数学：点的存在性(二九年级训练考试卷)

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【中考复习】2021年中考压轴题专题训练二次函数综合题之点的存在性问题含试题解析

含试题解析一．解答题（共2小题）1．如图，已知抛物线y=−12x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△BCM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B 在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC＝2S△BPD；（3）是否存在点P，使△P AD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．含试题解析参考答案与试题解析一．解答题（共2小题）1．如图，已知抛物线y=−12x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△BCM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝0得−12x2﹣x+4＝0，∴x2+2x﹣8＝0，x＝﹣4或2，∴点A坐标为（2，0），点B坐标为（﹣4，0），令x＝0，得y＝2，∴点C坐标为（0，4）；（2）分两种情况：①AB为平行四边形的边时，∵AB＝EF＝6，对称轴x＝﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标为（﹣7，−272）或（5，−272），此时点F坐标为（﹣1，−272），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝6×272=81．②AB为平行四边形的对角线时，∵点F是其对称轴上的点，AB与EF互相平分，∴点E只能在抛物线顶点，∴E（﹣1，92）．设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=12×6×9＝27；（3）△BCM是等腰三角形时，设点M的坐标为（﹣1，y），分三种情况：①当C为等腰三角形顶角的顶点时，CM＝CB，∵B（﹣4，0），C（0，4），∴12+（y﹣4）2＝42+42，解得y＝4±√31，∴点M坐标（﹣1，4+√31）或（﹣1，4−√31）；②当M，为等腰三角形顶角的顶点时，MB＝MC，∴（﹣1+4）2+y2＝12+（y﹣4）2，解得y＝1，∴点M坐标为（﹣1，1）；③当点B为等腰三角形顶角的顶点时，BM＝BC，∴（﹣1+4）2+y2＝42+42，解得y＝±√23，∴点M坐标为（﹣1，√23）或（﹣1，−√23）．综上所述点M坐标为（﹣1，1）或（﹣1，4+√31）或（﹣1，4−√31）或（﹣1，√23）或（﹣1，−√23）．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B 在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC＝2S△BPD；（3）是否存在点P，使△P AD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵y ＝x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1，∴B （0，﹣1）．当x ＝﹣3时，y ＝﹣4，∴A （﹣3，﹣4）．∵y ＝x 2+bx +c 与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，∴{−1=c −4=9−3b +c， ∴{b =4c =−1， ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2+4x ﹣1；（2）∵P 点横坐标是m （m ＜0），∴P （m ，m 2+4m ﹣1），D （m ，m ﹣1）如图1①，作BE ⊥PC 于E ，∴BE ＝﹣m ．CD ＝1﹣m ，OB ＝1，OC ＝﹣m ，CP ＝1﹣4m ﹣m 2，∴PD ＝1﹣4m ﹣m 2﹣1+m ＝﹣3m ﹣m 2，∴−m(1+1−m)2=2×−m(−3m−m 2)2，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，m 3=−12；如图1②，作BE ⊥PC 于E ，∴BE ＝﹣m ．PD ＝m 2+4m ﹣1+1﹣m ＝3m +m 2，∴−m(1+1−m)2=2×−m(m 2+3m)2，解得：m ＝0（舍去）或m =−7+√654（舍去）或m =−7−√654， ∴m =−12，﹣2或−7−√654时，S 四边形OBDC ＝2S △BPD ；（3）如图2，当∠APD ＝90°时，设P （m ，m 2+4m ﹣1），则D （m ，m ﹣1）， ∴AP ＝m +3，CD ＝1﹣m ，OC ＝﹣m ，CP ＝1﹣4m ﹣m 2，∴DP ＝1﹣4m ﹣m 2﹣1+m ＝﹣3m ﹣m 2．在y ＝x ﹣1中，当y ＝0时，x ＝1，∴F （1，0），∴OF ＝1，∴CF ＝1﹣m ．AF ＝4√2．∵PC ⊥x 轴，∴∠PCF ＝90°，∴∠PCF ＝∠APD ，∴CF ∥AP ，∴△APD ∽△FCD ，AP CF =DP CD ，∴m+31−m =−3m−m 21−m ，解得：m ＝﹣1或m ＝﹣3（舍去），∴P （﹣1，﹣4）如图3，当∠P AD ＝90°时，作AE ⊥x 轴于E ，∴∠AEF ＝90°，CE ＝m +3，EF ＝4，AF ＝4√2，PD ＝m ﹣1﹣（﹣1+4m +m 2）＝﹣3m ﹣m 2．∵PC ⊥x 轴，∴∠DCF ＝90°，∴∠DCF ＝∠AEF ，∴AE ∥CD ．∴43+m =4√2AD， ∴AD =√2（3+m ）．∵△P AD ∽△FEA ，∴PD FA =AD AE ， ∴24√2=√2(3+m)4， ∴m ＝﹣2或m ＝﹣3（舍去）∴P （﹣2，﹣5）．当∠APD ＝90°时∴点A 与点P 关于对称轴对称∵A （﹣3，﹣4）∴P （﹣1，﹣4）综上，存在点P （﹣2，﹣5）或P （﹣1，﹣4）使△P AD 是直角三角形．方法二：（1）略．（2）∵S 四边形OBDC ＝2S △BPD ，∴12OC ×（OB +CD ）＝2×12DP ×OC ， ∴OB +CD ＝2DP ，∵P （m ，m 2+4m ﹣1），D （m ，m ﹣1），B （0，1），∵CD ＝1﹣m ，OB ＝1，∴1+1﹣m ＝2|m 2+4m ﹣1﹣m +1|，①﹣2m 2﹣6m ＝2﹣m ，∴2m 2+5m +2＝0， ∴m 1=−12，m 2＝﹣2，②2m 2+6m ＝2﹣m ，∴2m 2+7m ﹣2＝0， m =−7+√654（舍）或m =−7−√654， ∵m ＜0，∴满足题意的解m 1=−12，m 2＝﹣2，m 3=−7−√654，（3）设P （m ，m 2+4m ﹣1），则D （m ，m ﹣1），A （﹣3，﹣4）， ∵△P AD 是直角三角形，∴PD ⊥P A ，PD ⊥DA ，P A ⊥DA ． ①PD ⊥P A ，∵PD ⊥x 轴，∴P A ∥x 轴，∴P Y ＝A Y ，∴m 2+4m ﹣1＝﹣4，∴m ＝﹣1，m ＝﹣3（舍），②PD ⊥DA ，∵PD ⊥x 轴，∴DA ∥x 轴，∴DY ＝AY ，∴m ﹣1＝﹣4，m ＝﹣3（舍）③P A ⊥DA ，∴K P A ×K DA ＝﹣1，∴m 2+4m−1+4m+3×m−1+4m+3=−1，∴m ＝﹣2，综上，存在点P 1（﹣1，﹣4），P 2（﹣2，﹣5）使△P AD 是直角三角形．。

数学：存在性问题专项训练(一九年级训练考试卷)

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形存在性问题的处理思路是：①从_______入手，分析定点、动点，找固定的边和角，确定三角形的形状；找相等的角当作__________；②分析形成因素，考虑相似三角形的________，比如若有一组角相等，则只需_____________，依据判定确定__________，列出对应的关系式；③画图求解，围绕对应的关系式，根据图形特征，表达相关线段长，用关系式列方程；④结果验证，回归点的__________进行验证；____________，结合图形进行验证．问题2：在“角度的存在性“专题中，有“若，则”这个结论，尝试推导这个结论．问题3：对比相似，全等，角度的存在性处理思路，在整体分析思路上有什么相同点？问题4：对比相似，全等，角度的存在性处理思路，在分析定点，动点之后各自分析的动作有什么不同？问题5：结合前面所学的存在性问题，思考对任意图形的存在性问题如何处理？存在性问题专项训练（一）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )A.6B.7C.8D.92.已知△ABC的三条边长分别为6，8，12，过△ABC任一顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A.6条B.7条C.8条D.9条3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=3，BC=4，P是AB边上一点，若△PCD是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP的长为( )A.1或6B.3或4C.或1或6D.或3或44.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．P是线段BC上一动点，Q是线段AC上一动点，且始终满足．当△CPQ是直角三角形时，CP的长为( )A.0，2B.C. D.5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，BE的长为( )A. B.C. D.6.平面直角坐标系中，已知点，点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB 相似，则相应的点P共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在AC边上的点处，折痕交AB于点E，交BC于点F．已知AB=AC=6，BC=8，若以点，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长为( )A. B.4C. D.8.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点．点P在BC边上以3cm/s的速度由点B向点C运动；同时点Q在AC边上以相同的速度由点C向点A运动，其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为( )A. B.C. D.9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为，矩形PDFE的面积为，运动时间为t秒，则t=( )秒时，．A. B.6C. D.310.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC 边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是( )A. B.C. D.。

九年级数学第二轮复习之函数图象上点的存在性专题——全等构造、相似构造与角度的和差解析教师版含答案解析

中考第二轮复习函数图象上点的存在性专题—全等构造、相似构造与角度的和差题型一：存在问题中的全等和相似构造中考说明：抛物线上点存在问题中的三角形的全等或相似主要考查确定对应边和对应角，在对应边和对应角不确定的情况下，需要分类讨论．分类可能按角分类也可能按边分类. 【典例分析】【例1】如图，在第一象限内作与x 轴的夹角为30︒的射线OC ，在射线OC 上取一点A ，过点A作AH x ⊥轴于点H .在抛物线2y x =(0)x >上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P Q O ，，为顶点的三角形与AOH △全等，则符合条件的点A 的坐标是 .【解析】(3,1)3，, 2), 2)3，. 思路分析：以P Q O ，，为顶点的三角形与AOH △全等，已知30AOH ∠=︒，60OAH ∠=︒ 从图象可知90POQ ∠≠︒，∴30POQ ∠=︒或60︒. 当30POQ ∠=︒时，情况一，90OPQ ∠=︒，如图1；情况二，90OQP ∠=︒，如图2；当60POQ ∠=︒时，情况三，90OPQ ∠=︒，如图3；情况四，90OQP ∠=︒，如图4.图4【例2】如图，抛物线22y ax ax c =-+（0a ≠）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点()04C ，，以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G .（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长.（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和AEM △相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断PCM △的形状；若不存在，请说明理由.(2013凉山)【解析】（1）∵()04C ，，()30A ，在抛物线()220y ax ax c a =-+≠上 ∴4960c a a c =⎧⎨-+=⎩解得：434a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩………………………………………（2分） ∴所求抛物线的解析式为：248433y x x =-++…………………………（3分）（2）设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠∵()()3004A C ，，，在直线AC 上 ∴304k b b +=⎧⎨=⎩解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为：443y x =-+……………………（4分）∴443M m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，248433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，………………（5分）∵点P 在M 上方∴248444333PM m m m ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭248444333m m m =-+++-2443m m =-+……………………………………（6分）（3）①若PFC AEM △△，此时PCM △是直角三角形且90PCM =∠° 则PF CF AE ME =即PF AE CF ME=…………………………………………（7分） A B Cl PMFG DO Ex y又∵AEM AOC △△ ∴AE ME AE OA OA OC ME OC -=即 ∴34PF OA CF OC ==…………………………………………………………（8分） ∵224848443333PF PE EF m m m m =-=-++-=-+ CF OE m ==∴2483334m mm -+= ∵0m ≠，∴2316m =…………………………………………………………………………（9分）②若CFP AEM △△此时PCM △是等腰三角形且PC CM = 则PF FC ME AE =即PF ME FC AE=…………………………………………………………（10分）由①得34OA AE OC ME ==∴43OC OA = ∴43PF OC FC OA ==………………………………………………………………………（11分）同理24833PF m m =-+，CF OE m ==∴2484333m mm -+=∵0m ≠，∴1m =综合所得：存在这样的点P 使PFC △与AEM △相似此时m 的值为2316或1，PCM △为直角三角形或等腰三角形……………………（12分）题型二：存在问题中的角度【存在问题中的角度---特殊角】中考说明：单个特殊角θ一般指30︒、45︒、60︒等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线tan y x m θ=⋅+与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点.45°30°特殊角度构造特殊三角形典题精练【例3】⑴如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，是否存在点P 使得直线OP 与x 轴的正半轴的夹角为45︒，若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明理由．⑵如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为104⎛⎫ ⎪⎝⎭，，是否存在点P 使得直线PA 分别与x 轴正半轴的夹角为45︒或30︒？若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明理由．【解析】 ⑴方法一：如图3，过点P 作PK x ⊥轴于点K ，由已知得45POK ∠=︒，POK △为等腰直角三角形.设点P 的坐标为()2x x ，，则2PK x OK x ==，，故PK OK =，则2x x =，∴0x =（舍），1x =，∴点P 的坐标为()11，．方法二：∵45POx =︒∠，∴直线OP 是第一象限的角平分线，故直线OP 的解析式为y x =，点P 即为抛物线和直线OP 的交点（点O 除外），联立方程组2y x y x ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩（舍），11x y =⎧⎨=⎩，故点P 的坐标为()11，． ⑵如图4，若直线PA 与x 轴正半轴的夹角为45︒，且直线PA 与y 轴交于点B . ∴AOB △为等腰直角三角形，14OA OB ==，∴点B 的坐标为104⎛⎫- ⎪⎝⎭，由待定系数法可求直线PA 的解析式为14y x =-，联立方程组214y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为1124⎛⎫⎪⎝⎭，．如图5，若直线PA 与x 轴正半轴的夹角为30︒，且直线PA 与y 轴交于点C.∴30OAC∠=︒，在Rt OAC△中，OA，∴OC=∴点C的坐标为0⎛⎝⎭，由待定系数法可求直线PA的解析式为y=-，联立方程组2y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得20 x=，240⎛-<⎝⎭，故方程无实数根，故点P不存在．【例4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为()42，，若点P 使45AOP =︒∠，请求出点P 的坐标．【解析】方法一：构造外弦图，如图1，过点A 作MN 垂直x 轴于M ，在AN 上取点N ，使得AN OM =，过点N 作NK OM ∥，过点A 作AK AO ⊥，AK 与NK 相交于点K ．易证AMO KNA △≌△∴4AN OM ==，2NK AM == ∴点K 的坐标为()26，直线OK 的解析式为3y x =联立方程组23y x y x⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩（舍），39x y =⎧⎨=⎩故点P 的坐标为()39，．方法二：如图2，以AO 为斜边作等腰直角三角形AOK ，再构造弦图，求K 的坐标．2．【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】【例5】已知抛物线22y x x c=-+与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D 点，点A的坐标为()10-，．⑴求D点的坐标；⑵如图1，连接AC，BD，并延长交于点E，求E∠的度数；⑶如图2，已知点()40P-，，点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当PMA E∠=∠时，求点Q的坐标．(2013十堰)x图1图2x【解析】（1）把x=－1，y=0代入22y x x c得1＋2＋c=0，∴c=－3∴222314y x x x∴顶点D的坐标为（1，－4）（2）如图1，连结CD、CB,过D作DF⊥y轴于F点，由2230x x得x1=－1，x2=3，∴B（3,0）．当x=0时，2233y x x．∴C（0,－3），∴OB=OC=3，∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，∴∠FCD=45°，CD，∴∠BCD=180°－∠OCB－∠FCD =90°．∴∠BCD =∠COA．11,=33CD OACB OC又图1∴=CD OACB OC，∴△DCB ∽△AOC ，∴∠CBD =∠OCA ．又∠ACB =∠CBD +∠E =∠OCA +∠OCB ，∴∠E =∠OCB =45°．(3)如图2，设直线PQ 交y 轴于N 点，交BD 于H 点，作DG ⊥x 轴于G 点． ∵∠PMA =45°，∴∠EMH =45°，∴∠MHE =90°， ∴∠PHB =90°，∴∠DBG +∠OPN =90°．又∠ONP +∠OPN =90°，∴∠DBG =∠ONP ，又∠DGB =∠PON =90°，∴△DGB ∽△PON ， ∴2==44BG ON ONDG OP ,即， ∴ON =2，∴N （0，－2）．设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，则由40,2.k b b 解得k =－12，b =－2， ∴122y x ．设Q （m ，n ）且n <0，∴122nm ．又Q （m ，n ）在223yx x 上，∴223nm m ， ∴212232m m m ，解得1212,2m m ， ∴1273,4n n ， ∴点Q 的坐标为（2，－3）或（－12，－74）.-1y x-4M QGNHEPA CB DO Q目标班训练1. 已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()20A -，、()80B ，，与y 轴交于点()04C -，．直线y x m =+与抛物线交于点D 、E （D 在E 的左侧），与抛物线的对称轴交于点F ．⑴求抛物线的解析式；⑵当2m =时，求DCF ∠的大小；⑶若在直线y x m =+下方的抛物线上存在点P ，使得45DPF ∠=°，且满足条件的点P 只有两个，则m 的值为．（第⑶问不要求写解答过程）备用图2备用图1（海淀期末）【解析】 ⑴ 依题意，设抛物线的解析式为()()28y a x x =+-．∵抛物线与y 轴交于点()04C -，，∴()()40208a -=+-．解得14a =．∴抛物线的解析式为()()1284y x x =+-，即213442y x x =--．⑵ 由⑴可得抛物线的对称轴为3x =．∵2m =，∴直线的解析式为2y x =+．∵直线2y x =+与抛物线交于点D 、E ，与抛物线的对称轴交于点F ，∴F 、D 两点的坐标分别为()35F ，，()20D -，．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M ．可得 5.CM FM MD ===∴F 、D 、C 三点在以M 为圆心，半径为5的圆上．∴DCF ∠=1452DMF ∠=°．⑶ 54m =-．【点评】 ⑶小问：无论直线y x m =+平移到什么位置，只要与抛物线有两个交点，那么D 点关于对称轴的对称点D '一定满足45FD D '=︒∠，因此要使满足45DPF =︒∠的点P 只有两个．则F 、D 、P 三点确定的圆一定经过抛物线的顶点，即四边形FDPD '是正方形，那么只要求出顶点坐标及D '点坐标即可．训练2. 如图，已知抛物线224323m m x m x m y -+-+-=)()(的顶点A 在双曲线xy 3=上, 直线y =mx +b 经过点A , 与y 轴交于点B , 与x 轴交于点C . ⑴确定直线AB 的解析式;⑵将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒, 与x 轴交于点D , 与y 轴交于点E , 求sin ∠BDE 的值;⑶过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G , 点M 在直线BG 上, 且到抛物线的对称轴的距离为6. 设点N 在直线BG 上, 请你直接写出使得∠AMB +∠ANB =45︒的点N 的坐标.（海淀二模）∵点A 在双曲线xy 3=上,∴xy =3.-m 2+5m -3=3.解得 m =2, m =3(不合题意, 舍去). ∴ m =2, A (1, 3).∵直线y =mx +b 经过点A , ∴3=2×1+b . b =1.故直线AB 的解析式为 y =2x +1⑵ 由y =2x +1, 可得B (0, 1), C (21-, 0).将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°, 得点B 的对应点为D (1, 0),点C 的对应点为E (0, 21).可得直线DE 的解析式为2121+-=x y图2E由211122y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 得两直线交点为F (1355-，)可得DE ⊥BC , BD =2, BF =55, ∴ sin ∠BDE =1010=BD BF . N 1(5, 1), N 2(-3, 1).训练3. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++y = (b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．(1)点B 的坐标为，点C 的坐标为（用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】 (1)点B 的坐标为（b ，0），点C 的坐标为(0,)4b(2)假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形．设点P 坐标为（x ,y ），连接OP ，则S 四边形PCOB =S △PCO +S △POB =112242b x b y b += ∴x +4y =16,过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ． ∴∠PEO =∠EOD =∠ODP =90°， ∴四边形PEOD 是矩形， ∴∠EPD =90°，∵△PCB 是等腰直角三角形， ∴PC=PB ，∠CPB =90°， ∴∠EPC =∠DPB ， ∴△PEC ≌△PDB ，∴PE =PD ，即x =y ,由416x y x y =⎧⎨+=⎩,解得：165165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由△PEC ≌△PDB 得，EC=DB ，即1616545b b -=-，解得：128225b =>，符合题意，∴P 点坐标为（165 ,165 ）(3)由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A （1,0），OA =1 ①如图3，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA当BA QA QA OA =,即2QA BA OA =时，△BQA ∽△QOA ，所以2()14b b =-解得8b =±Q为(1,2+②如图4，以OC 为直径的圆与直线x =1交于点Q ，那么90,OQC ∠=︒因此 △OCQ ∽△QOA 当BA QAQA OA=时，△BQA ∽△QOA ，此时90OQB ∠=︒ 所以C 、Q 、B 三点共线，因此BO QACO OA=即14b QA b =，解得QA =4,此时Q （1,4）目标123班训练1. 二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，在二次函数的图象上是否存在点P ，使锐角PCO ACO ∠>∠？若存在，请你求出P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．【分析】探索的点必须满足两个条件：①PCO ∠为锐角；②PCO ACO ∠>∠．借助探索问题五的思想方法寻找临界点（PCO ACO ∠=∠）．【解析】存在点P ，使得锐角PCO ACO ∠>∠．取A 点关于y 轴的对称点D ．连结CD 并延长交抛物线于M过C 作CN x ∥轴交抛物线于N 点．显然当P 点在M 、N 之间或在A 、C 之间的抛物线上时，锐角PCO ACO ∠>∠． ∴A （1-，0），C （0，3-），D （1，0）． ∴直线CD 的解析式为：33y x =-．联立23323y x y x x =-⎧⎨=--⎩得：1103x y =⎧⎨=-⎩或22512x y =⎧⎨=⎩ ∴M 点的横坐标为5．由抛物线的对称性知：C 、N 关于对称轴对称， ∴N 点的横坐标为2．∵当P 点在M 、N 之间或在A 、C 之间的抛物线上时，锐角PCO ACO ∠>∠． ∴10p x -<<或25p x <<．【点评】 ⑴ 由点及线的问题转化思想．⑵ 本例还可变形为：探索点P ，使PAC △的内心在y 轴左侧？内心在第三象限？训练2. 抛物线213122y x x =-+过点()10A ，，()20B x ，，交y 轴正半轴于点C ，在抛物线上（在B 点的右侧）是否存在一点P ，使得PCB CBA ACB ∠<∠-∠？若存在，求出P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】探索条件是一个不等关系，这样的问题都可仿照探索五的思想方法，寻找临界点（PCB CBA ACB ∠=∠-∠）【解析】在抛物线上（在B 点的右侧）存在一点P ，使PCB CBA ACB ∠<∠-∠．设CP 交x 轴于点D ，显然，()20B ，，()01C ，，当PCB CBA ACB ∠=∠-∠时，PCB ACB CBA ∠+∠=∠，∴ACB ADC △∽△，∴2AC AB AD =⋅，∴2AD =，∴()30D ，，∴直线CP ：113y x =-+，由211313122y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，有7239P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．∴当PCB CBA ACB ∠<∠-∠时，723x <<．【点评】 ①将问题特殊化，利用相似三角形，探讨三个角满足等量关系时点的坐标，在根据函数及图象的性质，得到解答；②第⑵问拓展；在抛物线上（在B 点的右侧）是否存在一点P ，使45PCB ∠=°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．训练3. 如图，平行四边形ABCD 的顶点()120A -，()09B ，，2104C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，抛物线2y ax bx c =++点A 、B ．⑴求点D 的坐标．⑵关于x 的方程221344ax bx c x ++-=个解，求抛物线的解析式．⑶在⑵的条件下，点P 为抛物线2y ax bx c =++一动点（不与A 、B 重合），过点P 作x 交线段CD 于Q ，若45AQD BQC =︒-∠∠【解析】 ⑴ 15124D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．⑵ 把()120A -，，()09B ，代入2y ax bx c =++中得3124b a =+∴23213129444ax a x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭即2151204ax ax ++=∴()212150a a ∆=-=，0a =（舍），2548a =∴2b =，抛物线的解析式为252948y x x =++．⑶ 3-或 5.4-．题型一存在问题中的全等和相似构造巩固练习【练习1】如图，二次函数2162y x =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，顶点为N ．⑴设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使AQP ABP △≌△？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．⑵若直线AK 交y 轴于点K ，且AOK NOA △∽△，求点K 的坐标.（泰州中考改编）【解析】⑴ 存在．设抛物线顶点为()06N ，，在RtAON △中，易得AN =，于是以A 点为圆心， AB =x 上方一定有交点()1Q N 、2Q ，如图1，连接1AQ ，再作1Q AB ∠平分线1AP 交抛物线于1P ，连接1BP 、11PQ ，此时由“边角边”易得111AQ P ABP △≌△．（或连接2AQ ，再作2Q AB ∠平分线2AP 交抛物线于2P ，连接2BP 、22P Q ，此时由“边角边”易得222AQ P ABP △≌△） ⑵∵AOK NOA △∽△∴AO OKNO OA ==2OK = 故点K 的坐标为()02，或)02-，.题型二存在问题中的角度巩固练习【练习2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为()10，.⑴若点P 使得60POA ∠=︒，求出点P 的坐标；⑵若点P 使得直线AP 与x 轴正方向的夹角最小，请求出点P 的坐标．【解析】 ⑴ 设点P 的坐标为()2x x ，，如图1，过点P 作PH x⊥轴于点H ,2tan PH x POH OH x ∠==∴x =P 的坐标为)3.⑵ 如图2，直线PA 经过点()10，，设PA 的解析式为y kx k =-．联立方程组2y x y kx k ⎧=⎨=-⎩，当PAx ∠最小时，方程2x kx k =-有唯一解， ()240k k ∆=--=，0k =（舍），4k =，故直线PA 的解析式为44y x =-．点P 的坐标为()24，．。

九年级数学压轴学习讲义点的存在性问题

(3)xy ABCPE Ox yAB C Q O(2)1.（江津市）26.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点，此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+，∴C 的坐标为：(0，3)直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解 ∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(－1，2)（3）答：存在。

理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+ABC∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，) 2.（某某市）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）解：（1）由抛物线C 1：()522-+=x a y 得顶点P 的为（-2，-5）∵点B （1，0）在抛物线C 1上∴()52102-+=a 解得，a ＝59（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称∴PM 过点B ，且PB ＝MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3 ∴顶点M 的坐标为（4，5）抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到 ∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y （3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称由（2）得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为（m ，5）作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G 作PK ⊥NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上∴EF ＝AB ＝2BH ＝6∴FG ＝3，点F 坐标为（m +3，0）H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5），根据勾股定理得 PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50 NF 2＝52+32＝34① 当∠PNF ＝90º时，PN 2+NF 2＝PF 2，解得m ＝443，∴Q 点坐标为（193，0）②当∠PFN ＝90º时，PF 2+NF 2＝PN 2，解得m ＝103，∴Q 点坐标为（23，0）③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形．3.（某某市）25．（14分）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、．（1）求点A B F 、、的坐标；（2）求证：CF DF ⊥；（3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）解:方法一，如图1，当1x =-时,14y =；当4x =时,4y = ∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1，4()44B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+（图1）备用图（第25题图）（图1）则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为314y x =+当0x =时,1y =()01F ∴，方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x =BGF BHA △∽△ BG FG BH AH ∴=441544x -∴=-解得1x =()0F ∴，1(2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF ==22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴=在Rt DEF △中，42DE EF ==，222224220DF DE EF ∴=+=+=DF ∴=由（1）得()()1141C D ---，，，5CD ∴=22525CD ∴==222CF DF CD ∴+=90CFD ∴∠=°∴CF DF ⊥方法二：由（1）知5544AF AC ===，AF AC ∴=同理：BF BD =ACF AFC ∴∠=∠AC EF ∥ACF CFO ∴∠=∠AFC CFO ∴∠=∠同理：BFD OFD ∠=∠90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=°即CF DF ⊥（3）存在.解：如图3，作PM x ⊥轴，垂足为点M 又PQ OP ⊥Rt Rt OPM OQP ∴△∽△ PM OM PQ OP ∴=PQ PMOP OM ∴= 设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则214PM x OM x ==，（图2）图3①当Rt Rt QPO CFD △∽△时，51225PQ CF OP DF ===21142xPM OMx ∴==解得2x =()121P ∴， ②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时，2525PQ DF OP CF ===2142xPM OM x ∴==解得8x =()2816P ∴，综上，存在点()121P ，、()2816P ，使得OPQ △与CDF △相似. 4.如图①，正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） ······················································································· 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度．（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，228610AB =+过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．A B CDF H M Py∴所求C 点的坐标为（14，12）．（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==．1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，．∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10）说明:未注明自变量的取值X 围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时，△OPQ 的面积最大．此时P 的坐标为（9415，5310）．（4）当53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等．5.（某某市）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。

点的性质与判定练习题

点的性质与判定练习题
1. 问题描述
请判断以下点的性质：
- 点A(-2, 5)
- 点B(0, 0)
- 点C(4, -3)
2. 解题思路
要判断一个点的性质，可以通过观察其坐标值来得出结论。

以下是判断点性质时需要考虑的几种情况：
- 当一个点的横坐标和纵坐标都是正数时，这个点位于第一象限。

- 当一个点的横坐标为负数，纵坐标为正数时，这个点位于第二象限。

- 当一个点的横坐标和纵坐标都是负数时，这个点位于第三象限。

- 当一个点的横坐标为正数，纵坐标为负数时，这个点位于第四象限。

- 当一个点的横坐标或纵坐标为零时，这个点位于坐标轴上。

3. 题目答案
根据以上判断规则，我们可以判断以下点的性质：
- 点A(-2, 5)：位于第二象限
- 点B(0, 0)：位于坐标轴上
- 点C(4, -3)：位于第四象限
4. 总结
通过观察一个点的横坐标和纵坐标，我们可以判断该点所处的象限或是否位于坐标轴上。

对于给定的点A(-2, 5)、点B(0, 0)和点C(4, -3)，根据判断规则我们可以得出它们的性质分别为位于第二象限、位于坐标轴上和位于第四象限。

以上是点的性质与判定的练习题的解答。

希望对你有帮助！。

数学：存在性问题专项训练(二九年级训练考试卷)

学生做题前请先回答以下问题问题1：菱形存在性问题通常转化成什么问题来处理？利用的是菱形的哪个判定？问题2：正方形的存在性问题通常转化为什么问题来处理？利用的是正方形的哪个判定？问题3：对比平行四边形存在性，菱形的存在性以及正方形的存在性问题处理思路，总结处理存在性问题的一般方法．存在性问题专项训练（二）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，已知抛物线经过点A（-2，0）及原点O，点B在抛物线上，点C在抛物线的对称轴上，若以点A，O，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标为( )A. B.C. D.2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线．点P从点C出发沿y轴负方向运动，点Q从点B出发沿x轴正方向运动，P，Q两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，过点P作x轴的平行线交抛物线于点E．设运动的时间为t（秒），若以P，A，Q，E为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为( )A. B.C. D.3.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上的一点A，抛物线的顶点为E，对称轴与x轴交于点D．N是坐标平面内任一点，M是对称轴上的一点，使得以N，A，E，M为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为( )A.B.C.D.4.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点P．M为线段OA上一动点，过点M作MN⊥PM，交AP于点N．Q为坐标平面内一点，若以A，M，N，Q为顶点的四边形为菱形，则点M的横坐标为( )A.8B.C.6D.5.如图，抛物线交x轴于A，C两点（点A在点C的右侧），交y轴于点B．点D的坐标为（-1，0），若点P是直线AB上的动点，点Q是坐标平面内一点，则当以A，D，P，Q为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标为( )A.（-1，4）或（1，2）B.（-1，4），（1，2）或（5，-2）C.（3，4）或（1，-2）D.（2，2）或（-1，-2）6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-1，0)，B(4，0)．点M，N在x轴上，且点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m，将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．E是抛物线对称轴上一点，F是坐标平面内一点，若以D，N，E，F为顶点的四边形是以DN为边的正方形，则m的值为( )A. B.C. D.。

专题二次函数压轴训练题(四)---菱形、正方形存在性问题(原卷版)

（苏科版）九年级下册数学《第5章二次函数》专题二次函数压轴训练题（四）------菱形、正方形存在性问题★★★方法指引：◎菱形的存在性问题(常为含60”角的菱形)通常有两大类:1、已知三人定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两人定点确定线段为要探究的券形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:2、已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:3、计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解◎正方形存在性问题正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标.【典例1】（2022春•盱眙县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ，作直线BC ，点P 是抛物线在第四象限上一个动点（点P 不与点B ，C 重合），连结PB ，PC ，以PB ，PC 为边作▱CPBD ，点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）当▱CPBD 有两个顶点在x 轴上时，点P 的坐标为；（3）当▱CPBD 是菱形时，求m的值．【变式1-1】如图，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，D 两点，与y 轴交于点C ，点B 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）若抛物线上存在一点E ，使得S △EAB ＝S △CAD ，求点E 的坐标；（3）若平面直角坐标系内存在动点P ，抛物线上是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022秋•代县月考）如图，抛物线y =12x 2−32x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点E ，使OE ＝EC ，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点F 在直线l 上运动，点G 在平面内运动，若以点B ，C ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，且BC 为边，直接写出点F 的坐标．【变式1-3】（2022•抚顺县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-4】已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-5】（2023•鹤山市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y=23x﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n=163，求k的值；（3）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-6】（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，且OA＝1，OC＝4．（1）求抛物线解析式；（2）在该抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知点Q（5，3）和该抛物线上一动点M，试求当|QM﹣AM|的值最大时点M的坐标，并直接写出|QM﹣AM|的最大值．【变式1-8】如图，已知抛物线y=16x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值；（3）如图2，将抛物线向右平移6个单位，向上平移2个单位，得到新的抛物线y'，新抛物线y'的顶点为D，是否在新抛物线y'的对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-9】（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-10】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（﹣2，9），抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），连接DB、DC，作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；（3）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【典例2】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C 在x轴的下方，且OA＝OC＝5．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标．【变式2-1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2nx﹣3n2（n＞0）与x轴交于A、B，与y轴交于点C．（1）求A、B及顶点的坐标（用含n的代数式表示）；（2）如图所示，当AB＝4时，D为（4，﹣1），在抛物线上是否存在点P使得以线段PD为直径的圆经过坐标原点O若点P存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；已知E在x轴上，F在抛物线上，G为平面内一点，若以B、E、F，G为顶点的四边形是正方形，请直接写出E点所有可能的坐标．【变2-2】（2022秋•越城区期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．【变2-3】（2023春•龙华区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，点P为直线BC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求△PBC的面积；（3）若点P的坐标为（2，3），连接PA，交直线BC于点E，交y轴于点F，点H在抛物线上，过H 作HK∥y轴，交直线AP于点K．点Q是平面内一点，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．【变式2-4】如图，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D（2，32）在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得点Q在x轴上，点M在坐标平面内，四边形CQPM是正方形，若存在求点P的横坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-5】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由．（3）直线BD上有一点P，使得PE＝PC时，过P作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．【变式2-6】如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，﹣3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为3时，求出点P的坐标；（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，点R是坐标平面内一点，当以点C、M、N、R为顶点的四边形为正方形时，请直接写出此时点R的坐标．【变式2-7】（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．。

二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)(学生版)--2023-2024学年九年级数学上册重难点

二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)【类型一存在性之等腰三角形】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．2如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A-1,0，B2,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若F为抛物线上一点，连接BC，是否存在以BC为底的等腰△BCF？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B-3,0两点，与x轴的另一个交点为A．,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求出点E的坐标；(3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．4如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B(-3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线y=mx+n经过B，C两点，则m=；n=；(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【类型二存在性之直角三角形】5如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x-2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．(1)求抛物线的解析式；(2)点F是抛物线上的动点，当∠OEF=∠BAE时，求点F的横坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．(4)抛物线上(AB下方)是否存在点M，使得∠ABM=∠ABO？若存在，求出点M到y轴的距离，若不存在，请说明理由．6如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，与y轴交于点C0,3，与x轴交于点A和点B．(1)求抛物线的解析式和点A、B的坐标；(2)设点P为抛物线的对称轴直线x=2上的一个动点，求使△PBC为直角三角形的点P的坐标．7如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx-3与直线l:y=x+1交于A，B两点，点A的坐标为-1，0．(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(2)已知抛物线与x轴有2个交点，右侧交点为C，点P为线段AB上任意一点(不含端点)，若△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标．8如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为1,0．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点P，使|PB-PC|最大，求出点P的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【类型三存在性之等腰直角三角形】9如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23x2+43x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．(1)求直线BC的解析式；(2)过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1-S2的值最大时，求P点的坐标和S1-S2的最大值；(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A′C′(线段A'C'始终在直线l左侧)，是否存在以A′，C′，G为顶点的等腰直角△A′C′G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．11如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．12如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中A的坐标为(0,2)，直角顶点C的坐标为(-1,0)，点B在抛物线y=ax2+ax-2上．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，连结BD、CD，求△DBC的面积；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四存在性之平行四边形】13在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0)，(3,0)和0,3．(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当AN+MN有最大值时，求出抛物线上点M的坐标；(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0))的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．14如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；(2)在直线BC的下方的抛物线上存在一点M，使得△BCM的面积最大，请求出点M的坐标(3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作EF∥AD交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．15如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c(b、c为常数)的顶点坐标为32,-258，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．(1)求b、c的值；(2)求点A、B的坐标；(3)求证：∠ADO=∠DBO；(4)点P在抛物线y=-12x2+bx+c上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．16如图，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是第三象限抛物线上的动点，连接AC，当△ACD的面积为3时，求出此时点D的坐标；(3)将抛物线y=ax2+2ax+c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，N在原抛物线的对称轴上，H为平移后的抛物线上一点，当以A、M、H、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点H的坐标．【类型五存在性之菱形】17如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A-1,0．,B3,0,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18综合与探究：如图，已知抛物线y=-38x2+94x+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC 交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；(2)当△CDB是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；(3)直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19如图，直线y =mx +n m ≠0 ．与抛物线y =-x 2+bx +c 交于A -1,0 ，B 2,3 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 在抛物线上，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标；(3)若点P 在抛物线上，PQ ⊥OA 交直线AB 于点Q ，点M 在坐标平面内，当以B ,P ,Q ,M 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．20如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32x2+32x+3与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线BC的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，过点P作x轴的平行线交BC于点E，求PE+3PD的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，在(2)中PE+3PD取得最大值的条件下，将抛物线y=-32x2+32x+3沿着射线CB方向平移得到新抛物线y ，且新抛物线y 经过线段BC的中点F，新抛物线y 与y轴交于点M，点N为新抛物线y 对称轴上一点，点Q为坐标平面内一点，若以点P，Q，M，N为顶点的四边形是以PN为边的菱形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．【类型六存在性之矩形】21如图①，抛物线y=ax2+x+c a≠0与x轴交于A(-2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)如图②．过点P作PF⊥CE，垂足为点F，当CF=EF时，请求出m的值；(3)如图③，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O 恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．22已知抛物线y =ax 2+bx -4a ≠0 交x 轴于点A 4,0 和点B -2,0 ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，当PD +PE 取最大值时，求点P 的坐标及PD +PE 最大值．(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点且AC 为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M 、N 的坐标，不存在，请说明理由．23综合与探究如图，抛物线y=ax2-3x+c a≠0与x轴交于A(4，0)，C两点，交y轴于点B(0，-4)，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当P在AB下方时，求△ABP面积的最大值；(3)当∠ABP=15°时，△BOP的面积为；(4)点M为抛物线对称轴上的一点，点N为平面内一点，是否存点M、点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；如不存在，请说明理由．24如图，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-83x+c(a≠0)经过A，C两点，交x轴的正半轴于点B，连接BC．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC=45°时，求点P的坐标；(3)已知点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿OC，CA运动．当点M，N运动到某一时刻时，在坐标平面内是否存在点D，使得以A，M，N，D为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【类型七存在性之正方形】25如图，抛物线y=-14x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,3，C为该抛物线图象上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求ACAB的值；(3)点D在抛物线上(点D在点C的左侧，不与点B重合)，点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A-2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，直线y=23x-4与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接MC，MD．(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．(2)当CM=EN时，求点M的横坐标．(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．27如图，已知直线y=-x+4与抛物线y=ax2+bx交于点A4,0两点，点P为抛物线上和B-1,5一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB于Q，PN⊥AB于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线AB下方时，求线段PN的最大值；(3)是否存在点P使得△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；(4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由28如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．【类型八存在性之相似三角形】29如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，经过点x+2交抛物线于点D，点D与点A的横坐标互为相反数，P是抛物线上一动点，连接A的直线y=-12AC．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在第一象限内的抛物线上，当∠PBA=2∠BAD时，求直线BP的表达式；(3)点Q在y轴上，若△DQP∽△COA，请直接写出点P的坐标．30如图，已知抛物线过三点O0,0，弧AB过线段OA的中点C，若点E为弧AB，B2,23，A8,0所在圆的圆心．(1)求该抛物线的解析式．(2)求圆心点E的坐标，并判断点E是否在这条抛物线上．(3)若弧BC的中点为P，是否在x轴上存在点M，使得△APB与△AMP相似？若存在，请求出点M的坐标，若不存在说明理由．31如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；32如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A-4,0，C0,-2．(1)求抛物线和直线AC的函数解析式；(2)若点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形CDAF的最大面积；(3)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，请直接写出点P的坐标．【类型九存在性之角度问题】33如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A-1,0为抛物线上、B4,0两点，与y轴交于点C，点D x,y 第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当△BCD的面积为4时，求点D的坐标；(3)该抛物线上是否存在点D，使得∠DCB=2∠ABC，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．34如图，抛物线y=ax2+bx-1a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．35如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx a>0经过点A(-1,3)和x轴正半轴上的点B，AO=OB．(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM，求∠AOM的度数；(3)联结AM、BM、AB，若在坐标轴上存在一点P，使∠OAP=∠ABM，求点P的坐标．36如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)与x轴交于A1,0两点，，B3,0与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为0,-1，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．(1)求该抛物线的解析式．(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t>0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

2013—2014学年度初三数学培优班练习卷(函数图象中点的存在性问题)

2013—2014学年度初三数学培优班练习卷（函数图象中点的存在性问题）班级座号姓名一、选择题（每小题2分，共20分）1、如图1所示，一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴的交点分别为A、B，若C为OB的中点，则点C到直线AB的距离CD等于（）A．1 B．2、如图2所示，点A是函数4(0)y xx=>图象上的一个动点，点B为线段OA的中点，则过点A的⊙B的面积不可能是（）A．4π B．3π C．2π D．π3、“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示，试判断a+b+c与0的大小．”一同学是这样回答的：“由图象可知：当x=1时y＜0，所以a+b+c＜0．”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A．换元法 B．配方法 C．数形结合法 D．分类讨论法4、沪杭高速铁路已开工建设，某校研究性学习以此为课题，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图4所示，若v是关于t的函数，图象为折线O-A-B-C，其中A（t1，350）， B（t2，350）， C（1780，0），四边形OABC的面积为70，则t2-t1=（）A．15B．316C．780D．311605、初三年级将要进行中招体育考试，为了提高成绩，同学们训练都很认真，黄佳同学在进行1分钟跳绳训练时，制定了适合自己训练方案，前20秒匀加速进行，20秒至40秒保持跳绳速度不变，后20秒继续匀加速进行，下列能反映黄佳同学1分钟内跳绳速度y个/秒与时间x秒关系为（）6、初三5班第一小组经过合作交流，从如图5所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中得出了下面四条信息：（1）a＞0；（2）b2-4ac＜0；（3）4a+2b+c＞0；（4）一次函数y=x+bc的图象一定不经过第二象限．你认为其中正确信息的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7、如果存在正整数ω和实数φ，使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）的图象如图6所示，且图象经过点（1，0），那么ω的值为（）A．4 B．3 C．2 D．18、设函数212xyx-=-，则下列命题正确的是（）①、图象上一定存在两点它们的连线平行于x轴；②、图象上任意两点的连线都不平行于y轴；③、图象关于直线y=x对称；④、图象关于原点对称．A．①③ B．②③ C．②④ D．③9、一个函数的图象如图7所示，给出以下结论：①当x=0时，函数值最大； ②当0＜x ＜2时，函数y 随x 的增大而减小； ③存在0＜x 0＜1，当x=x 0时，函数值为0．其中正确的结论是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③9、如图8所示，一次函数3+=x y 的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数x y 4=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①、△CEF 与△DEF 的面积相等； ②、△AOB ∽△FOE ；③、△DCE ≌△CDF ； ④、AC BD =．其中正确的结论是( )A ．①②B ． ①②③C ．①②③④D ． ②③④10、如图9所示，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（）二、填空题（每空题2分，共48分）11、如图10所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A 、B 、C ，已知A 点的坐标是（-3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是12、如图11所示，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4），N （0，-10），函数(0)ky x x=<的图象过点P ，则k=13、如图12所示，A 为反比例函数xky =图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点，若S △AOB ＝3，则k 的值为．14、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （3，0），⊙P 是以点P 为圆心，2为半径的圆。

中考数学重难点专题17 二次函数中几何存在性的问题(学生版)

中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题17二次函数中几何存在性的问题【典型例题】1．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线C1：y14-＝x212-x＋2交x轴于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．(1)求A，B两点的坐标．(2)M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以△B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．【专题训练】一、解答题1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+32x+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2）．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF△x轴交直线BC于点F，过P作PE△y轴交直线BC 于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；(3)将该抛物线沿着射线AC个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E，一次函数y＝x+1与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C，且D（4，5）．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQ△AD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；(3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE△y轴，分别交x轴，BC于点E，F．(1)求直线BC及抛物线的表达式；(2)点D在移动过程中，若存在△DCF＝△ACO，求线段DE的长；(3)在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C（0，2）．AB＝M（m，0）是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E 是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y2x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴。

部编数学九年级上册专题09二次函数最值和存在性问题解析版含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题09 二次函数的最值和存在性问题【思维导图】◎突破一：线段周长最值【技巧】二次函数求最值通常有两种类型：一种是通过几何性质线段公理和垂线段公理求最值，常常把折的问题转化成直的问题；另一种通过函数的性质求最值。

线段最值即把线段的两个端点用坐标表示出来，然后根据距离差，列出关于坐标的二次函数的表达式，化为顶点式，即可求出；在求周长的最值问题时，一般会和将军饮马问题有关，找到对称点，将周长问题转化为线段最值即可。

例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此抛物线的解析式和对称轴．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y＝12x2﹣32x﹣2；对称轴为x＝32(2)存在，P的坐标为（32，﹣54）【解析】【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：16402a b ca b cc-+=ìï++=íï=-î解得：12322abcì=ïïï=-íï=-ïïî∴此抛物线的解析式为y＝12x2﹣32x﹣2．∵抛物线解析式为y ＝12x 2﹣32x ﹣2＝213(22x -﹣258∴抛物线的对称轴为x ＝32 ．（2）解：存在，理由如下：连接PB 由抛物线的对称性得：PA ＝PB ∴△PAC 的周长PA +PC +AC ＝PB +PC +AC ，∴当B 、P 、C 三点共线时，PB +PC 最小，即当B 、P 、C 三点共线时，△PAC 的周长最小，设直线BC 的解析式为y ＝kx +m ，将点B （4，0），点C （0，﹣2）代入，得042k c m =+ìí-=î，解得：122k m ì=ïíï=-î，即直线BC 的解析式为y ＝12x ﹣2．令x ＝32，则有y ＝1322´﹣2＝﹣54，即点P 的坐标为（32，﹣54）．∴在此抛物线的对称轴上存在点P ，使△PAC 的周长最小，此时点P 的坐标为（32，﹣54）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．专训1．（2021·安徽宣城·九年级期中）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4（a ≠0）与x 轴交于A （﹣2，0），B （6，0）两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点M ．（1）求抛物线的函数关系式．（2）设点P 是直线l 上的一个动点，求△PAC 周长的最小值．【答案】（1）214433y x x =-++；（2）．【解析】【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）作点C 关于对称轴l 对称的点C ¢，连接PC ¢，先根据二次函数的解析式求出点C 的坐标，从而可得点C ¢的坐标，再根据二次函数的对称性可得PC PC ¢=，然后根据两点之间线段最短可得当点,,A P C ¢共线时，PAC △周长最小，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】解：（1）将点(2,0),(6,0)A B -代入24y ax bx =++得：424036640a b a b -+=ìí++=î，解得1343a b ì=-ïïíï=ïî，则抛物线的函数关系式为214433y x x =-++；（2）二次函数22141164(2)3333y x x x =-+=--++的对称轴为直线2x =，当0x =时，4y =，即(0,4)C，AC \==如图，作点C 关于对称轴l 对称的点C ¢，连接PC ¢，则(4,4)C ¢，PC PC ¢=，PAC \△周长为AC PA PC PA PC ¢++=+，\当PA PC ¢+取得最小值时，PAC △周长最小，由两点之间线段最短可知，当点,,A P C ¢共线时，PA PC ¢+最小，最小值为AC ¢，由两点之间的距离公式得：AC ¢==，则PAC △周长的最小值为【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．专训2．（2021··九年级专题练习）如图，已知抛物线y ＝－x 2＋4x ＋m 与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝2，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若P 为对称轴上一点，要使PA ＋PC 最小，求点P 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）P 点坐标为（2，－1）【解析】【分析】（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A 、B 的坐标，进而抛物线解析式可求；（2）连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB ，则有PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，所以此时PA ＋PC 最小，然后求出直线BC 的解析式，进而问题可求．【详解】解：（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，2121222x x x x +ì=ïíï-=î，∴1213x x =ìí=î，把点A 的坐标（1，0）代入24y x x m =-++得3m =-，所以抛物线的解析式为243y x x =-+-；（2）解：连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB，如图所示：∴PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，∴此时PA ＋PC 最小，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C （0，－3），B （3，0）代入得330b k b =-ìí+=î，解得31b k =-ìí=î，∴直线BC 的解析式为y ＝x －3，当x ＝2时，y ＝x －3＝2－3＝－1，∴P 点坐标为（2，－1）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．专训3．（2022·湖南常德·九年级期末）如图，抛物线2122y x bx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且点A 的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，并证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）顶点D 的坐标为（﹣32，258）；（2）△ABC 是直角三角形（3）当M 的坐标为（﹣32，54）【解析】【分析】(1)将点A 的坐标代入函数解析式求出b 的值，然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标；(2)根据二次函数的解析式分别得出点A 、B 、C 的坐标，然后分别求出AC 、BC 和AB 的长度，然后根据勾股定理的逆定理得出答案；(3)由抛物线的性质可知，点A 与点B 关于对称轴对称，则BC 与对称轴的交点就是点M ，根据一次函数的交点求法得出点M 的坐标．【详解】解：(1)∵点A （1，0）在抛物线2122y x bx =-++上，∴12-+b +2=0，解得，32b =-，抛物线的解析式为22131325222228y x x x æö=--+=-++ç÷èø，则顶点D 的坐标为325,28æö-ç÷èø；(2)△ABC 是直角三角形，证明：点C 的坐标为（0，2），即OC =2，当213x x 2022--+=，解得，x 1=﹣4，x 2=1，则点B 的坐标为（﹣4，0），即OB =4，OA =1，OB =4，∴AB =5，由勾股定理得，ACBC=\ AC 2+BC 2=25=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；(3)由抛物线的性质可知，点A 与点B 关于对称轴对称，连接BC 交对称轴于M ，此时△ACM 的周长最小，设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，由题意得，402k b b -+=ìí=î，解得，122k b ì=ïíï=î，则直线BC 的解析式为：122y x =+，当x =32-时，54y =，∴当M 的坐标为35,24æö-ç÷èø．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数的交点坐标，属于中等难度的题型．待定系数法求函数解析式是解决这个问题的关键．◎突破二：面积最值问题【技巧】一般会出现三角形的面积最值，利用“水平宽，铅垂高”，将面积最值转化为线段最值。

数学：点的存在性(二 九年级训练考试卷)