解释就能帮助学生跨越理解的障碍。在今后的教学中，我会更加注重与学生的互动，鼓励他们提出问题，并及时给予反馈。
-重点三，利用图示和计算，说明二次函数与x轴的交点即为二次方程的实数根；
-重点四，通过图像和数学推导，让学生理解二次函数最值的含义及其计算方法。
2.教学难点
-理解二次函数图像的对称性，特别是对称轴的概念及其与顶点的关系；
-掌握顶点坐标计算公式的应用，尤其是对于含有绝对值、分式等复杂二次函数的顶点求解；
-学会求解二次函数与坐标轴的交点，理解这些交点与二次方程解的关系；
-掌握二次函数的最值问题，明确当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
举例解释：
-对于重点一，强调a的符号决定了图像的形状，并通过实例展示a的正负对图像的影响；
-重点二，通过具体函数示例，演示如何计算顶点坐标，并解释顶点即为对称轴上的点；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“22.1.2二次函数的图像和性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛高后落地的情况？”（如抛球游戏）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图像和性质的奥秘。
3.二次函数图像的顶点坐标计算，顶点公式为（-b/2a，4ac-b²/4a）；
4.二次函数图像的对称轴，即x = -b/2a；
二次函数的图象和性质导学案
九年级数学（上）导学案姓名班级日期 编号 16 教师复备学生质疑课型 新授课 设计者审核张尚执教者学习内容 第22.1.2二次函数2ax y =（a ＞0）的图象和性质（第1课时） 学习目标 1.知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用． 学习重点 二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用 学习难点 二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用学习流程教 师 学 生 活 动自主学 习1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 . 二、自主学习（一）画二次函数y ＝x 2的图象． 列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2……在图中描点，并连线、归纳：① 由图象可知二次函数 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做_______ 线； ②抛物线 是轴对称图形，对称轴是_______ ； ③ 的图象开口_______；④_______与_______的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线 的顶点坐标是_______ ；它是抛物线的最_______ 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 _______ 值等于0.⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈_______趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈_______趋势；即x <0时， 随 的增大而_______ ， x>0时， 随 的增大而_______ 。
xy -1-2-3-41234-1-212345678O小组合作在同一坐标系中，画出函数221xy=，2xy=，22xy=的图象．并观察三个图像有什么共同点和不同点。
然后总结当a＞0时图像的特点。
小组讨论，达成共识。
成果展示教师指名提问（或上黑板板演），允许同学提出不同的见解，倡导对抗争辩。
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(1)》教学设计
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（1）》是本册教材的重要内容，主要介绍二次函数的一般形式、图象特点以及一些基本性质。
通过本节内容的学习，学生可以掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次函数的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，具备一定的函数知识基础。
但二次函数相对复杂，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探索等方式，自主发现和总结二次函数的性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式和图象特点。
2.掌握二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的概念。
3.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特点。
2.二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的理解与应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探索等方式自主学习。
2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。
3.注重数学语言的训练，引导学生规范表达。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这些问题。
例如，抛物线运动、物体抛掷等。
从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现二次函数的一般形式和图象特点。
引导学生观察并总结二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者绘图软件，自己动手绘制一些二次函数的图象，并观察其性质。
同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的二次函数知识解决问题。
教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，例如抛物线射门、跳水运动等。
二次函数的图像和性质导学案
课题：二次函数的图像和性质再研究使用说明：1.阅读探究课本 4741-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力； 2.提前完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
【学习目标】1.理解二次函数中参数a,b c,h,k 对其图像的影响。
2.领会二次函数图像平移的方法，并能迁移到其他函数图象的研究，从而提高识图和用图能力。
3.结合二次函数图象，研究二次函数所具有的性质,从解析式到定义域、值域、单调性,对称性等不同的角度认识二次函数,熟知性质.4. 通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值域.【重点难点】重点：二次函数图像和性质难点：通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值域.以及解析式。
教材助读复习回顾：1.能否将关于x 的二次函数()02≠++=a c bx ax y 化成过程：步骤：（1） 0≠a ∴提公因式________将二次项系数化为_____。
得()0)(2≠++=a c x abx a y(2)当二次项系数为____时，括号内加上___次项系数_____的平方。
同时减去这个数。
得()0________]_______[2≠+-++=a c x abx a y 。
()0________]______)[(2≠+-+=a c x a y （3）变形得顶点式()044________)(22≠-++=a a b ac x a y 。
得顶点坐标是___________,对称轴是直线_______________________。
2.归纳： 顶点坐标公式：关于x 的二次函数()02≠++=a c bx ax y 顶____________________,对称轴是____________。
用配方法把下列二次函数化成顶点式，指出开口方向，对称轴，顶点坐标。
当x 为何值时，y 的值最小（大）？（1） 52212++=x x y （2）31232-+-=x x y探究案 预习自测1. 画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象．解：y ＝12 x 2－6x ＋21配成顶点式为_______________________．顶点坐标___________________;对称轴____________. 利用图象的对称性列表（请填表）x… 3 4 5 6 7 8 9 ………当堂检测1．二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是（1，－2），求函数解析式。
数学北师大版九年级下册二次函数的图像与性质(第一课时)导学案
二次函数的图像与性质（第一课时）目标导向【学习目标】1.经历探索二次函数2x y =的图像的作法和性质的过程，获得利用图像研究函数性质的经验；2.能够利用描点法作出二次函数2x y =的图像，并能根据图像认识和理解二次函数2x y =的性质；3.能够作出二次函数2x y -=的图像，并能够比较出与2x y =的图像的异同，初步建立二次函数表达式与图像之间的联系. |【重点】二次函数2x y =与2x y -=的图像特点. 【难点】二次函数2x y =图像特点的探索过程.自学导向1．预读教材P32—P34，了解本节课基本内容，并标记知识点. 2．完成练习册《学考精练》P125课前练兵. 3．相关知识链接：⑴二次函数的概念：一般地，若两个变量y x ,之间的对应关系可以表示成_______(c b a ,,是常数，______)的形式，则称y 是x 的二次函数. $⑵画函数图像的一般步骤为：______、______、______.合作导向探究点·一：二次函数2x y =的图像的画法（1）观察2x y =得关系式，选择适当的x 值，并计算出相应的y 值，完成下表：x …… -3 | -2-1 0 1 2 3 ……2x y =）……【……（2）在平面直角坐标系中描点.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–412345678910O（3）用平滑的曲线连接各点，得二次函数2x y =的图像.【针对练习】作出二次函数2x y -=的图像.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10123O【归纳小结】二次函数2x y =与2x y -=的图像是一条_______.》探究点·二：二次函数2x y =与2x y -=的图像和性质观察思考，认真完成下表： 二次函数2x y =2x y -=大致图像xyO《xyO图像形状 开口方向对称轴 <顶点坐标增减性当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____、最值当x =____时，y 有最___值为___ 当x =____时，y 有最___值为___若把二次函数2x y =的图像和二次函数2x y -=的图像画在同一平面直角坐标系中，则两图像既关于_______对称，又关于_______成中心对称. 【针对练习】1．比较二次函数y=x 2与y=﹣x 2的图象，下列结论错误的是（ ） A ．对称轴相同 B ．顶点相同]C ．图象都有最高点D ．开口方向相反2.已知点A （-1，m ），B （-2，n ）在二次函数y=x 2的图像上，则m______n （填“>”“<”或“=”）拓展导向 自测反馈 【基础达标】1.下列点不在二次函数y=x 2图像上的是（ ）A.(-1，1)B.(1，-1)C.(2，4)D.(-2，4)…2．抛物线y=，y=x 2，y=﹣x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.点（x 1,y 1）， (x 2,y 2)都在二次函数y=﹣x 2的图像上，如果x 1< x 2<0,那么y 1与 y 2的大小关系是（ ）A. y 1< y 2<0B. y 2 < y 1<0C. y 1> y 2>0D. y 2> y 1>04. 设正方形的边长为a ，面积为S ，试作出S 随a 的变化而变化的图象．5.若点A （2，m ）在抛物线y=x 2上，求点A 关于y 轴对称点B 的坐标，并判断点B 是否也在抛物线y=x 2上.？【能力提升】1.已知a<-1，点（a-1，y 1）, （a ，y 2）, （a+1，y 3）都在y=x 2的图像上，则（ ） A. y 1< y 2< y 3 B. y 1< y 3 <y 2 C. y 3 < y 2< y 1 D. y 2 < y 1< y 32．如图，⊙O 的半径为2．C 1是函数y=x 2的图象，C 2是函数y=﹣x 2的图象，则阴影部分的面积是 ．课堂总结{通过这节课我学会了____________________________________________________，我还有疑问_________________________________________________________________.课后作业《学考精炼》P125—P126。
(九年级数学教案)二次函数图像和性质导学案
二次函数图像和性质导学案九年级数学教案
1. 二次函数的图像和性质
>0
<0
开口
对称轴
顶点坐标
最值当x= 时,y有最值当x= 时,y有最值
增减性在对称轴左侧y随x的增大而y 随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而
2. 二次函数用配方法可化成的形式,其中
= , = .
3. 二次函数的图像和图像的关系.
4. 二次函数中的符号的确定.
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例1.已知二次函数,
(1) 用配方法把该函数化为
(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式,并画
出这个函数的图像,根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.
(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.
例2. (____年大连)如图,直线和抛物线
都经过点A(1,0),B(3,2).
⑴求m的值和抛物线的解析式;
⑵求不等式的解集.(直接写出答案)
【当堂检测】
1. 抛物线的顶点坐标是.
2.将抛物线向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是.
3. 如图所示的抛物线是二次函数
的图象,那么的值是&n。
《二次函数》二次函数的图像及性质导学案
二次函数()2h x a y -=的图象和性质主备人：姚惠琴 主审人：黄志刚 姚金涛 班级： 姓名：学习目标1．会画二次函数2)(h x a y -=的图象和性质，并会应用；2．知道二次函数2)(h x a y -=与2ax y =的联系．学习过程一、复习引入：1. a 的正负决定抛物线的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 。
2.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
3.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主探究1、画函数y ＝－12 (x ＋1)2,y －12 (x －1)2的图象,考虑它们的开口方向.对称轴.顶点以及最值.增减性.2观察图象,填表:2.①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ,y ＝－12 x 2,y ＝－12 (x －1)2的形状大小____________.②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2;把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12(x-1)2.x… －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－12 (x ＋1)2… … y ＝－12(x －1)2 ……函数开口方向顶点对称轴最值增减性y ＝－12 (x ＋1)2y ＝－12(x －1)2三、合作探究四、达标测试：1、填表.2.抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________,与x 轴的交点坐标为________. 3.把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________. 4.将抛物线y ＝－13 (x －1)x 2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________5.抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2, 则m ＝__________,n ＝___________.6、写出一个顶点是(5,0),形状.开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式________________________.7、已知线抛物2)(h x a y -=的对称轴是x ＝3，其图像过（1,1）点，试确定该抛物线的解析式二次函数()k h x a y +-=2的图象和性质主备人：姚惠琴 主审人：黄志刚 姚金涛 班级： 姓名：学习目标1．会画二次函数的顶点式()k h x a y +-=2的图象；2．掌握二次函数()k h x a y +-=2的性质；3.会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题. 学习流程 一、复习引入1.将二次函数2-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
数学九年级上册《二次函数的图像与性质(1)》导学案
第5章第2节 二次函数的图像与性质（1）班级______学号_____姓名___________［学习目标］1．能用描点法画二次函数2ax y =的图像；2．能画y=-ax 2的图像，并说出它与y=ax 2图像的共同特征。
［活动方案］活动一 根据二次函数式y=x 2，你能想象它的图像特征吗？回顾“一次函数、反比例函数的图像的画法”，类似地，研究二次函数图像画法。
填表并观察，“由数想形”，尝试解决新问题。
尝试1:填表尝试2、画出二次函数式y=x 2的图像活动二 画出二次函数y=x 2的图像后，再尝试画出y =－x 2的图像。
思考1：通过1中的表和画出的图像，你能否概括出函数2x y =、y =－x 2的共同点和不同点？记录下来（注意记录的条理性）x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y =……思考2：你能有哪些画y =－x 2图像的方法？活动三 画出二次函数y=21x 2、y=2x 2、y =－21x 2、y =－2x 2的图像，并探讨这些函数图像的共同点和不同点根据图象填空： 抛物线221x y =的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 抛物线22x y =的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 归纳：对于二次函数2ax y =图像具有什么特征呢？你是怎样理解和记忆这些特征的呢？ ［检测反馈］ 1.根据函数关系式y=31x 2填空：（1）图像开口向 ，顶点坐标 ，对称轴 ； 2. 说出y=-3x 2的图像的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 3、已知二次函数y=5x 2的图像，如果另一个函数的图像与该函数关于x 轴对称，那么这个函数的关系式是 .4、对于函数y=x 2，由其图像可知，下列判断中，正确的是（ ） A 、若m 、n 互为相反数，则x=m 与x=n 对应的函数值相等； B 、对于同一自变量x ，有两个函数值与之对应； C 、对于任意一个实数y ，有两个x 值与之对应； D 、对于任何实数x ，都有y>0.4.已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A. B.C .D.【巩固提升】1.在同一坐标系中画出函数y=23x 2、y=3x 2、y =－23x 2、y =－3x 2的图像。
二次函数的性质与图象导学案
导学案：二次函数的性质与图象（一）编撰人：李斌 审定：阜阳四中高一数学组学习目的：掌握研究二次函数图像和性质的配方法。
进一步掌握二次函数的图像和性质。
会综合运用二次函数图像和性质解决有关问题。
【预习要点及要求】1.二次函数的一般方法——配方法。
2.二次函数的图像的画法。
3.二次函数的图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法。
4.掌握研究二次函数图像和性质的配方法。
5.进一步掌握二次函数的图像和性质。
6.会综合运用二次函数图像和性质解决有关问题。
【知识再现】1. 二次函数的一般形式)0(2≠++=a c bx axy 2．二次函数的顶点坐标（)44,22a b ac a b--【概念探究】 1、阅读课本57页到例1的上方，完成下列问题1、二次函数的定义及图象的形状是怎样的？2、函数_____________________叫二次函数，它的定义域是_________________.3、当0==c b 时，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 变为___________,它的图像和性质特征为：（1）顶点坐标________,奇偶性为_______,图形关于_______对称；（2）当0>a 时，抛物线的开口______,在_________上是增函数，在_________上是减函数，当x=_____有最小值_______；当0<a 时，抛物线的开口_______,在_________上是增函数，在____________上是减函数，当x=______有最大值_______.(3) 当0>a 时,抛物线在x 轴的______，开口向上并随a 的增大逐渐______；当0<a 时，抛物线在x 轴的______，开口向下并随a 的增大逐渐______；2、阅读课本例1与例2，完成下列问题1．不看课本你能否独立完成两个例题例1、 论述二次函数6421)(2++=x x x f 的性质，并作出它的图象。
二次函数的图像与性质导学案
二次函数的图像与性质导学案第二节二次函数的图像与性质环节一：回顾旧知，导入新课。
1.一次函数的图像是直线，反比例函数的图像是双曲线。
2.画函数图像的一般步骤是确定定义域和值域，列出函数表达式，选择合适的坐标系，计算出函数对应的点，然后用平滑的曲线将这些点连接起来。
环节二：小组合作，探究新知。
1.试画出二次函数 $y=x^2$ 的图像。
由 1、2、3 组用黑色笔完成以下步骤：1）列出函数表格：x$ | $2y=x$ | $y=2x^2$8$| $-16$ | $128$6$| $-12$ | $72$4$| $-8$。
| $32$2$| $-4$。
| $8$0$ | $0$。
| $0$2$ | $4$。
| $8$4$ | $8$。
| $32$6$ | $12$。
| $72$8$ | $16$。
| $128$2）描点3）连线2.试画出二次函数 $y=-x^2$ 的图像。
由 4、5、6 组用黑色笔完成以下步骤：1）列出函数表格：x$ | $y=-x^2$ | $y=-2x^2$8$| $-64$。
| $-128$6$| $-36$。
| $-72$4$| $-16$。
| $-32$2$| $-4$。
| $-8$0$ | $0$。
| $0$2$ | $-4$。
| $-8$4$ | $-16$。
| $-32$6$ | $-36$。
| $-72$8$ | $-64$。
| $-128$2）描点3）连线3.在第一题中画出二次函数 $y=2x^2$ 的图像。
由 1、2、3 组用红色笔完成。
4.在第二题中画出二次函数 $y=-2x^2$ 的图像。
由 4、5、6 组用红色笔完成。
环节三：归纳总结，提炼升华。
二次函数 $y=ax^2(a>0)$ 和 $y=ax^2(a<0)$ 的性质如下：对称轴：$x=0$。
顶点坐标：$(0,0)$。
位置：$y=ax^2$ 的图像上下平移 $|a|$ 个单位。
开口方向：$y=ax^2$ 的图像开口向上；$y=ax^2$ 的图像开口向下。
二次函数的图像与性质导学案(1)
二次函数的图像与性质导学案(1)主备：＿＿＿审核：＿＿＿班级：＿＿＿姓名：＿＿＿小组：＿＿＿使用时间：＿＿＿课型：＿＿＿学习目标１.掌握二次函数图像的画法，理解二次函数中参数a,b,c,h,k对其图像的影响．２.掌握二次函数图像平移变换规律，并能用于求函数解析式和画图，还能掌握函数图像的基本对称变换和翻折变换．３.能熟练地对一般二次函数解析式配方，根据函数图像初步探究其定义域，值域，单调性，最值等性质．４.小组成员积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，享受数学研究的乐趣．学习重难点１.通过平移规律和作图过程来理解和感受参数a,b,c,h,k对其图像的影响．２.进一步熟悉通过平移规律和对称变换及翻折变换来作图．３.通过二次函数图像来探究二次函数在指定区间［m,n]上的最值问题．使用说明与学法指导：１．请同学们认真阅读课本第41—47页，划出重点知识，规范完成学案预习自学内容并熟记基础知识，用红色笔做好疑难标记．２．在课堂上联系课本知识和学过的知识，小组合作、讨论完成学案合作探究内容，组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评．３．及时整理展示、点评结果，规范完成学案当堂巩固练习，改正完善并落实好学案所有内容．４．把学案中自己的疑难问题和易忘、易出错的知识点以及解题方法规律，及时整理在典型题本上，多复习记忆．知识链接上节课我们学习了函数的单调性的判断,其中课本上例题3喷水池问题,是个二次函数问题.那么我们今天来详细地研究下二次函数的图像和一些基本性质.自主学习问题导学(对知识认知研究能力和瞬时记忆能力)1.一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．2.当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．3.函数y=a(x－h)2＋k的图象特征和性质：函数y=a(x－h)2＋k的图象是一条________,它的对称轴是___________,顶点坐标是______.当a＞O时，抛物线y=a(x－h)2＋k开口向__，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞h时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=h时，函数y=a(x－h)2＋k取得最__值，最__值是_____.当a＜O时，抛物线y=a(x－h)2＋k开口向__，在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_____,函数值y随x的增大而_____;在对称轴的右边(当x＞h时)，曲线自左向右_____，函数值y随x的增大而_____;当x=h时，函数y=a(x－h)2＋k取得最__值，最__值是_____.函数y=a(x－h)2＋k的图象可以由抛物线y＝ax2向左或是向右平移_____个单位再向上或是向下平移_____个单位得到。
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（上册）《22.1二次函数的图像和性质》导学案（第一课时）【学习目标】1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。
【学习课时】1课时。
【导学方法】实验、整理、分析、归纳法。
【导学过程】一、课前导学1、填表一次函数正比例函数反比例函数表达式图形形状2、探究（1）正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为是什么？①（2）多边形的对角线数 d 与边数n 有什么关系？②n边形有________个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作________条对角线。
因此，n边形的对角线总数d =____________。
（3）某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是____件，再经过一年后的产量是 件，即两年后的产量为________。
③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？ 一般地，形如________的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 为________， b 为________，c 为________，做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）2x y = （2）21x y -= （3）122--=x x y （4）)1(x x y -=（5）)1)(1()1(2-+--=x x x y （6） 23712y x x =+-－ 2、函数2y ax bx c =++，当a 、b 、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数? （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？（第二课时）【导学目标】会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，概括出图象的特点及函数的性质。
【课 时】 1课时。
【导学方法】 观察、归纳、分析。
【导学过程】 一、课前自学我们知道，一次函数y=2x +1，反比例函数3y x=的图象分别是_______、_______，探究：描点法画函数y=x 2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？思考：观察函数y=x 2的图象，你能得出什结论？1．二次函数y=x2是一条曲线，把这条曲线叫做____________。
2．二次函数y=x2中，a＝______，抛物线y=x2的图象开口_____。
3．自变量x的取值范围是__________。
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称。
5．抛物y=x2与它的对称轴的交点（____，____）叫做抛物线2xy=的______。
因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的____________。
6．抛物线y=x2有____________点（填“最高”或“最低”）。
二、课堂导学例1：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22xy=（2）22xy-=注意：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接。
理一理1．抛物线y＝ax2的性质图象（草图）开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值a>当x＝____时，y2．抛物线y ＝x 2与y ＝-x 2关于_____对称，因此，抛物线y ＝a x 2与y ＝-a x 2关于_____ 对称，开口大小________。
开口越___________；当a<0时，a 越大，抛物线的开口越_________；因此，a 越大，抛物线的开口越________，反之，a 越小，抛物线的开口越_______。
例2：已知42(2)kk y k x+-=+是二次函数，且当x >0时，y 随x 的增大而增大。
（1）求k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴。
例3：已知正方形周长为Ccm ，面积为Scm 2。
（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S≥4 cm 2。
分析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内。
回顾与反思：（1）此图象原点处为空心点。
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y 。
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分。
（第三课时）【导学目标】会画出y ＝ax 2+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质。
【课 时】 1课时。
【导学方法】 观察、归纳、分析。
【导学过程】 一、课前自学同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？__________，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？__________。
探究：在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：2y x =，21y x =－，2+1y x =。
解：先列表x… －2 －112… 2y x =21y x =－ … … 2+1y x =……描点并连线观察图象，思考： （1）、开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值2y x =21y x =－ 2+1y x =（2）、抛物线，2y x =，21y x =－与2+1y x =的形状_____________． （3）、可以发现，把抛物线2y x =向______平移______个单位，就得到抛物线2+1y x =； 把抛物线2y x =向_______平移______个单位，就得到抛物线21y x =－。
归纳：因此，把抛物线2y ax =向上平移k （0k >）个单位，就得到抛物线_____；把抛物线2y ax =向下平移k （0k >）个单位，就得到抛物线_____。
（第四课时）【导学目标】会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较了解这类函数的性质．【课 时】 1课时。
【导学方法】实验、整理、分析、归纳法。
【导学过程】 一、课前自学我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？探究：在同一坐标系中画出函数图象212y x=，()21+12y x=，()2112y x=－的图象。
解：先列表。
x…－2 －1 0 1 2 …212y x=()21+12y x=……()2112y x=－……描点并连线二、合作探究（课堂导学）观察图象，思考：（1）、开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值212y x=()21+12y x=（2）、抛物线212y x =，()21+12y x =与()2112y x =－的形状____________。
（3）、可以发现，把抛物线212y x=向______平移______个单位，就得到抛物线()21+12y x =； 把抛物线212y x =向_______平移______个单位，就得到抛物线()2112y x =－。
归纳：一般地，抛物线2y ax =和抛物线()2y a x m =±形状_____，位置_____。
把抛物线2y ax =向_____平移m 个单位，可以得到抛物线()2+y a x m =； 把抛物线2y ax =向_____平移m 个单位，可以得到抛物线()2y a x m =－。
探索 ： 抛物线21(2)2y x =+和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？ （第五课时）【导学目标】掌握把抛物线2ax y =平移至2()+y a x h k =-的规律；会画出2()+y a x h k =-这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质。
【课 时】 1课时。
【导学方法】实验、整理、分析、归纳法。
【导学过程】一、自主探究（课前导学）由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数______的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？探究：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象。
221xy=，2)1(21-=xy，2)1(212--=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标。
解：（1）列表：（2）描点：（3）连线，画出这三个函数的图象，如下图所示：二、合作探究（课堂导学）观察图象，思考：（1）、开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值212y x=2)1(21-=xy2)1(212--=xy(2)、抛物线212y x=，()2112y x=－与2)1(212--=xy的形状_____________。
(3)、可以发现，把抛物线212y x=向______平移______个单位，就得到抛物线()2112y x=－；把抛物线212y x=向_______平移______个单位，向_______平移______个单位，就得到抛物线2)1(212--=xy．归纳：一般地，抛物线2y ax=和抛物线2()+y a x h k=-形状_____，位置_____。
把抛物线2y ax=向_____平移m个单位，可以得到抛物线()2+y a x m=；把抛物线2y ax=向_____平移m个单位，向_____平移k个单位，可以得到抛物线例2．说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
（1）()2334y x=++；（2）()2212y x=－－－；1课时。
【导学方法】实验、整理、分析、归纳法。
【导学过程】一、自主探究（课前导学）1．函数()2421y x =--+图象的开口_____，对称轴为_____，顶点坐标是(___，____ )。
2．二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向____平移____个单位，再向____平移____个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口____，对称轴是____，顶点坐标是________。