量子力学第三章5

ˆ A) 2 ) ( , ( A ˆ A) , ( A ˆ A) ) (( A ˆ A) ]*[( A ˆ A) ] dv[( A ˆ A) |2 0 dv | ( A ˆ ) 0，涨落不为负。 结论： (A
------------2
引入一个任意波函数 ( x)。 , ( x)] ( x) x ( x) i [ ( x) ( x)] ( x)i x x ( x) ( x) ( x) i ( x) i ( x ) ( x)i x x x ( x) ( x) i ( x) [i ] ( x) x x ˆ x , ( x)] i [ p x 注意这里其实只是一个 乘法算子。 ˆ x , ( x)] ( x) [i [p
2
对于本征态， ˆ ( , H ˆ ), En H n n 于是2mEn *(x) 2 估计x ~a是合理的 就是En
2
2 2 -----
4
4
，
ˆ， 则p 2m H 也就是 (p ) 2 2mH 那么2mH *( x)
2
-----
8m (x) 2
这样就可以给本征能量值找到 一个下限，就是基态能量。
关于厄米算符的结论
任何状态下厄米算符的平均值为实数。 ˆ 是厄米的。 已知A ˆ ( , A ˆ ) dv * ( A ˆ ) A 根据厄米性 ˆ , )= dv( A ˆ )* =( A

两者互为共轭 ˆ 必为实数。 则A
厄米算符本征值正交性的证明
需要掌握。 见教材。 简单：使用“能够换位这一性质”。
n iEm t iEn t

iEn t
dV ( cm cn m ( x) n ( x)e
m,n *
) En
{cm cn e
m,n
iEm t iEn t
En [ dV m ( x) n ( x)]}
* *
c m cn e
* m,n
iEm t iEn t
厄米算符

基本性质和定义
ˆ ，如果对于任意波函数 设有算符A ，，都有 ˆ ) ( A ˆ , ) ( , A ˆ 叫做厄米算符。 则A 积分表达式是什么样子 的？
练习
ˆ ˆ ˆ 1.证明x, V ( x)是厄米算符( px , l 选做)。 2 ˆ ˆ 2.若A是厄米算符，则A 也是。 ˆ 是厄米算符，则对于任意态（波函数）下， 3.若A ˆ 2 0。 A
2 2 2 2 --------------
不确定度关
1 ˆ, B ˆ]| A B | [ A 2 注意式中三个量都是平均值， 回忆：平均值都是对于具体的波函数 来计算的，

ˆ ( , A ˆ ) A
同时测量两个力学量
涨落何时为0？
------------2
ˆ) (A
ˆ A ) |2 0 dv | ( A ˆ A ) 0 (A 即 ˆ A A ˆ 的本征态 。 结论：涨落为零的态， 就是算符A n ˆ 得到的平均值是唯一确 此时测量力学量 A 定的， A An。
复习测量假定
4
运用不确定原理估算基态能量的经典习题

2.估算谐振子基态能量 注意和势阱的稍有不同。 试试看，有没有办法解决？
估算谐振子的基态能量
根据不确定度原理 2 又有p 0, p*x , 就是(p ) 2 *(x) 2
2
ˆ 2。 注意到x 0, (x) 2 x
4
2 2 2 ˆ ˆ p 1 p 1 ( p ) 1 2 2 ˆ ˆ ˆ H + kx + kx + k (x ) 2 2m 2 2m 2 2m 2 使用基本算术不等式

不确定关系规定了同时测量两个力学量 可以达到的精度极限。
不确定度关系的最基本例子
ˆx ˆ, B ˆ p ,[ A ˆ ] [ x, p ] i ˆ, B A x x 1 ˆ ˆ x px | [ A, B ] | 2 2 ˆ和 p x ， 这个式子表明，同时测量x 不可能都得到确定的值。
衍生题型：估算势阱中基态的能量
根据不确定度原理 基本思路： 基态 最小的能量 E ???，取等号即可。 ˆ 出发点是：E H 注意到不确定度原理： p*x , 就是(p) 2 *(x) 2 2 4 请思考下可能的途径。
2
估算势阱中基态的能量
根据不确定度原理 2 又有p 0, p*x , 就是(p) 2 *(x) 2


在一个力学量的本征态下测量这个力学 量，涨落为零，就是必然会得到一个确 定的结果，这个结果就是本征态对应的 本征值。 这个已经在测量的假定中说过。
不确定度关系
ˆ 和B ˆ ），对于任意的一个状 任意两个力学量（分别 对应算符A 态 ， 则有如下关系成立： 1 ˆ ˆ (A) (B ) | [ A , B] | 2 这里， ˆ A ) 2 ) , 教材中又简记为 (A) ( , ( A A（注意不要混淆） ˆ B ) 2 ) , 教材中又简记为 (B ) ( , ( B B（注意不要混淆） 上述关系，也简记为 1 -----ˆ-----ˆ---A B | [ A, B ] | 2 该关系由Heisenberg 发现，名为不确定度关 系。 两个力学量的涨落之间 存在一种普遍的关系。
厄米算符的性质和测量

回顾力学量的测量假定
厄米算符的性质和测量

平均值
ˆ ) | c |2 A A ( , A n n
n

童鞋：请搞清楚里面的系数是神马含义哦！
厄米算符的性质和测量

新概念：涨落。
用以衡量测量值在平均值周围不同的散布情况。
2 n

在统计中，使用 [(xn x ) ] pn， 就是偏离均值距离大小 的平方与 散布越小。 这个表示散布程度的量 ，叫做“涨落”。
^ ^
运用不确定原理来研究问题


可能用到的基础命题2个 （1）一维势场中的粒子，如果势函数具 有对称性，且本征函数无简并，则能量 本征态下坐标的平均值为0.（或者：一 维束缚态中，如果势函数具有对称性， 则本征态下坐标平均值为0） （2）一维束缚本征态下，动量的平均值 为0 。
练习
证明： ˆ x , ( x)] i 1.[ p x
2 2 ˆx 2.[ p ˆ x , ( x)] 2 x 2i x p 2
证明：
练习解答
ˆ x , ( x)] i 1.[ p
x 注意，这里 ( x)也是一个算符，指的是 用 ( x ) 这个函数去乘的操作。
n

iEn t
) ) )
dV ( cm m ( x)e
m

iEm t *
) En ( cn n ( x)e
n

iEn t
其实原来已 经用过这个 性质了。 请问为何可 以这样算？
dV ( cm m ( x)e
* * n * *
iEm t
) En ( cn n ( x)e

基本关系
ˆ lˆ lˆy lˆ l x z
2 2 2
2
角动量

对易式
请自己总结角动量的对易关系，并请注 意记忆的规律。
角动量
ˆ ] ix ˆ [lˆ , x ˆ ] ip ˆ [lˆ , p [lˆ , lˆ ] ilˆ ˆ ˆ ˆ (上式不为零的部分，也 写成l l il ) ˆ2 ˆ [l , l ] 0
关于厄米算符的结论
如果两个厄米算符对易，则它们的乘积也是厄米的。 ˆ、B ˆ 分别是厄米的，且二者对易。 已知A ˆ, B ˆ ˆ BA ˆ ]=AB ˆ ˆ 0， 即[A ˆ ˆ =BA ˆ ˆ。 也就是AB ˆ ˆ ) ( BA ˆ ˆ , （厄米性质） 则( , AB ) 由上面 ˆ ˆ , ) ( AB ˆ ˆ 是厄米的。 所以AB
ˆ 1 ˆ p 注意到谐振子，H + kx 2 , 2m 2 ˆ， 则不能直接用p 2m H
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2
(p ) 2 1 k 2 k (x) 2 ( p ) 2 ( x ) 2 2m 2 m 由不确定关系 k 2 1 = = m 4 2 2

ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆ B ˆA [A
算符的运算规则

算符一般不满足交换律量子力学中的 对易关系
算符的运算规则

坐标-动量对易关系
ˆ, p ˆx] x ˆp ˆx p ˆxx ˆ i [x ˆ , p ˆ ] i [x
练习
常用基本公式 ˆ, B ˆ] ˆ ] [ B ˆ, A [A ˆ, B ˆ] [A ˆ, B ˆ,C ˆ] ˆ C ˆ][A [A ˆ, B ˆ] B ˆ,C ˆ][A ˆ, B ˆ ˆC ˆ[ A ˆ ]C [A ˆB ˆ] A ˆ[ B ˆ][A ˆ,C ˆ ]B ˆ,C ˆ,C ˆ [A 算符中的Jacobi 恒等式 ˆ ,[B ˆ ]] [ B ˆ, A ˆ ]] [C ˆ ,[ A ˆ, B ˆ,C ˆ , [C ˆ ]] 0 [A
将要学习的…

角动量
下面，先来学习厄米算符的基本性质。

算符的运算规则

1.线性算符
定义见课本。 请注意：“任意波函数”这个规矩。


算符的运算规则
ˆ E dV * H dV ( cm m ( x)e
m iEm t *
ˆ ( c ( x )e ) H n n