时间响应分析
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y t y t y t 1 2
通解
y ' ' py ' qy 0
特解
y ' ' py ' qy f ( x )
m y t ky t 0 m y t ky t F cos t
★根据 m 求通解y1(t) y t ky t 0
p 0 , q k / m , 0 , P ( x ) F / m , P ( x ) 0 , b 0 l n
ik / m i 特征根 r 1 , 2
( 1 ) ( 2 ) y ( t ) R cos t R sin t 2
0
F 1 y t cos t 2 2 k1
x f ( x ) e P ( x ) cos x P ( x ) sin x 时 l n
y ' ' py ' qy f ( x )
i 为特征方程根,则β= 1；否则β = 0。 其中：当
( 1 ) ( 2 ) R ( x ), R x ) 代入原方程可求得,b = max(l,n)。 b b (
F 1 ( 2 ) 代入原方程得 R , R 0 2 k1
( 1 )
n
y t y t y t 1 2 F1 A sin t B cos t 2 cos t n n k 1 A、B根据初始条件及上式决定：
，
y 0 A n
②系统所有特征根si (i = 1,2…n )均具有正实部，即Re[si] >0，
F 1 B y 0 2 k1
y ( 0 ) F 1 F 1 y t sin t y ( 0 ) cos t 2 cos t 2 co t n n n k 1 k 1 n
自由响应
强迫响应
y (t )
y (0)
②由y(t)=L-1[G(s)X(s)]所求得的输出是系统的零状态响应；
③对于线形定常系统，若x(t)引起的输出为y(t)，则x’(t)引起 的输出为y’(t)，如此可求得下式的响应：
n n 1 1 a y t a y t a y t a y t n n 1 1 0 m m 1 1 b x t b x t b x t b x t m m 1 1 0
时间响应分析
3.1 时间响应及其组成
（1）时间响应概念 时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式， 或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。 例1 无阻尼的单自由度系统
动力学方程为：m y t ky t F cos t
动力学方程 m 的解？… y t ky t F cos t 二阶线性非齐次方程 y ' ' py ' qy f ( x ) 根据微分方程的结构理论：
（3）微分方程特征根的意义
i i i i
s t j t t j t t e e e e e cos t j sin t i i ①系统的所有特征根si (i = 1,2…n )均具有负实部，即
i i
Re[si] <0，则其自由响应项最终会趋于0，也就是说系 统的自由响应项
n
sin n t y (0) cos n t
零输入响应
F 1 F 1 cos t cos t n 2 2 k 1 k 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu零状态响应
按响应的来源分为： 零状态响应：初始状态为零时，系统输入引起的响应； 在控制工程中，如无特殊说明，所讲的响应往往是零 状态响应。 零输入响应：系统输入为零时，初始状态引起的响应。 按振动频率与作用频率的关系分为： 自由响应：振动频率与作用频率无关； 强迫响应：振动频率与作用频率相同。
y ' ' py ' qy 0
2 i 时 当特征方程 r 中有一对共轭复根 r pr q 0 1 ,2
x y e C cos x C sin x 1 2
2 特征方程为 mr k 0
r i 1 ,2
k m
0 k n m
s it A e A e 1i 2i 收敛。这种系统 s it i 1 i 1 n n
称为稳定系统。此时自由响应项又称为瞬态响应项， 强迫响应项又称为稳态响应项。
Re[si] <0绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的 快慢。绝对值越大，则它所对应的自由响应项衰减得越快。
系统特征根的虚部Im[si]的 分布情况在很大程度上决定了系 统自由响应的振荡情况，绝对值 越大，则自由响应项振荡频率越 高，它决定了系统的响应在规定 时间内接近稳态响应的情况，这 影响着系统响应的准确性。
（2）一般情况的时间响应
n阶线性定常系统，动力学方程表示为：
n n 1 1 a y t a y t a y t a y t x t n n 1 1 0
设其特征根为si (i = 1,2…n ) ，则系统的时间响应为：
讨论： ①系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；
y t A sin t B cos t 1 n n
y t ky t F cos t ★根据 m 求特解y2(t)
当
x( 1 ) ( 2 ) y x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sin x ] b b
通解
y ' ' py ' qy 0
特解
y ' ' py ' qy f ( x )
m y t ky t 0 m y t ky t F cos t
★根据 m 求通解y1(t) y t ky t 0
p 0 , q k / m , 0 , P ( x ) F / m , P ( x ) 0 , b 0 l n
ik / m i 特征根 r 1 , 2
( 1 ) ( 2 ) y ( t ) R cos t R sin t 2
0
F 1 y t cos t 2 2 k1
x f ( x ) e P ( x ) cos x P ( x ) sin x 时 l n
y ' ' py ' qy f ( x )
i 为特征方程根,则β= 1；否则β = 0。 其中：当
( 1 ) ( 2 ) R ( x ), R x ) 代入原方程可求得,b = max(l,n)。 b b (
F 1 ( 2 ) 代入原方程得 R , R 0 2 k1
( 1 )
n
y t y t y t 1 2 F1 A sin t B cos t 2 cos t n n k 1 A、B根据初始条件及上式决定：
，
y 0 A n
②系统所有特征根si (i = 1,2…n )均具有正实部，即Re[si] >0，
F 1 B y 0 2 k1
y ( 0 ) F 1 F 1 y t sin t y ( 0 ) cos t 2 cos t 2 co t n n n k 1 k 1 n
自由响应
强迫响应
y (t )
y (0)
②由y(t)=L-1[G(s)X(s)]所求得的输出是系统的零状态响应；
③对于线形定常系统，若x(t)引起的输出为y(t)，则x’(t)引起 的输出为y’(t)，如此可求得下式的响应：
n n 1 1 a y t a y t a y t a y t n n 1 1 0 m m 1 1 b x t b x t b x t b x t m m 1 1 0
时间响应分析
3.1 时间响应及其组成
（1）时间响应概念 时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式， 或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。 例1 无阻尼的单自由度系统
动力学方程为：m y t ky t F cos t
动力学方程 m 的解？… y t ky t F cos t 二阶线性非齐次方程 y ' ' py ' qy f ( x ) 根据微分方程的结构理论：
（3）微分方程特征根的意义
i i i i
s t j t t j t t e e e e e cos t j sin t i i ①系统的所有特征根si (i = 1,2…n )均具有负实部，即
i i
Re[si] <0，则其自由响应项最终会趋于0，也就是说系 统的自由响应项
n
sin n t y (0) cos n t
零输入响应
F 1 F 1 cos t cos t n 2 2 k 1 k 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu零状态响应
按响应的来源分为： 零状态响应：初始状态为零时，系统输入引起的响应； 在控制工程中，如无特殊说明，所讲的响应往往是零 状态响应。 零输入响应：系统输入为零时，初始状态引起的响应。 按振动频率与作用频率的关系分为： 自由响应：振动频率与作用频率无关； 强迫响应：振动频率与作用频率相同。
y ' ' py ' qy 0
2 i 时 当特征方程 r 中有一对共轭复根 r pr q 0 1 ,2
x y e C cos x C sin x 1 2
2 特征方程为 mr k 0
r i 1 ,2
k m
0 k n m
s it A e A e 1i 2i 收敛。这种系统 s it i 1 i 1 n n
称为稳定系统。此时自由响应项又称为瞬态响应项， 强迫响应项又称为稳态响应项。
Re[si] <0绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的 快慢。绝对值越大，则它所对应的自由响应项衰减得越快。
系统特征根的虚部Im[si]的 分布情况在很大程度上决定了系 统自由响应的振荡情况，绝对值 越大，则自由响应项振荡频率越 高，它决定了系统的响应在规定 时间内接近稳态响应的情况，这 影响着系统响应的准确性。
（2）一般情况的时间响应
n阶线性定常系统，动力学方程表示为：
n n 1 1 a y t a y t a y t a y t x t n n 1 1 0
设其特征根为si (i = 1,2…n ) ，则系统的时间响应为：
讨论： ①系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；
y t A sin t B cos t 1 n n
y t ky t F cos t ★根据 m 求特解y2(t)
当
x( 1 ) ( 2 ) y x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sin x ] b b