初中经典几何证明练习题(含答案)

初中几何证明题

经典题(一）

1、已知：如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点，ＣD ⊥AB,E Ｆ⊥AB ，E Ｇ⊥C Ｏ． 求证:CD ＝G Ｆ．

证明:过点G 作GH ⊥ＡB 于Ｈ，连接OE ∵E Ｇ⊥CO ，ＥF ⊥ＡB

∴∠EGO=90°,∠ＥFO=9０° ∴∠ＥGO ＋∠ＥFO=180° ∴E 、Ｇ、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠ＨＦG

∵∠E ＧO ＝∠FHG ＝90° ∴△ＥGO ∽△F ＨG ∴

FG EO =HG

GO

∵GH ⊥A Ｂ，CD ⊥AB ∴ＧＨ∥ＣD

∴

CD CO

HG GO =

∴CD

CO FG EO = ∵E Ｏ=C Ｏ ∴CD ＝ＧF

2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠ＰAD=∠PDA=15°。 求证:△ＰB Ｃ是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ＡＤＭ,连接ＭＰ ∵∠ＭA Ｄ=60°，∠ＰＡD ＝15° ∴∠MAP=∠MAD+∠ＰAD=７5° ∵∠ＢＡＤ＝90°,∠ＰA Ｄ=15°

∴∠BAP=∠ＢＡD －∠ＰAD=90°-１5°＝75° ∴∠B ＡP=∠MAP ∵MA=BA ，ＡP=ＡP ∴△ＭAP ≌△BAP

∴∠BPA=∠ＭPA ，MP=B Ｐ 同理∠ＣPD=∠ＭP Ｄ,MP ＝C Ｐ ∵∠ＰＡＤ=∠PDA ＝15°

∴PA=P Ｄ,∠ＢA Ｐ=∠CDP=75° ∵ＢＡ＝ＣＤ

∴△ＢＡP ≌∠C ＤＰ ∴∠ＢP Ａ=∠CPD

∵∠B ＰA ＝∠MPA ，∠ＣＰD=∠MPD ∴∠MP Ａ＝∠M ＰD=75°

∴∠BPC=3６0°-７５°×4=60°

∵M Ｐ＝ＢP,ＭP=ＣＰ ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形

３、已知:如图,在四边形A ＢＣＤ中，AD=ＢC ，M 、N 分别是ＡＢ、CD 的中点,A Ｄ、B Ｃ的延长线交ＭN

于E 、F ． 求证:∠DEN=∠F ．

证明:连接ＡC ，取AC 的中点G ,连接ＮG 、MG ∵CN ＝DN,CG=DG ∴GN ∥AD ，GN ＝

2

1AD ∴∠ＤE Ｎ＝∠ＧN Ｍ ∵ＡM=ＢＭ,ＡG=C Ｇ ∴G Ｍ∥ＢC ，GM=2

1

ＢＣ ∴∠F ＝∠ＧM Ｎ ∵AD=B Ｃ ∴GN=GM

∴∠GMN=∠GNM ∴∠DE Ｎ=∠F

经典题（二）

1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥ＢC 于M ． （1）求证:ＡH=2ＯM ；

（2)若∠BAC=６00,求证:AH=AO.（初二）

证明:（1)延长A Ｄ交圆于F,连接ＢＦ，过点O 作OG ⊥ＡD 于Ｇ ∵OG ⊥A Ｆ ∴AG=FG ∵ＡB ，⌒ =错误!

∴∠F=∠ACB

又ＡD ⊥BC ，BE ⊥ＡC ∴∠ＢＨＤ+∠ＤBH=90° ∠A ＣB+∠ＤＢH=9０° ∴∠A ＣB=∠B ＨD ∴∠F=∠ＢHD

∴BH=BF 又AD ⊥ＢC ∴ＤH=ＤF

∴AH=AG+GH=FG+G Ｈ=G Ｈ+DH+DF+GH=2ＧH+2D Ｈ=2（GH ＋DH)=２G Ｄ 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，ＯＧ⊥ＡD ∴四边形ＯMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH ＝2O Ｍ （2）连接OB 、OC

∵∠B ＡC ＝60∴∠BOC=１20° ∵O Ｂ=OC,O Ｍ⊥BC ∴∠BOM=

2

1

∠BOC ＝60°∴∠O ＢM=30° ∴BO=２OM

由(１）知AH ＝2O Ｍ∴AH=BO=ＡO

2、设MN 是圆O 外一条直线,过Ｏ作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆Ｏ于B 、C 及Ｄ、E,连接ＣD 并延长交MN 于Q,连接ＥB 并延长交MN 于P. 求证:ＡP=AQ ．

证明：作点Ｅ关于AG 的对称点F ，连接A Ｆ、CF 、QF ∵ＡG ⊥PQ ∴∠PA Ｇ=∠QAG=90°

又∠GAE ＝∠ＧAF ∴∠PAG ＋∠GAE ＝∠QA Ｇ+∠GAF 即∠PAE=∠ＱAF

∵Ｅ、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠ＡＥＦ＋∠FC Ｑ=18０° ∵EF ⊥AG ，ＰＱ⊥ＡG ∴ＥF ∥P Ｑ

∴∠PA Ｆ=∠AFE ∵A Ｆ=AE

∴∠AFE ＝∠A ＥF ∴∠AEF=∠P ＡF ∵∠PA Ｆ+∠Q ＡＦ=１80° ∴∠F ＣＱ=∠ＱAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠ＡFQ=∠ACQ 又∠AEP ＝∠ACQ ∴∠A ＦQ ＝∠AEP

３、设MN 是圆Ｏ的弦，过MN 的中点A 任作两弦ＢC 、DE,设C Ｄ、E Ｂ分别交MN 于P 、Ｑ. 求证:AP=AQ ．(初二)

证明:作OF ⊥CD 于F,OG ⊥ＢE 于G ，连接ＯP 、OQ 、O Ａ、ＡF 、AG ∵C 、Ｄ、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠Ｄ,∠E=∠C ∴△ＡBE ∽△A ＤC ∴

DF

BG

FD 2BG 2DC BE AD AB =

== ∴△ABG ∽△ADF ∴∠ＡGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵A Ｍ=AN ， ∴OA ⊥MN 又ＯG ⊥BE ，

∴∠ＯA Ｑ+∠OGQ ＝180° ∴O 、Ａ、Ｑ、Ｅ四点共圆 ∴∠ＡOQ=∠A ＧE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠ＡO Ｐ

又∠OAQ=∠OAP=9０°,OA ＝OA ∴△ＯAQ ≌△OAP ∴ＡP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ

4、如图,分别以△A ＢC 的AB 和ＡＣ为一边，在△ABC 的外侧作正方形ＡＢFG 和正方形ＡCDE,点O 是DF 的中点,ＯP ⊥B Ｃ 求证:BC ＝2O Ｐ(初二）

证明：分别过Ｆ、A 、D 作直线BC 的垂线,垂足分别是L 、M 、N ∵OF ＝OD,D Ｎ∥ＯP ∥FL ∴ＰN ＝P Ｌ

∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+ＦL=２OP ∵AB ＦG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL ＋∠ＦBL ＝９0° ∴∠A ＢM ＝∠B ＦL

又∠FLB=∠BMA ＝90°,ＢF=AB ∴△BF Ｌ≌△ＡBM ∴FL=BM

同理△ＡMC ≌△ＣND ∴C Ｍ=DN

∴ＢM+CN=FL+DN ∴BC=ＦL ＋DN=2OP

经典题(三)

1、如图,四边形ＡＢCD 为正方形,DE ∥AC ，ＡＥ＝AC,AE 与ＣＤ相交于F ． 求证：CE=C Ｆ．(初二）

证明:连接B Ｄ交AC 于O 。过点E 作EG ⊥A Ｃ于G ∵ABCD 是正方形

∴BD ⊥AC 又EG ⊥ＡC ∴BD ∥ＥG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴ＥG=O Ｄ=

21BD ＝21A Ｃ=2

1

A Ｅ ∴∠EAG=30°

∵AC=ＡE

∴∠ACE=∠A ＥＣ=75°

又∠ＡFD=９０°-15°=７５° ∴∠C ＦE=∠ＡF Ｄ=75°=∠A ＥC ∴CE=CF