[课件]圆锥曲线二级结论与秒杀技巧突破(上)
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
圆锥曲线最最常用二级结论总结
圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。
经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
(完整版)圆锥曲线秒杀法
圆锥曲线秒杀法吴磊研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线部分小题用到的方法1、椭圆C：x²/8+y²/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为________注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法法一、隐函数求导直接对C：x²/8+y²/2=1求关于X导数可得x/4+y y'=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和(2,-1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x'(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜率K'=2K=1，椭圆化为圆C':x'²+y'²=2;很容易求得I'与C'相切于(-1,1)和(1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和 (2,-1)2、椭圆C：x²/4+y²/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:______法一、直接用柯西不等式椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离，l'=x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x²/4+y²/3)（4+12）≥(x-2y)²;-4≤b≤4;把4和-4代入l'；再利用平行线距离公式求I和l'距离，最大距离为√5所以0≤d≤√5法二、缩放坐标系椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离。
l'= x-2y+b=0；缩放y=√3/2 y'；椭圆C缩放后方程C'为: x²+y²=4；l'缩放后表达式为l''=x-√3y+b=0,C'与l''相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0≤d≤√53、过定点(4、0)的直线l与椭圆C：x²/4+y²=1有公共点，则直线l 斜率K取值范围为:______法一、直接用柯西不等式l:my=x-4,则x-my=4;构造柯西不等式，(x²/4+y²)（2²+ m²）≥(x-my)²可得，m²≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为-√3/6≤k≤√3/6法二、缩放坐标l:my=x-4， x=2x' C': x' ²+ y' ² =1; I':m y'=2 x'-4, 用点到直线距离公式，d=4/√(4+ m²)≤1；可解的m²≥12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为-√3/6≤k≤√3/6二、柯西不等式柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一，是求某些函数最值中和证明某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。
圆锥曲线二级结论
ห้องสมุดไป่ตู้2
(焦点在轴则将换成)
【双曲线】
【焦半径】设 P(0 , 0 )为双曲线上的一点，
当 P 在左支上时，|1 | = −0 − , |2 | = −0 +
当 P 在右支上时， |1 | = 0 + , |2 | = 0 −
如图，已知直线与椭圆交于、两点，为中点，
为原点，则 ⋅ = −
若 AB 为焦点弦，则过 A、B 的切线的交点 P 必在相应的准线
上且 ⊥ (椭圆准线为 =
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2
和 = −
（可以统一记为|0 | ± , 焦点在 y 轴上则为|0 | ± ）(近减远加)
2
【三角表示】若 双 曲 线 的 某 一 焦 点 为 F，且∠ = , 则|| = ∙cos ±
（当 P 与 F 同侧时取+，P 与 F 异侧时取−）
过 Q 作椭圆2 + 2 = 1(a > > 0)的两切线 QA、QB，若 QA⊥QB
于 Q，则 Q 的轨迹方程为圆 + = + ，这个圆称为“蒙日圆”
2
2
椭圆2 + 2 = 1( > > 0)的两顶点为1 (−, 0), 2 (, 0)
(当一直线 k=0，另一直线 k 不存在时取得)
若 AB、CD 的中点为 M、N，则 MN 过 x 轴上的定点。当 AB⊥CD 于左焦点时
AB⊥CD
定点为(−
+
, 0)；当 AB⊥CD 于右焦点时定点为 (
圆锥曲线二级结论速算公式和结论系统梳理
∙
三. 抛物线
(一) 方程、离心率的公式、结论
19. 切线方程、切点所在直线方程
过抛物线
2
0 上一点 , 的切线方程为
从抛物线
2
0 外一点 , 的切线，切点分别为, ，则直线
的方程为
(二) 焦点相关公式、结论
20. 过抛物线
3
交于, 两点，若⃗
⃗
|
0 ，则有|cos |
1
1
|
，若直线斜率存在，则有
1
(二) 焦点相关公式、结论
13. 焦半径倒数和（三大圆锥曲线均满足，双曲线需要在同一支）
1
过双曲线
0 的焦点 , 0 且不平行于坐标轴的弦，
0,
则两条焦半径的倒数和为
1
⃗
1
条焦半径的倒数和为
1
⃗
1
⃗
4
2
,
2
其中，为通径。
5.
焦点弦垂直平分线结论（三大圆锥曲线均适用）
1
过椭圆
0 的焦点 , 0 且不平行于坐标轴的弦，线段
⃗
的垂直平分线交轴于点，那么
6.
⃗
焦点三角形
1
椭圆
(1) cos
|
||
0 上一点 , ，∠
1，
|
，那么
∠ ；
(2) | || | ∈ , ；
(3) ⃗ ∙ ⃗ ∈ 2
(4) ⊿
, ；
tan
(三) 其它公式、结论
关于圆锥曲线的二级结论
关于圆锥曲线的二级结论一、概述圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，由于其广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域，因此对其性质和特征的研究具有重要意义。
本文将介绍圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。
二、焦点定理1.定义焦点定理是描述圆锥曲线与其两个焦点之间距离关系的定理。
对于一个圆锥曲线，它与其两个焦点之间的距离之和等于常数2a，即：PF1 + PF2 = 2a其中PF1和PF2分别表示曲线上任意一点到两个焦点的距离。
2.证明为了证明焦点定理，我们可以使用以下方法：（1）假设一个圆锥曲线C是由一个固定点F1和一个固定直线L（称为直母线）生成的。
将另一个焦点F2定义为C上任意一点P到直母线L垂直平分线与L交点。
（2）根据定义得到PF1 + PF2 = 2a。
（3）利用勾股定理可以得到：PF1^2 = d^2 + (a - x)^2PF2^2 = d^2 + (a + x)^2其中d表示点P到直母线L的距离，x表示点P到直母线L垂直平分线的距离。
（4）将PF1和PF2代入焦点定理公式中，得到：d^2 + (a - x)^2 + d^2 + (a + x)^2 = 4a^2化简可得：x^2 = a^2 - d^2这个结论表明，圆锥曲线上任意一点到其两个焦点的距离之和等于常数，与其到直母线的距离平方成比例。
三、切线方程和法线方程1.定义对于一个圆锥曲线C上任意一点P，我们可以定义它的切线为通过该点且与C相切的直线。
同样地，我们可以定义它的法线为通过该点且垂直于切线的直线。
对于一个二次曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），其在某个点处的切线和法线可以用以下方式求出：（1）切线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的切线方程为：y - y0 = F’(x0,y0)(x - x0)（2）法线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的法线方程为：y - y0 = -1/F’(x0,y0)(x - x0)2.举例以椭圆为例，设其方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1则在点P(x0,y0)处，有：F(x,y) = (x^2/a^2) + (y^2/b^2) - 1F’(x,y) = 2x/a^2 + 2y/b^2因此，该椭圆在点P(x0,y0)处的切线方程为：y - y0 = (-x/a^2)/(y/b^2)(x - x0)化简可得：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = -(x - x0)/a^2同样地，它的法线方程可以由切线方程变形得到：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = a^2/(y - y0)四、总结本文介绍了圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。
新人教版高中数学一轮复习圆锥曲线中常用的几个二级结论培优课件
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论,记住圆锥曲线中
的一些二级结论,能快速摆平圆锥曲线中常见的压轴小题.
学 基础知识
3
目录
类型一 巧用焦点三角形的面积、
学 基础知识
离心率,突破圆锥曲线压轴小题
4
目录
2 2
(1)在椭圆 + =1 上,△ PF1F2 为焦点三角形,如图所示.
25 9
例1
①若 θ=60°,则△ PF1F2 的面积是 3 3
23
目录
π
6
(4)设 F 为抛物线 C:y2=16x 的焦点,过 F 且倾斜角为 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐
标原点,则△ AOB 的面积为 64
[解析] 由 y
2
.
π
=16x,p=8,θ= ,由抛物线焦点三角形的面积公式得
6
2
SΔAOB=
=64.
2sin
24
目录
方法总结
2 2
4
2
2
2
9=a +b ,联立解得 a =4,b
2
2 2
=5,故双曲线的方程 - =1.故选
4 5
B.
15
目录
(2)已知双曲线 E 的中心为原点,F(1,0)是 E 的焦点,过点 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两
点,且 AB 的中点为 N(-4,-5),则双曲线 E 的渐近线的方程为( A ).
3
=5 3.
6
目录
方法总结
1.设点
2 2
P 是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2 为其焦点,记∠F1PF2=θ,则
高考总复习二轮数学精品课件 专题5 解析几何 培优拓展(九) 圆锥曲线的常用二级结论及其应用
依题意得,
1
2
= 4,
解得 a=1.
2 + 2 = 4 2 ,
- = 2,
(方法二)△1 2 =
2
2
2
=
=b
=4,Байду номын сангаас
π
∠12
tan
tan
4
2
又
2
4
2
e =1+ 2 =5,可得 2 =4,所以
a=1.
2
(2)已知椭圆25
2
π
+ 16 =1 的两个焦点是 F1,F2,M 是此椭圆上一点,且∠F1MF2=3 ,
故选 A.
对点训练
已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线
l1交抛物线于A,B两点,直线l2交抛物线于C,D两点,且|AB||CD|的最小值是64,
y2=4x
则抛物线的方程为__________.
解析 设直线 l1 的倾斜角为
则直线 l2 的倾斜角为
所以 16p2=64,所以 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x.
本 课 结 束
2
2
2
1
2
由结论 x1x2= ,得 kAkB==- =-1,所以 QA⊥QB,故 A 正确;
4
1 2
2
4
S△AOB=2sin =
=2 2,故 B 错误;
π
2sin
1
||
1
+
||
4
=
1-cos
1+cos
+
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论
高中数学-圆锥曲线常用的二级结论高中数学圆锥曲线常用的二级结论在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，而其中有一些常用的二级结论，能够帮助我们更高效地解决相关问题。
首先，我们来谈谈椭圆中的常用二级结论。
对于椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），有这样一个结论：过椭圆焦点的弦长公式。
假设弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛a^2c^2\cos^2\theta}＼）。
这个结论在求解与椭圆弦长相关的问题时非常有用。
再看双曲线，对于双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\），也有一个类似的过焦点弦长公式。
若弦所在直线的倾斜角为\（＼theta\），且过焦点\（F\），则弦长\（AB ＝＼frac{2ab^2}｛｜a^2 c^2\cos^2\theta|｝＼）。
接着说抛物线，以抛物线\（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\））为例。
有这样一个结论：抛物线上一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
假设点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线上，那么点\（P\）到焦点的距离就是\（x_0 ＋＼frac{p}｛2}＼）。
还有一个与抛物线相关的重要结论：若直线与抛物线相交于两点\（A(x_1, y_1)＼），＼（B(x_2, y_2)＼），且直线的方程为\（y ＝ kx＋ b\），联立抛物线方程可得\（k^2x^2 ＋（2kb 2p)x ＋ b^2 ＝ 0\），则\（x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{2p 2kb}｛k^2}＼），＼（x_1x_2 ＝＼frac{b^2}｛k^2}＼）。
接下来，我们深入探讨一下椭圆中与焦点三角形有关的结论。
焦点三角形是指以椭圆的两个焦点\（F_1\），＼（F_2\）以及椭圆上一点\（P\）所构成的三角形。
圆锥曲线二级结论速算公式和结论系统梳理 word版
圆锥曲线速算公式和结论一.椭圆(一)方程、离心率的公式、结论1.切线方程、切点所在直线方程过椭圆上一点的切线方程为从椭圆外一点的切线，切点分别为，则直线的方程为2.离心率范围若椭圆的焦点分别为，且椭圆上存在点使得1，则离心率的范围是例题1若椭圆的焦点分别为，且椭圆上存在点使得，则离心率的范围是_____________________例题2若椭圆的焦点分别为，且椭圆上存在点（异于长轴的端点）使得，则离心率的范围是_____________________3.过焦点直线的倾斜角与离心率（三大圆锥曲线都适用）过椭圆的焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若，则有，若直线斜率存在，则有(二)焦点相关公式、结论4.焦半径倒数和（三大圆锥曲线均满足，双曲线需要在同一支）过椭圆的焦点且不平行于坐标轴的弦，则两条焦半径的倒数和为其中，为通径。
5.焦点弦垂直平分线结论（三大圆锥曲线均适用）过椭圆的焦点且不平行于坐标轴的弦，线段的垂直平分线交轴于点，那么6.焦点三角形过椭圆上一点，，那么(1)；(2)；(3)；(4)(三)其它公式、结论7.中心三角形椭圆与直线交于，在中，边上的高是，则有(1)；(2)；(3).8.顶点三角形椭圆与直线交于，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线必过定点9.中点弦椭圆与直线交于，线段的中点为，则有二.双曲线(一)方程、离心率的公式、结论10.切线方程过双曲线，上一点的切线方程为11.若双曲线的焦点分别为，且双曲线上存在点使得，则离心率的范围是12.焦点到渐近线的距离双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为。
(二)焦点相关公式、结论13.焦点三角形双曲线上一点，，那么(1)；(2)(3)(4)14.顶点三角形双曲线与直线交于，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线必过定点15.焦半径倒数和（三大圆锥曲线均满足，双曲线需要在同一支）过椭圆的焦点且不平行于坐标轴的弦，则两条焦半径的倒数和为其中，为通径。
圆锥曲线中二级结论的应用 解析版
圆锥曲线中二级结论的应用圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．知识导图考点分类讲解 焦点弦问题1.已知F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与椭圆(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为椭圆的离心率，p 为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p =a 2c -c =b 2c.(1)椭圆焦半径公式：|AF 1|=ep 1-e ·cos α，|BF 1|=ep 1+e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.(3)焦点三角形的面积公式：P 为椭圆上异于长轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2·tan θ2.2.已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与双曲线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为双曲线离心率，p 为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p =c -a 2c =b 2c.图1 图2(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF 1|=ep 1+e ·cos α，|BF 1|=ep 1-e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF 1|=ep e ·cos α+1，|BF 1|=ep e ·cos α-1，1|AF 1|-1|BF 1|=2ep.(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.若直线与双曲线交于两支，则|AB |=||AF 1|-|BF 1||=2epe 2·cos 2α-1.(3)焦点三角形的面积公式：P 为双曲线上异于实轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2tan θ2.3.已知直线l 过焦点F 与抛物线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AFx =α，e 为抛物线离心率，p 为抛物线的焦点到对应准线的距离．(1)抛物线焦半径公式：|AF |=ep 1-e ·cos α=p 1-cos α，|BF |=ep 1+e ·cos α=p 1+cos α，1|AF |+1|BF |=2ep =2p.(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB |=|AF |+|BF |=2ep 1-e 2·cos 2α=2psin 2α.4.焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F 的直线交曲线于A ，B 两点，直线AB 的倾斜角为α，AF =λFB ，则曲线的离心率满足等式|e cos α|=λ-1λ+1 .易错提醒 (1)要注意公式中α的含义．(2)公式中的加减符号易混淆．(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．1(23-24高三上·北京海淀·阶段练习)已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，A ，B 两点在C 上，AF =2，BF =5，则直线AB 斜率的最小值和最大值分别是()A.-23，23B.-23，2 C.-2，23D.-2，2【答案】D【分析】利用焦半径公式求得A ，B 两点坐标，从而得到直线AB 斜率的情况，由此得解.【详解】由题意知F 1,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则由AF =2，得x 1+1=2，得x 1=1，代入C ：y 2=4x ，得y 1=±2，所以A 1,2 或A 1,-2 ；由BF =5，得x 2+1=5，得x 2=4，代入C ：y 2=4x ，得y 2=±4，所以B 4,4 或B 4,-4 ；所以直线AB 斜率有4-24-1=23,4+24-1=2,-4-24-1=-2,-4+24-1=-23四种情况，则直线AB 斜率的最小值为-2，最大值为2.故选：D .2(22-23高三上·四川广安·阶段练习)双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为y =-3x ，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到F 2的距离最小值为3，则双曲线方程为()A.x 23-y 2=1B.x 2-y 23=1 C.x 29-y 23=1D.x 23-y 29=1【答案】B【分析】求出双曲线左支上的点到F 2的距离最小值，可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程.【详解】双曲线左支上一点为P x 0,y 0 ，则x 0≤-a ，且y 20=b 2x 20a2-b 2，则PF 2 =x 0-c2+y 20=x 20-2cx 0+c 2+b 2x 20a2-b 2=c 2x 20a2-2cx 0+a 2=a -ca x 0≥a +c ，则a +c =3，由已知可得b a =3a +c =3b 2=c 2-a 2，解得a =1b =3c =2，因此，双曲线方程为x 2-y 23=1.故选：B .3(2024·江苏·一模)已知抛物线E ：x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 1交E 于点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，E 在B 处的切线为l 2，过A 作与l 2平行的直线l 3，交E 于另一点C x 3,y 3 ，记l 3与y 轴的交点为D ，则()A.y 1y 2=1B.x 1+x 3=3x 2C.AF =DFD.△ABC 面积的最小值为16【答案】ACD【分析】A 选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线l 1的方程为y =kx +1，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出y 1y 2=1；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到x 1+x 3=2x 2；C 选项，求出D 0,y 1+2 ，DF =y 1+1，结合焦半径公式求出AF =y 1+1，C 正确；D 选项，作出辅助线，结合B 选项，得到S △ABC =2S △ABM ，表达出S △ABM ，利用基本不等式求出最小值，从而得到△ABC 面积最小值.【详解】A 选项，由题意得F 0,1 ，准线方程为y =-1，直线l 1的斜率存在，故设直线l 1的方程为y =kx +1，联立x 2=4y ，得x 2-4k -4=0，x 1x 2=-4，故y 1y 2=116x 21x 22=1，A 正确；B 选项，y =12x ，直线l 2的斜率为12x 2，故直线l 3的方程为y -y 1=x 22x -x 1 ，即y =x 22x +y 1+2，联立x 2=4y ，得x 2-2x 2x -2y 1+2 =0，故x 1+x 3=2x 2，所以B 错误；C 选项，由直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，令x =0得y =x22-x 1 +y 1，又x 1x 2=-4，所以y =y 1+2，故D 0,y 1+2 ，故DF =y 1+1，又由焦半径公式得AF =y 1+1，所以C 正确；D 选项，不妨设x 1<x 2，过B 向l 3作垂线交l 3于M ，根据B 选项知，x 1+x 3=2x 2，故S △ABC =2S △ABM ，根据直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，当x =x 2时，y =x 22x 2-x 1 +y 1=x 222+y 1-x 1x 22=x 222+y 1+2，故M x 2,x 222+y 1+2，故BM =x 222+y 1+2-y 2=x 222+x 214-x 224=x 214+164x 21+2=14x 1+4x 12，故S △ABM =12x 1-x 2 ⋅14⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 1⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 13≥182x 1⋅4x 13=8，当且仅当x 1=4x 1，即x 1=2时，等号成立，故△ABC 的面积最小值为16，D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．4已知双曲线x 2-y 2=2，点F 1，F 2为其左、右焦点，点P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为()A.2B.22C.3D.23【答案】 D【解析】方法一 设θ=∠F 1PF 2=60°，则S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|sin θ，而cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，且||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，所以|PF 1||PF 2|=2b 21-cos θ，故S △F 1PF 2=b 2sin θ1-cos θ=2 3.方法二 双曲线焦点三角形的面积S △F 1PF 2=b 2tan θ2=2 3.考点二等角的性质1.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，过长轴上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应的点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA =∠OGB (如图1)．图1 图2 图32.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，过实轴所在直线上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA =∠NGB (如图2)．3.已知抛物线y 2=2px (p >0)，过抛物线对称轴上任意一点N (a ,0)的一条弦的端点A ，B 与对应点G (-a ,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA =∠OGB (如图3)．规律方法 根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据．1(23-24高三上·天津南开·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，若椭圆的焦距为4且经过点-2,2，过点T-6,0的直线交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆方程；(2)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(3)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x28+y24=1(2)面积最大值为22，直线PQ:x+y+6=0或x-y+6=0(3)存在，S-463,0【分析】(1)由焦距是4求出c，将-2,2代入椭圆方程求出a,b，得到答案；(2)根据题意设直线PQ:x=my-6，与椭圆方程联立可得y1+y2,y1y2，由S△OPQ=12×OT×y1-y2，代入运算化简，利用不等式求出△OPQ面积的最大值；(3)根据题意有k PS+k QS=0，转化为2my1y2-6+sy1+y2=0，由第二问代入运算得解.【详解】(1)由题意，c=2，将点-2,2代入椭圆方程得a2-b2=44a2+2b2=1 ，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)根据题意知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ:x=my-6，P x1,y1，Q x2,y2，联立x=my-6x28+y24=1，消去x整理得m2+2y2-26my-2=0，∴y1+y2=26mm2+2，y1y2=-2m2+2，且Δ=32m2+16>0，∴S△OPQ=S△OTP+S△OTQ=12×OT×y1-y2=62×y1+y22-4y1y2=26×2m2+1m2+2，令t=2m2+1，t≥1，∴S△OPQ=46tt2+3=46t+3t≤4623=22，当且仅当t=3t，即t=3，即m=±1时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为22，此时直线PQ的方程为x+y+6=0或x-y+6=0.(3)在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST ，理由如下：因为∠PST =∠QST ，所以k PS +k QS =0，即y 1x 1-s +y 2x 2-s=0，整理得y 1x 2-s +y 2x 1-s =0，即y 1my 2-6-s +y 2my 1-6-s =0，即2my 1y 2-6+s y 1+y 2 =0，则2m ×-2m 2+2-6+s×26m m 2+2=0，又m ≠0，解得s =-463，所以在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST .2(2024·云南昆明·模拟预测)已知双曲线E ：x 2a2-y 23=1a >0 的右焦点为F 2c ,0 ，一条渐近线方程为y =23cx ．(1)求双曲线E 的方程；(2)是否存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，15x ±5y -215=0．【分析】(1)根据渐近线方程和c 2=a 2+b 2求a ,c 的值，即可得到双曲线E 的方程；(2)假设存在直线l ，由∠F 1AB =∠F 1BA 得F 1A =F 1B ，取AB 的中点M ，则k F 1M ⋅k MF 2=-1，进而得x 20+y 20=4；又利用x 21-y 213=1x 22-y 223=1得y 20=3x 20-6x 0，于是联立方程组可得M 的坐标，从而得到直线l 的斜率并得出直线l 的方程.【详解】(1)因为双曲线E 的一条渐近线方程为y =23c x ，所以b a =23c，又b 2=3，因此c =2a ，又a 2+b 2=c 2，a =1，c =2；则E 的方程为x 2-y 23=1．(2)假设存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点为M x 0,y 0 ，又F 1-2,0 ,F 22,0 ，由∠F 1AB =∠F 1BA 可知△F 1AB 为等腰三角形，F 1A =F 1B ，且直线l 不与x 轴重合，于是F 1M ⊥AB ，即F 1M ⊥MF 2，因此k F 1M ⋅k MF 2=-1，y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=-1，x 20+y 20=4(Ⅰ)点A ,B 在双曲线E 上，所以x 21-y 213=1①x 22-y 223=1②，①-②化简整理得：y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，y 0x 0⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，即k OM ⋅k AB =3，可得y 0x 0⋅y 0x 0-2=3，y 20=3x 20-6x 0(Ⅱ)联立(Ⅰ)(Ⅱ)得：x 20+y 20=4y 20=3x 20-6x 0 ，2x 20-3x 0-2=0，x 0-2 2x 0+1 =0，解得x 0=2y 0=0 (舍去)，x 0=-12y 0=±152适合题意，则M -12,±152 ；由k OM ⋅k AB =3得k AB =3×±115=±155，所以直线l 的方程为：y =±155x -2 ，即15x ±5y -215=0．3(23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试)已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24+y 23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点P 4,0 ，交抛物线D 于A 、B 两点，坐标原点O 为PQ 中点，求证：∠AQP =∠BQP ；(3)是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析(3)存在，x =3【分析】(1)由题意，设抛物线方程y 2=2px (p >0),由a 2-b 2=4-3=1，得c =1.由此能求出抛物线D 的方程；(2)设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ,故当l ⊥x 轴时由抛物线的对称性知∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，由此能够证明∠AQP =∠BQP .(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，故|EG |2=|MG |2-|ME |2，由此能够推出存在直线m ：x =3满足题意．【详解】(1)由题意，可设抛物线方程为y 2=2px (p >0)．由a 2-b 2=4-3=1，得c =1．∴抛物线的焦点为1,0 ，∴p =2．∴抛物线D 的方程为y 2=4x (2)证明：设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ，故当l ⊥x 轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，则x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2x 1x 2=16则k AQ =y 1x 1+4=k x 1-4 x 1+4，k BQ =y 2x 2+4=k x 2-4 x 2+4k AQ +k BQ =k x 1-4 x 1+4+k x 2-4 x 2+4=2k x 1x 2-16x 1+4 x 2+4=0则∠AQP =∠BQP ，综上证知，∠AQP =∠BQP ，(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，∴|EG |2=|MG |2-|ME |2，即EG 2=MA 2-ME 2=x 1-42+y 214-x 1+42-t2 =14y 21+x 1-4 2+x 1+4 24+t x 1+4 -t 2=x 1-4x 1+t (x 1+4)-t 2=t -3 x 1+4t -t 2，当t =3时，|EG |2=3，此时直线m 被以AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值2 3.因此存在直线m ：x =3满足题意.4椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为26.(1)求椭圆C 的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解 (1)∵e=2 2，e2=c2a2=12，∴a2=2c2=b2+c2，∴b2=c2，a2=2b2，椭圆方程化为x22b2+y2b2=1，由题意知，椭圆过点6，1，∴6 2b2+1b2=1，解得b2=4，a2=8，∴椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，由x2+2y2=8，y=kx+1，得(2k2+1)x2+4kx-6=0，Δ=16k2+24(2k2+1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-62k2+1，假设存在定点Q(0，t)(t≠1)符合题意，∵∠PQA=∠PQB，∴k QA=-k QB，∴k QA+k QB=y1-tx1+y2-tx2=x2y1+x1y2-t(x1+x2)x1x2=x2(kx1+1)+x1(kx2+1)-t(x1+x2)x1x2=2kx1x2+(1-t)(x1+x2)x1x2=2k+(1-t)-4k-6=2k(4-t)3=0，∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4-t =0，即t =4，∴Q (0,4)，当直线l 的斜率不存在时，A ，B (不妨设点A 在x 轴上方)两点分别为椭圆的上下顶点(0,2)，(0，-2)，显然此时∠PQA =∠PQB ，综上，存在定点Q (0,4)满足题意．考点三切线、切点弦方程1.已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2+y 0yb 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0yb 2=1.2.若点P (x 0，y 0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P (x 0，y 0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程是椭圆中x 0x a 2+y 0y b 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0y b2=1.规律方法 运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果．1(2024·湖北·二模)如图，O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=2x 的焦点，过F 的直线交抛物线于A ,B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE =EF ；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：|AD |2=AO ⋅AG ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立直线和抛物线方程求得D -12,y 2 ，E 0,y 22，即可得DE =EF ，得证；(2)写出过点B 的l 的垂线方程，解得交点G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2 ，再由相似比即可得y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 ，即证得|AD |2=AO ⋅AG .【详解】(1)易知抛物线焦点F 12,0，准线方程为x =-12；设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x =my +12y 2=2x得y 2-2my -1=0，可得Δ=4m 2+4>0y 1+y 2=2m y 1y 2=-1，所以y 1=-1y 2；不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，对于y =-2x ,y =-12x；可得l 的斜率为-12x 2-1y 22=1y 2所以l 的方程为y -y 2=1y 2x -x 2 ，即为y =1y 2x +y 22.令x =0得E 0,y 22直线OA 的方程为y =y 1x 1x =2y 1x =-2y 2x ，令x =-12得D -12,y 2 ．又F 12,0 ，所以DE =EF即DE =EF 得证．(2)方法1：由(1)中l 的斜率为1y 2可得过点B 的l 的垂线斜率为-y 2，所以过点B 的l 的垂线的方程为y -y 2=-y 2x -x 2 ，即y =-y 2x +y 21+y 222，如下图所示：联立y =-y 2x +y 21+y 222y =-2y 2x，解得G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2要证明|AD |2=AO ⋅AG ，因为A ,O ,D ,G 四点共线，只需证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 (*)．∵y 2-y 1 2=y 2+1y 22=1+y 222y 22，y 1 ⋅y G -y 1 =-1y 2y 2y 22+2 -y 1 =1+y 22 2y 22．所以(*)成立，|AD |2=AO ⋅AG 得证.方法2：由D -12,y 2 ,B x 2,y 2 知DB 与x 轴平行，∴AF AB=AO AD①又DF 的斜率为-y 2,BG 的斜率也为-y 2，所以DF 与BG 平行，∴AF AB=AD AG②，由①②得∴AO AD=AD AG，即|AD |2=AO ⋅AG 得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到y =-y 2x +y 21+y 222 y =-2y 2x，解出点G 的坐标，从而转化为证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 即可.2(2024高三·全国·专题练习)已知点P 是抛物线x 2=4y 上一个动点，过点作圆x 2+(y -4)2=1的两条切线，切点分别为M 、N ，则线段MN 长度的最小值为．【答案】333/1333【分析】设P x 0,x 204 ，由圆的切线方程可得MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，结合点到直线的距离公式以及二次函数的性质可求得MN 的最小值.【详解】圆x 2+(y -4)2=1的圆心C 0,4 ，半径r =1．设P x 0,x 204 ，故MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，弦心距d =1x 20+x 204-42=1x 4016-x 20+16，当x 20=8时，d 取得最大值为36，则MN 取得最小值12-362=333．故答案为：333.3(2023·锦州模拟)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点0，2 ，且离心率为63.F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：x =3上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF .(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM ，△BFM 的面积分别为S 1和S 2，当|S 1-S 2|取最大值时，求直线AB 的方程．【解析】(1)证明 如图，由题意可得b =2，c a =63，又因为a2=b2+c2，所以a2=6，b2=2，椭圆E的方程为x26+y22=1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为x1x6+y1y2=1，同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为x2x6+y2y2=1.因为点P在直线P A，PB上，所以x12+y1y02=1，x22+y2y02=1，所以直线AB的方程为x2+y0y2=1，则直线AB过定点M(2,0)．(2)解 设直线AB的方程为x=ty+2，联立方程x=ty+2，x26+y22=1，得(t2+3)y2+4ty-2=0，故y1+y2=-4tt2+3，y1y2=-2t2+3，|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=8|t| t2+3=8 |t|+3|t|≤823=433，当且仅当|t|=3|t|，即t=±3时取等号，此时直线AB的方程为x=±3y+2.4过点Q(-1，-1)作已知直线l：y=14x+1的平行线，交双曲线x24-y2=1于点M，N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线P A，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上．【解析】证明 (1)直线MN的方程为y=14(x-3)．代入双曲线方程x24-y2=1，得3x2+6x-25=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，故x1+x2=-2.于是，y1+y2=14(x1+x2-6)=-2.故Q(-1，-1)是线段MN的中点．(2)双曲线x24-y2=1过点M，N的切线方程分别为l1：x14x-y1y=1，l2：x24x-y2y=1.两式相加并将x1+x2=-2，y1+y2=-2代入得y=14x+1.这说明，直线l1，l2的交点在直线l：y=14x+1上，即三条直线l，l1，l2相交于同一点．(3)设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则P A，PB的方程分别为x3 4x-y3y=1和x44x-y4y=1.因为点P在两条直线上，所以x34x0-y3y0=1，x44x0-y4y0=1.这表明，点A，B都在直线x04x-y0y=1上，即直线AB的方程为x04x-y0y=1.又y0=x04+1，代入整理得x04(x-y)-(y+1)=0，显然，无论x0取什么值(即无论P为直线l上哪一点)，点Q(-1，-1)都在直线AB上．强化训练一、单选题1(2024·山东济南·一模)与抛物线x2=2y和圆x2+(y+1)2=1都相切的直线的条数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线x2=2y相切的切点坐标为t,1 2 t2，由y=12x2，求导得y =x，因此抛物线x2=2y在点t,1 2 t2处的切线方程为y-12t2=t(x-t)，即tx-y-12t2=0，依题意，此切线与圆x 2+(y +1)2=1相切，于是1-12t 2t 2+1=1，解得t =0或t =±22，所以所求切线条数为3.故选：D2(2024·广东·模拟预测)抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．则AF +4BF 的最小值为()A.6 B.7C.8D.9【答案】D【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知F 1,0 ，设l AB :x =ky +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立直线AB 与抛物线方程y 2=4x x =ky +1 ⇒y 2-4ky -4=0⇒y 1y 2=-4，所以x 1x 2=y 214⋅y 224=1，而AF +4BF =x 1+1+4x 2+1 =x 1+4x 2+5≥2x 1⋅4x 2+5=9.当且仅当x 1=2,x 2=12时取得等号.故选：D3(2022·河南·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y =2x ，过双曲线C 的右焦点F 2作倾斜角为π3的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为36，则双曲线C 的标准方程为()A.x 22-y 24=1B.x 24-y 22=1C.x 2-y 22=1 D.x 22-y 2=1【答案】C【分析】由题意可得b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，可得直线l 为y =3(x -3a )，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和△AF 1B 的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，所以b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a 2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，所以直线l 为y =tanπ3(x -3a )=3(x -3a )，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由x 2a 2-y 22a2=1y =3(x -3a )，得x 2-63ax +11a 2=0，则x 1+x 2=63a ,x 1x 2=11a 2，所以AB =1+3⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2108a 2-44a 2=16a ，因为AF 1 =AF 2 +2a ，BF 1 =BF 2 +2a ，所以AF 1 +BF 1 =AF 2 +BF 2 +4a =AB +4a =20a ，因为△AF 1B 的周长为36，所以AF 1 +BF 1 +AB =36，所以20a +16a =36，得a =1，所以双曲线方程为x 2-y 22=1，故选：C4(2023·河南·二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2-y 23=1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，则下列结论：①C 的离心率为2；②C 的焦点弦最短为6；③动点P 到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P 在双曲线C 的左支上时，PF 1 PF 2 2的最大值为14．其中正确的个数是()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.【详解】由题意可得e =41=2，即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2<6，即②错误；易知双曲线的渐近线方程为y =±3x ，设点P x 0,y 0 ，则3x 02-y 02=3，且到两条双曲线的距离之积为3x 0-y 02⋅3x 0+y 0 2=3x 02-y 024=34是定值，故③正确；对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上任意一点P x 0,y 0 及双曲线的左右焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，则PF 1 =x 0+c2+y 02=x 0+c2+b2x 02a 2-1=c 2a 2x 02+2cx 0+a 2=a +ex 0，同理PF 2 =a -ex 0 ，所以PF 1 =a +ex 0 ,PF 2 =a -ex 0 ，此即为双曲线的焦半径公式.设点P x 0,y 0 x 0≤-1 ，由双曲线的焦半径公式可得PF 1 =1+2x 0 =-1-2x 0,PF 2 =1-2x 0，故PF 1 PF 22=-1+2x 01-2x 02=11-2x 0 -211-2x 02，其中1-2x 0≥3，则11-2x 0∈0,13，由二次函数的性质可得其最大值为18，当且仅当11-2x 0=14，即x 0=-1.5时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B5(2024·全国·一模)新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示(水滴角可看作液、固、气三相交点处气-液两相界面的切线与液-固两相交线所成的角)，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆(长轴平行于液-固两相交线)的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2，则()附：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1．A.θ1<θ2B.θ1=θ2C.θ1>θ2D.θ1和θ2的大小关系无法确定【答案】A【分析】理解题意，根据测量水滴角的圆法和椭圆法,以及运用圆和椭圆的切线方程的表示即可得出结论.【详解】由题意知，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2；由题意可知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R ，如图1，则有R 2=(R -1)2+4,解得R =52，所以tan θ1=2R -1=43；若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，如图2，切点坐标为-2,b -1 ，则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 上一点-2,b -1 处的切线方程为-2x a 2+b -1 y b 2=1 ，此时椭圆的切线方程的斜率设为k 2，则k 2=tan θ2=2b 2a 2b -1；将切点坐标为-2,b -1 代入切线方程-2x a 2+b -1 y b 2=1 可得4a 2+b -1 2b 2=1 ，解得4b 2a2=2b -1，所以tan θ2=2b 2a 2b -1=122b -1b -1=122+1b -1 ；因为短半轴b <R =52,所以tan θ2=122+1b -1>43=tan θ1即tan θ2>tan θ1，所以θ1<θ2.故选：A .6(23-24高二上·北京东城·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.13,23B.12,1C.13,23∪23,1 D.13,12∪12,1 【答案】D【分析】分等腰三角形PF 1F 2以F 1F 2为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点P 为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点P ，使得PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，设点P x ,y 在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于a 、c 的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.【详解】如下图所示：(1)当点P 与椭圆短轴的顶点重合时，△PF 1F 2是以F 1F 2为底边的等腰三角形，此时，有2个满足条件的等腰△PF 1F 2；(2)当△PF 1F 2构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F2P 为底边为例，则PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，此时点P 在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点P ，使得△PF 1F 2是以F 1F 2为一腰的等腰三角形，不妨设点P x ,y 在第一象限，则y 2=b 2-b 2a2x 2，其中0<x <a ，则PF 1 =x +c2+y 2=x 2+2cx +c 2+b 2-b 2a 2x 2=c 2a 2x 2+2cx +a 2=c a x +a =2c ，或PF 2 =x -c 2+y 2=x 2-2cx +c 2+b 2-b 2a2x 2=c 2a 2x 2-2cx +a 2=a -c a x =2c ，由c a x +a =2c 可得x =2ac -a 2c ，所以，0<2ac -a 2c <a ，解得12<e =c a <1，由a -c a x =2c 可得x =a 2-2ac c ，所以，0<a 2-2ac c <a ，解得13<e =c a <12，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是13,12 ∪12,1 .故选：D .【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7(23-24高三下·重庆·开学考试)设F 为抛物线C :x 2=2y 的焦点，P 为C 上一点且在第一象限，C 在点P 处的切线交x 轴于N ，交y 轴于T ，若∠FPT =30°，则直线NF 的斜率为()A.-2 B.-3C.-12D.-33【答案】D【分析】设P 点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知F 0,12 ,y =x 22⇒y=x ，设P a ,a 22，则C 在点P 处的切线方程为y =a x -a +a 22⇒y =ax -a 22，所以N a 2,0 ,T 0,-a 22 ，显然N 为TP 中点，由抛物线定义可知PF =a 22+12=FT ，即△FPT 为以F 为顶点的等腰三角形，所以FN ⊥PT ，即∠FNO =∠FPT =30°，所以直线NF 的斜率为tan 180°-30° =-33.故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设P 点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.8(2024·四川南充·二模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2．过点F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A 在x 轴的上方)，则下列说法中正确的有( )个．①AF 1 =32+cos θ②1AF 1 +1BF 1=43③若点M 与点B 关于x 轴对称，则△AMF 1的面积为9sin2θ7-cos2θ④当θ=π3时，△ABF 2内切圆的面积为12π25A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，求出y A +y B ，y A y B ，设△ABF 2内切圆的半径为r ，由S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 求出r ，即可判断④.【详解】在△AF 1F 2中，由余弦定理AF 1 2+F 1F 2 2-2AF 1 ⋅F 1F 2 ⋅cos θ=AF 2 2，即AF 1 2+4c 2-4c AF 1 ⋅cos θ=2a -AF 1 2，整理得AF 1 =b 2a -c ⋅cos θ，同理可得BF 1 =b 2a +c ⋅cos θ，所以AB =AF 1 +BF 1 =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ，1AF 1 +1BF 1 =a -c ⋅cos θb 2+a +c ⋅cos θb 2=2ab 2，对于椭圆C :x 24+y 23=1，则a =2、b =3、c =1，所以AF 1 =32-cos θ，BF 1 =32+cos θ，故①错误；1AF 1 +1BF 1 =2a b 2=43，故②正确；所以AB =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ=124-cos 2θ，S △AMF 1=AF 1 ABS △ABM ，又S △ABM =12BM x A -x B =BF 1 sin θ⋅AB ⋅cos θ=32+cos θ⋅sin θ⋅12cos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅12sin θcos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅6sin2θ4-1+cos2θ2=32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ，又AF 1 AB=32-cos θ124-cos 2θ=2+cos θ4，所以S △AMF 1=2+cos θ4×32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ =9sin2θ7-cos2θ，故③错误；当θ=π3时直线l 的方程为x =33y -1，由x =33y -1x 24+y23=1，消去x 整理得5y 2-23y -9=0，显然Δ>0，所以y A +y B =235，y A y B =-95，又AF 1 =2，BF 1 =65，则AF 2 =2a -AF 1 =2，BF 2 =2a -BF 1 =145，设△ABF 2内切圆的半径为r ，则S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 ，所以22352+4×95=r 2+65+2+145 ，解得r =235，所以△ABF 2内切圆的面积S =πr 2=π×2352=12π25，故④正确；故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式(倾斜角形式)，利用结论直接解决问题.二、多选题9(2024·河南·一模)已知双曲线E :x 2a2-y 224=1a >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 1F 2 =10，过F 1的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2=π2，则()A.E的渐近线方程为y=±26xB.3PF1=4PF2C.直线l的斜率为±43D.P的坐标为75,245或75,-245【答案】ABD【分析】利用双曲线的焦距求出a的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理结合双曲线的定义求出PF1、PF2的值，可判断B选项；利用直线斜率的定义可判断C选项；利用双曲线焦半径公式求出点P的坐标，可判断D选项.【详解】对于A选项，F1F2=2a2+24=10，且a>0，解得a=1，又因为b=26，故双曲线E的渐近线方程为y=±bax=±26x，A对；对于B选项，因为点P在右支上，则PF1-PF2=2a=2，①又因为∠F1PF2=π2，则PF12+PF22=F1F22=100，②联立①②可得PF1=8，PF2=6，所以，3PF1=4PF2，B对；对于C选项，若点P在第一象限，则直线l的斜率为k PF1=tan∠PF1F2=PF2PF1=68=34，若点P在第四象限，由对称性可知，直线l的斜率为k PF1=-34.综上所述，直线l的斜率为±34，C错；对于D选项，设点P x,y，则x≥1，且x2-y224=1，可得y2=24x2-24，所以，PF1=x+52+y2=x2+10x+25+24x2-24=25x2+10x+1=5x+1=8，解得x=75，则y2=24×752-24=24225，可得y=±245，即点P75,±245，D对.故选：ABD.10(23-24高三上·福建泉州·阶段练习)已知椭圆x29+y2=1与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点F1,F2，设它们在第一象限的交点为P ，且PF 1 ⋅PF 2=0，则()A.双曲线的实轴长为27B.双曲线的离心率为2147C.双曲线的渐近线方程为y =±73x D.双曲线在P 点处切线的斜率为377【答案】ABD【分析】A 选项，求出椭圆的焦点坐标，设左焦点为F 1，故PF 1 +PF 2 =6，由向量数量积为0得到向量垂直，进而由勾股定理求出PF 1 ⋅PF 2 =2，求出PF 1 -PF 2 =27，得到A 正确；B 选项，由离心率公式直接求解；C 选项，求出b =1，由双曲线渐近线公式进行求解；D 选项，设出P 点处切线方程，联立双曲线方程，由根的判别式等于0求出切线斜率.【详解】A 选项，由题意得椭圆x 29+y 2=1的焦点坐标为±22,0 ，设左焦点为F 1，则F 1-22,0 ，PF 1 +PF 2 =6，因为PF 1 ⋅PF 2 =0，所以PF 1 ⊥PF 2 ，由勾股定理得PF 1 2+PF 2 2=F 1F 2 2=32，PF 1 +PF 2 =6两边平方得PF 12+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =36，故PF 1 ⋅PF 2 =2，则PF 1 -PF 2 =PF 12+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 =27，故2a =27，解得a =7，双曲线的实轴长为27，A 正确；B 选项，因为c =22，所以双曲线的离心率为c a =227=2147，B 正确；C 选项，因为b =c 2-a 2=8-7=1，故双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±77x ，C 错误；D 选项，联立x 29+y 2=1与x 27-y 2=1，可得x =±3144，y =±24，故P 3144,24，当过P 点的直线斜率不存在时，不是双曲线的切线，舍去，设在P 点处切线方程为y -24=k x -3144，联立x 27-y 2=1得x 2-724+k x -31442=7，化简得1-7k 2 x 2-72k 2-21142k 2 x -4418k 2+217k 4-638=0，由Δ=0得72k 2-21142k 2 2-41-7k 2 -4418k 2+217k 4-638=0，解得k =377，故双曲线在P 点处切线的斜率为377，D 正确.故选：ABD11(23-24高三上·湖北武汉·期末)已知P x P ,y P ，Q x Q ,y Q 是曲线C :6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0上不同的两点，O 为坐标原点，则()A.x 2Q +y 2Q 的最小值为1B.4≤x P -12+y 2P +x P +12+y 2P ≤6C.若直线y =k x -3 与曲线C 有公共点，则k ∈-33,33D.对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直【答案】AD【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据几何意义判断A ，举出反例判断B ，数形结合判断C ，根据图形特征以及切线概念判断D .【详解】当y 2+6x -3≥0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0，化简为x 24+y 23=1，轨迹为椭圆.将y 2=3-34x 2代入y 2+6x -3≥0，则0≤x ≤8，则此时0≤x ≤2，即此部分为椭圆的一半.同理当y 2+6x -3<0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21-y 2+6x -3 =0，化简为x -1 2+y 2=4.将y 2=4-x -1 2代入y 2+6x -3<0，则x <0或x >8，则此时-1≤x <0，即此部分为圆的一部分.作出曲线的图形如下：对于A ，x 2Q +y 2Q 最小值表示曲线上一点到原点的最小距离的平方，当x ≥0时，x 2Q +y 2Q 最小值为3，当y =±3时取得，当x <0时，x 2Q +y 2Q 最小值为1，当y =0时取得，则x 2Q +y 2Q 最小值为1，故A 正确；对于B ，当x P =-1,y P =0时，x P -1 2+y 2P +x P +12+y 2P =2，显然B 选项错误；对于C ，直线y =k x -3 经过定点3,0 ，当k =33时，直线经过椭圆下顶点，如图，显然，存在k >33，使得直线与曲线有两个公共点，故C 错误；对于D ，如图，对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，则曲线C 在P 点处的切线斜率可以取任何非零实数，曲线C 在椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零实数，使得两切线斜率为负倒数，所以对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：(1)几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；(2)坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.三、填空题12(23-24高二上·福建泉州·期中)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)焦距为10，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上且AF 2⊥x 轴，△AF 1F 2的面积为454，点P 为双曲线右支上的任意一点，则1PF 1 -1PF 2的取值范围是【答案】-89,0 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.【详解】由题意可知F1-5,0 ,F 25,0 ,A 5,y A ，。
高中数学圆锥曲线问题解题技巧.ppt
|OF|＝c, |FA|＝b, |OA|＝a. y
c·|AB|＝2ab
|AB|＝ 2 a b c
＝2 b . e
A
o
Fx
B
(2019∙湖南理科卷)如图，过抛物线x2=4y的对
称轴上任一点P(0,m) (m>0)作直线与抛物线交于
A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
( I ) 设点P分有向线段AB所成的比为，证明
y
P F1 o
引申2
由 y b a2 x2 , a
x 得 y b1 2x . a 2 a2 x2
y b c e. xc a a2c2
双曲线通径端点处切线的斜率为e.
引申3
过椭圆
x2 a2
by22
1(ab0)
上一点 P (x0, y0) 的切线方程为：
x0 x a2
y0 y b2
1;
k切 f (x0) ab22xy00 .
线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的倾斜角的
取距值 离范的围取为值范 0 围, 4 为 ，( 则B点P到) 曲线y=f(x)对称轴
A.
0
,
1 a
B.
0
,
1 2a
C.
0
,
b 2a
D.
0
,
b 1 2a
∵f (x)=2ax, ∴曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处 的切线的斜率 k=2ax0.
F2
o
x1 F1
x
两式相减：2a=(
3 -1)c,
2
两边同除以a得 e=
3 1.
3 1
(2019·福建理科)已知F1、F2是双曲线
圆锥曲线二级结论
二轮专题突破16---圆锥曲线的二级结论椭圆常用的二级结论1. P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，1F 是椭圆的一个焦点，则1PF 的取值范围是[,]a c a c -+.2.P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，1F 、2F 是椭圆的左右焦点，则12PF PF ⋅的取值范围是22[,]b a .3.P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，1F 、2F 是椭圆的左右焦点，则12PF PF ⋅的取值范围是2222[,]b c a c --.4.P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，其中21,F F 是椭圆的左右焦点，θ=∠21PF F ，则122tan2F PF S b θ∆=.1222F PF C a c ∆=+.5.P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，其中21,F F 是椭圆的左右焦点，则P 为短轴端点时12F PF ∠最大.6.P 为椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，其中12,A A 是椭圆的左右顶点，则P 为短轴端点时12A PA ∠最大.（如何由5推广的？）利用了两直线夹角公式，结合斜率之积为定值，可以说明动点在上下顶点处，张角为最大！7.已知椭圆12222=+b y a x ()0>>b a ，若点B A ,是椭圆上关于原点对称的两点，M 是椭圆上异于,A B 的一点.若MB MA ,的斜率分别为21,k k ，则2122b k k a⋅=-.8.若AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.9.若l 是椭圆22221x y a b+=不垂直于对称轴的切线，M 为切点，则22l OM b k k a ⋅=-.10.焦点弦 2101cos b a PF a ex e θ=+=- 2201cos b a PF a ex e θ=-=+ （加减号看长短） 11.1cos 1AF FB e λλθλ-=⇒=+ （不用记，用焦半径公式） 提示：设,,(1)FB t AF t AB t λλ===+11(1)BF AF t BH BB AA e e e λ-=-=-= ，1cos (1)BH AB e λθλ-==+ 12.00(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一定点，A B 、为椭圆上两动点（1）若0PA PBk k += 则AB k 为定值2020x b y a⋅；（2）若,0PA PB k k m m +=≠则AB 过定点； （3）若22PA PBb k k a =则AB k 为定值00y x -（4）若22,()PA PBb k k a λλ=≠则AB 过定点.13.过圆2222x y a b +=+上任意点P 作椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两条切线，则两条切线垂直.14.过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上任意不同两点,A B 作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=+.（蒙日圆） 15.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.16.以焦半径1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.17. 焦点12PF F ∆内切圆圆心轨迹在椭圆上.（22221(0)()x y y bc c a c+=≠+用特殊位置确定）18.椭圆22221x y a b +=()0>>b a 的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于12,P P 时11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b-=.19.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.20.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12PP 的直线方程是00221x x y ya b+=. 21.若PQ 是椭圆22221x y a b+=()0>>b a 上对中心张直角的弦，则22221111||||OP OQ a b+=+. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值22ab. 23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值2222a b ab+. 24.若AB 是过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则2AB NF e=. 25. 若,A B 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点，点P 是直线x t =（,0t a t ≠≠）上的一个动点（P 不在椭圆上），直线PA 及PB 分别与椭圆相交于,M N ，则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.26.过椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点F 作一条直线与椭圆相交于,M N ，与y 轴相交于P ，若PM MF λ=，PN NF λ=，则λμ+为定值，且222a bλμ+=-.27.过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F 作一条直线与椭圆相交于,M N ，与相应准线相交于P ，若PM MF λ=，PN NF μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.28.若MN 是垂直椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，若PE EM λ=，PF FN μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.29.若MN 是垂直椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，A 为长轴顶点，若OE EA λ=，OF FA μ=，则λμ+为定值，且1λμ+=-.30.若,M P 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）上任意两点，点M 关于x 轴对称点为N ，若直线,PM PN 与x 轴分别相交于点()(),0,,0A m B n ，则mn 为定值，且2mn a =.31.若,A B 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点(),0P m 是x 轴上的定点，直线PB 交椭圆C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点，且定点为2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭.32.过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .33.AB 为椭圆的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上.1.P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左上一点，若F 是左焦点，则PF 的取值范围是[,)c a -+∞，若F 是右焦点，则PF 的取值范围是[,)c a ++∞.2.P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的任意一点，1F 、2F 是双曲线的左右焦点，则12PF PF ⋅的取值范围是2[,)b +∞.3.P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的任意一点，1F 、2F 是双曲线的左右焦点，则12PF PF ⋅的取值范围是2[,)b -+∞.4.双曲线一焦点到任一渐近线的距离为b .5.过焦点的弦AB ，若两端点位于同一支，最短弦是通径长22b a；若两端点位于左右两支，最短弦是2a .6.P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222x y a +=的位置关系是外切或内切.7.P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，其中21,F F 是双曲线的左右焦点，θ=∠21PF F ，则122tan2FP F b S θ∆=.8.焦点弦 2101cos b a PF ex a e θ=+=- 2201cos b a PF ex a e θ=-=+ 9.1cos 1AF FB e λλθλ-=⇒=+ （不用记，用焦半径公式）10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，若点B A ,是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于B A ,的一点.若MB MA ,的斜率分别为21,k k ，则2122b k k a⋅=.11.AB 是双曲线22221x y a b-=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=.12.过双曲线上任一点作斜率存在的直线l 与两条渐近线分别交不同两点,A B ，M 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅= .（点差法） 13.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.14.以焦半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.15.设P 为双曲线上一点，则12F PF ∆的内切圆必切于与P 在同侧的顶点，即内切圆圆心的横坐标为a 或a -.16.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于12,P P 时11A P 与22A P 交点的轨迹方程是22221x y a b+=.17.若00(,)P x y 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上，则过P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 18.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P 作与渐近线平行的两条直线，交点分别为,A B ，则平行四边形OAPB 的面积等于12ab . 点P 到两渐近线距离之积也为定值220000122222bx ay bx ay a b d d a b a b +-==++ ，121sin 22d d ab S d OA θ=== 对于平行四边形面积的证法一：底乘高表示证法二：121sin 22d d abS d OA θ===证法三：21212,s d OA d OB s d d OA OB===12sin 2,sin 22d d abs OA OB s θθ===又两式作比 19.P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是外切或内切.20.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值22ab . 21.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值2222a b ab +.22.过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点F 作一条直线与椭圆相交于,M N ，与相应准线相交于P ，若PM MF λ=，PN NF μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.23.若MN 是垂直双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，若PE EM λ=，PF FN μ=，则λμ+为定值，且0λμ+=.24.若MN 是垂直双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线,MP NP 分别交x 轴于,E F ，A 为长轴顶点，若OE EA λ=，OF FA μ=，则λμ+为定值，且1λμ+=-.25.若,M P 是双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）上任意两点，点M 关于x 轴对称点为N ，若直线,PM PN 与x 轴分别相交于点()(),0,,0A m B n ，则mn 为定值，且2mn a =.26.若,A B 是双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点(),0P m 是x 轴上的定点，直线PB 交双曲线C 一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点，且定点为2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭.27.从双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.28.若AB 是过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点F 的一条弦（非通径，且为单支弦），弦AB 的中垂线交x 轴于M ，则2AB MF e=. 29.若,M N 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a b >>）上任意两点，分别作切线12,l l 且12l l ⊥，12l l 与相交于P ，则P 的轨迹是2222x y a b +=- .（蒙日圆）过焦点弦 AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且1122(,)(,)A x y B x y ，（一）有关定值 （1）2124p x x =，212y y p =-.（2）1222122(1)sin p AB x x p p k θ=++=+=. （3）焦半径,21cos 21cos A B p p p pAF x BF x θθ=+==+=-+.特别注意：抛物线22(0)x py p => 焦点在y 轴上,21sin 21sin A B p p p pAF y BF y θθ=+==+=-+212222(1)cos pAB y y p p k θ=++=+=（4）112AF BF p+=.（5）1112AB CD p+= (,AB CD 是过焦点且垂直的弦） （6）22112sin 222sin 2sin AOBp p p S d AB θθθ∆==⋅⋅=（二）与圆有关的相切问题（1）以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，切点为11A B 的中点. （2）以抛物线焦半径为直径的圆与y 轴相切. （3）以11A B 为直径的圆与AB 相切，切点为F . （三）点共线问题 11,,,,A O B A O B 共线，共线 （四）1,cos .1AF FB λλθλ-==+有 （五）,A B 是抛物线22y px =上的两点，P 是,A B 处两切线的交点，PAB ∆叫阿基米德三角形.1.抛物线22y px =上一点11(,)A x y 处的切线方程为 11()y y p x x =+.2.过点00(,)P x y 作抛物线22y px =的切线，切点分别为,A B ，则直线AB 方程为00()y y p x x =+3.弦AB 的中点M ，证明//PM x 轴4.(2,0)OA OB AB p ⊥⇔弦过定点，min 1()242AOB S p p ∆=⋅⋅（AB x ⊥轴时）5.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上.6.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 推广（1）AB 过定点(,0)m P ⇔在定直线x m =-上推广（2）AB 过定点(,)m n P ⇔在定直线 ()ny p m x =+ 上7.若(0),,AF FB A B λλ=>过作切线，交点为P ，则FP AB ⋅=12122121(,0),(,),(,),(,)2222y yy y p p F P FP p AB x x y y ++-=-=-- 0FP AB ⋅==8.过直线x m =（0m ≠）上但在抛物线22y px =（0p >）外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 必过定点(),0N m -，且有2AB MN p k k m=. 特别地，抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ，且MF PQ ⊥. 9. 若,M N 是抛物线2:2(0)C y px p =>上任意两点，分别作切线12,l l 且12l l ⊥，12l l 与相交于P ，则P 在准线上 .10.抛物线22y px =（0p >）上两点A 、B 连线斜率若存在即为2A B pk y y =+.11.抛物线22y px =（0p >）上一点A 处切线的斜率若存在即为A p k y =.12. 过抛物线22y px = 上一点00(,)P x y 任意作两条倾斜角互补的直线交抛物线于,A B 两点，则直线AB 的斜率0AB pk y =-（为定值），反之也成立！ 13.设()00,N x y 为抛物线px y 22=上的一个定点，AB 是动弦，则AB 为直角弦的充要条件是AB 过定点()002,x p y +-.14.过抛物线22y px =（0p >）上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ，则MA MB k k λ=（0λ≠）的充要条件是直线AB 过定点002,pN x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 15.若,A B 是抛物线22y px =（0p >）上异于顶点O 的两个动点，若OA OB ⊥，过O 作OM AB ⊥，则动点M 的轨迹方程为2220x y px +-=（0x ≠）.16.若AB 是过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于M ，则2AB MF=.。