冀教版九年级数学下册同步练习：29.5 正多边形与圆

29.5正多边形与圆

1．对于以下说法：

①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；②各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．你认为正确的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．教材“大家谈谈”第2题变式如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是()

A．4 B．5 C．6 D．7

3．如果一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形()

A．是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．是中心对称图形，但不是轴对称图形

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形

D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

4．边长为a的正六边形的边心距为()

A．2a B．a C.

3

2a D.

1

2a

5．2019·邯郸一模如图29－5－1中的正三角形和正六边形有公共的外接圆②O.则这个正三角形和正六边形边长的比为()

图29－5－1

A.6②2

B.3②2

C.3②1 D．2∶1

6．从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个面积最大的正方形，则此正方形的边长为_________．

7．2019·陕西如图29－5－2，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则②AFE 的度数为________．

图29－5－2

8．利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的多边形是()

A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形

9．用尺规作图(不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹)．

(1)如图29－5－3，已知正五边形ABCDE，求作它的中心O.

图29－5－3

(2)如图29－5－4，已知②O，求作②O的内接正八边形．

图29－5－4

10．在学完本节课后，高静同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：

(1)如图29－5－5，作②O的直径AD；

(2)作半径OD的垂直平分线，交②O于B，C两点；

(3)连接AB，AC，那么②ABC即为所求作的三角形．

请你判断高静同学的作法是否正确，如果正确，请给出②ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．

图29－5－5

11．在一个已知圆内接正十边形的基础上，能够很快作出正n边形，则n可以是()

A．5 B．8 C．12 D．15

12．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是()

A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定

13．如图29－5－6，要拧开一个边长为a＝6 cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为()

A．6 2 cm B．12 cm C．6 3 cm D．4 3 cm

图29－5－6

14．教材习题A组第2题变式如图29－5－7，正六边形DEFGHI的顶点分别在等边三角形ABC各边上，则S阴影∶S△ABC等于()

A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶2

图29－5－7

15．2019·株洲如图29－5－8，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是②O的内接多边形，则∠BOM＝________．

图29－5－8

16．如图29－5－9，MN是②O的直径，若②A＝10°，∠PMQ＝40°，以PM为边作②O 的内接正多边形，则这个正多边形是正________边形．

图29－5－9

17．如图29－5－10，正六边形ABCDEF内接于②O，若②O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长．

图29－5－10

18．图29－5－11分别是②O的内接正三角形ABC、正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在②O上逆时针运动，AM与BN交于点P.

图29－5－11

(1)求图②中②APN的度数；

(2)图②中，∠APN的度数是________，图②中②APN的度数是________；

(3)试探索②APN的度数与正多边形的边数n的关系(直接写出答案)．

【详解详析】

1．B [解析] ②②两种说法正确，其余两种说法错误．判定正多边形的两个条件：各边相等，各角相等，缺一不可．只具有其一时，要保证另外一个能推出来．

2．B

3．C [解析] ②一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合，

180°÷45°＝4，∴这个正多边形绕它的中心旋转180°后能与原正多边形重合，∴这个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

4．C [解析] 如图，设正六边形的中心为O ，连接OA ，OB ，过点O 作OC ②AB 于点

C ，则OA ＝OB ，∠AOB ＝60°，∴△AOB 为等边三角形，∴OA ＝a ，AC ＝12AB ＝12

a ， ∴OC ＝OA 2－AC 2＝32a ，∴正六边形的边心距为32

a .故选C. 5．C [解析] 设②O 的半径为R ，如图，连接OA ，OB ，则OB ②AC 于点G .

∵OA ＝R ，∠OAG ＝30°，∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，AG ＝OA ·cos30＝3

2

R ，∴AB ＝R ，AC ＝2AG ＝3R ；②外接圆的半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为3R ②R ＝3②1.

6．10 2 cm [解析] 如图，由题意知②BOC ＝90°，BC ＝OB 2＋OC 2＝102＋102＝ 10 2(cm)．

7．72° [解析] ②五边形ABCDE 是正五边形，

∴∠EAB ＝②ABC ＝（5－2）×180°5

＝108°. ∵BA ＝BC ，∴∠BAC ＝②BCA ＝36°.

同理②ABE ＝36°，

∴∠AFE ＝②ABF ＋②BAF ＝36°＋36°＝72°.

8．D [解析] 直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样既可得出正三角形，也可以得出正六边形．作两条互相垂直的直径即可将圆四等分，可得出正方形，但是无法利用圆规