济南稼轩中学九年级上册期中试卷检测题

济南稼轩中学九年级上册期中试卷检测题

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点

P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速

度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点

P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时

间为ts ． （1）如图①，

①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38

83

a t ==

，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．

【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；

【详解】

解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，

∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①

5 1.54t at -=-②

由①②可得 1.1a =， 2.5t =．

当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，

由③④可得0.5a =，2t =．

综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与

PCN △全等； ②AP BD ⊥，

90BEP ∴∠=︒，

90APB CBD ∴∠+∠=︒，

90ABC ∠=︒，

90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，

在ABP △和BCD 中，

BAP CBD AB BC

ABC BCD ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，

BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；

（2）当38a =，8

3

t =时，1DN at ==，而4CD =，

DN CD ∴<，

∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，

如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，

AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CD

BAC DCA ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

， ()AOM COD ASA ∴≅△△，

OA OC ∴=，

ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=， ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．

【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

2．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．

【答案】（1）k＞3

4

；（215

【解析】

【分析】

（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，22

m n

+，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

解：（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，

∴k＞3

4；

(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，

设方程的两个根为m，n，

∴m＋n＝5，mn＝5，

()2

22215

m n m n mn

+=+-=.

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

3．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣

（2k +1）x +4（k ﹣

1

2

）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】

分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】

当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()2

14421402k k ⎛⎫

-++-

= ⎪⎝⎭

解得：5

2

k = 当5

2

k =

时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，

∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；

当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣1

2

）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝

32

， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，

∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．

4．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程

2

(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221

6

k k k -+-的值．

【答案】0. 【解析】 【分析】

由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求