三次函数的性质

(1)当a＝2，b＝0时，求f(x)在[0,3]上的值域；
解 由 f(x)＝13x3－2x2＋3x， 得f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1,3)时，f′(x)<0，故f(x)在(1,3)上单调递减．
又 f(0)＝f(3)＝0，f(1)＝34， 所以 f(x)在[0,3]上的值域为0，43.
典例探究 例题3：
(2018·台州质检)已知函数f(x)＝x3＋|x－a|(a∈R)． (1)当a＝1时，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程； 解 当a＝1，x<1时，f(x)＝x3＋1－x， f′(x)＝3x2－1， 所以f(0)＝1，f′(0)＝－1， 所以f(x)在(0，f(0))处的切线方程为x＋y－1＝0.
化简得(a2－3)3≤1，解得3<a2≤4. 综合①②，得a2≤4，即－2≤a≤2.
硕果累累
三次函数的基本题型
开门见山
开门见山
典例探究
例题1：
(2007·浙江)设
f(x)＝x33，对任意实数
t，记
gt(x)＝
t
2 3
x－23t.
求函数 y＝f(x)－g8(x)的单调区间；
解 y＝x33－4x＋136. 由y′＝x2－4＝0，得x＝±2. 因为当x∈(－∞，－2)时，y′>0， x∈(－2,2)时，y′<0， 当x∈(2，＋∞)时，y′>0， 故所求函数的单调递增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)， 单调递减区间是(－2,2).
典例探究
例题2：
(2018·金华十校期末考试)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在(－1,1)上恰有一个 极值点，则实数a的取值范围是________.
典例探究 例题2：
(2018·金华十校期末考试)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在(－1,1)上恰有一个 极值点，则实数a的取值范围是________.
(2)对任意的b，函数g(x)＝|f(x)|－ 2 的零点不超过4个，求a的取值范围． 3
解 由题意得f′(x)＝x2－2ax＋3，Δ＝4a2－12. ①当Δ≤0，即a2≤3时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，满足题意； ②当Δ>0，即a2>3时，f′(x)＝0有两根， 设两根为x1，x2，且x1<x2，x1＋x2＝2a，x1x2＝3. 则f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减． 由题意知|f(x1)－f(x2)|≤43， 即x31－3 x32－ax21－x22＋3x1－x2≤43.
当 a∈ 33，1时，f(x)在－1，－ 33上单调递增， 在－ 33， 33上单调递减，在 33，a上单调递增，
所以
f(x)min＝minf
－1，f
33
＝mina，a－2
9
3＝a－2
来自百度文库
9
3 .
当 a∈0， 33时，f(x)在－1，－ 33上单调递增，
在－ 33，a上单调递减，
所以f(x)min＝min{f(－1)，f(a)}＝min{a，a3}＝a3.
解 由题意可知f′(x)＝3x2＋4x－a＝0有两个不等根，其中一个在(－1,1)上，
另一个不在该区间上.因为导函数 f′(x)的对称轴是 x＝－23， 所以只能是一根在－23，1上，另一根在(－∞，－1]上，
f′1＝7－a>0，
所以
解得－1≤a<7.
f′－1＝－1－a≤0，
小试牛刀 变式2
(2018·浙江六校协作体期末联考)已知函数f(x)＝ 13ax3＋21bx2－x (a>0，b>0)在x ＝1处取得极小值，则 1a＋4b 的最小值为
小试牛刀
变式1.已知f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－2,2)上不单调，求a的取值范围.
小试牛刀
变式1.已知f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－2,2)上不单调，求a的取值范围. 解 ∵f(x)＝x3－ax－1， ∴f′(x)＝3x2－a. 由f(x)在区间(－2,2)上不单调，知f′(x)存在零点，∴a≥0. 由 f′(x)＝0，得 x＝± 33a(a≥0)， ∵f(x)在区间(－2,2)上不单调， ∴0< 33a<2，即 0<a<12.
A.4
B.5
C.9
D.10
小试牛刀 变式2
(2018·浙江六校协作体期末联考)已知函数f(x)＝ 13ax3＋21bx2－x (a>0，b>0)在x ＝1处取得极小值，则 1a＋4b 的最小值为
A.4
B.5
C.9
D.10
解析 由 f(x)＝31ax3＋12bx2－x(a>0，b>0)， 得f′(x)＝ax2＋bx－1，
则f′(1)＝a＋b－1＝0，∴a＋b＝1，
∴1a＋4b＝1a＋4b·1＝a1＋4b·(a＋b)＝5＋ab＋4ba≥5＋2 ba·4ba＝9， 当且仅当ba＝4ba，即 a＝13，b＝23时，等号成立，故选 C.
典例探究 例题3：
(2018·台州质检)已知函数f(x)＝x3＋|x－a|(a∈R)． (1)当a＝1时，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a∈(0,1)时，求f(x)在[－1,1]上的最小值(用a表示)．
解 当a∈(0,1)时， x3＋x－a，a≤x≤1，
由已知得 f(x)＝ x3－x＋a，－1≤x<a.
当a≤x≤1时，由f′(x)＝3x2＋1>0，知f(x)在[a ，1]上单调递增． 当－1≤x<a时，由f′(x)＝3x2－1，
综上所述，f(x)min＝aa3－，2a9∈3，0，a∈333.3，1，
小试牛刀 变式3
(2018·绍兴质测)已知函数f(x)＝
1 3
x3－ax2＋3x＋b.
(1)当a＝2，b＝0时，求f(x)在[0,3]上的值域；
小试牛刀 变式3
(2018·绍兴质测)已知函数f(x)＝
1 3
x3－ax2＋3x＋b.