第三章平面力偶系
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工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
第三章_力对点的矩_平面力偶系
4
平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系的合成
平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。 平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。
=
FR = F1 + F2 + Fn
=
=
′ FR = F1′ + F2′ + Fn′
平面力偶系合成的结果是一个合力偶， 平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 中各力偶矩的代数和。 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。
力对点的矩
F
h
O
M 0 ( F ) = ± Fh
力对点的矩是一个代数量，它的绝对值 绝对值等于力的大小 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定， 正负可按下法确定 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 量度
A α M1
OBBiblioteka M2DB 解： 因为杆AB为二力杆，故其反力F 和F 只 因为杆AB为二力杆 故其反力FAB 为二力杆， BA A
α
M1 M2
D
能沿A 能沿A，B的连线方向。 的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能 为研究对象。 与力偶平衡，所以支座O 与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只 的约束力F ∴ 能分别平行于F 能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。 且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 的平衡方程：
力对点的矩
第三章 力偶系
(2)再将Q, F合成R， Q', F'合成R'， 得到新力偶(R, R'),
QA RF
F' R'
B Q'
(3)将R, R'分别移到A', B'点，则(R, R')与原力偶等效
(4)最后将力偶(R, R')的力臂调整到与原力偶相等
19
§3-5、力偶系的合成
设作用于刚体上的任意两个力偶M1，M2， 总能将其等效为两个共力臂的力偶：
z
Fz
力 F 对 z 轴之矩：
M z (F ) xFy yFx
F
Fy
k Fx z
ij
x
y
x
y
Fx
Fxy
力 F 对 x 轴与 y 轴之矩： M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
10
问题：力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系？
z
力对轴之矩 M x (F ) yFz zFy M O M Oz
力偶(F, F’ )是特殊的力系，对O点 的合力矩为：
F ' F
F
B rBA
A d
F’
rB
rA
O
MO MO(F) MO(F')
rA F rB F '
rA F rB (F )
(rA rB ) F rBA F
M
M = Fd
B rBA
F’
力偶矩矢
F A
注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点 无关。
合力偶的方向：
cos(MR, i)
Mx MR
cos(MR, j)
My MR
QA RF
F' R'
B Q'
(3)将R, R'分别移到A', B'点，则(R, R')与原力偶等效
(4)最后将力偶(R, R')的力臂调整到与原力偶相等
19
§3-5、力偶系的合成
设作用于刚体上的任意两个力偶M1，M2， 总能将其等效为两个共力臂的力偶：
z
Fz
力 F 对 z 轴之矩：
M z (F ) xFy yFx
F
Fy
k Fx z
ij
x
y
x
y
Fx
Fxy
力 F 对 x 轴与 y 轴之矩： M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
10
问题：力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系？
z
力对轴之矩 M x (F ) yFz zFy M O M Oz
力偶(F, F’ )是特殊的力系，对O点 的合力矩为：
F ' F
F
B rBA
A d
F’
rB
rA
O
MO MO(F) MO(F')
rA F rB F '
rA F rB (F )
(rA rB ) F rBA F
M
M = Fd
B rBA
F’
力偶矩矢
F A
注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点 无关。
合力偶的方向：
cos(MR, i)
Mx MR
cos(MR, j)
My MR
力对点的矩和平面力偶系
第三章 力对点的矩和平面力偶系一、内容提要本章研究了力矩和力偶。
1．力矩及计算（1）力矩 力矩表示力使物体绕矩心的转动效应。
力矩等于力的大小与力臂的乘积。
在平面问题中它是一个代数量。
一般规定：力使物体绕矩心产生逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为()Fd F M O ±=（2）合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各力对同一点的力矩的代数和。
用公式表达为()()F M F M O O ∑=R2．力偶的基本理论（1）力偶 由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系，称为力偶。
力偶与力是组成力系的两个基本元素。
（2）力偶矩 力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
为代数量，规定：逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为：Fd M ±=（3）力偶的性质力偶不能合成为一个合力，不能用一个力代替，力偶只能与力偶平衡。
力偶在任一轴上的投影恒为零。
力偶对其平面内任一点矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。
在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶所在的作用面。
（4）平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。
用公式表达为：M R =ΣM平面力偶系的平衡条件是合力偶矩等于零。
用公式表达为：ΣM = 0二、思考题提示或解答3-1 试比较力矩与力偶矩的异同点。
答：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。
这就是平面力系的合力矩定理。
应用合力矩定理在于简化力矩的计算。
当力臂不易确定时，可将力分解为易找到力臂的两个互相垂直的分力，在求出两分力的力矩后，再代数相加即可。
3-3 二力平衡中的两个力，作用与反作用公理中的两个力，构成力偶的两个力各有什么不同?答：二力平衡中的两个力等值、反向、共线，共同作用在一个物体上；作用与反作用公理中的两个力等值、反向、共线，分别作用在两个物体上； 构成力偶的两个力等值、反向、互相平行，也作用在一个物体上。
工程力学第三章 力 偶 系
§3-5 力偶系的合成 对于任意一个力偶系，可以将力偶矩矢移到一个汇交点， 再按照矢量合成的方法将矢量合成为一个合矢量，这个合矢 量就是力偶系的合力偶。而且有：
MR = M1+ M2+ + Mn = ∑M
对于平面力偶系，力偶只有顺时针和逆时针两种转向，所 以力偶可以看成代数量规定:逆时针为正、顺时会为负。 所以平面力偶系的合力偶
MR = M1+ M2+ …+ Mn = ∑M
§3-6 力偶系的平衡条件 对于任意一个力偶系，它的平衡条件是合力偶矩矢为零。
即：MR = ∑M = 0
M1x+ M2x+ + Mnx = ∑Mx = 0 M1y+ M2y+ + Mny = ∑My = 0 M1z+ M2z+ + MnZ = ∑Mz = 0
二、空间中力对点之矩 M0（F）= r × F
§3-2力对轴之矩 一、力对轴之矩的概念
1、定义：对力使它所作用的物体绕轴转动效果的度量。 它是一个代数量。
2、特例：力与轴平行： MZ（F）=0 力与轴相交： MZ（F）=0
力与轴在同一平面内时力对轴之矩为零。 3、合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同一 轴之矩的代数和。
§3-4 力偶的等效条件和性质 一、力偶的等效条件（41页） 两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。 二、力偶的性质 1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 2、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平 面，而不改变对刚体的作用效果。
=
=
=
3、在保持力偶的转向和力偶矩的大小不变的条件下， 可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变 力偶对刚体的作用。
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
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第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
力矩和平面力偶系
（力偶三要素：力偶矩旳大小；力偶旳转向和力 偶旳作用面。）
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
平面力偶
α
M1 M2
D
分别取杆 OA和 DB为研究对象 为研究对象。 。 因为力偶只 能与力偶平衡， 能与力偶平衡 ，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反 且与其方向相反。 。 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 B
M 1 F AB r cos 0 M 2 2 F BA r cos 0
力偶实例
7
§3-2 平面力偶与力偶矩 2、力偶的性质（三要素） 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基 本力学量。 性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力 偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对 刚体的效应用力偶矩度量。
mO ( F ) mO ( F ' ) F ( x d ) F ' x Fd
列平衡方程：
M 0,
解得：
M FA l cos 45 0
FB
M 2M FA FB l cos 45 l
16
§3-4 平面力偶的合成与平衡 例 题 4
C
M2
如图所示机构的自重不计。 如图所示机构的自重不计 。 M1=2 kN·m ， OA = r =0.5 m。图
A
10
§3-4 平面力偶的合成与平衡
11
§3-4 平面力偶的合成与平衡 结论:
M m1 m 2 m n mi
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各 力偶矩的代数和。 2、平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的 代数和等于零。
n
即
mi 0
45
已知 M 、 l ， 不计梁和
平面力偶系
解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m2 m3 m4 4(15) 60 Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B
60 0.2
300N
N A NB 300 N
15
§4-5 平面平行力系的合成和平衡
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
又∵ M o (F1)2oABoAob M o (F2 )2oAC oAoc M o (R )2oADoAod
现mo (R ) mo (F1)mo (F2 )证毕
作用于物体上的力Ｆ绕ｏ点转动的效应，不
仅与力Ｆ的大小有关，而且与ｏ点到力Ｆ作用线
的垂直距离ｄ有关。因此，在力学上以乘积Ｆ·ｄ
作为量度力Ｆ使物体绕ｏ点转动效应的物理量，
这个量称为力Ｆ对ｏ点之距，简称力矩。
记：Mo（F）
o 点称为力矩中心（简称矩心）
d 称为力臂
符号规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时
7
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面。 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 c. 力偶的作用面 力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
8
§3–3. 力偶与力偶矩的性质 ⑴.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
⑵.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变。
3
综上所述可知：
静力学 第3章力矩 平面力偶系
=
n
=
=
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M=0 即
Mi 0
例3-2
已知： M1 M 2 10N m, M 3 20N m, l 200mm ; 求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
§3-2 平面力偶与力偶矩
1. 力偶(couple)?
由两个等值、反向、不共线的（平行） 力组成的力系称为力偶，记作 F , F
力偶的性质:
①.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零。
②.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
F
F M
F
MA
A
M
F
2. 力偶矩( moment of a couple )
第三章
力矩 平面力偶系
§3-1 力对点之矩
一、平面力对点之矩 力矩作用面 两个要素：
1.大小：力F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
M0 F F h
二、汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
平面汇交力系
M 0 FR M 0 Fi
力偶中两力所在平面称为力偶作用面。
力偶两力之间的垂直距离称积
b.方向：转动方向 力偶矩
M F d
M O F , F M O F M O F
1 1 1
F d x1 F x1 Fd
M O F , F F d x2 F x2
2
F d Fd
'
第3章 平面力偶系
由于力偶对物体的作用完全取决于力偶矩的大小 和转向，因此，力偶可用一带有箭头的弧线来表 示
3、平面力偶系的合成与平衡
作用于物体同一平面内的一组力偶称为平面力偶 系。可以证明，平面力偶系可以合成为一个合力 偶，此合力偶之矩等了原力偶系中各力偶之矩的 代数和。用M表示合力偶矩，则合力偶矩的代数 式为 ：
因此可用乘积fd并冠以适当的正负号来度量力f使物体绕o点的转动效应称为力f对o点之矩简称力矩以符号1力f对o点之矩不仅取决于力f的大小同时还与矩心的位置有关
第三章
§3-3 力平移定理
§3-1 力 矩
一、力矩的概念 日常生活及工程中常用扳手拧螺母。经验表明、作用于扳 手一端的力F使扳手绕O点转动的效应，不仅与力F的大小 有关，而且与O点到力F的作用线的垂直距离d有关。因此， 可用乘积F· d并冠以适当的正负号，来度量力F使物体绕O 点的转动效应，称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号 mo(F)表示，即
M O ( F1 ) F1 d1
M O ( F2 ) F2 d2
M O ( Fn ) Fn dn
§3-2 力 偶
1、力偶概念 由两个大小相等、方向相反、作用线平行但不共线的力 所组成的力系称为力偶。记作(F，F′)。力偶中两力所在 的平面称为力偶作用面。两力作用线间的垂直距离d称为 力偶臂。
M F d
2、力偶的性质
(1)力偶在任一轴上投影的代数和等于零 因力偶中两个力 等值、反向、平行但不共线，所以这两个力在任一轴上投 影的代数和等于零。这个性质说明力偶没有合力。 (2)平面力偶的等效性质 力偶不能与一个力等效，而只能 与另一个力偶等效。同一平面的两个力偶，只要它们的力 偶矩大小相等，转动方向相同，则两力偶必等效。 (3)力偶的可移性 力偶在其作用面内的位置，可以任意搬 动，而不改变它对物体的作用效果。此性质称为力偶的可 移性。 (4)只要力偶矩的大小和转动方向不变，可同时改变力的 大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的作用效果。
第三章 平面力偶系
FA
AM
D
解: 1）分析BD杆
C
450 E
M = 0, M1 - FE ·a = 0 FB = FE = M1 / a
M1
B FB FB B
D
E FE
M1
2）分析整体 FA = FB = M1 / a M = 0, M1 - M = 0 M = M1
27
作业：习题 P54 3—1
3—4 3—7(F ) Fd A 225N m M C (F ) Fd C
F AD F CD
sin 30 sin 30
B
75 N m
2）由合力矩定理 M B (F ) Fx AB Fy AD
求对B点的矩 F cos 30 AB F sin 30 AD
144N
FB FA 144N
(2)取CD杆
M 0, M 0 FC CD cos 0
cos
0.24
0.182 0.242
FC
5M 0 4 0.32m
5 40N m 4 0.32m
156N
FE FD FD FC 156N
FNB可知由力偶概念可知FNA FNB
F’NA
Fy 0, FT W
24
课上练习3
B M C
l
已知：结构中AB为r的圆弧，l=2r，M已知。 求：A和C处的反力。
解：1）分析AB：
可知是二力构件，受力如图
A
F'B
FB
r
M
2）分析BC：受力如图
FA
M 0, M FBd 0
大学工科工程力学第三章 力偶系
= F3 d − F4 d
= M1 − M 2
结论：
在同平面内的任意个力偶可合成 一个合力偶，其合力偶矩等于各 个力偶矩的代数和。
M =
∑M
i =1
n
i
b、平面力偶系的平衡条件 充要条件：
∑M
i =1
n
i
=0
即：所有力偶的合力偶矩的代数和等于零。
根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能平衡的。
M
r O
第三章
力偶系
本章主要内容
力对点之矩矢 力对轴之矩 力偶矩矢 力偶的等效条件和性质 力偶系的合成和平衡条件
力偶的定义
A
F′
B
F
大小相等,方向相 反,不共线的两个力所 组成的力系。
力 偶 实 例
§3-1 力对点之矩矢
一、平面中力对点之矩（力矩） 力对物体可以产生： 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
§3-3 力偶矩矢
一、平面力偶矩 用以衡量力偶对刚体的转动效应
B A
O
x
d
F´
平面有一个力偶，将它们对O 点取矩 根据力对点之矩，力偶对O 之矩为：
F
M = mo ( F ) + mo ( F ′) = − Fx + F ′( x + d ) = Fd = F ′d
M = ± Fd
力偶矩与矩心的位置无关。
M ∑ cos α = M
xi
M ∑ , cos β = M
yi
M ∑ , cos γ = M
zi
空间力偶系的平衡条件是：合力偶矩矢为零
∑M ∑M ∑M
x y z
=0 =0 =0
= M1 − M 2
结论：
在同平面内的任意个力偶可合成 一个合力偶，其合力偶矩等于各 个力偶矩的代数和。
M =
∑M
i =1
n
i
b、平面力偶系的平衡条件 充要条件：
∑M
i =1
n
i
=0
即：所有力偶的合力偶矩的代数和等于零。
根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能平衡的。
M
r O
第三章
力偶系
本章主要内容
力对点之矩矢 力对轴之矩 力偶矩矢 力偶的等效条件和性质 力偶系的合成和平衡条件
力偶的定义
A
F′
B
F
大小相等,方向相 反,不共线的两个力所 组成的力系。
力 偶 实 例
§3-1 力对点之矩矢
一、平面中力对点之矩（力矩） 力对物体可以产生： 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
§3-3 力偶矩矢
一、平面力偶矩 用以衡量力偶对刚体的转动效应
B A
O
x
d
F´
平面有一个力偶，将它们对O 点取矩 根据力对点之矩，力偶对O 之矩为：
F
M = mo ( F ) + mo ( F ′) = − Fx + F ′( x + d ) = Fd = F ′d
M = ± Fd
力偶矩与矩心的位置无关。
M ∑ cos α = M
xi
M ∑ , cos β = M
yi
M ∑ , cos γ = M
zi
空间力偶系的平衡条件是：合力偶矩矢为零
∑M ∑M ∑M
x y z
=0 =0 =0
平面力偶系ppt课件
7
1
8
二、力偶的性质
1、力偶虽然由两个力组成，但是这两个力既不能用一个力等效，也不能用一 个力与之平衡。
2、只要保持力偶矩不变（包括大小和转向），力偶可以在其作用面内任意移转，而
不改变其对刚体的作用效果。
F' D
F1'
F'
A
B
F
C
F
F1
3、只要保持力偶矩不变（包括大小和转向），可以同时改变力偶中力的大小和力偶 臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用效果。
Mi 0
i 1
上式为平面力偶系的平衡方程。
15
例3-1：如图3-9（a）所示，已知长为l的梁AB上作用一矩为 M的力偶，不计梁的自重。求支座A、B的约束力。
解：
（1）以梁AB为研究对象
分析得，梁AB受力如图 3-10所示
根据方程
n
Mi 0
i 1
FAl M 0
FA
FB
M l
解：①用力对点的矩法
l
mO (F ) F d F sin
mo (Q ) Ql ②应用合力矩定理
mO(F)Fx lFy lctg
mo (Q ) Ql
6
§3-2 平面力偶及其性质
一、力偶的定义 1、定义：两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的 力系称为力偶。记作（F，F′）。
16
所以：
FA
FB
M l
FAl M 0
（2） 比较图3-9（a）、图3-9（b）可知： 除了力偶M在梁 AB上的位置不同，梁的约束和尺寸均一样。
M1=F1d1 M2=-F2d2
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1.何谓力偶?
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作 F , F 7
2.力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面。
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向 c. 力偶的作用面 力偶矩
1 M F d 2 F d 2ABC 2
又∵
5
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO ( F ) 和 mo (Q ) 解：①用力对点的矩法
l mO ( F ) F d F sin
mo (Q ) Ql
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l Fy l ctg
mo (Q ) Ql
6
§3–2 力偶与力偶矩
20
解：⑴ ①首先考虑满载时，起 重机不向右翻倒的最小Q为：
mB ( F ) 0
Q(6 2) P 2 W (12 2) N A (2 2) 0
限制条件： N A 0 解得 Q 75 kN
②空载时，W=0 由 限制条件为：N B
0
mA ( F ) 0
说明：
① M O ( F ) 是代数量。（因为平面内力对
点之距，只取决于力矩的大小及旋转方向）
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
④ 力矩的单位:Nm或kNm，工程单位kgfm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
N A N B 300 N
15
§4-5 平面平行力系的合成和平衡
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼ 一、平面平行力系的合成 设在刚体上作用一平面平行力系 F1 、 F2 、 F3 ，现求其
合成结果。
16
根据两个平行力合成理论可知，力F1 与 F5 合成一个合力 R1
第三章
力矩 平面力偶系
§3–1 力对点之矩
§3–2 力偶与力偶矩
§3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
1
第三章 力矩 平面力偶系
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
§3-1、力对点的矩 M O ( F ) F d
一、力对点的矩
mo ( R1 )mo ( R2 ) mo ( F1 )mo ( F5 )mo ( F2 )mo ( F3 )mo ( F4 )
mo ( Fi )
17
⑴. 当
R1 R2
时，原力系的合成结果是一个合力
R R1 R2 F i
当力系平行于y轴时： 合力作用线的位置： 由m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N B
60 300N 0.2
2
F ' d Fd
力矩的符号 M O F 力偶矩的符号 M 10
⑶.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任
意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
11
=
=
=
=
12
⑷.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
m2 F2 d 2
又m1 P 1d
m2 P2d
' RA P P 1 2 ' RB P 1 P 2
合力矩 M RA d ( P1 P2' )d P1d P2' d m1 m2
13
结论:
M m1 m2 mn mi
解得
Q(62) P2 N B (22) 0
Q 350 kN
因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：
75 kN Q 350 kN
21
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得：
mA ( F )0 Fi 0,
Q(62) P2W (122) N B 40
3
综上所述可知： • 力F对o点之距不仅取决于力F的大小，同时还 与矩心的位置有关 • 力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移 动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变 • 力的作用线通过矩心时，力矩等于零 • 互成平衡的二力对同一点之矩地代数和等于零 • 作用于物体上的力可以对任意点取矩。
4
二、合力矩定理
R F i Y i
o ( R ) mo ( R1 ) mo ( R2 )
mo ( Fi )
即: R xR F1 x1 F2 x2 F5 x5 Fi xi
Fi xi Fi xi x R R Fi 当 R1 R2 时(即 Fi 0 时)，原力系合成结果是一
8
§3–3. 力偶与力偶矩的性质
⑴.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
⑵.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变。
9
M F d
M O F , F M O F M O F F d x1 F x1 Fd
1 1 1
M O F , F F d x2 F x2
+
-
作用于物体上的力Ｆ绕ｏ点转动的效应，不 仅与力Ｆ的大小有关，而且与ｏ点到力Ｆ作用线 的垂直距离ｄ有关。因此，在力学上以乘积Ｆ· ｄ 作为量度力Ｆ使物体绕ｏ点转动效应的物理量， 这个量称为力Ｆ对ｏ点之距，简称力矩。 记：Mo（F） o 点称为力矩中心（简称矩心） d 称为力臂 符号规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时 ，力矩取正号；做顺时针方向转动时，力矩取负 2 号。
Q P W N A N B 0
解得：
N A 210 kN, N B 870 kN
22
作业：P61
• 3-1 • 3-2 • 3-6
23
24
mA ( F i ) 0 mB ( F i ) 0
其中：A、B两点的连线 必须不与各力线平行
[例] 已知：塔式起重机 P=700kN,
Hale Waihona Puke W=200kN (最大起重量)，尺寸如
图。求：①保证满载和空载时不 致翻倒，平衡块Q=？ ②当 Q=180kN时，求满载时轨道A、B 给起重机轮子的反力？
合力偶
⑵
mmo ( Fi )Fi xi
18
二、平面平行力系的平衡条件 由平面平行力系合成分析过程可知，平面平行力系总可以 与两个平行力 R1 和 R2 等效，由公理1，二力 R1 和R2 平衡的充要 条件是：等值、反向、共线，即
R1 R2 ( Fi 0 ) 和
同时满足。因此，
mo ( Fi ) 0 mo ( R1 )mo ( R2 )
平面平行力系平衡的充要条件为：
力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点 的矩的代数和也等于零。即：
Fi Yi 0 mo ( F i ) 0
平面平行力系的平衡方程
19
平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示，即
R1 F1 F5 ,
同理
所以
mo ( R1 ) mo ( F1 ) mo ( F5 )
R2 F2 F3 F4 , mo ( R2 ) mo ( F2 )mo ( F3 )mo ( F4 )
R1 R2 ( F1 F5 ) ( F2 F3 F4 ) F i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
即
mi 0
i 1
14
n
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
m1 m2 m3 m4 15Nm
解: 各力偶的合力偶距为
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和 n 即：
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有：
od=ob+oc
M o ( F1 )2oABoAob M o ( F2 ) 2oACoAoc M o ( R ) 2oADoAod 现mo ( R ) mo ( F1 ) mo ( F2 )证毕
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作 F , F 7
2.力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面。
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向 c. 力偶的作用面 力偶矩
1 M F d 2 F d 2ABC 2
又∵
5
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO ( F ) 和 mo (Q ) 解：①用力对点的矩法
l mO ( F ) F d F sin
mo (Q ) Ql
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l Fy l ctg
mo (Q ) Ql
6
§3–2 力偶与力偶矩
20
解：⑴ ①首先考虑满载时，起 重机不向右翻倒的最小Q为：
mB ( F ) 0
Q(6 2) P 2 W (12 2) N A (2 2) 0
限制条件： N A 0 解得 Q 75 kN
②空载时，W=0 由 限制条件为：N B
0
mA ( F ) 0
说明：
① M O ( F ) 是代数量。（因为平面内力对
点之距，只取决于力矩的大小及旋转方向）
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
④ 力矩的单位:Nm或kNm，工程单位kgfm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
N A N B 300 N
15
§4-5 平面平行力系的合成和平衡
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫∼ 一、平面平行力系的合成 设在刚体上作用一平面平行力系 F1 、 F2 、 F3 ，现求其
合成结果。
16
根据两个平行力合成理论可知，力F1 与 F5 合成一个合力 R1
第三章
力矩 平面力偶系
§3–1 力对点之矩
§3–2 力偶与力偶矩
§3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
1
第三章 力矩 平面力偶系
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
§3-1、力对点的矩 M O ( F ) F d
一、力对点的矩
mo ( R1 )mo ( R2 ) mo ( F1 )mo ( F5 )mo ( F2 )mo ( F3 )mo ( F4 )
mo ( Fi )
17
⑴. 当
R1 R2
时，原力系的合成结果是一个合力
R R1 R2 F i
当力系平行于y轴时： 合力作用线的位置： 由m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
M m1 m2 m3 m4 4( 15) 60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: N B 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N B
60 300N 0.2
2
F ' d Fd
力矩的符号 M O F 力偶矩的符号 M 10
⑶.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任
意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
11
=
=
=
=
12
⑷.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
m2 F2 d 2
又m1 P 1d
m2 P2d
' RA P P 1 2 ' RB P 1 P 2
合力矩 M RA d ( P1 P2' )d P1d P2' d m1 m2
13
结论:
M m1 m2 mn mi
解得
Q(62) P2 N B (22) 0
Q 350 kN
因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：
75 kN Q 350 kN
21
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少
由平面平行力系的平衡方程可得：
mA ( F )0 Fi 0,
Q(62) P2W (122) N B 40
3
综上所述可知： • 力F对o点之距不仅取决于力F的大小，同时还 与矩心的位置有关 • 力F对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移 动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变 • 力的作用线通过矩心时，力矩等于零 • 互成平衡的二力对同一点之矩地代数和等于零 • 作用于物体上的力可以对任意点取矩。
4
二、合力矩定理
R F i Y i
o ( R ) mo ( R1 ) mo ( R2 )
mo ( Fi )
即: R xR F1 x1 F2 x2 F5 x5 Fi xi
Fi xi Fi xi x R R Fi 当 R1 R2 时(即 Fi 0 时)，原力系合成结果是一
8
§3–3. 力偶与力偶矩的性质
⑴.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
⑵.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变。
9
M F d
M O F , F M O F M O F F d x1 F x1 Fd
1 1 1
M O F , F F d x2 F x2
+
-
作用于物体上的力Ｆ绕ｏ点转动的效应，不 仅与力Ｆ的大小有关，而且与ｏ点到力Ｆ作用线 的垂直距离ｄ有关。因此，在力学上以乘积Ｆ· ｄ 作为量度力Ｆ使物体绕ｏ点转动效应的物理量， 这个量称为力Ｆ对ｏ点之距，简称力矩。 记：Mo（F） o 点称为力矩中心（简称矩心） d 称为力臂 符号规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时 ，力矩取正号；做顺时针方向转动时，力矩取负 2 号。
Q P W N A N B 0
解得：
N A 210 kN, N B 870 kN
22
作业：P61
• 3-1 • 3-2 • 3-6
23
24
mA ( F i ) 0 mB ( F i ) 0
其中：A、B两点的连线 必须不与各力线平行
[例] 已知：塔式起重机 P=700kN,
Hale Waihona Puke W=200kN (最大起重量)，尺寸如
图。求：①保证满载和空载时不 致翻倒，平衡块Q=？ ②当 Q=180kN时，求满载时轨道A、B 给起重机轮子的反力？
合力偶
⑵
mmo ( Fi )Fi xi
18
二、平面平行力系的平衡条件 由平面平行力系合成分析过程可知，平面平行力系总可以 与两个平行力 R1 和 R2 等效，由公理1，二力 R1 和R2 平衡的充要 条件是：等值、反向、共线，即
R1 R2 ( Fi 0 ) 和
同时满足。因此，
mo ( Fi ) 0 mo ( R1 )mo ( R2 )
平面平行力系平衡的充要条件为：
力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点 的矩的代数和也等于零。即：
Fi Yi 0 mo ( F i ) 0
平面平行力系的平衡方程
19
平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示，即
R1 F1 F5 ,
同理
所以
mo ( R1 ) mo ( F1 ) mo ( F5 )
R2 F2 F3 F4 , mo ( R2 ) mo ( F2 )mo ( F3 )mo ( F4 )
R1 R2 ( F1 F5 ) ( F2 F3 F4 ) F i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
即
mi 0
i 1
14
n
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
m1 m2 m3 m4 15Nm
解: 各力偶的合力偶距为
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和 n 即：
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有：
od=ob+oc
M o ( F1 )2oABoAob M o ( F2 ) 2oACoAoc M o ( R ) 2oADoAod 现mo ( R ) mo ( F1 ) mo ( F2 )证毕