根与系数的关系知识点及综合应用(新)
第二章一元二次方程根与系数的关系及应用
一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。
难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。
知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。
即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。
2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下： （1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程。
（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。
若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。
知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方 程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。
（1）求21x x +的值； （2）求21x x ⋅的值； （3）求2111x x +的值 （4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。
根与系数的关系及应用
根与系数的关系及应用根是数学中的重要概念，常常出现在方程、多项式以及数列等中。
根作为方程的解，与系数密切相关，其关系的研究对于解方程、揭示方程性质等方面具有重要的意义。
本文将探讨根与系数之间的关系，并介绍其在数学中的应用。
一、根与系数的关系根与系数之间的关系可以通过方程来研究。
假设有一个二次方程：ax^2 + bx + c = 0（其中a、b、c为实数，且a≠0），其中方程的根分别为x1和x2。
根据二次方程的求根公式，我们可以得到：x1,2 = [ -b ± √(b^2 - 4ac) ] / 2a从这个公式可以看出，根与系数之间存在着一定的关系。
首先，根的取值与系数b和c的符号有关。
当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实根；当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根；当b^2 - 4ac < 0时，方程无实根。
其次，根的取值还与a的值有关，a的符号决定了根的正负。
除了二次方程，一次方程的根与系数之间也存在着关系。
对于 ax + b = 0（其中a和b为实数，且a≠0），其根为x = -b/a。
可以看出，在一次方程中，根的取值与系数a和b之间有线性关系。
二、根与系数的应用根与系数之间的关系在数学中有广泛的应用。
以下将介绍一些常见的应用场景。
1. 解方程根与系数的关系在解方程中起到了关键的作用。
通过根与系数的关系，我们可以利用求根公式快速求解各种形式的方程，如二次方程、一次方程以及更高次的多项式方程。
这极大地简化了方程的求解过程，使我们能够更高效地得到方程的解。
2. 研究方程性质根与系数之间的关系也可以用来研究方程的性质。
例如，通过分析方程根的数量和性质，可以判断方程的图像在坐标平面上的形状，从而帮助我们更好地理解和应用方程。
3. 数列的通项公式根与系数的关系还可以应用于数列的求解中。
对于递推数列 an =c1r^(n-1) + c2r^(n-2) + ... + cn，其中r是常数，c1、c2、...、cn为系数，则该数列的通项公式可以表示为 an = d1x1^(n-1) + d2x2^(n-2) + ... + dnxn，其中x1、x2、...、xn为方程 cx^n + c1x^(n-1) + c2x^(n-2) + ... +cn = 0 的根，d1、d2、...、dn为常数。
新人教版九年级数学(上)——一元二次方程根与系数的关系
知识点一、根的判别式 从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的,原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。
而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-; 所以：当042>-ac b 时,方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。
由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况,我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示;即：ac b 42-=∆根的判别式的作用:①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
例题精讲【例1】 不解方程,判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定一元二次方程根与系数的关系【例2】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根,那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ )．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例3】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根;⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例4】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数?【例5】 已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-= ⑴求证:无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰ABC ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．★1、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 . ★2、一元二次方程x 2—4x+4=0的根的情况是( ） A 。
根与系数的关系知识点总结
根与系数的关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来唠唠根与系数的关系这个超重要的知识点！
咱先说一元二次方程，就好比ax²+bx+c=0 这样的式子。
那根与系数
有啥关系呢？哎呀呀，就像是一个神秘的纽带！比如说方程x²-5x+6=0，
它的两根是 2 和 3，你看呀，这两根之和 2+3 就等于一次项系数 -5 的相反数 5，两根之积2×3 就等于常数项 6 呢！神奇不？
再举个例子，方程2x²+3x-2=0，它的根是 -2 和 1/2，那 -2+1/2 就等于-3/2，这不正是一次项系数 3 的相反数除以二次项系数 2 嘛！然后 -
2×(1/2) 不就是 -1，正好是常数项 -2 除以二次项系数 2 呀！
咱就说，这根与系数的关系，是不是像个隐藏的宝藏，等你去发现呀！小李之前就老弄不明白这个，还觉得很难，我就跟他讲，“你看呀，这多简单呀，就像找宝藏一样，找到了就开心啦！”他一听，恍然大悟！
其实呀，理解了这个知识点，好多数学问题都能迎刃而解呢！想想看，如果题目里给了方程的系数，那我们不就能很快算出根的一些特征啦！这多厉害呀！
根与系数的关系就是这么酷，它就像一把万能钥匙，能打开好多数学难题的大门！宝子们，一定要好好掌握哦！。
《一元二次方程根与系数的关系》 知识清单
《一元二次方程根与系数的关系》知识清单一元二次方程是初中数学中的重要内容，其中根与系数的关系（韦达定理）更是有着广泛的应用。
让我们一起来深入了解一下这个重要的知识点。
一、什么是一元二次方程形如$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）的方程叫做一元二次方程。
其中$a$是二次项系数，＄b$是一次项系数，＄c$是常数项。
二、一元二次方程的求根公式对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$），其求根公式为：＄x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
当$b^2 4ac ＼gt 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2 4ac ＝0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2 4ac ＼lt 0$时，方程没有实数根。
三、根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）的两根为$x_1$，＄x_2$，则有：＄x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{b}｛a}＄＄x_1 ＼cdot x_2 ＝＼frac{c}｛a}＄这就是一元二次方程根与系数的关系，也称为韦达定理。
四、韦达定理的推导设方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$）的两根为$x_1$，＄x_2$，由求根公式可得：＄x_1 ＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄，＄x_2 ＝＼frac{b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄则：＄x_1 ＋ x_2 ＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a} ＋＼frac{b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄＄＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac} b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄＄＝＼frac{－2b}｛2a} ＝＼frac{b}｛a}＄＄x_1 ＼cdot x_2 ＝＼frac{b ＋＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a} ＼cdot ＼frac{b ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄＄＝＼frac{（b)＾2 （＼sqrt{b^2 4ac}）＾2}｛4a^2}＄＄＝＼frac{b^2 （b^2 4ac)｝｛4a^2}＄＄＝＼frac{4ac}｛4a^2} ＝＼frac{c}｛a}＄五、韦达定理的应用1、已知方程的一根，求另一根及未知系数例如：已知方程$x^2 5x ＋ 6 ＝ 0$的一个根为 2，求另一个根及常数项。
一元二次方程的根与系数的关系(知识点考点)-九年级数学上册知识点考点(解析版)
一元二次方程的根与系数的关系（知识点考点一站到底）知识点☀笔记韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 考点☀梳理考点1：韦达定理必备知识点：如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 解题指导：适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）韦达定理拓展公式 ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2②1x 1+1x 2=x 2+x 1x 1∙x 2x 2x 1+x1x 2=x 12+x 22x 1∙x 2=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2x 1∙x 2③(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2④|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2 ；（2）①方程有两正根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则120x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。
根与系数的关系
根与系数的关系系数与方程根之间存在着紧密的联系，在解方程、求根等数学问题中起着重要的作用。
本文将探讨根和系数之间的关系，并探讨其在代数计算和现实生活中的应用。
一、根和系数的定义及关系根是指方程中使方程成立的未知数的值，可以是实数或复数。
而系数是方程中未知数的前面的数字或字母，用来表示未知数的倍数。
根和系数之间的关系可以用代数方程的一般形式来表达，即 a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，其中 a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是系数，x 是未知数。
二、根与系数之间的基本关系1. 根的个数与系数的关系：根的个数和方程的次数有关。
一个次数为 n 的方程最多有 n 个不同的复数根，其中包括重根。
具体而言，如果方程的系数全都是实数，则他的复数根都是成对出现的，即复数根共轭存在。
而如果方程的系数是复数，则有可能出现零个、一个或多个根。
2. 根与系数的关系及运算法则：（1）根与系数之间的关系可以由 Vieta's formulas 给出。
Vieta's formulas 断言，在一个 n 次方程的 n 个根 x_1,x_2,...,x_n 中，这些根的和等于方程的倒数第二个系数的相反数，即x_1 + x_2 + ... + x_n = -a_{n-1} / a_n。
而这些根的乘积等于最后一个系数与首项系数的比值的相反数，即x_1 * x_2 * ... * x_n = (-1)^n * a_0 / a_n。
（2）在解方程时，根与系数之间的关系也可以通过韦达定理进行推导。
韦达定理指出，对于一个 n次方程a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，如果 x_1, x_2, ..., x_n 是方程的 n 个根，则它们满足以下关系：x_1 + x_2 + ... + x_n = -a_{n-1} / a_n，x_1 * x_2 * ... * x_n = (-1)^n * a_0 / a_n，x_1 * x_2 * ... * x_{n-1} = (-1)^{n-1} * a_1 / a_n，以此类推。
中学数学《一元二次方程根与系数的关系》知识点精讲
知识点总结一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1+x2= -bc，x1x2= aa（2）若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)（3）根与系数的关系的应用：① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.二、解一元二次方程应用题：它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。
其一般步骤为：1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；3．解：解所列方程，求出解来；4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
一元二次方程的练习题1、若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________22、设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，x1·x2=__________ 2x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________23、若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________24、两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________25、若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为______________226、方程kx+1=x-x无实根，则k___________导学案【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
根与系数的关系(解析版)-2023年升初三人教版暑假衔接教材
❊1.5根与系数的关系知识点一根与系数的关系【注意】题型一利用韦达定理求方程的根例1已知关于x 的方程0322=+++a a x x 有一个根为-2，则另一个根为（）A ．5B ．2C ．-1D ．-5【答案】【分析】根据关于系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于∴2-解得，故选例变1若关于x 的一元二次方程032=+-bx x 有一个根是1=x ，求b 的值及方程的另一根.【答案】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+3=0有一个根是x=1，∴1﹣b+3=0，解得：b=4，把b=4代入方程得：x 2﹣4x+3=0，设另一根为m ，可得1+m=4，解得：m=3，则b 的值为4，方程另一根为x=3.变2若73+是方程062=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.【答案】解：∵=3+7是此方程的一个根，设另一个解为2则1+2=6，∴2=3−7，即方程的另一个根为3−7∵12=∴=(3+7)(3−7)=2.题型二利用韦达定理判断根的正负例1一元二次方程2410x x --=根的情况是（）A ．无实数根B ．有一个正根，一个负根C ．有两个正根，且都小于5D ．有两个正根，且有一根大于4【分析】根据根的判别式判断根的情况，利用根与系数的关系，确定根的符号，进行判读即可．【解答】解：2410x x --=，△24164200b ac =-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根；设方程的两个根为12x x ⋅，则：124x x +=，121x x ⋅=-，∴方程的有一个正根，一个负根；故选：B ．例2关于x 的方程2(2)(1)(x x p p -+=为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A ．有两个相异正根B ．有两个相异负根C ．有一个正根和一个负根D ．无实数根【分析】先计算根的判别式的值得到△0>，则可判断方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，利用根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，根据有理数的性质得到1x 、2x 的符合相反，且正根的绝对值较大，于是可对各选项进行判断．【解答】解：方程化为一般式为2220x x p ---=， △222(1)4(2)490p p =----=+>，∴方程有两个不相等的实数解，设方程的两个分别为1x ，2x ，根据根与系数的关系得1210x x +=>，21220x x p =--<，∴方程有一个正根和一个负根．故选：C ．变1关于x 的一元二次方程2250x x --=有（）A ．两个相等的实数根B ．两个不相等的正数根C ．两个不相等的负数根D ．一个正数根和一个负数根【分析】先根据根的判别式判断方程是否有根，再根据根与系数的关系判断两根的正负即可．【解答】解：2250x x --=，△224(2)41(5)240b ac =-=--⨯⨯-=>，所以方程有两个不相等的实数根，设方程2250x x --=的两个根为e 、f ，则50ef =-<，则e 和f 异号，即方程有一个正数根和一个负数根，故选：D ．变2关于x 的方程2(1)(2)(x x p p -+=为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A ．两个正根B ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大C ．两个负根D ．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a ，b ，利用根与系数的关系表示出a b +与ab ，判断即可．【解答】解：设方程两根设为a ，b ，方程整理得：2220x x p +--=，∴由根与系数的关系得：10a b +=-<，220ab p =--<，则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．故选：D ．例3一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（）A ．a ，c 异号B ．a ，c 异号；a ，b 同号C ．a ，c 异号；b ，c 同号D ．b ，c 异号变3一元二次方程20ax bx c ++=中，若0a >，0b <，0c <，则这个方程根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有一正根一负根且正根绝对值大D ．有两个正的实数根【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据12cx x a=判断根的符号情况．【解答】解：0a > ，0b <，0c <，0ac ∴<，∴△240b ac =->，∴方程有两个不相等的实数根，120cx x a=< ．∴两根异号，故选：C ．例4若方程22210x x m +-+=有一正实根和一负实根，则m 的取值范围是（）A ．167≥m B ．12m >C ．716m >D ．21≥m 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由根与系数的关系可知：210m -+<，12m ∴>，由△18(21)0m =--+>，716m ∴>，12m ∴>，故选：B ．变4若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是（）A ．0m >B ．12m >C ．12m <D ．0m <【分析】利用根的判别式△0>及两根之积为负数，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出实数m 的取值范围．【解答】解： 关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=的两个实数根之积为负数，∴2241(12)0120m m ⎧=-⨯⨯->⎨-<⎩，解得：12m >，∴实数m 的取值范围是12m >．故选：B ．知识点二韦达定理与代数式题型三利用韦达定理求代数式的值例1已知21x x ，是方程2310x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）21x x +（2）12·x x （3）()()1211x x --（4）()()122111x x x x +++（5）2212x x +（6）()212x x -（7）1211+x x （8）2112x x x x +变1已知21x x ，是方程03622=-+x x 的两个实数根，求下列各式的值：（1）2221x x +（2）)2)(2(21++x x（3）2112x x x x +（4）221)(x x -（5）21x x -例2一元二次方程x 2+4x +1=0的两个根是x 1，x 2，则2112x x x x -的值为______．（其中x 2＞x 1）【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，再通过通分和完全平方公式变形得到21−12=12【解答】解：根据题意得x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=1，所以21−12=22−1212=(1+2)(2−1)===﹣83．故答案为﹣83例3已知方程2410x x ++=，记两根为,αβ，求βααβ+的值为（）A ．3B ．C ．4D ．变3已知：m 、n 是方程022=--x x 的两根，则=--)1)(1(22n m ______．【答案】0【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系，可得2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，从而得到2−1=+1,2−1=+1，再代入，即可求解．【详解】解：∵m 、n 是方程2−−2=0的两根，∴2−−2=0,2−−2=0,+=1,B =−2，∴2−1=+1,2−1=+1，∴2−12−1=+1+1=B +++1=−2+1+1=0故答案为：0变4已知a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，则式子abbb a a+的值为______．【分析】利用根与系数的关系可得出a +b =−52，a •b =12，进而可得出a ＜0，b ＜0，再将a +b =−52，a •b =12代入=【解答】解：∵a 、b 是方程2x 2+5x +1=0的两实数根，∴a +b =−52，a •b =12，∴a ＜0，b ＜0，∴+=+=B==−(−52)+2×12=−故答案为：−题型四根据代数式的值求参数的值例1已知21x x ，是关于x 的方程012)13(22=++++k x k x 的两个不相等实数根，且满足2218)1)(1(k x x =--，则k 的值为______．【分析】该一元二次方程含有参数，所以务必要计算△.【解答】)12(4)13(4222≥+-+=-=∆k k ac b （注意：可以不用解出来）∵2218)1)(1(k x x =--∴2212181)(k x x x x =++-将)13(21+-=-=+k a b x x ，12221+==⋅k acx x 代入得：22811312k k k =++++，解得211-=k ，12=k .再将k 的值带入△，判断是否满足△≥0即可.【答案】1【解析】根据根与系数的关系结合（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而即可确定k 值，此题得解．∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣（3k +1），x 1x 2=2k 2+1．∵（x 1﹣1）（x 2﹣1）=8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=8k 2，∴2k 2+1+3k +1+1=8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1=0，解得：k 1=﹣，k 2=1．∵关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1=0的两个不相等实数根，∴△=（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1，解得：k ＜﹣3﹣2或k ＞﹣3+2，∴k =1．例2已知关于x 的一元二次方程02)12(22=+++-k k x k x 有两个实数根为21x x ，，使得16222121-=--x x x x 成立，则k 的值______．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，然后解不等式求得k 的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，再把x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16变形为﹣（x 1+x 2）2+3x 1•x 2=﹣16，所以﹣（2k +1）2+3（k 2+2k ）=﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k 的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+2k =0有两个实数根，∴△=（2k +1）2﹣4（k 2+2k ）≥0，解得k ≤14，由根与系数的关系得x 1+x 2=2k +1，x 1x 2=k 2+2k ，∵x 1x 2﹣x 12﹣x 22=﹣16．∴x 1x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]=﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2=﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）=﹣16，整理得k2﹣2k﹣15=0，解得k1=5（舍去），k2=﹣3．∴k=﹣3，故答案为﹣3．即6180m -=，解得：3m =．变4已知关于x 的一元二次方程0)14(62=++-m x x 有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为21x x ，，且421=-x x ，求m 的值．【答案】见解析。
根与系数的关系与应用
应用场景：利用根与 系数的关系，可以解 决多种方程组问题， 特别是当方程组中存 在二次方程时。
解决步骤：首先找到 二次方程的根，然后 利用韦达定理确定其 他方程的系数，从而 解出整个方程组。
优势与它不适用于所有类 型的方程组问题。
根与系数在不等式中的应用
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根的判别式
定义：根的判别式是用来判断一元二次方程实数根的个数和类型的公式。 公式：根的判别式Δ=b²-4ac。 应用：通过根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，进而解决实际问题。 重要性：根的判别式是数学中一元二次方程求解的重要工具，也是解决实际问题的基础。
根与系数在代数中的应用
根与系数在三 角函数中可以 用来求解三角 函数的值
根与系数在三 角函数中可以 用来判断三角 函数的单调性
根与系数在三 角函数中可以 用来研究三角 函数的周期性 和对称性
根与系数在三 角函数中可以 用来解决一些 实际问题
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根与系数在实际问题中的应用
根与系数在经济问题中的应用
根与系数在金融领域的应用： 用于评估金融产品的风险和回 报，例如股票、债券等。
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根与系数的扩展应用
根与系数的复数应用
扩展定义：根与系数的关系可以扩展到复数领域 应用场景：解决复数方程的根的问题 计算方法：利用根与系数的关系，通过代数运算求出复数方程的根 实例分析：通过具体实例展示复数应用中根与系数的关系及其求解过程
根与系数的矩阵应用
定义：根与系 数的关系在矩 阵中的表现
理解遗传规律。
生态学中的应用： 根与系数可以用于 描述种群数量变化 的关系，预测种群
专题05 根与系数关系的应用(解析版)
专题05 根与系数的关系问题考纲要求:1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.基础知识回顾:1.一元二次方程的概念及一般形式只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式：()200.ax bx c a ++=≠ 2.一元二次方程的四种解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法. 3.一元二次方程的根的判别式判别式24b ac ∆=-与方程的根的关系： Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； Δ＜0⇔方程没有实数根； 4.一元二次方程的根与系数的关系韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b cx x x x a a+=-= 应用举例:招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.【例1】若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣2【答案】A【解析】解：根据题意得x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣2，所以（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝1+x 1+x 2﹣x 1x 2＝1+1﹣（﹣2）＝4．故选：A．【例2】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023 B．2021 C．2020 D．2019【答案】A【解析】∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．招数二、已知关于两根关系式的值，求参数利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.【例3】若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【答案】B【解析】α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m，∵+＝＝＝﹣，∴m＝﹣3；故选：B．【例4】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞﹣1且m≠0，∵x 1、x 2是方程mx 2﹣（m+2）x+=0的两个实数根，∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∵=4m ，∴=4m ，∴m=2或﹣1，∵m ＞﹣1，∴m=2， 故选A ．【例5】关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，则m n 的值为（ ） A ．﹣8 B ．8 C ．16 D ．﹣16 【答案】C【解析】∵关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1， ∴2m -=﹣1，2n=﹣2，∴m =2，n =﹣4， ∴m n =（﹣4）2=16．故选C ． 招数三、最值问题先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题.【例6】若t 为实数，关于x 的方程的两个非负实数根为a 、b ，则代数式的最小值是（ ）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．16 【答案】A【解析】∵a ，b 是关于x 的一元二次方程的两个非负实根，∴可得a +b =4，ab =t ﹣2，===，∵≥0，∴代数式的最小值是﹣15，故选A ．方法、规律归纳:1. 韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b cx x x x a a+=-= 2.常考的变形：12121211.x x x x x x ++=()2221212122.x x x x x x +=+- 实战演练:1.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则x 22﹣4x 12+17的值为（ ） A ．﹣2 B ．6 C ．﹣4 D ．4【答案】D【解析】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣1，x 1?x 2＝﹣3，x 12+x 1＝3，∴x 22﹣4x 12+17＝x 12+x 22﹣5x 12+17＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2﹣5x 12+17 ＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x 12+17＝24﹣5x 22＝24﹣5（﹣1﹣x 1）2 ＝24﹣5（x 12+x 1+1）＝24﹣5（3+1）＝4， 故选：D ．2. 已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________． 【答案】1【解析】设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4， ∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2， ∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3 故答案为：13.设1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根，则1211x x +的值为 ． 【答案】32-【解析】∵方程1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根， ∴1235x x +=，1225x x =-， ∴1211x x +=1212x x x x +=32()55÷-=32-． 故答案为：32-．4.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值． 【答案】（1）m ≤；（2）1【解析】（1）由题意△≥0， ∴（2m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，∴m ≤．（2）当m ＝2时，方程为x 2+3x+1＝0，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1x 2＝1， ∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1＝0，x 22+3x 2+1＝0， ∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）＝（x 12+2x 1+x 1﹣x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）＝（﹣1﹣x 1）（﹣1+x 2+2） ＝（﹣1﹣x 1）（x 2+1）＝﹣x 2﹣x 1x 2﹣1﹣x 1 ＝﹣x 2﹣x 1﹣2＝3﹣2＝1．5.已知于x 的元二次方程x 2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值． 【答案】（1）a ＜2；（2）a 的值为﹣1，0，1．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．6.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.【解析】（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=37.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．【答案】①m；②．【解答】解：①根据题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得：m，②根据题意得：x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，x12+x22+x1x2﹣17＝﹣x 1x 2﹣17＝（2m+1）2﹣（m 2﹣1）﹣17＝0，解得：m 1＝，m 2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为．8.已知x 1，x 2 是关于x 的一元二次方程x 2-2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根． （1）若（x 1-1）（x 2 -1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）m 的值为6;（2）17.【解析】(1)(x 1－1)(x 2－1)＝28，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＝27，而x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5， ∴m 2＋5－2(m ＋1)＝27，解得m 1＝6，m 2＝－4， 又Δ＝[－2(m ＋1)]2－4×1×(m 2＋5)≥0时，m ≥2， ∴m 的值为6;(2) 若7为腰长，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的一根为7， 即72－2×7×(m ＋1)＋m 2＋5＝0， 解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，方程x 2－22x ＋105＝0，根为x 1＝15，x 2＝7，不符合题意，舍去． 当m ＝4时，方程为x 2－10x ＋21＝0，根为x 1＝3，x 2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17 若7为底边，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两等根，∴Δ＝0，解得m ＝2，此时方程为x 2－6x ＋9＝0，根为x 1＝3，x 2＝3，3＋3<7，不成立， 综上所述，三角形周长为179.已知关于x 的一元二次方程22(21)40x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． 【答案】（1）m ＞﹣174；（2）m =﹣4． 【解析】（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=24m-．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴222(21)2(4)m m----+=+-=22()2a b a b ab=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．10.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC的内切圆半径．【答案】（1）略；（2）2；（3）1．【解析】（1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1?x2＝4k，∵，∴，即，解得：k＝2；（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k，根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图，由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5，∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝．。
根与系数的关系知识点及综合应用
根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1） 若方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2= -a b ，x 1x 2=a c（2） 若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为()[]021212=+++x x x x x x a (a ≠0) 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
一元二次方程根与系数的关系及应用(0)
一元二次方程根与系数的关系及应用知识点：⑴如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)两根为x 1,x 2由求根公式aac b b x x 24,221-±-= 可得：a c x x a b x x =-=+2121.,这就是一元二次方程根与系数关系（也称韦达定理）⑵反过来，如果x 1,x 2满足x 1+x 2=p, x 1x 2=q 则x 1,x 2是一元二次方程（x-x 1）(x-x 2)=0的两根，代入得方程x 2-px+q=0的两根。
（注意这里的方程的二次项系数是1）从这两方面我们可以看出：一元二次方程根与系数之间有一种必然联系，利用这种关系解题，会事半功倍。
就其应用作如下介绍：一、 利用根与系数关系，可以已知方程的一根求另一根。
例1已知方程x 2+kx-6=0的一个根为2，求它的另一根及k 的值。
分析：利用根的定义求解略显繁琐，如果利用根与系数关系会一箭双雕。
解：设方程的另一根为x 1⎩⎨⎧-=-=+62211x k x 解得：x 1=-3, k=1∴方程的另一根为-3，k 的值是1二、 利用根与系数的关系判断根的符号。
例2、试判断方程x 2+3x-6=0两根的符号分析：要判断方程根的符号，可以根据根的定义，这样的方法显得很笨拙，而我们如果利用根与系数的关系就显得非常巧妙。
解：由⊿=32-4×1×（-6）=9+24＞0方程有两个不相等的实数根。
设这两根为x 1,x 2得x 1x 2=-6＜0，易得方程两根一正一负。
如果得出x 1x 2＞0，仍需考虑x 1+x 2的正负，从而判断方程有两个正根还是两个负根。
三、 利用根与系数关系求含有根的代数式的值。
在求含根的代数式的值的问题中，我们可以灵活利用乘法公式和代数式的恒等变形，充分利用好根与系数的关系，会产生奇妙的效果。
例3已知方程2m 2-5m-1=0与2n 2-5n-1=0且m ≠n 求nm 11+的值 分析：本题乍看来没有解题思路，不过仔细观察方程2m 2-5m-1=0与2n 2-5n-1=0的特征，会发现m,n 是方程2x 2-5x-1=0的两个不相等的实数根。
一元二次方程根与系数的关系及应用
一元二次方程的应用教学目标 利用一元二次方程解决实际应用问题，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，同时感受数学知识与现实生活的联系，增强应用意识。
重点难点 审清题意，找到等量关系列方程。
教学内容知识点一：根与系数的关系（一）根的判别式（二）从表格中找出两根之和x 1＋x 2与两根之积x 1·x 2和a ，b ，c 的关系：认真填一填方 程方程两个根为1x ，2x方程两根的和21x x +方程两根的积21x x ⋅032=+x x 0652=+-x x 0672=+-x x从上表格中，你发现了什么规律？根据你找出的规律，你能填写下列空吗？小结：若1x ，2x 是关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两个根，则21x x +＝ ；21x x ⋅＝ ．1. 先从前面三个方程（二次项系数是1）观察x 1＋x 2，x 1x 2的值与一次项系数及常数项的关系。
（两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项）2. 再看后面三个方程（二次项系数不是1），观察x 1＋x 2，x 1x 2的值与系数的关系。
（在把方程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律4. 证明上面的结论．求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明就可以了。
证明：设ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，5. 如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ．韦达定理：对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
韦达定理的逆定理：对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积。
２．填写 方 程方程两个根为1x ，2x方程两根的和21x x +方程两根的积21x x ⋅0322=+x x 07522=--x x 04732=+-x x小结：若1x ，2x 是关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，即：a ab b b x 2421-+-=， a abb b x 2422---=，则：21x x +＝a ab b b 242-+-＋a abb b 242---＝=⋅21x x ⋅-+-a ab b b 242aabb b 242---＝例题讲解1：１．若1x ，2x 方程0532=-+x x 的两个根，则21x x +＝ ；21x x ⋅＝ ． ２．若1x ，2x 方程01322=+-x x 的两个根，则21x x +＝ ；21x x ⋅＝ ３. 1x ，2x 是方程2740x x ++=的两根，则12x x += ，12x x ⋅= ． ４．1x ，2x 是方程05622=-+x x 的两根，则12x x += ，12x x ⋅= ． ５．方程0432=-+x x 的两个实根为1x ，2x ，则⋅1x 2x 的值为（ ）． A ．３ B ．－３ C ．４ D ．－４ ６．方程0822=--x x 的两根为1x 、2x ，则1x +2x 的值为（ ）． A ．２ B ．－２ C ．８ D ．－８例题讲解２：１．若３，－４是某个一元二次方程的两个根， 这个方程是２．若21，６是某个一元二次方程的两个根， 这个方程是 ．3．已知21,x x 是方程04322=-+x x 的两个根，求下列各式的值： （1）2111x x +； （2）13321-+x x ； （3）2212x x +4．已知方程042=++kx x 的一个根是３，求它的另一个根及k 的值．５．２是关于x 的一元二次方程01052=-+bx x 的一个根，求方程的另一个根及b 的值．６．关于x 的一元二次方程0922=+-m x x 的一个根是１，求方程的另一个根及m 的值．【巩固练习】例1 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
17.5 一元二次方程根与系数的关系及其应用(拓展)
第十七章 第5讲 一元二次方程根与系数的关系知识精要1.一元二次方程根与系数的关系若21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则a ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-= 可以发现a b x x -=+21，ac x x =21. 由此，就有了一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与系数的关系：若21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则a b x x -=+21，ac x x =21.经典题型精讲(一)根与系数的关系例1.求下列关于x 的方程的两根的和与积：(1)0322=++x x (2)0122=--ax x (3)04)2(2222=+++-p x p x例2.已知关于x 的一元二次方程0322=++mx x 的一个根是21，求方程的另一个根及m 的值.例3.设一元二次方程03742=--x x 的两根是21x x 、.不解方程，求各式的值.(1))3)(3(21--x x ； (2)2221x x +； (3)112112+++x x x x ； (4)21x x -.例4.当k 为何值时，关于x 的一元二次方程013)13(2322=-++-k x k x ，(1)有两个互为相反数的实数根； (2)两个实数根互为倒数?例5.求作一个一元二次方程，使它的两个根是23+和23-，且方程的二次项系数是1.例6.已知一元二次方程为02322=--x x .利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知一元二次方程的各根的平方，且方程的二次项系数是1.例7.已知两个数的和是10，它们的积是22，求这两个数.(二)根与系数的关系的应用例8.已知b a 、是一元二次方程01)2(2=+-+x m x 的两个根，求)1)(1(22b mb a ma ++++的值.例9.已知1≠ab ，且有08200952=++a a 及05200982=++b b ，求b a 的值.例10.已知m 为实数，一元二次方程041252=++-m x x 有一根大于2，另一根小于2，求m 的取值范围.例11.设21x x 、是关于x 的一元二次方程06)53(422=---m x m x 的两个实数根，且2321=x x ，求m 的值.例12.设21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求))((1211b a b a ++和))((2221b a b a ++的值.例13.已知实数z y x 、、满足0=++z y x ，2=xyz ，求z y x ++的最小值.例14.设实数y x 、满足222=++y xy x ，求22y xy x +-的取值范围.能力提升1.已知一元二次方程01022=-+kx x 的一个根是2-，则它的另一个根为________，=k ________.2.已知关于x 的一元二次方程0)2()69(322=--+-+b x b b x 的两个实数根的倒数和为2，则 =b _________.3.设一元二次方程012=--mx x 的两根是21x x 、.若321=-x x ，则=m ____________.4.已知n m 、是关于x 的一元二次方程0719992=++x x 的两个实数根，则n n m m 2000)(61998(22+++=+)8____________.5.已知05232=--m m ，03252=-+n n ，其中n m 、是实数，则=-nm 1____________. 6.若βα、是一元二次方程0532=--x x 的两个根，则=-+ββα3222____________.7.若一元二次方程02322=+-x x 的两个实数根为βα、，它也是一元四次方程024=++q px x 的两个实数根，则=p ____________.8.已知b a 、为实数且满足0132=++a a ，0132=++b b ，则=+ba ab ____________. 9.已知c b a 、、均为实数，且8=-b a ，0162=++c ab ，则=++c b a ____________.10.若y x 、为实数，且24122≤+≤y x ，则2242y xy x +-的取值范围是____________.11.已知ABC ∆的三边长c b a 、、满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则可确定ABC ∆的形状是_________三角形.12.设βα、是一元二次方程012532=--x x 的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2)(βα- (2)βααβ+ (3))11)(11(--βα 13.已知关于x 的一元二次方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21x x 、.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说 明理由.14.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是一元二次方程03252=-+x x 的各根的负倒数.15.若关于x 的一元二次方程0)2()1(222=+---b x a x 有两个相等的实根. (1)求31998b a +的值；(2)求作以b a 、为根的一元二次方程.16.已知一元二次方程为0232=-+x x ，不解方程，利用根与系数的关系求作一个新的一元二次方程，使它的两根分为(1)已知方程的两根的倒数；(2)已知方程两根的两倍；(3)已知方程两根的2倍大1；(4)一根是原方程两根的和的倒数，另一根是原方程两根的差的平方.17.已知关于x 的一元二次方程052622=+-+-p p x x 的一个根为2，求另一个根及p 的值.18.已知一元二次方程01222=--x x 的两根为βα、，不解方程，求： (1)βααβ212122-+-的值； (2)βα-的值.19.已知一元二次方程062=++kx x 的两个实数根是21x x 、，同时一元二次方程062=+-kx x 的两个实数根是5521++x x 、，求k 的值.20.设21x x 、是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++q q px x 的两个实数根，且13222121=++x x x x ，0)1()1(2211=+++x x x x ，求q p 、的值.21.已知一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根为21x x 、.(1)是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(2)求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值. 22.已知一元二次方程04232=--x x ，求作另一个一元二次方程，使其两根分别是原方程两根的倒数.23.不解方程，求作一个关于y 的一元二次方程，使它的首项系数为1，两个根分别是一元二次方 程0132=++x x 的两个根的五次方.24.求作一个一元二次方程，使它两根的差是4，两根的乘积是3-.25.已知关于x 的一元二次方程042=++b bx x 有两个相等的实数根，21y y 、是关于y 的一元二次方程04)2(2=+-+y b y 的两个实数根，求作以21y y 、为根的一元二次方程.26.已知一元二次方程08242=+--m x x 的两个实根中一个大于1，另一个小于1，求m 的取值范围.27.已知实数c b a 、、满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. 28.已知实数z y x 、、满足5=+y x ，92-+=y xy z ，求z y x 32++的值.29.已知实数c b a 、、满足0782=+--a bc a ，06622=+-++a bc c b ，试求a 的取值范围.30.已知一元二次方程0)30(112=++-k x x 的两根都比5大，求实数k 的取值范围.31.已知βα、是一元二次方程0872=+-x x 的两个实数根，且βα>，不解方程，求232βα+的值.32.设一元二次方程02=+-q px x 的两个实数根为βα、，而以22βα、为根的一元二次方程仍是02=+-q px x ，问数对),(q p 有多少对?33.已知ABC ∆的边长分别为c b a 、、，且c b a >>，c a b +=2，b 为正整数，若84222=++c b a ，求b 的值.参考答案：1.52, -12.1或103.4.19915.83或0 6.24-4 8. 2或7 9. 0 10.12£x 2-2xy +4y 2£3 11.等腰 12.1699; -9736; 76 13.k <14且k ¹0 14.3x 2+2x -5=0 15.-7; x 2+x -2=0 16.2x 2-3x -1=0; x 2+12x -8=0; 3x 2-50x -17=0 17.另一个根为4，p 的值为或-118.1; 19.5 20. p =0q =1ìíî或p=q =-1ìíïîï21.(1)不存在 提示：利用判别式和韦达定理 (2)-5,-3,-2 22.4x 2+3x -2=0 23.y 2+123y +1=0(提示：x 15+x 25=(x 12+x 22)(x 13+x 23)-(x 1x 2)2(x 1+x 2)) 24.x 2-2x -3=0或x 2+2x -3=025.x 2-+2=0 26.m >52 27.x =228.3 29.1£a £9 30.0<k £14 31.403-8提示：构造2a +3b 2的对偶式2b +3a 2，计算它们和与差建立方程组，从而求得结果 32.3 33.5。
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根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程 (a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，02=++c bx ax 则x 1+x 2= -，x 1x 2=a b ac （2）若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为(a≠0)()[]021212=+++x x x x x x a 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ， 解得： ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解(提高)
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.【要点梳理】要点一、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++；⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x x x x x xx x x x x++-+==； ⑨12x x -==⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）1. 阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca． 根据上述材料解决下列问题：已知关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2；有两个实数根：x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）设y=x 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值． 【思路点拨】（1）首先将原方程化为一般式，由关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m 的取值范围； （2）由y=x 1+x 2=-ba，代入即可求得：y=2-2m ，根据（1）中m 的取值范围，即可求得最小值． 【答案与解析】【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．举一反三：【变式】（杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．（1）当m=0时，求方程的根；（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4；（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根，∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m2﹣4（m+2）+4=m2﹣4m﹣4=41，∴m2﹣4m﹣45=0，解得m1=9，m2=﹣5．当m1=9时，方程为x2﹣22x+81=0，△=（﹣22）2﹣4×81=160＞0，符合题意；当m1=﹣5时，方程为x2+6x+25=0，△=62﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意；故m的值为9；（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+2）2﹣4m2=0，解得：m=﹣1，∴方程变为x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，∵1+1＜9，∴不能构成三角形；②当9为腰时，设x1=9，代入方程得：81﹣18（m+2）+m2=0，解得：m=15或3，当m=15时方程变为x2﹣34x+225=0，解得：x=9或25，∵9+9＜25，不能组成三角形；当m=3时方程变为x2﹣10x+9=0，解得：x=1或9，此时三角形的周长为9+9+1=19．2.（肇庆二模）设x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： （1）（x 1﹣x 2）2；（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】欲求（x 1﹣x 2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=．（1）（x 1﹣x 2）2=x 12+x 22﹣2x 1x 2=x 12+x 22+2x 1x 2﹣4x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2==10． （2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=x 1x 2+1+1+==．【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】 【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 【答案】（1）134； （2）3．类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）3.（灌云县期末）已知关于x 的方程x 2+ax ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为2，求a 的值及该方程的另一根．【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a 2+8≥8，由此即可证出不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入原方程求出a 值，设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．【答案与解析】解：（1）在方程x 2+ax ﹣2=0中，△=a 2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8，∵a 2+8≥8，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=2代入原方程，4+2a ﹣2=0，解得：a=﹣1．设方程的另一个根为m ， 由根与系数的关系得：2m=﹣2， 解得：m=﹣1．∴a 的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．一元二次方程根与系数的关系—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-12．已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且方程2222cx bx a bx ax b ++=++有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 3．（曲靖一模）已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣3=0的两根为α与β，则的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．20135．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（ ）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129-6.（芦溪县模拟）设x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，则x 12+x 22的值是（ ） A ．15 B ．12 C ．6 D ．3二、填空题7．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________． 8．（凉山州）已知实数m ，n 满足3m 2+6m ﹣5=0，3n 2+6n ﹣5=0，且m≠n，则n m m n+= ．9．（濮阳校级自主招生）求一个一元二次方程 ，使它的两根分别是方程x 2﹣7x ﹣1=0各根的倒数．10．在Rt △ABC 中，∠C=900，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是 .11．已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 ，（1）当k 为 时，两根互为相反数；（2）当k 为 时，有一根为零，另一根不为零. 12．（仁寿县一模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=7，则m 的值是 ．三、解答题13. 已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于294，求m 的值．14．已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.15．（杭州校级期中）如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1•x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=﹣4，q=3，求方程x 2+px+q=0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．【答案】A ；【解析】方程化为(c-b)x 2+2(b-a)x+(a-b)＝0，∴ △＝4(b-a)2-4(c-b)(a-b)＝0 即4(a-b)(a-c)＝0，∴ a ＝b 或a ＝c ，∴ △ABC 为等腰三角形．3．【答案】A ；【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，所以===﹣1．故选A ．4.【答案】C ； 【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．5．【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=，又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b 可看成方程25201290x x ++=的两根， 再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．6．【答案】C ；【解析】解：∵x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，∴x 1+x 2=3，x 1x 2=，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=32﹣2×=6． 故选：C ．二、填空题 7．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 8．【答案】﹣；【解析】解：∵m≠n 时，则m ，n 是方程3x 2+6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，故答案为：﹣．9．【答案】x 2+7x ﹣1=0；【解析】解：设方程x 2﹣7x ﹣1=0的两根为α、β，则有：α+β=7，α•β=﹣1． ∴==﹣7，=﹣1，∴以、为根的方程为x 2+7x ﹣1=0．故答案为：x 2+7x ﹣1=0．10．【答案】；【解析】因直角三角形两直角边a 、b 是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c 2=a 2+b 2③，联立①②③组成方程组求得c=5， ∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为.11．【答案】（1）k=0；（2）k=.【解析】解：设方程的两根为x 1, x 2，则x 1+x 2=-=-；x 1x 2= .（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零， 即x 1+x 2=-=0，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=16>0 ∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零， 即x 1x 2==0，解得k=.又当k=时，x 1+x 2=-≠0，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k -2)=>0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.12.【答案】-1.【解析】解：根据题意得x 1+x 2=m ，x 1x 2=2m ﹣1，∵x 12+x 22=7，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=7，∴m 2﹣2（2m ﹣1）=7，解得m 1=﹣1，m 2=5，当m=﹣1时，原方程变形为x 2+x ﹣3=0，△=1﹣4×（﹣3）＞0，方程有两个不等实数根；当m=5时，原方程变形为x 2﹣5x+9=0，△=25﹣4×9＜0，方程没有实数根； ∴m 的值为﹣1． 故答案为﹣1．三、解答题13. 【答案与解析】设方程的两根为x 1、x 2，则由根与系数关系，得122m x x +=，12122m x x -=． 由题意，得 2212294x x +=，即2121229()24x x x x +-=，∴ 212292224m m -⎛⎫-=⎪⎝⎭， 整理，得28330m m +-=．解得13m =，211m =-．当m ＝3时，△＝28(21)490m m +-=>；当m ＝-11时，△＝28(21)630m m +-=-<，方程无实数根． ∴ m ＝-11不合题意，应舍去． ∴ m 的值为3．14. 【答案与解析】(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k ＋1)]2－4k (k -1)>0，且k ≠0，解得k >-13，且k ≠0 .即k 的取值范围是k >-13，且k ≠0 . (2) 假设存在实数k ，使得方程的两个实数根x 1 , x 2的倒数和为0.则x 1 ，x 2不为0，且01121=+x x ，即01≠-kk ，且01)1(2=-+kk k k ，解得k =-1 . 而k =-1 与方程有两个不相等实根的条件k >-13，且k ≠0矛盾， 故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k 不存在 .15.【答案与解析】解：（1）当p=﹣4，q=3，则方程为x 2﹣4x+3=0，解得：x 1=3，x 2=1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5=0，b 2﹣15b ﹣5=0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5=0的解， 当a ≠b 时，a+b=15，a ﹣b=﹣5， +====﹣47；当a=b 时，原式=2．（3）设方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则+==﹣，•==，则方程x 2+x+=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。
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根与系数的关系知识点及综合应用
一、一元二次方程根与系数的关系
（1） 若方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，
则x 1+x 2= -a b ，x 1x 2=a c （2） 若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为
()[]
021212=+++x x x x x x a (a ≠0) 二、根与系数的关系的应用：
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；
（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定
或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中
＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及
的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，
先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即
解得当时，原方程均可化为：
，解得：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：，
即解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
（4）求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x 1和x 2的代数式的值，
根与系数关系常用的转化关系：
x 12 + x 22 =(x 1+x 2)2 - 2x 1x 2 ；2
11x 1x
+=2121x x x x + ；（x 1+a ）(x 2+a)=x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2； （x 1-x 2）2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2 ；∣x1-x2∣=()[]
212214x x x x -+ （5） 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般
式.
X 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
（6）运用判别式及根与系数的关系解题。
例：已知、
是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
（1） （2）
若，则有：；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若，则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
（7）运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以
设，与相加，得：
）
（变形目的是构造和）根据根与系数的关系，有：
，
于是，得：
∴=0
解法二：由于、是方程的实数根，
∴
∴
说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。
这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
（8）运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为，根据根的意义，
有
两式相减，得
当时，，方程的判别式
方程无实数解
当时，有实数解
代入原方程，得，所以
于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。