高等数学期末总结(天津商业大学)

1、求过点M （0,0，1）且平行于平面,0532=---z y x 又与直线

1

11

12

-+=

-=

z y x 垂

直的直线方程.

２、 已知A(1,0,1),B(2,1,3),C(3,-1,0),求三角形ABC 的面积及其所在平面方程.

３、设),2,1,3(--=a ),1,2,1(-=b 求，b a ⨯b a

∙ ４、设)2,32(y x y x f z +-=，求dz .

５、求xyz u =在点M （5，1，2）处的梯度及沿从M 到N （9，4，14）的方向的方向导数. ６、求旋转抛物面122-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程 ７、求xy y x y x f 3),(3

3-+=的极值 ８、计算二重积分计算⎰⎰

D

dxdy y

y sin ，其中D 由x y x y ==,2

围成.

９、设D: ,0,22

2≥≤+x y y x 求⎰⎰

+D

dxdy y x 2

2 １０、求dV e y x z

]1)[(++⎰⎰⎰Ω

.其中1:

2

2

≤≤+Ωz y

x

二. 已知曲面方程342

22=++z y x

1、 试求其在第一卦限内的点),,(c b a 处的切平面方程；

2、 求该切平面与三坐标面所围立体的体积),,(c b a V ；3.求),,(c b a V 的最小值.

三（１０分） 求由2

22y x z +=和2=z 所围立体的体积和表面积．

1、已知2

2ln y

x z +=，证明：

02

2

2

2

=∂∂+

∂∂y

z x

z .

２、已知)(x f 在],[b a 上连续，证明：⎰

⎰⎰-=

b

a

x

a b

a

dx x b x f dy y f dx ))(()(.

1、求过点M （0,0，1）且垂直于平面0532=-+-z y x 的直线的方程.

2、设)32sin(y x z -=，求

y

x z ∂∂∂2

.

3、 设D: ,0,2

2

2

>≤+a a y x 求⎰⎰

+D

dxdy y x 2

2

4、计算对坐标的曲面积分

,zdxdy ydzdx dydz

x ++⎰⎰∑

其中∑为圆柱体

30,92

2

≤≤≤+z y x 的外侧表面.

5、已知幂级数∑

∞

=--1

1

)1(n n

n x

n

.试求其收敛区间.

1.设),2,1,3(--=a ),1,2,1(-=b 求，

b a

⨯b a ∙

2.求32z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数.

3计算对坐标的曲线积分dy y x dx x xy L

)()2(2

2++-⎰,其中L 是由抛物线2x y =和

2

y x =所围区域的正向边界.

4、判别正项级数∑

∞

=+111

n n

a

的收敛性（)0>a .

6、求旋转抛物面12

2-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程. 7、 已知)(x f 在],[b a 上连续，证明：⎰

⎰⎰-=

b

a

x

a

b

a

dx x b x f dy y f dx ))(()(.

8、计算对弧长的曲线积分,ds y L

⎰

其中L 为抛物线2

x y = 从点O （0，0）到B （1，1）之

间的一段弧.

四、欲制造一个体积为V 的无盖长方体形水池，试设计水池的尺寸，使其表面积最小. 五、（本题满分8分）已知函数)(x f 以π2为周期，且ππ<≤-=x x x f ,)(，其傅里叶

级数∑∞

=++

1

0sin cos 2

n n n

nx b nx a

a 的和函数记为),(x s 试利用定积分表示其傅里叶系数，并

给出)0(),(s s π的值

1、设),2,1,2(--=a ),1,2,1(-=b 求，b a +2.

b a ∙

2、求过点M （0,0，1）且垂直于平面0532=-+-z y x 的直线的方程.

3、设)32sin(y x z +=，求xy z ,.dz

4、 求3

2

z xy u =在点M （1，1，1）沿从M 到N （2，3，-1）的方向的方向导数 5、求旋转抛物面12

2

-+=y x z 在点（2，1，4）处的切平面及法线方程. 6、计算二重积分σd xy D

⎰⎰,其中D 为2,1,===x y x y 所围区域.

设D: ,0,2

22>≤+a a y x 求⎰⎰

+D

dxdy y x 2

2.