综合法与分析法习题课
《综合法与分析法》课件1_(北师大版选修2-2)
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
综合法与分析法 (习题课）
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
一、教学目标
1.理解综合法和分析法的概念。
2.掌握综合法和分析法的基本原理。
3.能够应用综合法和分析法解决实际问题。
4.培养学生系统思维的能力。
二、教学内容
1.综合法的概念和基本原理。
2.分析法的概念和基本原理。
3.综合法和分析法的应用。
三、教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过提问和讲解，引导学生了解问题解决的两种方法：综合法和分析法，并介绍本节课的教学目标和重点。
2. 讲解（25分钟）
2.1 综合法的概念和基本原理
1.综合法是从整体综合出发，从多个方面考虑，综合分析问题的方法。
2.综合法的基本原理是整体观念、多元观念和系统观念。
2.2 分析法的概念和基本原理
1.分析法是从局部出发，从单个方面考虑，分析问题的方法。
2.分析法的基本原理是简化化、抽象化和精确化。
3. 练习（25分钟）
1.给学生提供综合法和分析法的例子，让学生分别应用综合法和分析法解决问题。
2.针对不同的问题，让学生思考采用哪种方法更适合。
4. 总结（5分钟）
让学生回顾本节课的重点内容，并讲解综合法和分析法的区别和联系。
四、教学反思
本节课通过提供练习例子的方式，让学生更深入地理解了综合法和分析法的概念和应用方法。
同时，通过问题讨论的方式，培养了学生系统思维的能力。
第二章 推理与证明习题课
易错提醒
(1)找不准归纳的对象． m 的位置在最高次幂 如
的系数位置． 因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行 归纳； 是 cos2α 的系数， p 所以从 cos2α 的系数入手进行归纳． n 却不能从 cos4α 的系数入手进行归纳，因为第①个式子中没 有 cos4α，缺少归纳的特征项． (2)规律找不准．在 cos2α 的系数：2，－8,，－32，p 的规 律很多考生找不准．事实上，可将各数拆分为 1×2，－2 ×4,3×6，－4×8，即(－1)n＋1· (2n)＝(－1)n＋12n2. n· ∴p＝(－1)6· 2＝50. 2×5
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任 何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于 n(n-1)/2.
解析 因为 a1＝1，2＝3，3＝6， an＝an－1＋n(n≥2)， a a „， 所以 an－an－1＝n， 于是 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1＝ n(n＋1) n＋(n－1)＋„＋2＋1＝ ， 2 2 010(2 010＋1) 所以 a2 010＝ 2 ＝1 005×2 011＝2 021 055.
解析 由所给函数及其导函数知，偶函数的导函数为 奇函数． 因此当 f(x)是偶函数时， 其导函数应为奇函数， 故 g(－x)＝－g(x)．
高中数学选修1-2第二章课后习题解答
高中数学高中数学新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P30）1、由12341a a a a ====，猜想1na=.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=××. 4、略. 练习（P33）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；是等比数列； …………………………大前提…………………………大前提又因为0cq ¹，则q 是非零常数，则11n n nna cq q a cq ++==；……………………小前提……………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =¹的数列{}n a 是等比数列.……………………结论……………………结论 3、由A D B D >，得到ACD BCD Ð>Ð的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是因为这个推理的大前提是“在同一“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 4、略.习题2.1A 组（P35） 1、2(1)n -（n 是质数，且5n ³）是24的倍数.2、21n a n =+()n N *Î. 3、2F V E +=+. 4、当6n £时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *Î.5、212111(2)n n A A A n p++³-（2n >，且n N *Î）. 6、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *Î）.7、如图，作DE ∥AB 交BC 于E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形所以四边形ABED 是平行四边形是平行四边形.. 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等. . DEBAC（第7题）又因为四边形ABED 是平行四边形是平行四边形. .所以所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等， 又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△DEC 是等腰三角形是等腰三角形, , 所以DEC C Ð=Ð 因为平行线的同位角相等因为平行线的同位角相等 又因为DEC Ð与B Ð是平行线AB 和DE 的同位角的同位角, , 所以DEC B Ð=Ð 因为等于同角的两个角是相等的，因为等于同角的两个角是相等的， 又因为DEC C Ð=Ð，DEC B Ð=Ð, 所以B C Ð=Ð习题2.1B 组（P35） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P42）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2q q q q q q q -=+-=，所以，命题得证. 2、要证67225+>+，只需证22(67)(225)+>+， 即证1324213410+>+，即证42210>，只需要22(42)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证.3、因为、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b a a a a -=-+==， 又因为又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab a a a a a a a a a a +-=+-=×22222222sin (1cos )sinsin161616sin tan cos cos aa aa a a aa-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P43）1、假设B Ð不是锐角，则90B г°. 因此9090180C B Ð+г°+°=°. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B Ð一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则2325=+.所以22(23)(25)=+，化简得5210=，从而225(210)=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2A 组（P44） 1、因为、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B p <+<，从而2A B p+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -¹.①式变形得①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B p <+<，所以4A B p+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为PD ^平面ABC ，所以PD AB ^. 因为AC BC =，所以ABC D 是等腰三角形. 因此ABC D 底边上的中线CD 也是底边上的高，也是底边上的高， 因而CD AB ^ 所以AB ^平面PDC . 因此AB PC ^.3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B p<不成立，即2B p³，则B 是ABC D 的最大内角，的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而从而 11112a c b b b +>+=. 这与211b a c =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B p<.习题2.2B 组（P44） 1、因为、因为 1tan 12tan aa-=+，所以12tan 0a +=，从而2sin cos 0a a +=.另一方面，要证另一方面，要证3sin 24cos2a a =-， 只要证226sin cos 4(cos sin )a a a a =-- 即证即证 222sin 3sin cos 2cos 0a a a a --=，即证即证 (2s i n c o s )(s i n 2c o s a a a a+-= 由2sin cos 0a a +=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0a a a a +-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.2、由已知条件得、由已知条件得2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②要证2a cx y +=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2x y a b b c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.第二章 复习参考题A 组（P46）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *Î）个圆圈.2、333n 个（n N *Î）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==………… 猜想()2n f n =.4、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ¢，B ¢，C ¢，D ¢，则，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ¢¢¢¢+++=¢¢¢¢ 用“体积法”证明：用“体积法”证明： O A O B O C O DA AB BC CD D¢¢¢¢+++¢¢¢¢ O B C D O C D AO D A B OA B C A B C D BC D A CD AB D A B CV VV V V VVV --------=+++1A B C D A B C DVV --==5、要证、要证(1tan )(1tan )2A B ++= 只需证只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证即证t a n t a n 1t a n t a A B A B +=- 由54A B p +=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k p p +¹+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式.所以，命题得证. 第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；部分； （2）2n 条线段；条线段；（3）222n n ++部分. 2、因为90BSC Ð=°，所以BSC D 是直角三角形.A BCDA'B'D'C'（第4题）在Rt BSC D 中，有222BC SB SC =+.类似地，得类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在ABC D 中，根据余弦定理得中，根据余弦定理得2222cos 02AB AC BC SA A AB AC AB AC+-==>××2222cos 02AB BC AC SB B AB BCAB BC+-==>×× 2222cos 02BC AC AB SC C BC ACBC AC +-==>×× 因此，,,A B C 均为锐角，从而ABC D 是锐角三角形. 3、要证、要证cos 44cos 43b a -= 因为因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)b a b a -=´-´ 2212sin 24(12sin 2)b a =--´-222218s i n c o s 4(18s i n c o s )b b a a =--´-222218s i n (1s i n )4[18s i n (1s i n )]bb a a=---´-- 只需证只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3b b a a ---´--= 由已知条件，得由已知条件，得 sincos sin2q q a +=，2sin sin cos b q q =，代入上式的左端，得代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]b b a a ---´-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )q q q q a a =---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )q q q q q q q q =--+++-222238s i n c o s 8s i nc o s 68s i n c o s 8s i nc o sq q q q q q q q =--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43b a -=。
“问题导学”下的习题课教学模式
“问题导学”下的习题课教学模式【关键词】问题导学习题课教学模式习题课，是指教师经过一个阶段的教学，根据知识系统要求和学生学习实际，通过习题讲解或指导学生完成习题，达到巩固所学知识目的的课型。
习题课的主要任务，是针对学生所学知识的难点和易错点，通过习题讲解或训练，帮助学生提高对所学知识的理解和认识，完善知识结构，形成一定的解题技能、技巧，培养数学思想，发展思维能力。
“黄河清问题导学教学法”习题课教学模式，将教学过程分为四个环节：知识回顾一例题讲解一方法总结一应用探究，对每个环节的教学都赋予了明确的标准和要求，构建了教学的核心要素，为提高教学效益、促进学生能力发展提供了一个可以借鉴的教学范式。
以下对此作简要的阐述。
一、知识回顾知识回顾是习题课重要的教学环节。
学生对数学知识和方法能否形成合理的认知结构，能否正确地理解和掌握知识间的内在联系，教师适时对知识进行梳理、整合、强调、深化至关重要。
特别地，以习题为载体，启发学生分析知识的整体结构和各知识点间的联系，突出解决学生认知上的一些重点、难点问题，有利于学生全面、系统地掌握所学知识，提高联想记忆，逐步学会自主进行深层次的知识拓展。
在这一环节，教师要注重从以下两个方面去设置问题，引导学生思考：一是以概念和基本方法作为出发点去引导学生回顾和构建知识网络。
概念是从一些具有相同属性的事物或现象中抽象出来的，这些本质属性就是这一概念的内涵，满足这些内涵的全部对象就是这个概念的外延。
不少同学之所以学习数学有很多障碍，概念不清往往是最直接的原因。
因此，在知识回顾环节，教师要注重对概念进行辨析，让学生对概念的内涵认识得更深刻，对概念的外延了解得更丰富，这是提高学生对知识认知能力的重要途径。
同时，思想方法又是数学的灵魂，掌握数学的思想方法是提高数学能力的关键。
特别是在课堂学习中，往往某一方法在这节课的内容中它是孤立的，但是在整个章节中它却起到联系与转化的桥梁作用，是解决全局性问题的根本办法，这就需要教师的启发与引导，使它的作用充分显现出来。
全等三角形复习和例习题含答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
2.2.2 反证法
综合法和分析法的应用 (习题课)
知识回顾
1.综合法的基本含义和思维流程分别 是什么？ 含义:利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理、性质、法则等，经过一系列 的推理论证，最后推导出所证结论成立.
流程:
P Þ Q1 Q1 Þ Q2 Q2 Þ Q3 … Qn Þ Q
2.分析的基本含义和思维流程分别是什 么？ 含义:从所证结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直到归结为判定一个显 然成立的条件（已知条件、定义、公理、 定理、性质、法则等）为止.
练习：
1、 已知实数a，b，c满足0<a,b,c<1，求证： (1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不可能同时大于1/4．
2、已知函数y ax x 2 (a 1) x 1
(1)证明：函数f (x)在区间（－1,)上为增函数 （2)用反证法证明：方程f(x)＝0没有负根
3、已知a+b+c>0，ab+ac+bc>0，abc>0，求证： a>0，b>0，c>0．
2.2.2直接证明与间接 证明
—反证法
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C一定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立;
则C必定是在撒谎.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
版高中数学人教B版选修22教案：2试题课综合法以及分析学习计划法正式版
习题课综合法和剖析法明目标、知要点加深对综合法、剖析法的理解，应用两种方法证明数学识题．1．综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真切判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)?P1?P2??P n(结论) 2．剖析法剖析法是指从需证的问题出发，剖析出使这个问题成立的充足条件，使问题转变为判断那些条件能否具备，其特色能够描绘为“执果索因”，即从未知看需知，逐渐聚拢已知．剖析法的书写形式一般为“因为，为了证明，只需证明，即，所以，只需证明，因为成立，所以，结论成立”．剖析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)??P n－2?P n －1?P n(结论)剖析法属逻辑方法范围，它的谨慎表此刻剖析过程步步可逆．题型一选择适合的方法证明不等式2例1 设a，b，c为随意三角形三边长， I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I<4S.22222证明I＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2caa2＋b2＋c2＋2S.欲证3S≤I2<4S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，明显成立；再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，只需证a<b＋c，且b<c＋a，且c<b＋a，因为a 、b 、c 为三角形的三边长，2上述三式明显成立，故有 3S ≤I<4S. 反省与感悟 此题要证明的结论要先进行转变，能够使用剖析法．对于连续不等式的证明， 能够分段来证，使证明过程层次清楚． 证明不等式所依靠的主假如不等式的基天性质和已知 的重要不等式，此中常用的有以下几个：2(1)a ≥0(a ∈R )．222≥2ab ，(a ＋b 222≥a ＋b 2(2)(a －b)≥0(a 、b ∈R )，其变形有a ＋b 2)≥ab ，a ＋b 2 .(3)若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b≥ab ，特别地b ＋a ≥2.2a b(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca(a ，b ，c ∈R )．追踪训练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1＋1≥4.a b证明方法一∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，∴1＋1＝a ＋b ＝1≥4.2ababab 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab>0，1＋ 1≥21a bab >0，(a ＋b)(1＋1)≥4.ab又a ＋b ＝1，∴1＋1≥4.ab方法三11a ＋ba ＋bbaba ＋＝ a ＋＝1＋＋＋1≥2＋2·＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．ab b abab题型二 选择适合的方法证明等式例2已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1＋a ＋b1 ＝ 3b ＋c a ＋b ＋c.证明要证原式，只需证 a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3，a ＋b b ＋cc ＋a2＋a 2＋ab＝1，即证 ＝1，即只需证bc ＋c2a ＋b b ＋c ab ＋b ＋ac ＋bc而由题意知A ＋C ＝2B ，π2 2 2∴B ＝3，∴b ＝a ＋c －ac ，bc ＋c 2＋a 2＋abbc ＋c 2＋a 2＋ab∴ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc22＋ab bc＋c＋a＝ab＋a2＋c2＋bc＝1，∴原等式成立，即1＋1＝3a＋b b＋c a＋b＋c.反省与感悟综合法推理清楚，易于书写，剖析法从结论下手易于找寻解题思路．在实质证明命题时，常把剖析法与综合法联合起来使用，称为剖析综合法，其构造特色是：依据条件的构造特色去转变结论，获取中间结论Q；依据结论的构造特色去转变条件，获取中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．追踪训练2设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，a c试证：x＋y＝2.证明由已知条件得b2＝ac，①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②a c要证＋＝2，只需证ay＋cx＝2xy，只需证2ay＋2cx＝4xy.由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．题型三立体几何中地点关系的证明例3如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：CD⊥AE；证明：PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.反省与感悟综合法证明线面之间的垂直关系是高考考察的要点，利用垂直的判断定理和性质定理能够进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转变．此外，利用一些常有的结论还经常能够将线面间的垂直与平前进行转变．比方：两条平行线中一条垂直于平面α，则此外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．追踪训练3如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.求证：AF∥平面BDE；求证：CF⊥平面BDE.证明(1)如图，设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，1AG＝2AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连结FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[呈要点、现规律]1．综合法的特色是：从已知看可知，逐渐推出未知．2．剖析法的特色是：从未知看需知，逐渐聚拢已知．3．剖析法和综合法各有优弊端．剖析法思虑起来比较自然，简单找寻到解题的思路和方法，弊端是思路逆行，表达较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思虑．实际证题时经常两法兼用，先用剖析法探究证明门路，而后再用综合法表达出来．学习不是一时半刻的事情，需要平常累积，需要平常的好学苦练。
李少军《国际政治学概论》笔记和课后习题详解(1-5章)【圣才出品】
第一章国际政治学科1.1 复习笔记一、国际政治学的学科发展现代意义上的国际政治学，产生于20世纪初，并且最早出现于英国和美国。
国际政治学产生于人们希望更好地理解国际事务和国家间政治的需求。
第一次世界大战的爆发，是世界范围内错综复杂的国家间矛盾的第一次总爆发，使得学者们不得不密切关注国际关系。
1919年，威尔士工业家戴维·戴维斯在威尔士大学资助建立了国际政治系，并为国际政治专业设立了伍德罗·威尔逊讲座教授，标志着独立的国际政治学科的诞生。
第二次世界大战之后，国际政治学得到了很大的发展。
尽管许多政治学领域的学者把国际政治学看作是政治学的子学科，时至今日仍然有人认为“国际政治学”还不能说已成为一门成熟的社会科学学科，但是国际政治研究却形成了自己的独特的学科领域和知识体系。
二、国际政治学的学科界定1．国际关系的研究对象界定国际关系学的研究对象，既要看到国家行为体，也要看到非国家行为体。
由此我们可以把国际关系的研究对象概括为三类关系：（1）国家与国家的关系，既包括合作的关系，也包括冲突的关系；既包括双边关系，也包括多边关系。
（2）国家与非国家行为体的关系，既包括主权国家与政府间组织的关系，亦包括主权国家与非政府组织的关系。
（3）非国家行为体之间的关系，包括各国际组织间的关系，非政府组织间的关系，国际组织与非政府组织问的关系等。
此外，国际关系的整体的运动规律也是国际关系学的研究对象。
2．国际关系学科的界定国际关系学就是研究以国家为主体的国际行为体的跨国互动关系，并从国际政治视角研究影响这种互动的一切因素的学科。
学界将国际政治学等同于国际关系学，是因为国际关系中的经济关系、军事关系、文化关系、政治关系等诸多关系中，政治关系最为突出，研究得也最多。
国际政治中，以国家为主要国际行为体，其间的主要互动方式为国家的对外政策行为。
三、怎样进行国际政治学科的专业学习？国际政治专业学生需要进行两种学习，一是知识的学习，二是方法的学习。
第二章2.2直接证明与间接证明习题课
习题课 课时目标 1.进一步理解直接证明和间接证明的思想.2.利用两种证明方法解决简单的实际问题．1．________证明和________证明是数学证明的两类基本证明方法．________法和________法是直接证明中最基本的两种证明方法；__________是间接证明的一种基本方法．2．综合法和分析法经常结合使用；直接证明比较麻烦的结论，我们可以采用__________．一、选择题1．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．分析法C ．类比法D ．归纳法2．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A ．12B ．2abC ．a 2＋b 2D ．a3．在△ABC 中，“AB →·AC →>0”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数5．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”； ④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题6．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝______. 7．在等差数列{a n }中，当a r ＝a s (r ≠s )时，{a n }必定是常数数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s (r ≠s )，当a r ＝a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是____________．8．若一个圆和一个正方形的周长相等，则圆的面积比正方形的面积________(填“大”或“小”)．三、解答题9．△ABC 的三边长a 、b 、c 的倒数成等差数列．求证：B <90°.10．如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面P AD .能力提升11．如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形) 12．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.1．综合法和分析法的证明思路截然相反；分析法既可作为一种证明方法，也可以用来探求解题思路方向．2．直接证明较复杂，可以考虑使用反证法．习题课答案知识梳理1．直接 间接 综合 分析 反证法2．反证法作业设计1．B [要证明3＋7<25， 只需证3＋7<5＋ 5.两边平方有10＋221<10＋10.即只要证221<10.再两边平方有84<100成立． 故3＋7<25成立．由证明过程可知分析法最合理．]2．C [∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12， 由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12， 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．] 3．B [∵AB →·AC →>0，∴A 为锐角，但B 、C 不确定．]4．C5．B [①错，应为a ≤b ；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．]6．－725解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，∴1＋sin 2θ＝125， ∴sin 2θ＝－2425.∵π2≤θ≤3π4， ∴π≤2θ≤3π2.∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725. 7．a n ＝(－1)n (答案不惟一)解析 设等比数列公比为q ，首项为a 1，由a r ＝a s ，得a 1q r －1＝a 1q s －1，即q r －s ＝1.∵r ≠s ，∴r －s ≠0.又q ≠1，∴q ＝－1，则数列{a n }可以为a n ＝(－1)n .8．大解析 设正方形和圆的周长都为a ，依题意圆的面积S 1＝π⎝⎛⎭⎫a 2π2，正方形的面积S 2＝⎝⎛⎭⎫a 42.要比较S 1与S 2的大小，只需比较1π与14的大小，因为π<4，所以圆的面积S 1比正方形的面积S 2大．9．证明 由题意知2b ＝1a ＋1c，∴b (a ＋c )＝2ac . ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＝1－b 22ac ＝1－b 2b (a ＋c )＝1－b a ＋c， 又△ABC 三边长a 、b 、c 满足a ＋c >b ，∴b a ＋c <1.∴1－b a ＋c>0.∴cos B >0，即B <90°. 10．证明 (1)在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD .(2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD .11．AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)12．证明 假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.。
8.2分析与综合及其辩证关系教学设计高中政治统编版选择性必修三逻辑与思维
1.认知水平：高中生已具备一定的逻辑思维能力，能够理解分析与综合的基本概念，但对于辩证关系的理解可能还不够深入。因此，在教学过程中，应注重引导学生逐步深入思考，提升其辩证思维能力。
2.学习兴趣：高中生对政治学科的兴趣各异，部分学生对逻辑与思维方面的内容表现出较高的兴趣。教师应充分调动这部分学生的积极性，引导他们参与到课堂讨论和实践中，激发其他学生的学习兴趣。
3.小组讨论：要求各小组成员积极参与，充分发挥团队协作精神。在讨论过程中，注重观点的碰撞与融合，形成有深度的共识。
4.课后练习题：认真作答，及时反馈，针对错题进行总结，提高自己的解题能力。
3.汇报与分享：各小组选派代表进行汇报，分享本组的分析与综合过程及结论，其他小组学生认真倾听，互相学习。
（四）课堂练习（500字）
在课堂练习环节，我会设计以下任务：
1.判断题：判断以下说法是否正确，让学生运用所学知识进行分析。
2.选择题：从四个选项中选择正确答案，考查学生对分析综合方法的掌握。
3.问答题：回答关于分析综合方法在实际问题中的应用，培养学生的应用能力。
4.教学拓展：
a.开展课堂辩论赛，让学生在实际讨论中运用分析与综合方法，提高学生的辩证思维能力。
b.组织课后实践活动，让学生将所学知识应用于实际生活，培养学生的社会责任感。
c.结合时事政治，引导学生运用分析综合法关注国家大事，培养学生的家国情怀。
四、教学内容与过程
（一）导入新课（500字）
在导入新课环节，我将采用生活实例引发学生对本节课主题的兴趣。首先，我会向学生展示一组关于社会现象的图片，如环境保护、经济建设等，并提问：“同学们，你们是如何看待这些社会现象的呢？”通过这个问题，让学生意识到分析这些现象需要运用逻辑与思维方法。
大学习题课的教案模板
教学目标：1. 让学生掌握各类题型的解题方法，提高解题能力。
2. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
3. 提高学生的学习兴趣，增强学习的积极性。
教学重点：1. 各类题型的解题方法。
2. 逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学难点：1. 复杂题型的解题技巧。
2. 学生在解题过程中遇到的问题。
教学过程：一、导入1. 回顾上节课所学内容，让学生谈谈自己的学习心得。
2. 提出本节课的学习目标，让学生明确学习方向。
二、新课讲解1. 各类题型的解题方法：a. 列举常见题型，如选择题、填空题、解答题等。
b. 针对每种题型，讲解相应的解题方法，如直接法、分析法、综合法等。
c. 通过实例，让学生了解各类题型的解题思路。
2. 逻辑思维能力和分析问题的能力：a. 讲解逻辑思维的基本原则，如同一律、矛盾律、排中律等。
b. 通过实例，让学生学会运用逻辑思维分析问题。
c. 讲解如何从问题中发现关键信息，提高分析问题的能力。
三、课堂练习1. 学生独立完成课堂练习题，教师巡视指导。
2. 对学生的解题过程进行点评，指出优点和不足。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
五、课后反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，找出不足之处。
2. 学生对本节课的学习效果进行反思，总结学习心得。
教学评价：1. 学生课堂练习的正确率。
2. 学生对各类题型的解题方法的掌握程度。
3. 学生在课堂练习中的表现，如认真思考、积极参与等。
教学资源：1. 教学课件。
2. 课堂练习题。
3. 教学反思记录。
备注：1. 教师在教学过程中要关注学生的学习情况，及时调整教学策略。
2. 鼓励学生积极发言，培养学生的表达能力和团队协作精神。
3. 注重培养学生的创新思维，提高学生的综合素质。
第二章-2.2.1-不等式及其性质高中数学必修第一册人教B版
【解析】假设，都不小于2,即,,, , ,两式相加，得,解得，这与已知矛盾， 假设不成立.故, 中至少有一个小于2.
【学会了吗|变式题】
3.若,,，求证： .
【答案】方法1 （作差法） .
, ,,,, ,, ., .又, ,即 .
方法2 （作商法） ., .,, ,, .又,, .
【解析】由题图可知，第一个广告牌的面积 ,第二个广告牌的面积,由题图可知，，且,所以 , 即 .
13.体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式（以下 ）.方式一：小明一半的时间以的速度行走，剩余一半时间换为以 的速度行走，平均速度为 ；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程换为以 的速度行走，平均速度为 .
【解析】,, , ,即 .
例13 (2024·山东省青岛市段考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 .
③①②
知识点5 倒数法则
例5-7 (2024·上海市吴淞中学调研)若， ，则一定有( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为，所以,所以 .又，所以 ,所以 .
方法帮|关键能力构建
题型1 用不等式（组）表示不等关系
例8 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元的价格销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价、减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每件提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为 元/件，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
数学一轮复习选修4_5第二讲不等式的证明与柯西不等式学案含解析
第二讲不等式的证明与柯西不等式知识梳理·双基自测知识错误!错误!知识点一综合法从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．知识点二分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．知识点三放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法称为放缩法．知识点四均值不等式定理1:设a、b∈R，则a2＋b2≥__2ab__．当且仅当a＝b时,等号成立．定理2：如果a、b为正数,则错误!≥__错误!__，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥__当且仅当a＝b＝c时,等号成立．定理4：（一般形式的算术－几何平均不等式）如果a1、a2、…、a n为n个正数，则错误!≥__错误!__，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时,等号成立．知识点五柯西不等式（1）设a、b、c、d均为实数,则(a2＋b2)(c2＋d2)≥（ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．（2）若a i、b i(i∈N＋）为实数，则（错误!a错误!)（错误!b错误!)≥(错误!a ib i）2，当且仅当错误!＝错误!＝…＝错误!（当a i＝0时，约定b i＝0，i＝1,2,…，n）时等号成立．（3)柯西不等式的向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则｜α|｜β|≥｜α·β｜,当且仅当α，β共线时等号成立．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1）当a≥0,b≥0时,错误!≥错误!．（√)(2）用反证法证明命题“a,b,c全为0"的假设为“a,b,c全不为0"．(×）（3）若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0,y ＞0．(√)(4)若m＝a＋2b,n＝a＋b2＋1，则n≥m．（√）题组二走进教材2．（理)（P35例改编)(2020·宁夏银川一中月考）已知正数x、y满足x＋y＝1，则错误!＋错误!的最小值为（B）A．2 B．错误!C．错误!D．5（文）(P35例3）已知a，b∈R＋,a＋b＝2，则错误!＋错误!的最小值为（B)A．1 B．2C．4 D．8［解析]（理）∵x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2,则2错误!＝[x＋(1＋y）］错误!＝错误!＋错误!＋5≥2错误!＋5＝9，所以错误!＋错误!≥错误!，当且仅当错误!,即当错误!时，等号成立,故选B．（文）∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，∴错误!＋错误!＝错误!（a＋b）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝2．(当且仅当a＝b＝1时“＝"成立),∴错误!＋错误!的最小值为2，故选B．3．（P41习题3。
2.3数学归纳法(5课时)
由第k项可推出第k＋1项. （2 ）
探究（二）：数学归纳法的基本原理
an 思考1：已知数列{an}满足 an + 1 = 1 + a n 1 ak = ， （n∈N*），假设当n＝k时，
k
则当n＝k＋1时，ak＋1等于什么？ 2 若假设ak = ，则ak＋1等于什么？ 2k - 1
例3 证明：
1 1 1 (1 + 1)(1 + )(1 + ) L (1 + )> 3 5 2n - 1 2n + 1
（n∈N*）.
（n∈N*）.
1 1 1 1+ 2 + 2 + L + 2 2 3 n
例4 证明：
3n 2n + 1
例5 证明： 1 1 1 5 + +L + > n+1 n+2 3n 6 （n∈N*，n≥2）.
3 2 an + 1 = an - an （n∈N*），求证： 2 1 对任意n∈N*都有 0 < an <
n+1
2.3 数学归纳法
问题提出
1 5730 p 2
t
1.归纳推理的基本特征是什么？
由个别事实概括出一般结论. 2.综合法，分析法和反证法的基本思 想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明.
3.归纳推理能帮助我们发现一般结论， 但得出的结论不一定正确，即使正确也 需要经过严格的证明才能肯定其真实性. 综合法，分析法和反证法虽可证明某些 结论，但都有其局限性，因此，我们非 常需要一个与归纳推理相匹配的证明方 法，使之成为无与伦比的“黄金搭档”.
2.2直接证明与间接证明(4课时)
2.2
直接证明与间接证明
2.2.2
反证法
问题提出
1.综合法和分析法的基本含义分别 是什么？ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理、性质、法则等，经过一系 列的推理论证，最后推导出所证结论成 立. 分析法：从所证结论出发，逐步寻求使 它成立的充分条件，直到归结为判定一 个显然成立的条件（已知条件、定义、 公理、定理、性质、法则等）为止.
2
2
2
9 4
例4 求证：面积为1的三角形不能被 面积小于2的平行四边形所覆盖.
D P
E N F B
C
K
M
A
流程:
P Þ Q1 Q1 Þ Q 2 Q 2 Þ Q 3
„
Qn Þ Q
2.分析的基本含义和思维流程分别 是什么？
含义:从所证结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直到归结为判定一个显 然成立的条件（已知条件、定义、公理、 定理、性质、法则等）为止. 流程: Q Ü P1 P1 Ü P2 P2 Ü P3 …
大前提：已知的一般原理； 小前提：所研究的特殊情况；
结 论：根据一般原理，对特殊情况做 出判断.
3.合情推理所得结论的正确性是需要 证明的，演绎推理的实施也需要具体的 操作方法，因此，从理论上获取证明数 学命题的基本方法，是我们需要进一步 学习的内容.
探究（一）：综合法
思考1：对于不等式
a(b + c ) + b(c + a )
2.2
2.2.1
直接证明与间接证明
综合法和分析法
问题提出
1 5730 p 2
t
1.合情推理的主要作用和思维过程是 什么？
作用：提出猜想，发现结论； 过程：从具体问题出发→观察、分析、 比较、联想→归纳、类比→提出猜想.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
❖ [证明] ∵a2＋b2≥2ab，a>0，b>0， ❖ ∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)． ❖ ∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2. ❖ ∴a3＋b3≥a2b＋ab2. ❖ 同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2. ❖ 将三式相加得： ❖ 2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋bc2＋b2c＋a2c＋ac2， ❖ ∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)
60°，
❖ 由余弦定理，有 ❖ b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， ❖ 故c2＋a2＝ac＋b2得证． ❖ 综合法： ❖ 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ❖ ∴B＝60°. ❖ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， ❖ 得c2＋a2＝ac＋b2， ❖ 等式两边同时加上ab＋bc得 ❖ c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．
∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
❖ [点评] 1.综合法证明问题的步骤
❖ 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析 题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已 知与结论之间的联系与区别，选择相关的 公理、定理、公式、结论，确定恰当的解 题方法．
明方法叫做综合法
明方法叫做分析法
综合法
分析法
框图 表示
(P表示 已知条件 、已有的
定义、公理、定理
等，
Q表示所要证明的结论 )
特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法
[例 1] 已知 a，b，c>0.求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a
＋b＋c)．
❖ [分析] 不等式中的a，b，c为对称的，所以 从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式的性质推导出证 明的结论．
综合法与分析法习题课
❖ 综合法和分析法
定义
综合法
分析法
利用 已知条件 和某 从要证明的 结论出发 ，
些数ห้องสมุดไป่ตู้
逐步寻求使它成立
学 公理 、 定义 、 的 充分条件 ，直至最
定理 等，经过一 后，把要证明的结论归结
系列的 推理论证 ， 为判定一个明显成立的条
最后推导出所要证明
件(已知条件、
的结论成立，这种证 定理、定义、公理 等)，这种证
只需证 (a＋1)(a－2)< a(a－1)， 只需证(a＋1)(a－2)<a(a－1)， 即证－2<0，而－2<0 显然成立， 所以 a＋1－ a< a－1－ a－2成立.
❖ [例3] △ABC的三个内角A、B、C成等差 数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
当 a≥2 时，求证 a＋1－ a< a－1－ a－2. [证明] 要证 a＋1－ a< a－1－ a－2， 只需证 a＋1＋ a－2< a＋ a－1， 只需证( a＋1＋ a－2)2<( a＋ a－1)2， 只 需 证 a ＋ 1 ＋ a － 2 ＋ 2 (a＋1)(a－2) <a ＋ a － 1 ＋ 2 a(a－1)，
❖ 3．综合法是一种由因索果的证明方法，其逻 辑依据也是三段论式的演绎推理方法．一般 问题都是用综合法解决的，要保证前提条件 正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的 正确性．
已知 a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1，
求证：1a－1·1b－1·1c－1≥8.
[证明] ∵1a－11b－11c－1 ＝(b＋c)(aa＋bcc)(a＋b)
❖ 第二步：转化条件，组织过程．把题目的 已知条件，转化成解题所需要的语言，主 要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的 语言，清晰的思路．
❖ 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾 解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一 些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法 的选取．
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8aabbcc＝8，
当且仅当 a＝b＝c 时等号成立，∴不等式成立.
[例 2]
已知
a>0，b>0，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
❖ [分析] 要证明上述不等式成立，暂无条件
可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐
步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，
即用分析法证明．
[证明] ∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b≥ a
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
即 a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0 成立．
❖ [分析] 条件与结论跨越较大，不易下手， 可考虑用分析法证明；由于分析法是执果 索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分 析法的倒退过程就是综合法．
[证明] 分析法：
要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
❖ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， ❖ 需证c2＋a2＝ac＋b2， ❖ 又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B＝
2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性 质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
①a2≥0(a∈R)． ②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有 a2＋b2≥2ab，a＋2 b 2≥ab，a2＋b2≥(a＋2 b)2. ③若 a、b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，特别是ba＋ab≥2. ④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
∵(a－b)2≥0
恒成立，∴
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
❖ [点评] (1)分析法证明不等式的依据是不 等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论；
❖ (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不 等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 最后得到的充分条件是已知(或已证)的不 等式；
❖ (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当 地用好“要证”、“只需证”、“即证” 等词语．