环量和涡旋源+旋度的定义

第 1 章矢量分析
1.6 矢量场的环量和旋度
1.6.1 环量和涡旋源
1.6.2 矢量场的旋度
1.6.3 斯托克斯定理
一. 矢量场的环量和涡旋源Circulation
1. 环量：
⎰⎰=
∙
=
c c
l A
Γd
cos
dθ
l
A
2.涡旋源：
d≠
∙
=⎰c l
A
Γ
—表明c包围涡旋源
d=
∙
=⎰c l
A
Γ
—表明c不包含涡旋源
P1 ∙
∙P2
A
涡旋源
涡旋面矢量场
3. 环量面密度 per unit area
在矢量场A 中任取一点M ，在M 处作一面元
，n 为面元的法线方向，n 与c 构成右手螺旋关系。

闭和曲线
趋于 M 点时的极限值称为矢量场A 在M 处沿方向 n 的环量面密度。

上面的算式与积分路径的选取有关！
S
S S c M S c M S c M S ∆∙<∆∙<∆∙⎰⎰⎰→∆→∆→∆123d lim d lim d lim )(0)(0)(0l A l A l A S c M S ∆∙⎰
→∆l A d 0)(lim S ∆S ∆M ∙ A c 1 c 2 c 3 n 3 n 2 n S ∆
二. 矢量场的旋度 Curl (Rotation )
1. 旋度的定义：
•旋度是一个矢量
•模值等于环量面密度的最大值
•方向为使环量面密度取得最大值的面元法线方向
}d lim max{rot )(0S c
M S ∆∙=⎰→∆l A n A 为 的法向单位矢量 (与 c 成右手螺旋关系） n S ∆M ∙
A c 1 c 2
c 3 n 3 n 2 n S
∆。