2.2等差数列第二课时教案

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【高中数学必修5】2.2等差数列(第2课时)教学设计(一)

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变式训练，深化提高
2.已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．证：∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
-13-
反思小结，观点提炼
1.等差中项的定义与应用 2. 判断一个数列是否为等差数列只需看 an1an(nN*)是否为常数； 3.等差数列的性质
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设计问题，创设情境
在上一节我们已经学习了等差数列，掌握了等差数列的定义、通项公式与公差，作为一类特殊的数列，是否具有某些特殊的性质，又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢？
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信息交流，揭示规律
1.等差中顶定义如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b组成等差数列，可以看成最简单的等差数列。这时A叫做a与b的等差中项。
解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1（n＞1），
求差得a n a n 1 (p q n ) [p ( n 1 ) q ]
pnq(pnpq) p
它是一个与n 无关的常数，所以{an}是等差数列。
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运用规律，解决问题
例2 已知等差数列{ a n }中, a1a4a715，a2a4a6 45
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变式训练，深化提高
1. 三个数成等差数列，其和为 15，其平方和为 83，求此三个数．
解设三个数分别为 x－d，x，x＋d．
(x d ) x (x d ) 15
则 (x
d)2
x2
(x
d)2
83
解得
x d
5 2
或
x d
5 2

高中数学《2.2.2 等差数列(二)》教案新人教A版必修5

2.2.2 等差数列（二）教学要求：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；并能运用所学知识解决一些生活中的等差数列.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：一、复习准备：1. 练习：在等差数列{}n a 中, 若 32a = 813a =-，求公差d 及14a .2. 提问：如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度？二、讲授新课：1. 教学等差中项的概念：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=；反之，若2b a A +=，则A-a =b -A. 由此可可得：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列.例1：求下列两个数的等差中项①5+2,34a b a b +-.2. 生活中的等差数列：例2、某市居民生活用水的计费标准如下：若居民在某月用水量不超过5吨，则统一收取水费6元，否则超过部分则按1.35元/吨的标准收取水费. 如果己知某户居民该月用水量为18吨，问他此月需支付多少水费？（学生自练→学生演板→教师点评）例3、某地区1997年底沙漠面积为52910hm ⨯. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变观测结果记录如下表：00 7999请（1）如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变为多少2hm ？（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造80002hm 沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于22910hm ⨯？3. 小结：等差中项的概念，等差数列的公差、首项、项数及通项公式间的关系，等差数列的性质及其应用.三、巩固练习：1. 有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m处放一根，以后每50m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km？2. 作业：教材P46 第4、5题。

21-22版：§2.2　第2课时　等差数列的性质（步步高）

[素养提升] 等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量 (a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算.前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.
随堂演练
SUITANGYANLIAN
课时对点练
KESHIDUIDIANLIAN
基础巩固
1.已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30，则a2＋a4＋
a6等于
√ A.20 B.24
C.26
D.28
解析 ∵等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30，设公差为d，两式相减可得6d＝30－18＝12，∴d＝2. 则a2＋a4＋a6＝a1＋a3＋a5＋3d＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.数列{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，则a75等于
√A.24
B.28
C.32
D.36
解析 ∵d＝a6600－－1a515＝4152＝145， ∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
√A.12
B.24
C.16
D.32
解析令 bn＝ann，由题意可知 b3＝a33＝23，b15＝a1155＝2，则等差数列{bn}的公差 d＝b1155－－b33＝19，则 b9＝b3＋(9－3)d＝43，所以 a9＝9b9＝12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件

a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出什么结论?

江苏省必修5教案 2.2等差数列2

一般的：若成等差数列那么、、、…也成等差数列
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材练习
2.在等差数列中,若求
五、归纳整理，整体认识
本节课学习了以下内容：
1．成等差数列，等差中项的有关性质意义
2．在等差数列中，（，，，）
3．等差数列性质的应用过程
一、创设情景，揭示课题
复习等差数列的定义、通项公式；
（1）等差数列定义
（2）等差数列的通项公式： ( 或 ( 是常数))
（3）公差的求法：① - ② ③
二、研探新知
1.等差中项的概念：
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中，，成等差数列．
2.一个有用的公式：
在等差数列中，为公差，若且
2.2
教学
目标
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；
2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
重点
难点
重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
教学反思
求证：① ②
证明：①设首项为，则
∵ ∴
② ∵
∴
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材例3）
例2①在等差数列中，，求．
②在等差数列中，，求的值。
解：①由条件：；
②由条件：∵ ∴ ∴ ．
例3若求
解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2…… ∴ , ……从而

等差数列的前n项和的最值教学文稿

6
213+23+33+ +n3=nn2+12
(3)裂项法：设{an}是等差数列，公差d≠0
1+1+1++ 1 =n
a1a2 a2a3 a3a4
anan + 1 a1an + 1
其中ana1n+1
1 1 =dan
1 -
an+1
求和 S n= 1 1 3+ 3 1 5+ 5 1 7++ 2 n -1 1 2 n + 1
例3设等差数列 an 的前n项和为s n ,
已知a324,s110 求：
①数列an 的通项公式 an=-8n+48
②当n为何值时，s
s22最大
n
最大，
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由Sn
dn2 2
(a1
d)n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由 an≥0且an+1≤0求得.
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
a a
n
n1
0
0
n
15 2
得
n
13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题

高中数学优质教案1：2.2.2等差数列(二)

课§2.2.2 等差数列（二）周次第____ 周星期____ 时间___________ 月____ 日课型①新授课（√）②习题课（）③复习课（）④讲评课（）⑤实验课（）教学目标知识与技能1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质3．掌握等差数列的性质及其应用．过程与方法通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

教材分析重点等差数列的性质及证明.难点运用等差数列定义及性质解题．课时数 1 教法教学手段教学过程设计教学环节教师活动学生活动(一)知识链接（1）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有a n＋1－a n＝________.（2）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有2a n＋1－a n＝________.基础较差的同学回答【答案】（1）d；（2）a n+2教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究一.等差数列通项公式的推广问题1. 若已知等差数列{a n}中的第m项a m和公差d，如何表示通项a n？自主推导，自主回答.【解析】设等差数列的首项为a1，则a m＝a1＋(m－1)d，得a1＝a m－(m－1)d，∴a n＝a1＋(n－1)d＝a m－(m－1)d＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.【获取新知】（1）广义的等差数列通项公式：a n＝a m＋(n－m)d；（2）由任意两项和公差：.例1.若数列{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．快速口答【解析】由题意，该数列的公差∴变式 1. 等差数列{a n}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()A．2 B．20 C．100 D．不确定快速口答【答案】A教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究二.等差数列与一次函数的关系问题2.（1）等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d与一次函数有什么关系？（2）若数列{a n}的通项公式是一次函数a n＝pn＋q，其中p、q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？小组讨论，展示成果.【解析】（1）∵数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：.显然，当时，是关于序号n的一次函数，其图象是直线上一系列孤立的点，d为该直线的斜率，a1－d是该直线在y轴上的截距.（2）取数列{a n}中任意两项a n和a n－1(n>1)，则a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝p．显然，这是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列．将一次函数变形为等差数列通项公式的形式为：a n ＝pn＋q＝(q＋p)＋(n－1)p，所以该数列的首项a1＝p＋q，公差d＝p.【获取新知】（1）当公差d＝0时，等差数列是常函数，不是一次函数；（2）当公差d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，且其斜率即为公差d，在y轴上的截距为a1－d．基础较好的同学，作最后总结.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究三. 等差数列的单调性问题3. 根据等差数列与一次函数的关系，你能根据等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d判断它的单调性吗？小组讨论，展示成果.答：当时，数列为常数列；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．例2. 已知递增数列{a n}满足，则__________快速求解，同学甲回答.【答案】【解析】由得，即，解得又{a n}是递增数列，所以，所以变式2.若是递增数列，则的取值范围____________.小组讨论，展示成果.【答案】【解析】由得.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究探究四. 等差数列的性质（一）等差数列的项与序号的关系问题4. 已知数列{a n}是等差数列（1）是否成立？呢？为什么？（2）是否成立？据此你能得到什么结论？是否成立？你又能得到什么结论？小组讨论，展示成果.答：在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m＋a n＝a p＋a q . 特别地，若m+n=2p，则a m＋a n＝2a p .【解题反思】（1）由a m＋a n＝a p＋a q能推出m+n=p+q吗？（2）由m+n=p能推出a m＋a n＝a p 吗？小组讨论，展示成果.答：（1）当等差数列{a n}是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m+n=p+q；当等差数列{a n}不是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q一定能推出m+n=p+q.（2）由m+n=p 不能推出a m＋a n＝a p.例3. 已知数列{a n}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_______.快速解答，同学乙回答思路和结论.【答案】234【解析】∵a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13∴a9＝117 ∴a3＋a15＝a9＋a9＝234.变式3.已知等差数列{a n}中，a2＋a6＋a10＝1，则a3＋a9＝______.快速求解，快速抢答.【答案】【解析】由等差数列的性质，知a2＋a10＝2a6，又a2＋a6＋a10＝1. ∴3a6＝1，a6＝∴a3＋a9＝2a6＝.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探（二）等差数列的子列的性质究（二）等差数列的子列的性质问题5. 已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.（1）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（2）如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？（3）你能根据得到的结论做出一个猜想吗？小组讨论，展示成果.答：（1）组成的新数列是等差数列，它的首项是a1，公差为2d；（2）组成的新数列仍然是等差数列，它的首项是a1+6d= a7，公差为7d；（3）若数列{a n}和{k n}都是等差数列，其公差分别为，则也是等差数列，且公差为.（三）等差数列的其他性质问题6.设等差数列，的公差分别为，判断是否为等差数列？如果是，给出证明，并写出首项和公差；如果不是，请说明理由.同学丙板书，其他同学在草稿纸上自主推证.答：是等差数列证明：令，则.∴是等差数列，且首项为，公差为.教学过程设计教学环节教师活动学生活动(二)新知探究【解题反思】（1）当时，你能得到什么结论？（2）当时呢？基础中等同学回答答：（1）当时，得是首项为，公差为的等差数列.（2）当时，也是等差数列，且公差为.例4. 设数列，都是等差数列，若，则_______.快速抢答【答案】35【解析】两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{c n}，则{c n}为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.(三)作业布置完成“一课一练”.(四)板书设计可擦区。

等差数列第二课时教案

2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、新知探究（一）等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时叫做和的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二）等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列是等差数列, 公差为 .若 >0,则是递增数列；若 <0,则是递减数列；若 =0,则是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列中, 若 ,则一定成立吗?特别地, ,则成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。

数学：2.2《等差数列(2)》教案(苏教版必修5)_20121008095245653

§2.2 等差数列（2）教学目标：1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系；能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

教学重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。

教学难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。

教学用具：多媒体、实物投影仪.一、创设情景1．复习等差数列的定义、通项公式；（1）等差数列定义（2）等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或p dn a n +=(p 是常数))（3）公差d 的求法：① =d n a -1-n a ②=d 11--n a a n ③=d m n a a m n -- 2．等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ 二、数学建模：1.等差中项的概念：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A +=． 2.一个有用的公式：（1）已知数列{n a }是等差数列①7352a a a +=是否成立？9152a a a +=呢？为什么？②)1(211>+=+-n a a a n n n 是否成立？据此你能得到什么结论？ ③)0(2>>+=+-k n a a a k n k n n 是否成立？？你又能得到什么结论？（2）在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+ 求证：①q p n m a a a a +=+ ②d q p a a q p )(-+=证明：①设首项为1a ，则d q p a d q a d p a a a dn m a d n a d m a a a q p n m )2(2)1()1()2(2)1()1(111111-++=-++-+=+-++=-++-+=+∵ q p n m +=+ ∴q p n m a a a a +=+② ∵d p a a p )1(1-+= d p a d q p d q a d q p a q )1()()1()(11-+=-+-+=-+ ∴ d q p a a q p )(-+=探究：等差数列与一次函数的关系注意：（1）由此可以证明一个结论：设}{n a 成AP ，则与首末两项距离相等的两项和相等，即：=+=+=+--23121n n n a a a a a a ，同样：若p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d三、精讲例题：例1）已知等差数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，求首项 1a 和公差d 。

苏教版数学必修五：2.2.2等差数列的通项公式(2)学案【教师版】

课题：§2.2.2 等差数列的通项公式（2）总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】掌握等差数列的性质【重点难点】教学重点：等差数列的性质的推导及应用.教学难点：等差数列的性质的理解、把握和应用..【学习过程】自主学习与交流反馈问题 (1)在等差数列{}n a 中102a a +与93a a +、102a a +与84a a +的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？(2)在等差数列{}n a 中102a a +、93a a +、84a a +与6a 的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？(2)在等差数列{}n a 中选出,...,,,10741a a a a 构成新的数列，该数列是等差数列吗？如果是公差是多少？你能得出更一般性的结论吗？知识建构与应用等差数列的性质：例1 (1)已知在等差数列{a n }中，a 7 + a 9 = 16，a 4 = 1，求a 12；(2)已知在等差数列{a n }中，已知a 3 = 10，a 9 = 28，求a 12.例2 已知数列{a n }和{b n }是两个无穷等差数列，公差分别为d 1，d 2，求证：数列{a n + b n }是等差数列，并求其公差.例3 已知在等差数列{}n a 中，满足4532=⋅a a ，1441=+a a .求数列的{}n a 的通项公式，并判断该数列的单调性.【巩固练习】1．已知在等差数列{}n a 中，20162=+a a ,则=9a ___________.2．已知在等差数列{}n a 中，3773=+a a ,则=+++8642a a a a ______.3．已知n n n a a a a a a 21321,,,,,,, +是公差为d 的等差数列，则(1)n a a a a 2642,,,, 是公差为的等差数列；(2){}b ka n +是公差为的等差数列．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．数列{a n }的公差d = __________.6．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则a 13 + 2a 6 + a 17 = _______.【回顾反思】六、作业批改情况记录及分析。

必修5教案2.2等差数列的概念(二)

§2.2第2课时等差数列的通项公式教学目标（1）理解等差数列中等差中项的概念；（2）会求两个数的等差中项；（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；（4）掌握证明等差数列的方法。

教学重点，难点等差中项的概念及等差数列性质的应用。

教学过程一．问题情境1．复习：等差数列的定义、通项公式；2．问题：（1）已知12312,,,,,,n n n a a a a a a + 是公差为d 的等差数列。

①121,,,,n n a a a a - 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？2462,,,n a a a a 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 。

①将数列{}n a 中的每一项都乘以常数a ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？②由数列{}n a 中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列{}n c 是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）已知数列{}n a 是等差数列，当m n p q +=+时，是否一定有m n p q a a a a +=+？（4）如果在a 与b 中间插入一个数A ，使得a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？二．学生活动与学生一起讨论得出结论。

三．建构数学1．等差中项的概念：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A +=．2．等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+四．数学运用1．例题：例1．已知等差数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，求首项1a 和公差d 。

2019-2020年高中数学《2.2等差数列》第2课时教案新人教A版必修5

2019-2020年高中数学《2.2等差数列》第2课时教案新人教A版必修5【学习目标】明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

【学习重点】等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用【学习难点】灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题【授课类型】新授课【教具】多媒体、实物投影仪2019-2020年高中数学《2.2等差数列》第2课时评估训练新人教A 版必修51．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析由a 2＋a 8＝2a 5＝12得：a 5＝6，故选C. 答案 C2．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( )．A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列解析 ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ， ∴数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．答案 C3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )．A ．4B ．6C ．8D ．10解析由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.答案 C4．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________. 解析 ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105，a 3＝35. ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99.∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2. ∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1. 答案 15．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：83<d ≤3.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 6．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则 (a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)， ∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14. (2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则 (a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )， ∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11. (3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则 (26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)， ∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.综合提高限时25分钟7．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )．A. 3B ．± 3C ．－33D ．－ 3解析由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案 D8．(xx·本溪高二检测)在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为( )．A.34B ．－34C ．－67D ．－1解析设插入的四个数为x ，y ，z ，r ，则新的数列为a 1，x ，a 2，y ，a 3，z ，a 4，r ，a 5，共九项，∴d ＝a 5－a 19－1＝2－88＝－34. 答案 B9．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.解析因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 答案 1910．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.解析由题意设这4个根为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d .则14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋3d ＝2，∴d ＝12，∴这4个根依次为14，34，54，74，∴n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516或n ＝1516，m ＝716，∴|m －n |＝12.答案 1211．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？解法一由等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d 列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a14＝－46＋13×2＝－20.∴a n＝－46＋(n－1)·2＝2n－48.令a n≥0，即2n－48≥0⇒n≥24.∴从第25项开始，各项为正数．法二在等差数列{a n}中，根据a n＝a m＋(n－m)d，∴a51＝a11＋40d，∴d＝140(54＋26)＝2.∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20.∴a n＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，∴a n＝2n－48.显然当n≥25时，a n>0.即从第25项开始各项为正数．12．(创新拓展)已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．(1)解设数列{a n}是等差数列，则a n＋1－a n＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，则2p＝0，即p＝0.∴当p＝0时，数列{a n}是等差数列．(2)证明∵a n＋1－a n＝2pn＋p＋q，∴a n＋2－a n＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，∴(a n＋2－a n＋1)－(a n＋1－a n)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)．∴对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．。

高中数学《2.2等差数列》第2课时课件新人教A版必修

请您根据提供的信息说明，求 (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． (3)哪一年的规模最大？请说明理由．审题指导本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知识和等差数列的函数特征． [规范解答] 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1， a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (2分)
fx2－fx1 (2) k＝ (x1≠x2)． x2－x1 当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率．如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d， an－am 类比直线方程的斜率公式得 d＝ . n－m
即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 法二若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 3 把 a＝1－ d 代入 a(a＋3d)＝－8， 2
解由等差数列{an}的性质知：a3＋a7＝a4＋a6，从而a3a7 ＝－12，a3＋a7＝－4，故a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两根，又d>0，解之，得a3＝－6，a7＝2. a1＋2d＝－6， a1＝－10，再解方程组解得 a1＋6d＝2， d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12，即an＝2n－12.

高中数学《2.2等差数列》第2课时教案新人教A版必修5

（3） 2an
an k
a (n nk
k
0) 是否成立？？你又能得到什么结
论？
结论：（性质）在等差数列中，若 m+n=p+q，则， a m an a p a q
即 m+n=p+q am a n a p aq (m, n, p, q
∈N )
但通常①由 a m a n a p a q 推不出 m+n=p+q ，② a m a n am n
1/2
, 能通过通项个性设计
列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… P44 例 2
问：已知数列 { an } 是等差数列
（1） 2a5Βιβλιοθήκη a3a 7是否成立？
2 a5
a1
a 9
呢？为什么？
（2） 2an
an 1
a (n n1
1) 是否成立？据此你能得到什么结论？
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】一、复习引入：
首先回忆一下上节课所学主要内容： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一
项的差等于同一个常数，即 an － a n 1=d ，（ n≥ 2， n∈N ），这个数列就
叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“
d”表示）
课题： 2.2.2 等差数列（ 2）
主备人：
执教者：
【学习目标】明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
【学习重点】等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

教学设计10：§2.2　等差数列

§2.2 等差数列教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导.教学用具：投影仪教学设想创设情景上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列.探索研究由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年10 00010 072第2年10 00010 144第3年10 00010 216第4年10 00010 288第5年10 00010 360各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216，10 288，10 360.思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③10 072，10 144，10 216，10 288，10 360 ④看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）.等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72.提问：如果在与中间插入一个数A ，使，A ，成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A -a =b -A所以就有由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项.9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.看来，从而可得在一等差数列中，若m +n =p +q则等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容.⑴我们是通过研究数列的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式.由学生经过分析写出通项公式：① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20 a b a b 2b a A +=73645142,a a a a a a a a +=++=+q p n m a a a a +=+}{n a（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.⑵那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d ，它的通项公式是什么呢？引导学生根据等差数列的定义进行归纳：所以……思考：那么通项公式到底如何表达呢？……n a n 5=)1(548-+=n a n )1(5.218--=n a n )1(7210072-+=n a n 1a ,12d a a +=,23d a a +=,34d a a +=,12d a a +=,2)(123d a d d a d a a +=++=+=,3)2(134d a d d a d a a +=++=+=得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d 为公差的等差数列的通项公式为：也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d ，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了.选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）：是等差数列，所以……两边分别相加得所以（迭代法）：是等差数列，则有……所以例题分析例1：(1)求等差数列8，5，2，…的第20项.(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？1a }{n a d n a a n )1(1-+=1a n a }{n a ,1d a a n n =--,21d a a n n =---,32d a a n n =---,12d a a =-,)1(1d n a a n -=-d n a a n )1(1-+=}{n a d a a n n +=-1d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-d n a )1(1-+=d n a a n )1(1-+=分析：(1)要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；(2)这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义.解：(1)由=8，d =5-8=-3，n =20，得(2)由=-5，d =-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ,使得-401=-4n -1成立.解这个关于n 的方程，得n =100，即-401是这个数列的第100项.例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d 、n （独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项.例2：某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.令=11.2，表示4km 处的车费，公差d =1.2.那么当出租车行至14km 处时，n =11，此时需要支付车费答：需要支付车费23.2元.例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题.例3：已知数列的通项公式为其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n ＞1）是不是一个与n 无关的常数.解：取数列中的任意相邻两项（n ＞1），1a 49)3()121(820-=-⨯-+=a 1a ,14)1(45--=---=n n a n n a 1a }{n a 1a )(2.232.1)111(2.1111元=⨯-+=a }{n a ,q pn a n +=}{n a 1--n n a a }{n a 1-n n a a 与求差得它是一个与n 无关的数.所以是等差数列.这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项.由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是p +q . 例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列.课堂小结本节主要内容为：①等差数列定义：即(n ≥2)②等差数列通项公式：(n ≥1)推导出公式：p q p pn q pn q n p q pn a a n n =+--+=+--+=--](])1{[)(1}{n a p d q p a =+=公差,1q pn a n +=d a a n n =--1=n a d n a )1(1-+d m n a a m n )(-+=。