看懂真值表
第六节 真值表及其作用
3.如果李刚去参加联欢会，则王亮、孙凯和黄平都 会去；王亮没去参加联欢会；所以： 能。结论为：李刚没去参加联欢会。 (充分条件假言判断的否定后件式) 4.并非午夜天上最亮的星星，或者是牛郎星，或者 是织女星；所以： 能。结论为：午夜天上最亮的星不是牛郎星，也 不是织女星。(相容选言判断负判断的等值判断) 5.如果所有的鸟都会飞，并且鸵鸟是鸟，则鸵鸟会 飞；鸵鸟是鸟，但鸵鸟不会飞；因此： 能。结论为：并非所有的鸟都会飞(或者:有些鸟 不会飞) (反三段论)
F F F T
T T T T
4.得出需要判定的复合判断的真值并作出判定.
二、真值表的作用
（一）定义复合判断逻辑联结词
p q p→q p←q p←→q p∨q p∨q p∧q ┓p 真 真 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 真 真 假 真 真 假 假 真 真 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 假 真 真
七、以下列各组判断作前提能否必然推出结论？如 果能，可推出什么结论？ 1.只有经过严格考试和体验,才能成为飞行员;飞行 学校的毕业生都经过了严格的考试和体验;所以: 不能。必要条件假言推理，由肯定前件不能必然 推出结论。 2.大学生乐于上互联网,或者是喜欢聊天,或者是迷 恋游戏,或者是查找资料;小陈整天泡在网上既不 聊天,也不查资料;所以: 能。结论为：小陈乐于上网是迷恋游戏。 (相容选言推理的否定肯定式)
第六节
真值表及其作用
一、真值表及其画法
真值表是以表格的直观形式表示与判定判断 真值和推理有效性的一种逻辑方法。 【真值表：能显示一个复合判断在它的支判 断的各种组合下的真假情况的图表。】
注意问题：
在二值逻辑中，判断的真值只限于判 断取值为真、为假两种情况。 推理有效性即推理形式的正确性，包 括推理有效和无效两种情况。 真值表的简单与复杂，主要取决于支 判断和逻辑联结词的多少。
真值表推理规则证明方法
第四章数学命题的数学设计一、真值表1、否定（非）：, 设P为一个命题，称P为P的否定式，记作p，其真值表如2、合取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“与”把它们连接起来成为一个新命题“p与q”，记作qp∧。
真值表如下：3、析取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“或”把它们连接起来成为一个新命题“p或q”，记作qp∨。
真值表如下：4、蕴涵（如果、、、那么、、、）：设p,q表示两个命题，用“如果、、、那么、、、”把它们连接起来成为一个新命题“如果p,那么q”，记作qp→。
真值表如下：5、当且仅当（等价式）：设p,q 表示两个命题，把q p ↔称为p,q 的等价式，其真值表如下真值表的作用证明重言式、两个命题等价，解决逻辑推理问题 例1 q p q p ∨≡∧例2 q p q p ∨≡→其真值表如下：三、推理规则1、合取规则：p 为真q 为真, q p ∧也为真。
2、分离规则：q p →为真，p 为真，q 也为真（充分条件假言规则）。
3、全称命题为真，则特称命题也为真。
4、r p ,,→→→则r q q p 。
5、是恒真命题r p r q q p ↔→↔∧↔)()(。
6、q(T) (T) p q(T)p ↔7、qp p q q p ↔→→8、(T)p (T) )(q T q p →（否定规则）9、pq q p →→10、(T)q (T) )(p T q p ∨（选言规则）11、qqp p q p ∧∧或（联言规则）12、三段论：推理形式为如果M 是P,S 是M,那么S 是P 。
它的逻辑式为：)()()(P S M S P M →→→∧→。
由真值表可知：)()()(P S M S P M →→→∧→1≡是恒真命题。
凡是恒真命题（重言式）都可作为推理规则。
前面提到的分离规则1)(≡→∧→q p q p ，选言规则1)(≡→∧∨q p q p ，联言规则1)(≡→∧p q p ，也都是恒真命题。
分别证明如下：11)()(31)()()()(21)()()()()(1≡∨≡∨∨≡∨∧≡→∧≡∨∨∨≡∨∧∨≡→∧∨≡∨∨∨≡∨∧∨≡∧∨≡→∧→q p q p p q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p p q p q q p 、、、四、证明方法1、直接证明：直接从所给论题入手，以公理、定义、定理等为论据，运用逻辑推理规则来论证论题为真的证明方法。
真值表_精品文档
真值表什么是真值表真值表是逻辑学中用来描述逻辑命题或者布尔代数的一个工具，它列举了每个可能输入的所有输出结果。
真值表在逻辑电路设计、计算机科学和数学领域有着广泛的应用。
真值表的表示方法真值表的表示方法是使用表格展示逻辑命题的所有可能的输入和对应的输出结果。
通常，真值表的第一行是列标题，用来代表输入变量的名称；第一列是行标题，用来代表输入的各种可能情况；剩下的部分则是输出结果。
例如，一个简单的真值表如下所示：输入1 输入2 输出0 0 00 1 01 0 11 1 1在这个示例中，输入1和输入2是逻辑命题的两个输入变量，输出则代表根据输入变量的不同组合所对应的输出结果。
真值表的应用逻辑电路设计在逻辑电路设计中，真值表用于描述逻辑门的功能和行为。
逻辑门通常有与门（AND）、或门（OR）、非门（NOT）等，它们根据输入变量的情况输出特定的结果。
通过使用真值表，我们可以清楚地了解逻辑门的输入和输出之间的关系，从而更好地设计和优化逻辑电路。
布尔代数布尔代数是一种逻辑代数，它利用真值表来进行逻辑推理和运算。
在布尔代数中，使用不同的逻辑运算符如与、或、非等来组合和操作逻辑命题。
真值表能够帮助我们理解逻辑运算符的运算规则，并通过推理和转化，解决复杂的逻辑问题。
计算机科学真值表在计算机科学中也有着重要的应用。
比如，在编写程序时，使用逻辑运算符进行条件判断和逻辑操作是非常常见的。
在这种情况下，真值表可以帮助程序员理解不同的逻辑条件下程序的行为，并更好地进行程序设计和调试。
如何生成真值表生成真值表的方法很简单。
首先，根据逻辑命题的输入变量数量确定表格的列数，然后列出所有可能的输入情况，每种情况占据一行。
接下来，根据逻辑命题的逻辑运算规则，计算出每种输入情况下的输出结果，填写到对应的行和列中。
例如，对于一个有两个输入变量的逻辑命题而言，就需要列出4种可能的输入情况（每个变量有两种取值），然后根据逻辑运算规则计算出对应的输出结果，填写到真值表中。
看懂真值表
1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用m i表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
三、用卡诺图表示逻辑函数1.卡诺图的引出一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图称为卡诺图。
逻辑学真值表法
逻辑学真值表法
逻辑学真值表法是一种常用的推理方法，它可以帮助我们研究、解释和理解复杂的或超越思维能力的问题。
它是一种基于逻辑规则的知识表示法，为给定的条件和结果构建一种以真值表的形式运算的推导系统，从而完成推理和判断工作。
绘制真值表是实现此类推理的基本步骤。
真值表一般由有终止性的几个命题组成，每个命题都有两个可能的真假值，即真和假。
通过将这些真假值进行组合，可以确定输入命题和输出命题者之间的关系。
结果，关于给定条件或结论的结论可以提出。
在使用逻辑学真值表法之前，必须先弄清楚问题当中的信息，以及我们要得到的结果。
通常，我们需要将问题表达成操作，接着写出信息和推测，再将命题连接起来，用Negation，Disjunction，Conjunction和implication来构建命题，从而明确解决问题的思路。
接着，就可以使用真值表来回答问题了。
简而言之，要使用逻辑学真值表法来解决问题，必须首先明确问题的描述，然后将问题表达为的操作和命题，最后通过真值表法得出答案。
真值表法是一种有效的推理方法，掌握了它，就可以有效地解决复杂的问题，从而提高求解能力和解决问题的速度。
因此，它是一种有效的学习工具，是非常重要的数学和逻辑学知识。
第六章 真值表的判定
二、请用真值表判定下列各组命题形式 之间是否具有等值关系。 1、 ¬（P→q） P∧¬q 2、 ¬（P∧¬q） （
¬P∨q
三、列出A、B两命题的真值表，并回答A、 B恰有一个为假时，王军是否考上了大学？ A：如果王军考上了大学，那么李伟就没 有考上大学。 B：王军没有考上大学。
四、列出A、B、C三命题的真值表，并回答当A、 B、C三命题恰有一真时，是否甲村所有人家都 有彩电？ A、甲村所有人家都有彩电，并且乙村所有人 家都有彩电。 B、或者甲村所有人家都有彩电，或者乙村所 有人家都有彩电。 C、如果乙村所有人家都有彩电，那么甲村有 些人家没有彩电。
（（p∨q）∧¬p） ∨ ∧ p q ¬p p∨q (p∨q）∧¬p →q ∨ ∨ ∧ T T F T F F F T T F F T T T T F F F T F T T T T
由真值表可知（（p∨q）∧¬p）→q 是 ∨ ∧ 重言式。
例2、（（p∨q）∧p）→ ¬ q ∨ ∧
p q ¬q p∨q (p∨q）∧ p ∨ ∨ ∧ T T F T F T F T F F F T T T T F T T F F
重言式、矛盾式、 四、重言式、矛盾式、可满足式
1、重言式（又叫永真式）是指在一个命 题形式中不论其中的变项取什么值，该 命题形式的值总是真的。 如： p∨ ¬p p∨
p T F
¬p
F T
p∨ ¬p ∨ T T
2、矛盾式（又叫永假式）是指在一个命 题形式中不论其中的变项取什么值，该 命题形式的值总是假的。 如： p∧ ¬p ∧
p T F
¬p
F T
p∧ ¬p ∧ F F
3、可满足式是指在一个命题形式中不论 其中的变项取什么值，该命题形式的值至 少在一种情况下是真的。 如：p ∧ q
2真值表等值式
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二、重言式与矛盾式
定理1 任意两个重言式的合取（或析取）仍然是重 言式。 定理2 一个重言式，对同一个命题变元均用任何公 式置换，其结果仍然是重言式。
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三、等值式及其基本等值式
定义1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值（逻 辑相等），记作AB，并称AB是等值式。 定理２.1 AB为重言式，当且仅当A、B具有相同 的真值表。
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四、公式等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式 的过程 2. 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则 3. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换(A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A)
pq (pq) 1 1 0 1 0 0 1 0
(pq)q 0 0 0 0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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真值表的作用:
求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 区别不同 公式间的关联，判断公式的类型。
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二、重言式与矛盾式
定义1 设A为任一命题公式， (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或 永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或 永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
等值演算在计算机硬件设计，开关理论和电子元 器件中都占据重要地位。
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五、 ，与 ，间的区别
， 是联结词 ， 是逻辑符号，表明公式的取值情况。
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第二讲 真值表、等值演算
主要内容
一、真值表及其作用
二、重言式与矛盾式的定义和相关结论
真值表的初步理解
真值表推理规则证明方法
第四章数学命题的数学设计一、真值表1、否定（非）：, 设P为一个命题，称P为P的否定式，记作p，其真值表如2、合取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“与”把它们连接起来成为一个新命题“p与q”，记作qp∧。
真值表如下：3、析取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“或”把它们连接起来成为一个新命题“p或q”，记作qp∨。
真值表如下：4、蕴涵（如果、、、那么、、、）：设p,q表示两个命题，用“如果、、、那么、、、”把它们连接起来成为一个新命题“如果p,那么q”，记作qp→。
真值表如下：5、当且仅当（等价式）：设p,q 表示两个命题，把q p ↔称为p,q 的等价式，其真值表如下真值表的作用证明重言式、两个命题等价，解决逻辑推理问题 例1 q p q p ∨≡∧例2 q p q p ∨≡→其真值表如下：三、推理规则1、合取规则：p 为真q 为真, q p ∧也为真。
2、分离规则：q p →为真，p 为真，q 也为真（充分条件假言规则）。
3、全称命题为真，则特称命题也为真。
4、r p ,,→→→则r q q p 。
5、是恒真命题r p r q q p ↔→↔∧↔)()(。
6、q(T) (T) p q(T)p ↔7、qp p q q p ↔→→8、(T)p (T) )(q T q p →（否定规则）9、pq q p →→10、(T)q (T) )(p T q p ∨（选言规则）11、qqp p q p ∧∧或（联言规则）12、三段论：推理形式为如果M 是P,S 是M,那么S 是P 。
它的逻辑式为：)()()(P S M S P M →→→∧→。
由真值表可知：)()()(P S M S P M →→→∧→1≡是恒真命题。
凡是恒真命题（重言式）都可作为推理规则。
前面提到的分离规则1)(≡→∧→q p q p ，选言规则1)(≡→∧∨q p q p ，联言规则1)(≡→∧p q p ，也都是恒真命题。
分别证明如下：11)()(31)()()()(21)()()()()(1≡∨≡∨∨≡∨∧≡→∧≡∨∨∨≡∨∧∨≡→∧∨≡∨∨∨≡∨∧∨≡∧∨≡→∧→q p q p p q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p p q p q q p 、、、四、证明方法1、直接证明：直接从所给论题入手，以公理、定义、定理等为论据，运用逻辑推理规则来论证论题为真的证明方法。
第六节真值表及其作用 PPT
例2:甲、乙、丙三人争夺象棋比赛得前 三名。小林预测,“只有甲第一,丙才第 二”。小刘预测,“丙不就是第二”。
事实证明两人中只有一人得预测为 真,请回答甲、乙、丙三人得名次。
解:①令p表示“甲第一”,q表示“丙第二” ②小林得预测: (p←q) 小刘得预测: ┓q ③列真值表如下:
言前提进行二难推理,则推出得结论可以就是
( )、( )。
答案:9、矛盾。10、您不让步她也签字。
11、q或s,非p或非r。
二、下列判断就是何种判断？写出它们得结构式。 1、在掌握好专业知识得同时,还必须学好逻辑。
联言判断;p∧q 2、只要改正了错误,就表明已经认识了错误。
充分条件假言判断;p→q
3、并非旅游团明天去纽约,或者去旧金山。
C、有些教师真得不懂心理学。
D、心理学知识有助于提高教学效果。
答案:B
4、在下列判断中与“非p或者非q”等值得判断
就是
A、并非(非p并且非q) B、并非(p并且q)
C、如果p,那么非q
D、如果非q,那么p
E、如果非p,那么q
答案:B C
5、“不就是在保守中落后,就就是在改革中进 步”与“不就是在保守中落后,而就是在改革 中进步”这两个判断 A、都就是选言判断 B、前者为选言判断,后者为联言判断 C、都就是联言判断 D、前者为联言判断,后者为选言判断 答案:B 6、“只有触犯刑律,才能构成犯罪”作为假言 前提进行假言推理,另一前提可以就是 A、触犯刑律 B、没有构成犯罪 C、构成了 犯罪 D、没有触犯刑律 E、未构成犯罪 答案:C D
逻辑”为假,则下列为真得就是
A、某甲掌握了两门外语并且精通逻辑
B、某甲掌握了两门外语但不精通逻辑
任意项 真值表 逻辑表达式 解释说明以及概述
任意项真值表逻辑表达式解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在逻辑学和数学领域中，真值表是一种重要的工具，用于表示逻辑表达式中不同变量组合对应的真值结果。
通过构建和分析真值表，我们可以深入理解逻辑运算规则、等价关系以及在实际问题中的应用。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面对真值表进行详细探讨：定义与基本概念、构建真值表的方法、应用示例与分析。
随后，我们将转向逻辑表达式部分，包括逻辑符号与运算规则、逻辑等价与蕴含关系以及真值表在逻辑表达式中的应用。
此外，我们还将介绍解释函数与解释模型的概念，并阐述真值表的解释过程和方法论贡献。
最后，我们将通过实际问题中的解释应用案例进行分析，并总结重要观点和发现结果。
1.3 目的本文旨在全面介绍和讨论任意项真值表及其在逻辑表达式中的应用。
通过对各个主题进行深入探究，并结合示例和案例分析，我们希望读者能够理解并运用真值表相关概念、方法和技巧。
此外，我们也将展望未来研究方向，为后续相关领域的深入研究提供建议和思路。
以上是文章“1. 引言”部分的内容，用于概述本文的目的、结构和要点。
2. 真值表2.1 定义与基本概念真值表是一种用于表示逻辑表达式中所有可能情况的表格。
它由逻辑变量及其对应的真值组成，在每一行中列出了逻辑变量的取值以及整个逻辑表达式的真值。
真值表是进行逻辑推理和分析的重要工具。
在一个简单的例子中，如果我们有两个逻辑变量A和B，每个变量都可以取两个可能的值：真（T）或假（F）。
因此，我们可以构建一个包含四行的真值表来表示这两个变量所有可能情况下的取值和结果。
2.2 构建真值表的方法构建真值表有几种常用方法：首先，可以通过列举所有可能情况并在每行中填写对应的取值和结果来手动构建真值表。
尤其对于较小规模的问题，这种方法相对简单直观。
其次，利用二进制编码可以更高效地构建大型真值表。
根据逻辑变量数量确定二进制数位数，并通过将二进制数与逻辑变量取值之间进行映射来生成所有可能情况下的取值和结果。
比较充分条件和必要条件的真值表和推理规则
比较充分条件和必要条件的真值表和推理介绍如下：
充分条件和必要条件是数学逻辑学中常用的概念，掌握它们的真值表和推理方式是进行逻辑推理的关键。
1.充分条件
充分条件是指，如果条件A成立，那么结论B也必然成立。
充分条件表示为：A→B。
A与B分别称为前提和结论。
当前提为假时结论成立或不成立都有可能。
因此，充分条件只是达成结论的一种可能方式，但不是必然方式。
充分条件的推理方式：
如果要判断充分条件是否成立，有两种方式：
（1）对前提A进行前向推导，即先假设A成立，再确定结论B是否成立。
（2）对结论B进行后向推理，即先假设结论B成立，再确定前提A是否成立。
2.必要条件
必要条件是指，只有当结论B成立时，前提A才有可能成立。
必要条件表示为：B→A。
从上表可以看出，只有当结论为真时，前提有可能成立，否则前提必为假。
因此，必要条件是达成结论的必须条件。
必要条件的推理方式：
如果要判断必要条件是否成立，有两种方式：
（1）对结论B进行前向推导，即先假设结论B成立，再确定前提A是否一定成立。
（2）对前提A进行后向推理，即先假设前提A成立，再确定结论B是否一定成立。
总之，充分条件和必要条件是逻辑推理中不可或缺的概念，合理运用真值表和推理方式可以对条件和结论的关系进行精准判断，有助于更加准确地进行逻辑推理和判断。
真值表用法
真值表用法一、真值表是什么呢？真值表就像是一个超级有用的小工具，用来表示逻辑关系的。
比如说，在逻辑运算里，像与、或、非这些运算，真值表就能清楚地把各种输入情况下的输出结果都列出来。
就好像我们有一个小盒子，它有不同的入口（输入），然后根据里面的规则，会有对应的出口（输出），真值表就是把这些入口和出口的关系都明明白白地写出来啦。
二、真值表的基本组成部分1. 输入变量这些就像是我们刚刚说的小盒子的入口。
在逻辑运算里，可能有一个或者好几个输入变量呢。
比如说在一个简单的与运算里，可能有A和B两个输入变量。
每个输入变量都可以有两种状态，真（用1表示）或者假（用0表示）。
这就像我们开灯关灯一样，要么开（1），要么关（0）。
2. 输出结果这就是小盒子的出口啦。
根据输入变量的不同组合，按照逻辑运算的规则，就会得到相应的输出结果。
还拿与运算来说，如果A 是0，B是0，那么输出就是0；如果A是1，B是0，输出也是0；只有当A是1，B是1的时候，输出才是1。
三、真值表的用法1. 在逻辑推理中的用法在逻辑推理的时候，真值表可以帮助我们判断各种命题之间的关系。
比如说有两个命题P和Q，我们想知道它们之间是等价关系呢，还是蕴含关系之类的。
我们就可以把P和Q的各种可能取值（真或假）都列在真值表里，然后根据逻辑关系的定义，看对应的输出结果。
如果在所有可能的输入情况下，P和Q的输出结果都一样，那它们就是等价的。
就像两个人对同一件事情的看法，不管这件事情是什么情况，他们的观点总是一样的，那他们的看法就是等价的。
2. 在电路设计中的用法在电路设计里，真值表可太重要啦。
电路里的各种门电路，像与门、或门、非门之类的，它们的行为就可以用真值表来描述。
比如说我们要设计一个简单的报警电路，当两个条件都满足的时候（比如温度过高和烟雾浓度超标）才报警。
那我们就可以用与门来实现这个功能，通过真值表我们就能清楚地知道，什么时候这个与门会输出高电平（表示报警），什么时候输出低电平（表示正常）。
数理逻辑中的命题逻辑与真值表
数理逻辑中的命题逻辑与真值表数理逻辑是研究形式系统的一门学科，主要关注于判断、推理和表达的规则。
其中，命题逻辑是数理逻辑的基础，用于研究命题的真值和逻辑关系。
在命题逻辑中，真值表是一种重要的工具，用于描述命题的真假情况和逻辑运算的结果。
本文将介绍数理逻辑中的命题逻辑以及真值表的基本概念和应用。
一、命题逻辑的基本概念命题逻辑是研究命题的逻辑关系的一种形式系统。
在命题逻辑中，命题是可以判断真假的陈述句，通常用大写字母P，Q，R等表示。
命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
简单命题是不能进一步分解的命题，而复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接构成。
常见的逻辑运算符有合取（∧），析取（∨），蕴含（→），等值（↔）和否定（¬）。
合取表示与关系，只有当连接的命题都为真时，合取命题为真；析取表示或关系，只有当连接的命题至少有一个为真时，析取命题为真；蕴含表示如果...那么...关系，当前提为假或者结论为真时，蕴含命题为真；等值表示两个命题具有相同的真值；否定表示命题的反面。
二、真值表的基本概念真值表是用来描述命题的真假情况和逻辑运算的结果的表格。
在真值表中，列出了所有可能的命题组合及其对应的真值。
对于n个命题，共有2^n种可能的命题组合。
每种命题组合都对应一个真值，通过真值表可以直观地了解命题间的逻辑关系。
以一个简单的真值表为例：P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P → Q--------------------------------------T | T | T | T | TT | F | F | T | FF | T | F | T | TF | F | F | F | T在上述真值表中，P和Q代表两个命题，P ∧Q表示P和Q的合取，P ∨ Q表示P和Q的析取，P → Q表示P蕴含Q。
根据真值表可以得知P和Q的真假情况，以及不同逻辑运算的结果。
真值表为判断命题逻辑的真值和逻辑关系提供了有效的工具。
真值表与卡诺图
真值表与卡诺图
真值表是一维的，自变量的2n个取值组合自上而下地排列，排列的顺序是自然二进制码。
卡诺图是二维的，它把自变量分成两组，一组自变量的各取值组合自左向右水平地排列，另一组则自上而下垂直地排列，排列的顺序是格雷码。
如函数 z=f（a，b，c）的卡诺图:
图1 卡诺图
表1 函数的真值表
若函数z（a，b，c）具有表1所示的真值表，把真值表各行的函数值依次填在对应的小方格中，即得对应的卡诺图如图1（c）所示。
由图可见，卡诺图中的每一个填1（0）的小方格均对应了该函数的一个最小（大）项。
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1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用m i表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
三、用卡诺图表示逻辑函数1.卡诺图的引出一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图称为卡诺图。
卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。
下面从讨论一变量卡诺图开始，逐步过渡到多变量卡诺图。
大家知道，n个变量的逻辑函数有2n个最小项，因此一个变量的逻辑函数有两个最小项。
比如有一个变量Ｄ，其逻辑函数Ｌ的最小项表达式为：其中Ｄ和是两个最小项，分别记为m1和m0，即m0=D，m1=D。
这两个最小项可用两个相邻的方格来表示，如下图所示。
方格上的Ｄ和分别表示原变量和非变量。
为了简明起见，非变量可以不标出，只标出原变量Ｄ。
但是还可以进一步简化，也就是将m0，m1只用其下标编号来表示。
若变量的个数为两个，则最小项个数为22=4项，函数的最小项表达式为由于有４个最小项，可用４个相邻的方格来表示。
这４个方格可以由折叠了的１变量卡诺图展开来获得，如下图所示，变量Ｄ标在图的底下，标的规律符合展开的规律，即中间两格底下为Ｄ，两边的两格底下为。
而变量Ｃ可标在展开后新的两个方格的顶上,以保持左边的第一格仍为m0项，即维持展开前两方格最小项序号不改变。
由图中可看到一个规律：新的方格内最小项的编号比对应的原方格增加了2n-1＝22-1＝2。
按照这个规律折叠时，方格1后面为方格３,方格０后面为方格２，展开后即得图示的２变量卡诺图。
综上所述，可归纳“折叠展开”的法则如下：①新增加的方格按展开方向应标以新变量。
②新的方格内最小项编号应为展开前对应方格编号加2n-1。
按照同样的方法，可从折叠的２变量卡诺图展开获得３变量卡诺图。
３变量逻辑函数L(B, C, D)应有８个最小项，可用８个相邻的方格来表示。
新增加的４个方格按展开方向应标以新增加的变量B（以区别于原来的变量C、D）。
而且，新增加的方格内最小项的编号为展开前对应方格编号加2n-1=23-1=4，这样即可获得３变量卡诺图如下：同理，可得４变量卡诺图，如下图所示。
在使用时，只要熟悉了卡诺图上各变量的取值情况（即方格外各变量A、B、C、D等取值的区域），就可直接填入对应的最小项。
将上图中的数码编号与最小项的编号——对应，可以得到下面这种形式的卡诺图。
2.卡诺图的特点上面所得各种变量的卡诺图，其共同特点是可以直接观察相邻项。
也就是说，各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
在卡诺图水平方向的同一行里，最左和最右端的方格也是符合上述相邻规律的，例如，m4和m6的差别仅在C和。
同样，垂直方向同一列里最上端和最下端两个方格也是相邻的，这是因为都只有一个因子有差别。
这个特点说明卡诺图呈现循环邻接的特性。
3.已知逻辑函数画卡诺图根据逻辑函数的最小项表达式和卡诺图的一般形式，就可以得到相应的卡诺图。
例如，要画出逻辑函数的卡诺图时，可根据４变量卡诺图，对上列逻辑函数最小项表达式中的各项，在卡诺图相应方格内填入１，其余填入０，即可得到如下图所示的Ｌ的卡诺图。
例：画出的卡诺图解：（1）利用摩根定律，可以将上式化简为：（2）因上式中最小项之和为Ｌ，故对Ｌ中的各最小项，在卡诺图相应方格内应填入０，其余填入１，即得下图所示的卡诺图。
四、用卡诺图化简逻辑函数1.化简的依据我们知道，卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个相邻的方格均为1，则这两个相邻最小项的和将消去一个变量。
比如４变量卡诺图中的方格５和方格７，它们的逻辑加是，项消去了变量Ｃ，即消去了相邻方格中不相同的那个因子。
若卡诺图中４个相邻的方格为１，则这４个相邻的最小项的和将消去两个变量，如上述４变量卡诺图中的方格２、３、７、６，它们的逻辑加是消去了变量Ｂ和Ｄ，即消去相邻４个方格中不相同的那两个因子，这样反复应用的关系，就可使逻辑表达式得到简化。
这就是利用卡诺图法化简逻辑函数的某本原理。
2.化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：（1）将逻辑函数写成最小项表达式。
（2）按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。
（3）合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组（包围圈），每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。
（4）将所有包围圈对应的乘积项相加。
有时也可以由真值表直接填卡诺图，以上的（1）、（2）两步就合为一步。
画包围圈时应遵循以下原则：（1）包围圈内的方格数必定是2n个，n等于0、1、2、3、…。
（2）相邻方格包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。
（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈为多余。
（4）包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。
化简后，一个包围圈对应一个与项（乘积项），包围圈越大，所得乘积项中的变量越少。
实际上，如果做到了使每个包围圈尽可能大，结果包围圈个数也就会少，使得消失的乘积项个数也越多，就可以获得最简的逻辑函数表达式。
下面通过举列来熟悉用卡诺图化简逻辑函数的方法。
例: 一个逻辑电路的输入是４个逻辑变量Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它的真值表如下，用卡诺图法求化简的与一或表达式及与非一与非表达式。
解：（1）由真值表画出卡诺图，如下图所示。
（2）画包围圈合并最小项，得简化的与一或表达式。
（3）求与非一与非表达式。
二次求非然后利用摩根定律得利用卡诺图表示逻辑函数式时，如果卡诺图中各小方格被１占去了大部分，虽然可用包围１的方法进行化简，但由于要重复利用１项，往往显得零乱而易出错。
这时采用包围０的方法化简更为简单。
即求出非函数再对求非，其结果相同，下面举例说明。
例：化简下列逻辑函数解：（1）由Ｌ画出卡诺图，如图所示。
（2）用包围１的方法化简，如下图所示，得所以有：（3）用包围０的方法化简，如图所示，根据图得到：，两边去反后可得：两种方法得到的结果是相同的。
实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。
无关项的意义在于，它的值可以取０或取１，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定工作原理:由一个中心有轴的光电码盘，其上有环形通、暗的刻线，有光电发射和接收器件读取,获得四组正弦波信号组合成A、B、C、D,每个正弦波相差90度相位差（相对于一个周波为360度），将C、D信号反向，叠加在A、B两相上，可增强稳定信号；另每转输出一个Z相脉冲以代表零位参考位。
由于A、B两相相差90度，可通过比较A相在前还是B相在前，以判别编码器的正转与反转，通过零位脉冲，可获得编码器的零位参考位。
编码器码盘的材料有玻璃、金属、塑料，玻璃码盘是在玻璃上沉积很薄的刻线，其热稳定性好，精度高，金属码盘直接以通和不通刻线，不易碎，但由于金属有一定的厚度，精度就有限制，其热稳定性就要比玻璃的差一个数量级，塑料码盘是经济型的，其成本低，但精度、热稳定性、寿命均要差一些。
分辨率—编码器以每旋转360度提供多少的通或暗刻线称为分辨率，也称解析分度、或直接称多少线，一般在每转分度5~10000线。
信号输出:信号输出有正弦波（电流或电压）,方波（TTL、HTL）,集电极开路（PNP、NPN）,推拉式多种形式，其中TTL为长线差分驱动（对称A,A-;B,B-;Z,Z-）,HTL 也称推拉式、推挽式输出，编码器的信号接收设备接口应与编码器对应。
信号连接—编码器的脉冲信号一般连接计数器、PLC、计算机，PLC和计算机连接的模块有低速模块与高速模块之分，开关频率有低有高。
如单相联接，用于单方向计数，单方向测速。
A.B两相联接，用于正反向计数、判断正反向和测速。
A、B、Z三相联接，用于带参考位修正的位置测量。
A、A-，B、B-，Z、Z-连接，由于带有对称负信号的连接，电流对于电缆贡献的电磁场为0，衰减最小，抗干扰最佳，可传输较远的距离。
对于TTL的带有对称负信号输出的编码器，信号传输距离可达150米。
对于HTL的带有对称负信号输出的编码器，信号传输距离可达300米。
编码器的定义与功能：在数字系统里，常常需要将某一信息（输入）变换为某一特定的代码（输出）。
把二进制码按一定的规律编排，例如8421码、格雷码等，使每组代码具有一特定的含义（代表某个数字或控制信号）称为编码。
具有编码功能的逻辑电路称为编码器。
编码器有若干个输入，在某一时刻只有一个输入信号被转换成为二进制码。
如果一个编码器有N个输入端和n个输出端，则输出端与输入端之间应满足关系N≤2n。
例如8线—3线编码器和10线—4线编码器分别有8输入、3位二进制码输出和10输入、4位二进制码输出。
1.4线—2线编码器下面分析4输入、2位二进制输出的编码器的工作原理。
4线—2线编码器的功能如表5.2.1所示。