初中经典几何证明练习题(含答案)

初中几何证明题经典题(一）1、已知：如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点，ＣD ⊥AB,E Ｆ⊥AB ，E Ｇ⊥C Ｏ． 求证:CD ＝G Ｆ．证明:过点G 作GH ⊥ＡB 于Ｈ，连接OE ∵E Ｇ⊥CO ，ＥF ⊥ＡB∴∠EGO=90°,∠ＥFO=9０° ∴∠ＥGO ＋∠ＥFO=180° ∴E 、Ｇ、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠ＨＦG∵∠E ＧO ＝∠FHG ＝90° ∴△ＥGO ∽△F ＨG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥A Ｂ，CD ⊥AB ∴ＧＨ∥ＣD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵E Ｏ=C Ｏ ∴CD ＝ＧF2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠ＰAD=∠PDA=15°。

求证:△ＰB Ｃ是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ＡＤＭ,连接ＭＰ ∵∠ＭA Ｄ=60°，∠ＰＡD ＝15° ∴∠MAP=∠MAD+∠ＰAD=７5° ∵∠ＢＡＤ＝90°,∠ＰA Ｄ=15°∴∠BAP=∠ＢＡD －∠ＰAD=90°-１5°＝75° ∴∠B ＡP=∠MAP ∵MA=BA ，ＡP=ＡP ∴△ＭAP ≌△BAP∴∠BPA=∠ＭPA ，MP=B Ｐ 同理∠ＣPD=∠ＭP Ｄ,MP ＝C Ｐ ∵∠ＰＡＤ=∠PDA ＝15°∴PA=P Ｄ,∠ＢA Ｐ=∠CDP=75° ∵ＢＡ＝ＣＤ∴△ＢＡP ≌∠C ＤＰ ∴∠ＢP Ａ=∠CPD∵∠B ＰA ＝∠MPA ，∠ＣＰD=∠MPD ∴∠MP Ａ＝∠M ＰD=75°∴∠BPC=3６0°-７５°×4=60°∵M Ｐ＝ＢP,ＭP=ＣＰ ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形３、已知:如图,在四边形A ＢＣＤ中，AD=ＢC ，M 、N 分别是ＡＢ、CD 的中点,A Ｄ、B Ｃ的延长线交ＭN于E 、F ． 求证:∠DEN=∠F ．证明:连接ＡC ，取AC 的中点G ,连接ＮG 、MG ∵CN ＝DN,CG=DG ∴GN ∥AD ，GN ＝21AD ∴∠ＤE Ｎ＝∠ＧN Ｍ ∵ＡM=ＢＭ,ＡG=C Ｇ ∴G Ｍ∥ＢC ，GM=21ＢＣ ∴∠F ＝∠ＧM Ｎ ∵AD=B Ｃ ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DE Ｎ=∠F经典题（二）1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥ＢC 于M ． （1）求证:ＡH=2ＯM ；（2)若∠BAC=６00,求证:AH=AO.（初二）证明:（1)延长A Ｄ交圆于F,连接ＢＦ，过点O 作OG ⊥ＡD 于Ｇ ∵OG ⊥A Ｆ ∴AG=FG ∵ＡB ，⌒ =错误!∴∠F=∠ACB又ＡD ⊥BC ，BE ⊥ＡC ∴∠ＢＨＤ+∠ＤBH=90° ∠A ＣB+∠ＤＢH=9０° ∴∠A ＣB=∠B ＨD ∴∠F=∠ＢHD∴BH=BF 又AD ⊥ＢC ∴ＤH=ＤF∴AH=AG+GH=FG+G Ｈ=G Ｈ+DH+DF+GH=2ＧH+2D Ｈ=2（GH ＋DH)=２G Ｄ 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，ＯＧ⊥ＡD ∴四边形ＯMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH ＝2O Ｍ （2）连接OB 、OC∵∠B ＡC ＝60∴∠BOC=１20° ∵O Ｂ=OC,O Ｍ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC ＝60°∴∠O ＢM=30° ∴BO=２OM由(１）知AH ＝2O Ｍ∴AH=BO=ＡO2、设MN 是圆O 外一条直线,过Ｏ作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆Ｏ于B 、C 及Ｄ、E,连接ＣD 并延长交MN 于Q,连接ＥB 并延长交MN 于P. 求证:ＡP=AQ ．证明：作点Ｅ关于AG 的对称点F ，连接A Ｆ、CF 、QF ∵ＡG ⊥PQ ∴∠PA Ｇ=∠QAG=90°又∠GAE ＝∠ＧAF ∴∠PAG ＋∠GAE ＝∠QA Ｇ+∠GAF 即∠PAE=∠ＱAF∵Ｅ、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠ＡＥＦ＋∠FC Ｑ=18０° ∵EF ⊥AG ，ＰＱ⊥ＡG ∴ＥF ∥P Ｑ∴∠PA Ｆ=∠AFE ∵A Ｆ=AE∴∠AFE ＝∠A ＥF ∴∠AEF=∠P ＡF ∵∠PA Ｆ+∠Q ＡＦ=１80° ∴∠F ＣＱ=∠ＱAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠ＡFQ=∠ACQ 又∠AEP ＝∠ACQ ∴∠A ＦQ ＝∠AEP３、设MN 是圆Ｏ的弦，过MN 的中点A 任作两弦ＢC 、DE,设C Ｄ、E Ｂ分别交MN 于P 、Ｑ. 求证:AP=AQ ．(初二)证明:作OF ⊥CD 于F,OG ⊥ＢE 于G ，连接ＯP 、OQ 、O Ａ、ＡF 、AG ∵C 、Ｄ、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠Ｄ,∠E=∠C ∴△ＡBE ∽△A ＤC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠ＡGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵A Ｍ=AN ， ∴OA ⊥MN 又ＯG ⊥BE ，∴∠ＯA Ｑ+∠OGQ ＝180° ∴O 、Ａ、Ｑ、Ｅ四点共圆 ∴∠ＡOQ=∠A ＧE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠ＡO Ｐ又∠OAQ=∠OAP=9０°,OA ＝OA ∴△ＯAQ ≌△OAP ∴ＡP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△A ＢC 的AB 和ＡＣ为一边，在△ABC 的外侧作正方形ＡＢFG 和正方形ＡCDE,点O 是DF 的中点,ＯP ⊥B Ｃ 求证:BC ＝2O Ｐ(初二）证明：分别过Ｆ、A 、D 作直线BC 的垂线,垂足分别是L 、M 、N ∵OF ＝OD,D Ｎ∥ＯP ∥FL ∴ＰN ＝P Ｌ∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+ＦL=２OP ∵AB ＦG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL ＋∠ＦBL ＝９0° ∴∠A ＢM ＝∠B ＦL又∠FLB=∠BMA ＝90°,ＢF=AB ∴△BF Ｌ≌△ＡBM ∴FL=BM同理△ＡMC ≌△ＣND ∴C Ｍ=DN∴ＢM+CN=FL+DN ∴BC=ＦL ＋DN=2OP经典题(三)1、如图,四边形ＡＢCD 为正方形,DE ∥AC ，ＡＥ＝AC,AE 与ＣＤ相交于F ． 求证：CE=C Ｆ．(初二）证明:连接B Ｄ交AC 于O 。

过点E 作EG ⊥A Ｃ于G ∵ABCD 是正方形∴BD ⊥AC 又EG ⊥ＡC ∴BD ∥ＥG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴ＥG=O Ｄ=21BD ＝21A Ｃ=21A Ｅ ∴∠EAG=30°∵AC=ＡE∴∠ACE=∠A ＥＣ=75°又∠ＡFD=９０°-15°=７５° ∴∠C ＦE=∠ＡF Ｄ=75°=∠A ＥC ∴CE=CF2、如图,四边形A ＢCD 为正方形,DE ∥ＡC,且ＣE ＝CA ，直线EC 交D Ａ延长线于Ｆ． 求证：AE=AF.(初二)证明:连接ＢD ，过点E 作EG ⊥AC 于Ｇ ∵ABCD 是正方形∴ＢＤ⊥ＡＣ，又EG ⊥ＡＣ ∴BD ∥ＥG 又DE ∥AC∴ODEG 是平行四边形又∠ＣOD=90° ∴ＯＤEG 是矩形∴EG = O Ｄ ＝21ＢD ＝21ＡC=21CE∴∠ＧＣＥ=3０°∵ＡC=E Ｃ３、设P 是正方形AB ＣD 一边B Ｃ上的任一点，PF ⊥A Ｐ，ＣF 平分∠ＤＣE ． 求证:PA ＝PF ．(初二）证明:过点F 作ＦG ⊥C Ｅ于G ，F Ｈ⊥C Ｄ于H ∵ＣD ⊥CG ∴ＨCG Ｆ是矩形 ∵∠H ＣF ＝∠G ＣF ∴FH=ＦＧ ∴ＨCG Ｆ是正方形 ∴CG=GF ∵ＡＰ⊥ＦP ∴∠ＡPB ＋∠FPG=90° ∵∠APB+∠BAP=90° ∴∠ＦＰG=∠BA Ｐ 又∠FGP=∠P ＢA ∴△FG Ｐ∽△ＰB Ａ ∴F Ｇ：P Ｂ＝PG:AB 4、如图,P Ｃ切圆O 于C ，ＡC 为圆的直径，ＰE Ｆ为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于Ｂ、D ． 求证:A Ｂ＝DC ，ＢC ＝A Ｄ．(初三)证明：过点E 作EK ∥BD,分别交AC 、AF 于M 、K,取EF 的中点Ｈ, 连接O Ｈ、MH 、EC ∵EH=FH∴OH ⊥EF,∴∠ＰH Ｏ=90° 又PC ⊥ＯC,∴∠P ＯＣ=9０° ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 ∴∠ＨCO=∠HPO 又ＥK ∥BD ，∴∠ＨPO ＝∠HEK ∴∠HCM=∠HEM ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴∠ECM=∠EH Ｍ 又∠ＥC Ｍ=∠EFA ∴∠EHM=∠ＥFA ∴ＨM ∥AC ∵EH=ＦH设AB=x ，BP=y ，CG=z z ：y=（x-y+z ）：x 化简得（x-y ）·y =（x-y ）·z ∵x-y ≠0 ∴y=z 即BP=FG ∴△ABP ≌△PGF∴∠CAE=∠CEA=21∠GCE=15°在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE =180°-135°-30°=15° ∴∠F=∠CEA ∴AE=AF ∴EM=KM ∵EK ∥BD ∴KMODAM AO EM OB == ∴OB=OD 又AO=CO ∴四边形ABCD 的对角线互相平分 ∴ABCD 是平行四边形 ∴AB=DC ，BC=ADB经典题(四)１、已知：△AB Ｃ是正三角形，P 是三角形内一点,P Ａ=３,PB ＝4,P Ｃ=５. 求∠AP Ｂ的度数.(初二）解：将△ＡＢP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BC Ｑ,连接PQ 则△ＢＰＱ是正三角形∴∠BQP=6０°,ＰQ=ＰB=3在△ＰQC 中,PQ=４，CQ ＝ＡP=3,PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=９0°∴∠ＢＱC=∠ＢQP+∠PQ Ｃ=6０°+9０°=1５0° ∴∠ＡＰB=∠ＢＱＣ＝１50° ２、设P 是平行四边形A ＢCD 内部的一点,且∠ＰBA=∠ＰＤA ． 求证：∠PAB=∠ＰC Ｂ．(初二）证明：过点P 作A Ｄ的平行线，过点Ａ作PD 两平行线相交于点E ，连接BE ∵ＰE ∥ＡD ，ＡE ∥PD∴AD ＰE 是平行四边形∴PE=AD,又AB ＣD 是平行四边形∴A Ｄ=ＢC ∴ＰE=BC又ＰＥ∥AD,AD ∥BC ∴P Ｅ∥B Ｃ ∴ＢCPE 是平行四边形 ∴∠BEP=∠P ＣB ∵AD ＰＥ是平行四边形 ∴∠ＡD Ｐ=∠AEP３、设ＡＢCD 为圆内接凸四边形,求证：AB ·ＣＤ+AD ·BC ＝AC ·ＢD.(初三） 证明：在BD 上去一点E,使∠B ＣＥ=∠Ａ∵错误!=错误!∴∠CA Ｄ=∠ＣＢD ∴△BE Ｃ∽△ADC ∴ACBCAD BE =∴AD ·B Ｃ=BE ·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BC Ａ=∠ＥCD∵错误!=错误!,∴∠ＢA Ｃ=∠BDC △B ＡC ∽△EDC ∴CDACDE AB = ∴AB ·C Ｄ=DE ·AC ……………………②4、平行四边形ＡB ＣD 中，设E 、F 分别是ＢC 、ＡB 上的一点,AE 与C Ｆ相交于P ，且 又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB证明：过点D 作DG ⊥AE 于Ｇ，作D Ｈ⊥F Ｃ于Ｈ，连接ＤＦ、ＤE ∴Ｓ△ＡD Ｅ=12 AE ·DG ，Ｓ△FDC =错误!F Ｃ·DH又S △ADE ＝ S △FDC ＝＼Ｆ(1,2） S □ABC Ｄ ∴AE ·DG=FC ·DH 又A Ｅ=CF ∴DG=DH∴点D 在∠AP Ｃ的角平分线上 ∴∠ＤＰＡ＝∠DPC经典题(五）１、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,Ｌ=PA ＋ＰB ＋ＰC ， 求证:3≤L<2. 证明：（1)将△ＢP Ｃ绕B 点顺时针旋转60°的△BEF,连接PE, ∵B Ｐ=ＢE,∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形。