综合法与分析法习题课

当 a≥2 时，求证 a＋1－ a< a－1－ a－2. [证明] 要证 a＋1－ a< a－1－ a－2， 只需证 a＋1＋ a－2< a＋ a－1， 只需证( a＋1＋ a－2)2<( a＋ a－1)2， 只 需 证 a ＋ 1 ＋ a － 2 ＋ 2 (a＋1)(a－2) <a ＋ a － 1 ＋ 2 a(a－1)，
只需证 (a＋1)(a－2)< a(a－1)， 只需证(a＋1)(a－2)<a(a－1)， 即证－2<0，而－2<0 显然成立， 所以 a＋1－ a< a－1－ a－2成立.
❖ [例3] △ABC的三个内角A、B、C成等差 数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性 质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
①a2≥0(a∈R)． ②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有 a2＋b2≥2ab，a＋2 b 2≥ab，a2＋b2≥(a＋2 b)2. ③若 a、b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，特别是ba＋ab≥2. ④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
❖ [分析] 条件与结论跨越较大，不易下手， 可考虑用分析法证明；由于分析法是执果 索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分 析法的倒退过程就是综合法．
[证明] 分析法：
要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
❖ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， ❖ 需证c2＋a2＝ac＋b2， ❖ 又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B＝
综合法与分析法习题课
❖ 综合法和分析法
定义
综合法
分析法
利用 已知条件 和某 从要证明的 结论出发 ，
些数
逐步寻求使它成立
学 公理 、 定义 、 的 充分条件 ，直至最
定理 等，经过一 后，把要证明的结论归结
系列的 推理论证 ， 为判定一个明显成立的条
最后推导出所要证明
件(已知条件、
的结论成立，这种证 定理、定义、公理 等)，这种证
＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．
∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
❖ [点评] 1.综合法证明问题的步骤
❖ 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析 题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已 知与结论之间的联系与区别，选择相关的 公理、定理、公式、结论，确定恰当的解 题方法．
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8aabbcc＝8，
当且仅当 a＝b＝c 时等号成立，∴不等式成立.
[例 2]
已知
a>0，b>0，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
❖ [分析] 要证明上述不等式成立，暂无条件
可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐
步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，
即用分析法证明．
∵(a－b)2≥0
恒成立，∴
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
❖ [点评] (1)分析法证明不等式的依据是不 等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论；
❖ (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不 等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 最后得到的充分条件是已知(或已证)的不 等式；
❖ (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当 地用好“要证”、“只需证”、“即证” 等词语．
[证明] ∵a>0，b>0，要证
a＋ b
bHale Waihona Puke Baidu a
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
即 a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0 成立．
60°，
❖ 由余弦定理，有 ❖ b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， ❖ 故c2＋a2＝ac＋b2得证． ❖ 综合法： ❖ 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ❖ ∴B＝60°. ❖ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， ❖ 得c2＋a2＝ac＋b2， ❖ 等式两边同时加上ab＋bc得 ❖ c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
❖ 3．综合法是一种由因索果的证明方法，其逻 辑依据也是三段论式的演绎推理方法．一般 问题都是用综合法解决的，要保证前提条件 正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的 正确性．
已知 a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1，
求证：1a－1·1b－1·1c－1≥8.
[证明] ∵1a－11b－11c－1 ＝(b＋c)(aa＋bcc)(a＋b)
明方法叫做综合法
明方法叫做分析法
综合法
分析法
框图 表示
(P表示 已知条件 、已有的
定义、公理、定理
等，
Q表示所要证明的结论 )
特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法
[例 1] 已知 a，b，c>0.求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a
＋b＋c)．
❖ [分析] 不等式中的a，b，c为对称的，所以 从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式的性质推导出证 明的结论．
❖ 第二步：转化条件，组织过程．把题目的 已知条件，转化成解题所需要的语言，主 要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的 语言，清晰的思路．
❖ 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾 解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一 些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法 的选取．
❖ [证明] ∵a2＋b2≥2ab，a>0，b>0， ❖ ∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)． ❖ ∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2. ❖ ∴a3＋b3≥a2b＋ab2. ❖ 同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2. ❖ 将三式相加得： ❖ 2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋bc2＋b2c＋a2c＋ac2， ❖ ∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)