高等数学线性代数习题答案第四章

习题 4-1

1.验证函数f (x )=lnsin x 在[

π5π

,66

]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.

解: 显然()lnsin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上连续,在π5π,66⎛⎫

⎪⎝⎭内可导,且π5π

()()ln 266

f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin x f x x x '===,则π

2x =

即存在ππ5π

(,)66

ξα=∈,使()0f ξ'=成立.

2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?

[][][]

2

(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π

(3)()0,π1,

0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩

解: (1) 2

()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f -=

() f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2

()20e x f x x '==得 0x =, 即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.

(2) 101

()1112

x x f x x x x -≤<⎧==-⎨

-≤≤⎩

显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又

1

1

1

1

(10)lim ()lim(1)0,(10)lim ()lim(1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --

++

→→→→-==-=+==-=-=+==

所以()f x 在1x =处连续,而且

2

2

(00)lim ()lim(1)1(0),(20)lim ()lim(1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++

--

→→→→+==-==-==-==

即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2

上连续.

又

1111()(1)1(1)lim lim 1,11

()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f x

f x x f x f x

f x x -

-

++

-→→+→→--'===-----'===--

(1)(1)() f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导. 又 (0)(2)1f f == 又由 101

()112x f x x -<<⎧'=⎨

<<⎩

知 ()0f x '≠

综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ.

(3) 由0

(00)lim sin 0(0)1x f x f +

→+==≠=知()f x 在0x =不右连续, () f x ∴在[]0,π上不连续, 显然()f x 在

()

0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且

()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=

∈,有π

()cos cos 02

f ξξ'===. 综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=

π

2

. 3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.

解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在

()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.

同理

()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个

实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.

4. 验证拉格朗日中值定理对函数3

()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.

解: 显然3

()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的

条件.

若令2

(1)(0)

()323

10

f f f x x -'=+=

=-则33x =±

,取33

ξ=,即存在3(0,1)3ξ=

∈,使得(1)(0)

()10

f f f ξ-=-成立. 从而拉格朗日中值定理对函数3

()2f x x x =+在［0，1］上成立.

5. 已知函数f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )=0,试证：在(a ,b )内至少存在一点ξ，使得

f (ξ)+f ′(ξ) = 0，ξ∈(a ,b ). 证: 令()()e x

F x f x =,则()()()e e x

x

F x f x f x ''=+

由e x

在(),-∞+∞上连续,可导,()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,知()F x 在[],a b 上

连续,在(),a b 内可导,而且()()0,()()0,()()e e 即a

b

F a f a F b f b F a F b =====,

由罗尓定理至少存在一点(,)a b ξ∈使()0F ξ'=.

即 ()()0e e f f ξ

ξ

ξξ'+= 而0e ξ

≠

故 ()()0f f ξξ'+=

即在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()0f f ξξ'+=. 6.若方程10110n n n a x a x a x --++

+=有一个正根x 0,证明方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-+

+=

必有一个小于0x 的正根.

证: 令1

011()…n n n f x a x a x a x --=+++,显然()f x 在[]00,x 连续,在()00,x 内可导,且

(0)0f =,依题意知0()0f x =.即有0(0)()f f x =.由罗尓定理,至少存在一点0(0,)x ξ∈,

使得()0f ξ'=成立,即

12011(1)0…n n n a n a n a ξξ---+-++=

成立,这就说明ξ是方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-+

+=的一个小于0x 的正根.

7. 设f (a ) = f (c ) = f (b ),且a ＜c ＜b , f ″(x )在［a ,b ］上存在，证明在(a ,b )内至少存在一点ξ，使f ″(ξ) = 0.